9. Klasse - Luisenburg

Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel
Grundwissen für das Fach Mathematik
Jahrgangsstufe 9
Quadratwurzeln
Definition:
Für eine nicht-negative Zahl a bezeichnet die
Beispiele:
25 = 5
Wurzel aus a, in Zeichen a , diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat a ist.
a heißt auch der Radikand der Wurzel.
2 = 1,4142…
− 1 nicht definiert
Rechenregeln:
( a)
2
a ⋅b =
( 2)
2
a 2 = |a|
=a
a ⋅
a:b =
b
a :
(−1) 2 = 1
=2
4a 4 = 2
b
8 :
2 =
4 =2
Iterative Berechnung von Näherungswerten
xn + 1 =
(x
1
2
n
+
a
xn
Näherung für 2 :
x0 = 1
x1 = 12 (1 + 2) = 1,5
)
x2 =
1
2
(1,5 +
2
1,5
) = 1,416666…
usw.
Zahlenbereichserweiterung:
Zu den reellen Zahlen gehören beispielsweise
Menge IR der reellen Zahlen
5; − 73 ;
2 ; π (Kreiszahl)
Allgemeine Potenzen
Definition:
Für nicht-negative a ist n a diejenige positive
Zahl, deren n-te Potenz a ist.
1
n
a =
n
a
a
m
n
=
3
216 = 6
3
2
am
n
Beispiele:
9 = 27
Rechenregeln:
a
m
n
⋅ a
p
q
= a
m p
+
n q
a
m
n
: a
p
q
= a
m p
−
n q
3
⋅
 mn  q
a  = a n q
 
 
p
a
m
n
⋅b
m
n
m p
= (ab)
m
n
a
m
n
m
n
: b = ( a : b)
1
3
5 2 ⋅ 5 2 = 5 2 = 25
1
 23  34
a  = a2 = a
 
 
m
n
1
1
1
12 2 ⋅ 3 2 = 36 2 = 6
1
5 2 : 5 2 = 51 = 5
1
1
1
12 2 : 3 2 = 4 2 = 2
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Binomische Formeln
2
2
2
(a + b) = a + 2ab + b
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b) ⋅ (a – b) = a2 – b2
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
(3 – 2a)2 = 9 – 12a + 4a2
x2 – 9 = (x + 3) ⋅ (x – 3)
Quadratische Funktionen
Gleichung: f(x) = ax2 + bx + c
Der Graph ist eine Parabel.
Durch quadratische Ergänzung erhält man die
Scheitelform f(x) = a(x – xS)2 + yS
Scheitel: S(xS / yS)
Beispiel:
f(x) = 2x2 + 8x + 5 = 2 [x2 + 4x + 2,5] =
= 2 [x2 + 4x + 4 – 4 + 2,5] =
= 2 [(x + 2)2 – 1,5] =
⇒ S(–2 / –3)
= 2 (x + 2)2 – 3
Quadratische Gleichungen
Beispiel:
ax2 + bx + c = 0
Diskriminante D = b2 – 4ac
D > 0: 2 reelle Lösungen
D = 0: 1 reelle Lösung
D < 0: keine reelle Lösung
4x2 – 10x + 6 = 0
D = (–10)2 – 4 ⋅ 4 ⋅ 6 = 100 – 96 = 4 > 0
⇒ 2 reelle Lösungen
Lösungsformel:
2
x1,2 =
− b ± b − 4ac
2a
x1,2 =
10 ± (−10) 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 6
2⋅4
10 ± 100 − 96
=
10 ± 2
8
8
10 + 2
10 − 2
x1 =
= 1,5; x2 =
=1
8
8
=
=
Faktorisieren eines quadratischen Terms
Sind x1 und x2 Lösungen der quadratischen
Gleichung ax2 + bx + c = 0, so gilt:
ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2)
4x2 – 10x + 6 = 4 (x – 1,5) (x – 1)
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Lineare Gleichungssysteme mit drei
Unbekannten
Mögliches Lösungsverfahren:
Beispiel:
(I)
(II)
(III)
• Auflösen einer Gleichung nach einer
Unbekannten
Aus (III):
• Einsetzen dieser Unbekannten in die beiden
anderen Gleichungen
x3 in (I):
(I’)
x3 in (II):
(II’)
• Lösen des Gleichungssystems mit den beiden
verbleibenden Unbekannten
Aus (II’):
x2 in (I’):
3x1 – 2x2 – 2x3 = 3
–x1 + x2 + 2x3 = –2
+ x3 = 0
x1
x3 = –x1
3x1 – 2x2 + 2x1 = 3
5x1 – 2x2 = 3
–x1 + x2 – 2x1 = –2
–3x1 + x2 = –2
x2 = –2 + 3x1
5x1 – 2 (–2 + 3x1) = 3
–x1 + 4 = 3
x1 = 1
x2 = –2 + 3 = 1
x3 = –x1 = –1
• Berechnen der zunächst eliminierten
Unbekannten
Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Besteht ein Zufallsexperiment aus mehreren
Stufen, kann man die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten oft vorteilhaft mit Hilfe eines
Baumdiagramms bestimmen.
Beispiel:
Eine Urne enthält 2 schwarze, 2 weiße und eine
rote Kugel. Aus ihr werden nacheinander zwei
Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Pfadregeln:
Start
• An einem Verzweigungspunkt ist die Summe
der Wahrscheinlichkeiten auf den ausgehenden Pfaden stets 1.
• Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist
gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten
auf dem Pfad, der zu diesem Ergebnis führt.
• Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist
die Summe der Wahrscheinlichkeiten für die
zugehörigen Ergebnisse.
_2
_2
_1
5
5
5
_1
_2 _1
4
4
s
w
r
w
s
4
r
_2
_1 _1
4
4
s
P(2 weiße Kugeln) =
w
2
5
_2
_2
4
4
4
r
s
w
⋅ 14 = 101
P(1 schwarze, 1 rote Kugel) =
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2
5
⋅ 14 + 15 ⋅ 24 =
1
5
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Das rechtwinklige Dreieck
Beispiel:
a = 3 cm, b = 4 cm
a 2 + b2 = c 2
(Pythagoras)
c = a 2 + b2 =
= 5 cm
a 2 = c ⋅ p b2 = c ⋅ q
(Kathetensätze)
p = a2 : c = (3 cm)2 : 5 cm = 1,8 cm
q = b2 : c = (4 cm)2 : 5 cm = 3,2 cm
h2 = p ⋅ q
(Höhensatz)
h = p ⋅ q = 1,8 cm ⋅ 3,2 cm = 5,76 cm 2 =
= 2,4 cm
(3 cm) 2 + (4 cm) 2 =
Winkelbeziehungen:
Gegenkathete
= a
c
Hypotenuse
cos α = Ankathete = b
c
Hypotenuse
Gegenkathete
tan α =
= a
Ankathete
b
sin α = a = 3 cm : 5 cm = 0,6 ⇒ α ≈ 36,87°
sin α =
c
cos α = b = 4 cm : 5 cm = 0,8
c
a
tan α = = 3 cm : 4 cm = 0,75
b
Umrechnungsformeln:
sin (90° –α) = cos α
2
2
sin α + cos α = 1
cos (90° – α) = sin α
tan α =
sin α
cos α
Besondere Winkel:
0°
30°
sin α
0
1
2
cos α
1
1
2
3
tan α
0
1
3
3
α
45°
1
2
1
2
2
2
1
60°
1
2
3
1
2
3
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90°
1
0
–
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Raumgeometrie
Gerades Prisma
Netz
h
G
h
Volumen:
V=G⋅h
Oberfläche:
A=2G+M=2G+u⋅h
G
u
Zylinder
Netz
G
G
h
u
r
h
Volumen:
V = G ⋅ h = r2 π h
Oberfläche:
A = 2 G + M = 2 ⋅ r2 π + 2 r π ⋅ h
r
Gerade Pyramide
Netz
s
s
h
G
s
G
1
3
Gh
Volumen:
V=
Oberfläche:
A=G+M
Gerader Kegel
Netz
s
s
h
r
1
3
Gh=
1
3
r2 π h
Volumen:
V=
Oberfläche:
A = G + M = r2 π + r π s
r
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