Eine Differenzialgleichung Eine Biologin hält Bakterien in einer

Eine Differenzialgleichung
Eine Biologin hält Bakterien in einer Nährflüssigkeit, die
ständig so nachgefüllt wird, so dass kein Bakterium an Nahrungsmangel leidet. Es wird beobachtet, dass sich die Bakterien alle in einer im wesentlichen festen Zeitspanne teilen,
also aus einem Bakterium zwei werden.
Wir bezeichnen mit t die Zeit und mit f (t) die Anzahl der
zum Zeitpunkt t existierenden Bakterien. Die Änderungsrate
der Funktion f ist proportional zu der Anzahl der Bakterien,
also f . Daraus ergibt sich die folgende Gleichung:
f 0 (t) = λ · f (t)
mit einem festem λ ∈ R. λ hängt von der Zeitspanne ab, in
der sich die Bakterien teilen. Wir gehen weiter davon aus,
dass zum Zeitpunkt t = 0 eine Anzahl C vorhanden ist.Das
heisst es gilt weiter:
f (0) = C
Wir suchen also eine Funktion, die diese beiden Eigenschaften erfüllt.
Man sieht, dass die Funktion
f (t) = C · eλ·t
die obigen Bedingungen erfüllt.
Wie in Übungsaufgabe 3.4 kann man sehen, dass dies die
einzige Lösung ist.
1
Hier ist der Funktionsgraph für C = 1 und λ = 1.
50
40
30
20
10
0
-4
0
-2
2
4
Diese Lösung des Problems ist für grosse t natürlich sehr
unrealistisch. Dies führt uns zur nächsten Differenzialgleichung.
2
Die logistische Differenzialgleichung
Wir wollen nun den Fall untersuchen, indem nicht beliebig
viel Nahrung für die Bakterien zur Verfügung steht. Dies
führt zum Beispiel zur folgenden Differenzialgleichung:
f 0 (t) = λ · f (x) − γ · f 2 (x)
Diese nennt man die logistische Differnzialgleichung.
Wenn wir davon ausgehen, dass f(t) für alle t ungleich 0 ist
(also die Bakterien sterben nie ganz aus) so können wir die
Differenzialgleichung zur folgenden Gleichung umformen:
f 0 (t)
1
=λ·
−γ
2
f (t)
f (t)
Nun sehen wir, dass die linke Seite der Gleichung gerade
1 0
(− f (t)
) ist, denn nach der Quotientenregel gilt:
f (t) · 0 − 1 · f 0 (t)
f 0 (t)
1 0
) =−
= 2
(−
f (t)
f 2 (t)
f (t)
1
Setzen wir nun g(t) := f (t)
− λγ so ergibt sich aus der Differenzialgleichung (1) die Gleichung:
g 0 (t) = −λ · g(t)
welche die bekannten Lösung
g(t) = C · e−λ·t
mit einer Konstanten C ∈ R hat. Dabei hängt C wieder von
den Anfangsbedingungen ab.
3
Also erhalten wir die Lösung für f :
f (t) =
1
C · e−λ·t +
Für die Werte C = 1, λ = 2 und γ =
den Funktionsgraphen:
γ
λ
1
2
erhalten wir folgen-
5
4
3
2
1
0
-1
-10
-5
0
4
5
10