Das Sonnensystem – ¨Ubungen

Das Sonnensystem – Übungen
Lösungsvorschläge zur 1. Übungsserie
2016-11-01
Aufgabe 1.1
a) Die Gravitationskraft zwischen zwei (kugelsymmetrischen) Körpern der Massen m1 und m2 im Abstand r
ist betragsmäßig gegeben durch
Gm1 m2
,
r2
Fg =
(1)
wobei G die Gravitationskonstante ist. Das Verhältnis der Kräfte zwischen Neptun und Sonne () sowie
Neptun und Proxima Centauri (α Cen C, hier: Prx“) ergibt sich somit zu
”
2
M rPrx
F
=
.
(2)
FPrx MPrx r
Das Quadrat des Abstandsverhältnisses ist
rPrx
r
2
≈
1,3 pc
30 au
2
≈
3 · 105 au
30 au
2
≈ 108 .
(3)
Das Massenverhältnis der Sterne (MSonne /MProxima ≈ 8) ändert kaum etwas am qualitativen Ergebnis:
F
∼ 107
FPrx
(4)
und somit
F FPrx .
(5)
Was äußere Störungen durch andere Sterne angeht gehört also selbst der äußerste Planet Neptun noch zum
innersten Kern des Sonnensystems. Weiter draußen in der Oort’schen Wolke ist die Bindung der Objekte
an die Sonne aber wesentlich loser. Gelegentliche nähere Vorbeiflüge von Sternen können dort starke
Änderungen hervorrufen und z. B. die Erscheinungsrate von Kometen beeinflussen.
b) Das Volumen des Sonnensystems kann man mit
V≈
4π rPrx 3 π 3
1 3
= rPrx ≈ rPrx
≈ 1 pc3
3
2
6
2
(6)
nähern, seine Masse sehr gut mit einer Sonnenmasse:
M ≈ 1 M .
(7)
Die Dichte ergibt sich damit zu
ρ=
−3
M
≈ M pc−3 ≈ 2 · 1030 kg · 3 · 1016 m
∼ 10−19 kg m−3 .
V
(8)
Eine interstellare Wolke (∼ 10−18 kg m−3 ), aus der Sterne entstehen können, ist damit etwas dichter, aber
immernoch wesentlich ausgedünnter als das beste künstliche Vakuum, obwohl sie enorm massereiche
Objekte hervorbringt. Im Mittel hat das sichtbare Universum eine Dichte von 10−27 kg m−3 . Verglichen
damit ist auch das Sonnensystem noch sehr dicht gepackt.
1
Aufgabe 1.2
Vergleicht man die Helligkeit der Vesta mit der des Vollmondes, ergibt sich folgender Zusammenhang zum
Verhältnis der von ihnen zur Erde gelangenden Flussdichten:
mV −mM
FV⊕
= 10 −2,5 .
FM⊕
(9)
Weiter geht es mit dem Verhältnis der (reflektierten) Leuchtkräfte der beiden:
2
FV⊕ 4πrV⊕
LV
=
.
2
LM FM⊕ 4πrM⊕
(10)
Es folgt das Verhältnis der von beiden von der Sonne erhaltenen Flussdichte:
FV πR2V AV
LV
=
,
FM πR2M AM LM
(11)
wobei im folgenden angenommen wird, dass die Albedos beider Körper gleich sind (AV = AM ). Und schließlich
das Verhältnis der beiden Flussdichten:
2
rM
FV
=
.
2
FM
rV
(12)
Setzt man Gleichungen (9), (10) und (12) in (11) ein und stellt nach dem Verhältnis der Radien beider Körper
um, so erhält man
mV −mM r
RV
V rV⊕
= 10 −5
.
RM
rM rM⊕
(13)
Zunächst benötigt man die Entfernung zur Vesta in Opposition:
rV⊕ = aV − a⊕ ,
(14)
wobei sich die große Halbachse aus dem Dritten Keplerschen Gesetz zu
aV = a⊕
PV
P⊕
2/3
= 42/3 au ≈ 2,5 au
(15)
ergibt. Es folgt rV⊕ ≈ 1,5 au ≈ 2,3 · 108 km. Der Mond hat einen mittleren Abstand von etwa 3,8 · 105 km. Das
Verhältnis beider Entfernungen beträgt also etwa
rV⊕
≈ 600 : 1.
rM⊕
(16)
Die übrigen Werte sind: rV = aV , rM ≈ a⊕ , mV = 5,2 mag, mM = −12,7 mag. Damit erhält man
RV
= 10−18/5 42/3 · 600 = 0,6 · 10−3/5 42/3 ≈ 0.4.
RM
(17)
Mit RM ≈ 1700 km kommt man auf einen Vesta-Radius von mehr als 600 km. Aus Aufnahmen von Vesta weiß
man allerdings, dass ihr wahrer mittlerer Radius weniger als die Hälfte dieses Wertes beträgt. Hauptursache für
die Abweichung ist die im Vergleich zum Mond deutlich höhere Albedo der Vesta (0,42 zu 0,12).
Zusatzaufgabe 1.3
Wenn der Planet eine Zeit lang gegenläufig sein soll, muss er zweimal pro synodischem Jahr die Richtung der
scheinbaren Bewegung ändern. Die Dauer der Gegenläufigkeit ist dann gegeben durch den Abstand zwischen
2
diesen beiden Wendepunkten. An diesen Wendepunkten verschwindet die scheinbare Bewegung. Relativ zur
Erde kann der Mars dort also nur eine Radialgeschwindigkeit haben. Der Vektor der Relativgeschwindigkeit
muss parallel zur Verbindungslinie zwischen beiden sein. In Abbildung 1 ist das Problem im nichtrotierenden
Bezugssystem der Sonne schematisch dargestellt.
Die eigentliche Herleitung funktioniert nun folgendermaßen. Für zwei parallele Vektoren verschwindet das
Vektorprodukt:
(r⊕ − r♂ ) × (v⊕ − v♂ ) = 0
(18)
r⊕ × v⊕ − r♂ × v⊕ − r⊕ × v♂ + r♂ × v♂ = 0.
(19)
Auf einer kreisförmigen Bahn stehen die Geschwindigkeiten nun senkrecht auf den Örtern:
r⊕ × v⊕ = r⊕ v⊕ ẑ
bzw.
r♂ × v♂ = r♂ v♂ ẑ
bzw.
v⊕
ẑ × r⊕ ,
r⊕
v
v♂ = ♂ ẑ × r♂ ,
r♂
v⊕ =
(20)
(21)
wobei ẑ den Einheitsvektor senkrecht zur Bahnebene darstellt. Außerdem sei der zwischen r⊕ und r♂ eingeschlossene Winkel ≡ α. Daraus folgt
r⊕ v⊕ − r♂ v⊕ cos α − r⊕ v♂ cos α + r♂ v♂ = 0
r⊕ v⊕ + r♂ v♂
= cos α
r♂ v⊕ + r⊕ v♂
r⊕ /r♂ + v♂ /v⊕
= cos α.
1 + (r⊕ /r♂ )(v♂ /v⊕ )
(22)
(23)
(24)
Für die Bahngeschwindigkeit gilt nun v ∝ r−1/2 , sodass
r⊕ /r♂ + (r⊕ /r♂ )1/2
= cos α.
1 + (r⊕ /r♂ )3/2
(25)
Mit r♂ ≈ 1,5r⊕ lautet das Ergebnis schließlich
α = ±16°.
(26)
Bei einer synodischen Umlaufzeit des Mars von 780 Tagen entspricht dieses Bogenstück einer Zeit von
±35 Tagen,
(27)
in der Mars vor und nach seiner Opposition gegenläuft.
Für sehr entfernte Planeten (r r⊕ bzw. r → ∞) folgt aus Gleichung (25), dass
cos α → 0,
also
α → ±90°.
(28)
−1 = P−1 − P−1 ) vor und nach der
Gegenläufigkeit tritt also jeweils ein Viertel eines synodischen Jahres (Psyn.
⊕
♂
Opposition auf, insgesamt ein halbes synodisches (und irdisches) Jahr. Für sehr nahe Planeten (r → r⊕ ) folgt aus
Gleichung (25), dass
cos α → 1,
also
α → 0°.
(29)
Gegenläufigkeit tritt dann nur unmittelbar in Opposition auf, wobei diese lange dauert, weil die Länge des
synodischen Umlaufs gegen unendlich geht.
3
v♂
b
v⊕
∆r
r♂
b
♂
b
r⊕
⊙
⊕
α
Abbildung 1: Positionen von Sonne, Erde und Mars kurz vor der Opposition im Moment der Umkehr der
scheinbaren Bewegung des Mars. In diesem Moment ist die Differenz der Geschwindigkeiten parallel zum
Abstandsvektor. Die Verbindungslinie zwischen beiden Planeten wird also parallel verschoben.
4