Grundlagen der Elektrotechnik 2 (GET 2) - Universität Duisburg

-1-
Grundlagen der Elektrotechnik 2
(GET 2)
Daniel Erni
(BA 342, [email protected])
Norbert Koster
(BA 337, [email protected])
Markus Pell
(BA 302, [email protected])
Lehrstuhl für Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik (ATE)
Abteilung für Elektrotechnik und Informationstechnik
Fakultät für Ingenieurwissenschaften
Universität Duisburg-Essen
-2-
Inhalt
1.
Einführung
2.
Bauelemente der
Elektrotechnik
3.
Elektrische Netzwerke
4.
Wechselspannungen
und Wechselströme
5.
Komplexe
Wechselstromrechnung
6.
Netzwerkanalyse
7.
Netzwerksätze
1
-3-
Einführung I
Vorlesungsunterlagen
• Lehrbuch GET 1:
Skriptum für das Kapitel
«Bauelemente der Elektrotechnik»
• Ergänzende Unterlagen zur Vorlesung:
Bildmaterial zum Buch
Ergänzende Manuskripte
Aufgabenstellungen
Alles via Moodle-Server:
http://moodle.uni-duisburg-essen.de/
Ingo Wolff
Verlagsbuchhandlung
Dr. Wolff, 2003
401 Seiten, 35.50
-4-
Einführung II
Vorlesungsunterlagen
• Lehrbuch GET 2:
Nebenstehendes Buch von Ingo Wolff wird als
Skriptum zur Vorlesung verwendet.
• Ergänzende Lehrbücher:
H, Frohne, K.-H. Löcherer, H. Müller,
«Moeller Grundlagen der Elektrotechnik»
Teubner, 2005, 551 Seiten, 38.90
Karl Küpfmüller, W. Mathis, A. Reibiger,
«Theoretische Elektrotechnik – eine Einführung»
Springer Verlag, 2005, 745 Seiten, 44.95
Ingo Wolff
Verlagsbuchhandlung
Dr. Wolff, 2005
373 Seiten, 35.50
Eugen Philippow, W.-J. Becker, W. Hofmann,
«Grundlagen der Elektrotechnik»
Verlag Technik, (10. Aufl.), 2000,
800 Seiten, 74.20
2
-5-
Einführung III
Vorlesungsunterlagen
• Alternative Lehrbücher:
Manfred Albach,
«Grundlagen der Elektrotechnik 1 –
Erfahrungssätze, Bauelemente,
Gleichstromschaltungen»
Pearson Studium, 2005, 304 Seiten, 29.95
Manfred Albach,
«Grundlagen der Elektrotechnik 2 –
Periodische und nichtperiodische
Signalformen»
Pearson Studium, 2005, 272 Seiten, 29.95
L.-P. Schmidt, G. Schaller, S. Martius,
«Grundlagen der Elektrotechnik 3 –
Netzwerke»
Pearson Studium, 2006, 256 Seiten, 29.95
Einführung IV
-6-
Verschiedenes
• Vorlesungsbetrieb:
Übungen
Seminare
Tutorien
Skript (Lehrbücher GET 1 & GET 2, I. Wolff)
Vorlesungsfolien (PDF-Files via Moodle herunterladen)
• Nomenklatur:
Referenzen auf Folien der Vorlesung
«Grundlagen der Elektrotechnik 1» (GET 1)
erfolgen gemäss der folgenden Schreibweise
Folie 1-76, Folie 1-228, Folien 1-89-91.
• Bitte:
Lesen Sie auch die zugehörige Literatur (Skript und Bücher) !
3
-7-
Einführung V
Worum es geht
(B) Stromlehre
(A) Elektromagnetische Feldtheorie
Elektrische und magnetische
Felder: E, D, B, H.
Das elektrische Strömungsfeld: J.
Bauelemente:
R, C, L, M.
«Übersetzung»
Netzwerke und Schaltungen: u, i.
• Gleichstrom/-spannung
• Wechselstrom/-spannung
-8-
Grundlagen der Elektrotechnik GET 2
4. Bauelemente
• Bezugspfeile
• Bezugspfeile und Netzwerke
• Elektrische Quellen
• Der elektrische Widerstand
• Der Kondensator
• Die Spule
• Gekoppelte Spulen
[Buch GET 1: Seiten 258-401]
• Der Transformator
4
-9-
Voraussetzungen I
Energetische Verhältnisse in den Bauelementen
Aktive / passive elektrische Bauelemente:
• Passive Bauelemente:
• Elektrische Energie wird in Wärme umgewandelt (Verbraucher), gespeichert oder
übertragen.
• Ohne Anlegen einer elektrischen Spannung
fliesst auch kein Strom.
• Wichtige passive Bauelemente: Widerstand,
Kondensator, Spule, Transformator.
• Aktive Bauelemente:
• Es fliesst ein Strom auch ohne Anlegen einer
elektrischen Spannung.
• Elektrische Quellen (oder genauer: elektrische Energiewandler, da es keine
«Energiequellen» im eigentlichen Sinn gibt).
-10-
Voraussetzungen II
Grössenverhältnisse der Bauelemente
Zeitskalen der Anregung elektrischer Bauelemente:
Elektromagnetische
Welle (Anregung)
Ein Bauelement heisst «konzentriertes Bauelement», falls dessen
charakteristische Abmessung viel kleiner als die Wellenlänge der anregenden Grösse ist. Die räumliche Variation der elektrischen Grössen entlang des Bauelements ist vernachlässigbar.
Netzwerke bestehen aus konzentrierten Bauelementen.
c
= 0
20 20 f
5
-11-
Voraussetzungen III
Idealisierung von Bauelementen
Netzwerkelemente:
• Realen elektrischen Bauelementen
werden Idealisierungen zugeordnet: Netzwerkelemente.
Netzwerkelement
Klemme
i
Klemme
u
• Netzwerkelemente sind mathematische Modelle zur Beschreibung
der Haupteigenschaften von
elektrischen Bauelementen.
• Netzwerkelemente (Modelle)
werden mittels (Schalt-) Symbol
gekennzeichnet.
(2) Netzwerkanalyse:
Netzwerkelement
Mathematisches Modell
• Eine Schaltung realer Bauelemente
idealisiert sich zu einem Schaltplan
von Netzwerkelementen.
Elektrisches
Netzwerk
Gleichungssystem
• Ein solcher Schaltplan heisst
«elektrisches Netzwerk».
-12-
Bezugspfeile I
Bezugspfeil der elektrischen Spannung
1
E
2
u = E ds
2
1
E
ds
u12 > 0
a)
1
b)
2
ds
u12 < 0
• Bezugspfeil der Spannung stets in Richtung des Wegelements.
• u > 0: Die Wegelemente (d.h. der Bezugspfeil) zeigen während
der Integration grösstenteils in Richtung der elektrischen
Feldstärke (Integral ist positiv).
• u < 0: Die Wegelemente sind grösstenteils entgegengesetzt zur
Richtung der elektrischen Feldstärke (Integral ist negativ).
6
-13-
Bezugspfeile II
Bezugspfeil der elektrischen Stromstärke
A
J
i
i
n
i >0
a)
i = J n
dA
n
i <0
b)
• Bezugspfeil der elektrischen Stromstärke stets in Richtung des
Flächennormalenvektors.
dF
A
J
• i > 0: Flächennormalenvektor zeigt in Richtung der elektrischen Stromdichte (Skalarprodukt ist positiv).
• i < 0: Flächennormalenvektor zeigt in die entgegengesetzte
Richtung der elektrischen Stromdichte.
-14-
Bezugspfeile III
Bezugspfeil des magnetischen Flusses
(1) Elektrische Stromstärke und magnetische Feldstärke:
m > 0
m < 0
H, B
n
H, B
A
ds
A
ds
n
nquer
a)
C
H ds =
Aquer
i >0
J nquer dAquer
b)
nquer
i >0
• Bezugspfeil des Stromes i bestimmt nquer.
• Bezugspfeil des Stromes i ordnet die Rich
tung von ds im Rechtsschraubensinn zu.
• nquer und ds bilden Rechtsschraubensystem.
7
-15-
Bezugspfeile IV
Bezugspfeil des magnetischen Flusses
(2) Stromstärke, magnetische Feldstärke und magnetischer Fluss:
i=
Aquer
J nquer dAquer = H ds
C
Bezugspfeil
Rechtsschraubensinn
nquer i «willkürlich»
i > 0 J nquer > 0
i < 0 J nquer < 0
«willkürlich»
Bezugspfeil
m n m > 0 B n > 0
m = B n dA
A
m < 0 B n < 0
ds
i > 0 H ds > 0
i < 0 H ds < 0
B H
-16-
Bezugspfeile V
Bezugspfeil des magnetischen Flusses
(3) Bezugspfeilordnung beim Induktionsgesetz:
n
m
R
n
uind
a)
iind
iind =
d
d
uind = E
A ds = dt m = dt
uind
R
b)
B
n dA
A
m
uind
(a) Die Bezugspfeile der
induzierten
Stromstärke iind
und des
magnetischen
Flusses m
bilden ein
Rechtsschraubensystem.
(b) Der Bezugspfeil der induzierten
Spannung uind und der Bezugspfeil
des magnetischen Flusses m
bilden ein Rechtsschraubensystem.
8
-17-
Bezugspfeile VI
Netzwerkelemente und Bezugspfeile
(1) Mögliche Zuordnung der Bezugspfeile:
Netzwerkelement
Netzwerkelement
i
a)
i
u
u
b)
Netzwerkelement
Netzwerkelement
i
c)
E, J
i
u
u
d)
Die Richtungen der Feldgrössen werden durch die
Physik vorgegeben.
u, i
Die Bezugspfeile der elektrischen
Grössen Spannung und Strom
können willkürlich gewählt werden.
-18-
Bezugspfeile VII
Netzwerkelemente und Bezugspfeile
(2) Konsequenzen der «willkürlichen» Bezugspfeilordnung:
E, J
u = + E i = + J A
u = E i = + J A
u = E i = J A
u = + E i = J A
9
-19-
Bezugspfeile VIII
Netzwerkelemente und Bezugspfeile
(2) Konsequenzen der «willkürlichen» Bezugspfeilordnung:
Wir berücksichtigen den festen, physikalischen Zusammenhang
zwischen den beiden Feldgrössen (Folie 1-134):
J = E
( a ) u > 0; i > 0
u=+
i = +R i
A
p = + u i = R i 2 =
u2
R
( b ) u < 0; i > 0
u=
i = R i
A
p = u i = R i 2 =
u2
R
( c ) u < 0; i < 0
u=+
i = +R i
A
p = + u i = R i 2 =
u2
R
( d ) u > 0; i < 0
u=
i = R i
A
u2
p = u i = R i =
R
2
-20-
Bezugspfeile IX
Netzwerkelemente und Bezugspfeile
(2) Konsequenzen der «willkürlichen» Bezugspfeilordnung:
• Gleichsinnige Bezugspfeile führen jeweils zur üblichen Schreibweise u = + R·i des
ohm’schen Gesetzes. Bei gegensinnigen Bezugspfeilen gilt demnach u = R·i.
• Die in Wärme umgesetzte Leistung (Verlustleistung = vom passiven Element aufgenommene Leistung) ist stets positiv. Dies erfolgt direkt nur bei gleichsinnigen Bezugspfeilen, bei gegensinnigen Bezugspfeilen gilt demnach das negative Produkt p = u·i.
• Bei aktiven Elemente, ist die abgegebene Leistung positiv, was direkt nur bei den
entgegengesetzten Bezugspfeilen erfolgt.
(4) Konvention: das Verbraucherbezugspfeilsystem:
u
u
«gleichsinnig»
i
a)
Passives Bauelement
«gegensinnig»
i
b)
Aktives Bauelement
10
-21-
Elektrische Quellen I
Beispiele elektrischer Quellen
(1) Das Normalelement von Weston:
CdSO4
Hg2SO4
CdSO4
Cd
U0
+
• In einer elektrischen Quelle
werden Ladungen mittels EMK
(«treibende» Kraft nichtelektrischer Natur, cf. Folie 1-243)
getrennt.
• Elektrochemische EMK: Cadmiumsulfat-Lösung mit Quecksilber-Anode (+) und CadmiumKathode (–).
Hg
–
• Es gibt keine Energiequellen,
sondern nur Energiewandler.
Klemmen
U0 = 1.0813 V (Spannungsnormal, i < 1 mA,
bei 20°C, ändert wenig mit der Temperatur).
• Cd ist unedler als Hg und geht
bei der Kathode in Lösung. Bei
der Anode verbinded sich Cd ++
mit Hg2SO4 und bildet dort CdSO4
und metallisches Hg.
-22-
Elektrische Quellen II
Beispiele elektrischer Quellen
(2) Der Blei-Akkumulator:
–
U0
+
PbO2 PbSO4
Pb PbSO4
iLaden
H2SO4 + H2O
iEntladen
Chemische
Bindungsenergie
• Gebräuchlichster elektrischer Energiespeicher
(Automobilindustrie)
• Zwei Bleisulfatelektroden
(PbSO4) in verdünnter
Schwefelsäure (H2SO4).
• Laden:
elektrische chemische
Energie
Bindung
Elektrische
Energie
• Entladen:
chemische elektrische
Bindung
Energie
11
-23-
Elektrische Quellen III
Beispiele elektrischer Quellen
(2) Der Blei-Akkumulator:
Ladevorgang:
Positive Elektrode (Anode):
PbSO4 + SO4-- + 2H2O 2(-e) = PbO2 + 2H2SO4
Negative Elektrode (Kathode):
PbSO4 + H2++ + 2(-e) = Pb + H2SO4
–
«laden»
Elektronenstrom
H2++
2(-e)
SO4--
H2SO4 + H2O
PbSO4 Pb
+
2(-e)
PbSO4 PbO2
Entladevorgang:
Positive Elektrode (Anode):
PbSO4 + H2++ + H2SO4 = PbSO4 + 2H2O 2(-e)
Negative Elektrode (Kathode):
Pb + SO4-- = PbSO4 + 2(-e)
–
«entladen»
Ionenstrom
SO4--
2e–
H2++
H2SO4 + H2O
Pb PbSO4
+
2e–
PbO2 PbSO4
-24-
Elektrische Quellen IV
Beispiele elektrischer Quellen
(2) Der Blei-Akkumulator:
• Beim Entladevorgang ist die
Spannung über eine bestimmte Zeit nahezu konstant.
U0
V
2,8
• Die Spannung hängt zudem
von der Grösse des bei der
Entladung fliessenden Stromstärke ab.
2,6
Laden
2,4
2,2
• Ladungszustand lässt sich
anhand der Spannung am
Akkumulator bestimmen.
Entladen
2,0
1,8
1,6
0
2
4
6
8
10
12 h t
12
-25-
Elektrische Quellen V
Beispiele elektrischer Quellen
• Drehende Leiterschleife
im Magnetfeld.
(3) Elektromechanische Energiewandler:
• Spannungserzeugung
durch Induktion.
IE
B
B
n
A
• Abgriff über Schleifringe.
u
u
a
t =0
b
Elektromagnet zur Erzeugung
des statischen Magnetfeldes.
Bewegte, d.h. drehende Leiterschleife zur
Erzeugung der (induzierten) Quellenspannung.
-26-
Elektrische Quellen VI
Beispiele elektrischer Quellen
(3) Elektromechanische Energiewandler:
A
B
n
A
u
a
b
u=
m ( t ) = B n ( t ) dA =
n
t =0
t
d m
d B abcos ( t )
=
dt
dt
= B ab sin ( t ) = û sin ( t )
{
û
}
= B ab
cos ( t )
A
• Wird ein Verbraucher
angeschlossen, dann
fliesst ein Strom, bzw.
es wird elektrische
Energie umgesetzt.
• Die verbrauchte Leistung wird an der Welle
mechanisch erbracht.
13
-27-
Ideale elektrische Quellen I
Elektrisch starre Quellen
(1) Urspannungsquelle:
u0
(2) Urstromquelle:
Verbraucherbezugspfeilsystem: Quellen
haben gegensinnige
Bezugspfeile !
u
Schaltsymbol
i0
i
u
u-i-Kennlinie
u
u0
i0
i
u = u0 i
i = i0 u
: Urspannung
i
: Urstromstärke
Leerlauf: u ( Rinnen = )
Kurzschluss: i ( Rinnen = 0)
-28-
Ideale elektrische Quellen II
Gesteuerte Quellen
1
u1
1´
1
u1
1´
u0 = f (u1 )
2
2´
a)
1
i0 = f (u1 )
2
2´
c)
i1
1´
1
2´
2
b)
d)
(b) Stromgesteuerte
Spannungsquelle.
(c) Spannungsgesteuerte
Stromquelle.
i1
1´
(d) Stromgesteuerte
Stromquelle.
u0 = f (i1 )
2
(a) Spannungsgesteuerte Spannungsquelle.
i0 = f (i1)
2´
Beispiel (Folie 25):
u = f ( IE )
14
-29-
Der elektrische Widerstand I
Netzwerkelement und Symbol
Definitionen des ohm’schen Widerstands:
R
R
i
a) Schaltsymbol
u = Ri
R=
u
b)
Bezugspfeile
i = G u
[ R ] = u V
= =
i A
A
Elektrischer Widerstand in Ohm.
G=
A
[G ] = Elektrischer Leitwert
in Siemens.
i 1
=
=
u R A
= = 1 = S
V
-30-
Der elektrische Widerstand II
Strom-Spannungs-Kennlinien
Die Widerstandskennlinie:
u
R bzw. G ist die Steigung der entspr. Kennlinie.
u
=
i
u u
= 2 1
i2 i1
i
R3 = 10 V
R2 = 5
6
1,2
G2 = 0,2S
0,2
5
R=
G1 = 1S
A
0,8
4
u2
3
u
u1
2
i
R1 = 1
1
0
i1
0
0,8 1,0 A i
i
=
u
i i
= 2 1
u2 u1
G=
0,4
0,2
0
i2
0,2 0,4 0,6
G3 = 0,1S
0,6
0
1
2
3
4
5 V u
15
-31-
Der elektrische Widerstand III
Die Verlustleistung am elektrischen Widerstand
Verlustleistung als Funktion der elektrischen Grössen:
p
p
W
25,0
W
100
Die Leistung p wird
dem elektrischen
System entzogen
bzw. in Wärme
umgewandelt:
Verlustleistung.
R2 = 4 G1 = 1S
75
18,75
12,5
50
G2 = 0,25 S
R1 = 1
25
6,25
Quadratisches
Verhalten.
0
0
0
1
2
3
4
5
V
p = u i = Ri 2 =
u2
R
u
0
1
2
3
4
5
A
[ p ] = [u i ] = VA = W
i
Die Leistung
in Watt.
-32-
Der elektrische Widerstand IV
Technische Bauformen
(1) Der Drahtwiderstand:
Schutzschicht
Anschlusskappe
• Aufgewickelter Draht aus
Widerstandsmaterial wie
Nickelin, Manganin, usw.
(cf. Folien 1-138, 1-141).
• Werte: 1 bis 100 k.
• Präzis einstellbar, dafür
teuer.
• Auch für grosse Verlustleistung erhältlich.
Widerstandsdraht
Wickelkörper
24 – 82 k / 6 W
1 – 22 / 50 W
16
-33-
Der elektrische Widerstand V
Technische Bauformen
(2) Der Massewiderstand:
Schutzschicht
Anschlusskappe
• Körper gefüllt mit homogener Widerstandsmasse
wie Bindemittel mit Russ
oder Graphit.
• Werte: 10 bis 1 G.
• Sehr geringe Herstellungskosten, dafür sind die
Toleranzen der Widerstandswerte gross.
Widerstandsmasse
• Diese Bauform eignet
sich für grosse Stückzahlen.
2.4 M / ± 20%
• Typischer Einsatz in der
Konsumerelektronik.
-34-
Der elektrische Widerstand VI
Technische Bauformen
(3) Der Schichtwiderstand:
Schutzschicht
i
a
Anschlusskappe
• Dünne Metall- oder Kohleschicht, ergibt Widerstand:
R=
a2 i2
(
)
• Werte: 1 bis 100 k.
Widerstandsschicht
• Diese Bauform eignet
sich für genaue Widerstände, d.h. mit kleinen
Toleranzen und für grosse
Stückzahlen.
56 k / ± 1%
(Metallschicht)
17
Der elektrische Widerstand VII
-35-
Technische Bauformen
(4) Farbcode für Widerstandswerte (DIN IEC 62):
}
2.4 M / ± 5%
Farbe
A
B
C
Multiplikator
Kohle-Schichtwiderstände
Metall-Schichtwiderstände
Toleranz
Temperaturkoeffizient
Der elektrische Widerstand VIII
-36-
Technische Bauformen
(4) Farbcode für Widerstandswerte (DIN IEC 62):
± 5%
24 100 k
2.4 M / ± 5%
18
-37-
Der elektrische Widerstand IX
Technische Bauformen
(5) Internationale Normenreihe für Widerstandswerte (E-Reihen, DIN IEC 63):
{
En = Enk Enk = 10round
(
n
}
)
10 k ; k = 0,1,…, n 1
E 6:
10 15 22 33 47 68
± 20%
E 12:
10 12 15 18 22 27 33 39 47 56 68 82
± 10%
E 24:
10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 …
± 5%
E n:
n = 6, 12, 24, 48, 96, 192.
(6) SMD-Widerstände (Surface Mounted Device):
0.2 mm 0.4 mm
Beschriftete Widerstände mit sehr kleinen Abmessungen für eng bedruckte Schaltungen
E 24:
2.4 24 240 k
2R4
24R
244
4: Anzahl Nullen
R [1,10] R ]10,100] R ]100,107] ± 5%, ± 2%
± 5%, ± 2%
± 5%, ± 2%
Der elektrische Widerstand X
-38-
«Extreme» Widerstandsbauformen
Hochleistungswiderstand:
(Lokomotivbau, usw.)
Widerstandssensor
(Nano-Thermometer)
SMD-Widerstände
110 kW / 1.8 m
Mikrowellen-Widerstände (SMD)
(cf. Folie 10)
19
-39-
Der Kondensator I
Die Parallelplatten-Anordnung
Prinzipieller Aufbau:
• Wichtig: Siehe hierzu auch Folien
1-58, 1-87 bis 1-88 (Ladung und
D-Feld) und 1-89 (Ladung und
Spannung) bzw. Folie 1-107 zum
Energieinhalt !
A
+Q
r
d u
• Zweielektrodenanordnung: Mit dem
Anlegen einer Spannung wird ein
elektrisches Feld dazwischen ausgebildet und Ladungen auf die Platten
aufgebracht: Speicherung von Ladungen und elektrischer (Feld-)Energie.
E, D
• Eine solche Anordnung (ein solches
elektrisches Speicherelement) heisst
«Kondensator».
Q
• Der Vorgang des «Aufbringens»
heisst «laden» des Kondensators.
-40-
Der Kondensator II
Laden des Kondensators
(1) Der Ladevorgang:
+Q
Q=0
- +- +- +- +- +- +- ++- +- +
E
U0
- +- +- +- +- +- +- ++- +- +
U0
+ + + + + + + + + +
E
- - - - - - - - - -
Q
Q=0
+
a)
t <0
Keine Spannung,
kein Feld,
keine Ladung.
iL
-
b)
t=0
Spannung wird angelegt,
es existiert ein E-Feld,
es erfolgt Ladungstrennung durch Influenz.
c)
t >0
iL
U0
Spannungsquelle
liefert positive
Ladung auf die
obere Platte und
negative Ladung
auf die untere
Platte.
alternative
Lesart !
Quelle «saugt» auf der oberen Platte
die negative Träger ab und schiebt
sie auf die untere Platte, wo sie die
positven Ladungen kompensieren.
«Schieben» Ladestrom iL.
20
-41-
Der Kondensator III
Laden des Kondensators
(2) Fazit:
• Der Kondensator speichert die positive Ladung auf der einen Platte und die
gleiche Menge an negativer Ladung auf der gegenüberliegenden Platte.
• Durch das zwischen den Platten existierende elektrische Feld speichert der
Kondensator auch elektrische (Feld-)Energie.
• Im geladenen Zustand kann keine Energie mehr zugeführt werden, d.h. es
kann kein Strom mehr fliessen.
Bei Anlegen einer Gleichspannung an den Kondensator fliesst, abgesehen vom Ladestrom, kein elektrischer Strom über den Kondensator.
• Das bleibt so, solange nichts an der Kondensatoranordnung geändert wird,
d.h. es bleibt so, selbst wenn die Spannungsquelle abgehängt wird.
• Wird der geladene Kondensator an einen Widerstand angeschlossen, so
fliesst ein Strom, der Kondensator wird entladen. Durch den Entladestrom
werden die positiven und negativen Ladungen ausgeglichen, d.h. alle
gespeicherten Grössen werden abgeführt.
-42-
Der Kondensator IV
Die Kapazität des Kondensators
Bezugspfeile und Bezugsgrössen:
Verbraucherbezugspfeilsystem !
i (t )
+Q ( t )
E ( t ) ,D ( t )
u (t )
u (t )
Q ( t )
• Vereinbarung: Unter Ladung Q
wird die Ladung verstanden,
die sich auf der Elektrode befindet, an welcher der Bezugspfeil der Spannung beginnt
(siehe hierzu auch Folie 1-107).
• Spannung und Ladung verhalten sich im Kondensator proportional zueinander (siehe
Folien 1-89 und 1-106).
• Die Proportionalitätskonstante
heisst Kapazität C:
C=
Q
u
[C ] =
As s
= =F
V Die Kapazität
in Farad.
Q=
0 r A
u =:C u
d
21
-43-
Der Kondensator V
Ladungstransport bei zeitlich variierender Spannung
(1) Zur Stromstärke:
i (t )
Verbraucherbezugspfeilsystem !
• Varierende Spannung (z.B. eine
Wechselspannung) am Kondensator: ständiger Lade- und Entladevorgang.
+Q ( t )
E ( t ) ,D ( t )
u (t )
u (t )
Q ( t )
• Gemäss Folie 42 wird auch
ständig Ladung aufgebracht
bzw. weggeführt: es fliesst ein
Strom, solange u(t) sich ändert:
i (t ) =
Die elektrische Stromstärke i(t) am Kondensator
ist proportional zur zur Zeitableitung der Spannung,
mit der Kapazität C als Proportionalitätskonstante.
dQ ( t ) 0 r A du ( t )
=
dt
dt
d
i (t ) = C du ( t )
dt
-44-
Der Kondensator VI
Ladungstransport bei zeitlich variierender Spannung
(2) Alternative Interpretation zum Stromfluss:
i = J nL dA
AL
AK
J (t )
nL
AL
AK
H (t )
i (t )
• Frage : Fliesst der Strom
i(t) am, zum oder durch den
Kondensator?
• Stromfluss i(t) verändert aber
laufend die Ladungen ± Q(t).
+Q ( t )
n
D (t )
H (t )
u (t )
i (t )
H (t )
Q ( t )
u (t )
• Die Elektrodenladungen sind
Anfangs- und Endpunkte der
elektrischen Flussdichte D.
Q = D n
dA
dF
Ak
dQ d
=
dt dt
D
dA = i
n
Ak
dF
22
-45-
Der Kondensator VII
Ladungstransport bei zeitlich variierender Spannung
(2) Alternative Interpretation zum Stromfluss:
dQ d
=
i = J nL dA =
dt dt
AL
dD D
n
dA
=
n
dA
:=
J
A A dt
A D n dA
k
k
k
dF
interessante Interpretation !
i (t ), j (t )
• Es sieht so aus, als würde die Leitungsstromdichte J zwischen den Platten
durch die sogenannte Verschiebungsstromdichte JD = dD/dt fortgesetzt, falls
die Elektrodenladungen zeitabhängig
sind.
dD
dt
• Die Verschiebungsstromdichte schliesst
den Stromkreis Quelle-Kondensator;
selbst bei Vakuum (!) zwischen den
Elektrodenplatten.
u (t )
i (t ), j (t )
-46-
Der Kondensator VIII
Ladungstransport bei zeitlich variierender Spannung
(2) Alternative Interpretation zum Stromfluss:
• Frage : Ist die Verschiebungsstromdichte dD/dt wirklich eine physikalische
Stromdichte zumal ja keine Ladungsträger zwischen den Platten fliessen?
• Besser: Hat dD/dt die gleichen Eigenschaften wie eine reale Stromdichte?
Will heissen: Kann die Verschiebungsstromdichte dD/dt auch ein Magnetfeld erzeugen?
dD
dt
H
i (t )
H
• Antwort : Aus der Kontinuität von dD/dt
und der Stromdichte J folgt über das Durchflutungsgesetz der Nachweis des H-Feldes:
u (t )
i (t )
H
i=
H
ds =
C
dD n dA
= J nL dA = dt
AL
Ak
23
-47-
Der Kondensator IX
Ladungstransport bei zeitlich variierender Spannung
(3) Das verallgemeinerte Durchflutungsgesetz:
d
H
d
s
=
J
C
A n dA + dt
D
n dA
A
(cf. Folie 1-193)
Antworten:
Der Strom fliesst bei zeitlich veränderlicher
Anregung «durch» den Kondensator.
Der Verschiebungsstrom ist ein real existierender Strom, der auch im Vakuum
«fliessen» kann. Im Dielektrikum lässt sich
dieser Wechselstrom über die zeitlich veränderliche Polarisation versinnbildlichen.
• Elektrische Ströme i / Stromdichten
J, als auch Verschiebungsströme /
Verschiebungsstromdichten dD/dt
sind Erzeugende des magnetischen Feldes.
• Beide bestimmen das Magnetfeld
in ihrer Umgebung entsprechend
des um die Gesamtstromdichte
erweiterten Durchflutungsgesetzes
(siehe auch Folie 1-193):
dD
J ges = J +
dt
-48-
Der Kondensator X
Netzwerkelement und Symbol
(2) Definitionsgleichung:
(1) Schaltsymbol:
C
i
u
Q = C u
Verbraucherbezugspfeilsystem !
(3) Spannungen und Ströme:
i = C
du
dt
t
1
u = i ( ) d + U 0
C 0
Mathematisches Netzwerkmodell
des Kondensators.
«Eimer-Analogie»:
u: Füllstand; i: Volumenstrom; Q: Füllmenge
C: Querschnittsfläche des Eimers
24
-49-
Der Kondensator XI
Zeitliche Variation der
Zustandsgrössen
u (t ) :
u ( t ) := û sin ( t )
Q (t )
u, i , Q
u (t )
i (t )
Q (t ) u (t )
0
i ( t ) u ( t )
T 4
T 2
3T 4
T
t
a)
• Strom hat Nulldurchgang bei
Spannungsextremum.
u, i , Q
Q (t )
• Aus der Lage der Nulldurchgänge:
Der elektrische Strom eilt der
Spannung um T/4 voraus.
u (t )
i (t )
0
• Beim nichtsinusförmigen Verlauf
haben Strom und Spannung
nicht mehr dieselbe Form.
T 4
T 2
3T 4
T
t
b)
• Komplikation bei Digitaltechnik.
-50-
Der Kondensator XII
Im Kondensator gespeicherte Energie
+Q
0 r
d
A
E
D
u
Q
1 1 u Q
Wel = E D V = Ad
2
2 d A (Folie 1-107)
E
D
V
Im elektrischen Feld eines Kondensators wird Energie gespeichert. Sie
wird aus der Spannung u zwischen den
Elektroden, der Ladung Q auf den Elektroden und der Kapazität C bestimmt.
1
Wel = Qu
2
1
= C u 2
2
1 Q2
= 2 C
Gleichwertige
Austrücke für
die Energie.
25
-51-
Der Kondensator XIII
Spezielle Bauformen
siehe Folie 1-60
• Berechnung des elektrischen Flusses e
durch die (gestrichelte) Kugelhüllfläche A:
(1) Der Kugelkondensator:
e = D n dA =
A
n
dA
=
D
=
D
dA =
A
A
2
dA
=
4
r
D
=+ Q
= D A
• Aus Symmetriegründen ist das D-Feld
rein radial gerichtet, wie auch der Flächennormalenvektor.
Aus Symmetriegründen ist das D-Feld
auf der konzentrischen Hüllfläche konstant.
-52-
Der Kondensator XIV
Spezielle Bauformen
(1) Der Kugelkondensator:
E
E
Dielektrikum
Metall
+Q
D =
4 r 2
E =
max
~
E
Luft
Metall
1
r2
min
0
ri
rai
ra
+Q
4 0 r r 2
E max =
+Q
4 0 r ri2
E min =
+Q
4 0 r rai2
r
26
-53-
Der Kondensator XV
Spezielle Bauformen
(1) Der Kugelkondensator:
• Die Spannung u:
rai
rai rai rai u = E ds = E dr = E dr = E n dr = E dr
rai
ri
=
ri
+Q
rai
4 r
2
ri
+Q
4 0 r
dr =
0 r
ri
ri
ri
siehe Folie 42
Q
r r
1
=
ai i
4 0 r rai ri
r ri
rai
• Die Kapazität C:
Die Kapazität C ist wie aus Folie 42
auch hervorgeht, nur von der Geometrie und dem Material abhängig.
C , falls der Abstand null wird.
Q
4 0 r rai ri 4 0 r
C =
=
= 1 1
rai ri
u
ri rai
(
)
-54-
Der Kondensator XVI
Spezielle Bauformen
(2) Der Zylinderkondensator:
D
E
ai
a
E, D
n
i
u
+Q
0 r
n
n
Q
u
0 r
• Idealisierung:
>> , d.h. vernachlässige die
Streufelder.
• Es gibt daher
nur radial ausgerichtete
Felder.
• Aber:
In der Praxis
sind die Kondensatoren
eher «kurz».
27
-55-
Der Kondensator XVII
Spezielle Bauformen
(2) Der Zylinderkondensator:
• Berechnung des elektrischen Flusses e durch die Zylindermantelfläche AM:
e = D
n
dA
=
D
n
dA
=
D
dA
=
D
dA
=
2
D
=Q
A
D =
E =
Q
2 E max =
u=
AM
ai
i
Q
2 0 r i AM
AM
• Berechnung der Kapazität C:
Q
2 0 r E min =
ai
ai E ds = E d = i
i
C=
Q
2 0 r ai Q 2 0 r =
u
ln ai i Q
Q
d =
ln ai 2 0 r 2 0 r i -56-
Der Kondensator XVIII
Spezielle Bauformen
(2) Der Zylinderkondensator:
E
E
Metall
Dielektrikum
Luft
E =
max
~
E
Metall
E max =
1
Q
2 0 r i Q
E min =
2 0 r ai min
0
0
i
Q
2 0 r ai
a
28
-57-
Der Kondensator IXX
Technische Bauformen
Dielektrikum
Metall
(a) Wickelkondensator.
Metall
(b) Scheibenkondensator
Metall
a)
Dielektrikum
(c) Röhrenkondensator
0.1 pF – 0.1 F
Dielektrikum
Dielektrikum Drahtring
(d) ChipKondensator.
Dielektrikum
MetallBelegung
Metall
Lot
b)
c)
Zuleitungen
d)
MetallBelegung
Zuleitungen
0.5 F – 10 mF
Nicht abgebildet:
Elektrolytkond.,
Tantalkond.
-58-
Der Kondensator XX
Technische Bauformen
Kennzeichnung der Kapazitätswerte:
Kennwerte von Zylinder-Kondensatoren
(i.e. Röhrenkondensatoren):
Grundfarbe
50 V A
B
Mult. Tol.
16 V -,25 V-
grün
violett
siehe Tabelle
nächste Folie
Werkstoffe, hier nicht weiter
spezifiziert
29
-59-
Der Kondensator XXI
Technische Bauformen
Kennzeichnung der Kapazitätswerte:
Kennwerte von KeramikScheibenkondensatoren:
Kapazitätswerte werden
aufgedruckt:
p63
= 0.63 pF
6p3
= 6.3 pF
63p
= 63 pF
n63
= 0.63 nF = 630 pF
6n3
= 6.3 nF
Grundfarbe des Kondensatorkörpers kennzeichnet die Werkstoffklasse, die Farbe der
oberen Kappe das Material.
Toleranzwerte werden mit
Kennbuchstaben gemäss
Tabelle angegeben.
-60-
Der Kondensator XXII
Superkondensatoren als Energiespeicher
Elektrolyt-Kondensatoren («Elkos»):
• Elektrolyt (flüssig, feucht) als
Dielektrikum.
• Achtung! Polarität der Anschlüsse ist stets zu beachten!
Kondensatorbank z.B. für die
unterbruchsfreie Stromversorgung
von Rechnern und Kleinanlagen.
3000 F !
30
-61-
Die Spule I
Die Toroidspule
(1) Aufbau und Abmesssungen:
Mit r >> 100:
• Tritt das Magnetfeld nur im Eisenkern auf.
• Ist das Magnetfeld homogen
verteilt bezüglich
der Breite b.
-62-
Die Spule II
Die Toroidspule
(2) Zum Betriebsverhalten:
Fall #1: Spule an Gleichspannung U:
I=
• Es fliesst, abgesehen vom Einschaltvorgang, der Strom I, welcher
nur durch den ohmschen Widerstand des Spuhlendrahtes gegeben ist.
Fall #2: Spule an Wechselspannung u:
• Die Zeitabhängigkeit der Spannung u(t) sei sinusförmig
bzw. kosinusförmig und charakterisiert durch den
Scheitelwert û und die Kreisfrequenz .
• Verhältnis zwischen Strom und Spannung lässt sich hier nicht
mehr so ohne Weiteres angeben!
• Wirkungen des Magnetfeldes müssen in das «Verhältnis» mit
einbezogen werden.
U
R
u = û cos ( t )
u
i
H,B
• Stichwort: Induktionsgesetz.
31
-63-
Die Spule III
Die Toroidspule
(2) Das Magnetfeld:
• Gebrauch des Durchflutungsgesetzes:
H ds = H ds
C
C
w i
H =
2 r
= H ds = H 2 r = = w i
C
w i
B = μ0 μr H = μ0 μr 2 r
Aus Symmetriegründen ist das H-Feld wie auch der
Integrationsschritt ds auf C gleichsinnig gerichtet.
Aus Symmetriegründen ist das H-Feld entlang
des Integrationsweges C konstant.
-64-
Die Spule IV
Die Toroidspule
(2) Das Magnetfeld:
B
Luft
Eisenkern
wi
2 ri
wi
μ 0 μr
2 rm
μ 0 μr
μ 0 μr
~
Luft
1
r
• Die magnetische
Flussdichte variiert
mit dem Radius r,
d.h. entlang der
Dicke a der Toroidspule.
wi
2 ra
ri
rm
• Die magnetische
Flussdichte ist
konstant entlang
der Breite b.
ra
r
32
-65-
Die Spule V
Die Toroidspule
(2) Der magnetische Fluss:
ra
μ0 μr wi
1
m = B n dA =
b dr
2
r
A
ri
μ0 μr wb ra ln i
2
ri m =
Näherungsrechnung für kleine Werte der Dicke a; d.h. die magnetische Flussdichte ist
näherungsweise konstant über den Querschnitt A = a·b.
a = ( ra ri ) klein
μ μ w i μ0 μr w i
B Bm = 0 r
=
= const.
2 rm
rm =
m Bm n A
μ0 μr w A
i
(
)
m =
ra + ri
2
-66-
Die Spule VI
Die Toroidspule
(3) Zum Induktionsgesetz:
• Induzierte Spannung in einer Windung
gemäss der magnetischen Flüsse aus
Folie 65:
(A) exakt:
d m
=
dt
μ μ wb ra di
= 0 r
ln 2
ri dt
uind = (vergleiche hierzu auch Folien 1-285 ff.)
uind
(B) genähert:
d m
=
dt
μ μ w A di
= 0 r
dt
uind = uind
33
-67-
Die Spule VII
Induzierte Spannung und induktive Spannung
Verbraucherbezugspfeilregelung für Spannung und Strom:
R
iind < 0
a)
i >0
B
d m
dt
1
n
>0
u=+
d m
dt
1‘
R
uind < 0
iind > 0
b)
i >0
B
n
d m
1
dt
>0
• Angelegte Spannung u bewirkt einen
elektrischen Strom i in der Schleife
(Richtungen nach dem Verbraucherpfeilsystem).
• Annahme: Es sei du/dt > 0 und somit
auch di/dt > 0.
• Magnetische Flussdichte B und Flächennormalenvektor sind gleichsinnig gerichtet.
<0
u=+
d m
1‘
dt
<0
uind > 0
• Magnetischer Fluss m mit Bezugspfeil entsprechend dem Flächennormalenvektor
wird daher positiv berechnet: dm/dt > 0.
• Induzierte Spannung uind in einer Windung, die im Rechtsschraubensinn zum
Flächennormalenvektor gezählt wird, ist
wegen uind = – dm/dt negativ !
-68-
Die Spule VIII
Induzierte Spannung und induktive Spannung
Verbraucherbezugspfeilregelung für Spannung und Strom:
• Maschenspannung in der Leiterschleife
(cf. hierzu auch Beispiel aus Folie 1-266):
Ri ( t ) u ( t ) = uind = R0:
d m
dt
(ideale Spule ohne ohm’schen Widerstand)
d m
dt
d m
=+
dt
u ( t ) = uind = u ( t ) = uind
u = uind
Induktive elektrische
Spannung
Fliesst durch die Leiterschleife
(Spule) ein zeitabhängiger elektrischer
Strom, so wird in der Schleife eine
Spannung uind induziert, welche den
Aufbau des Magnetfeldes (bzw. den
Stromfluss) zu verhindern versucht
(Lenz’sche Regel). Es muss von
aussen eine Spannung u angelegt
werden, die gerade uind kompensiert,
damit ein Strom fliessen kann.
Haben die Spannung u und der
Strom i gleichgerichtete Bezugspfeile (Verbrauchersystem), dann ist die
Spannung u gleich der negativen
induzierten Spannung uind und heisst
«induktive elektrische Spannung».
34
-69-
Die Spule IX
Der verkettete magnetische Fluss
• Bisherige Betrachtungen waren
bezüglich einer Windung.
Spule mit w Windungen:
• Bei w Windungen umschliesst der
Spulendraht den magnetischen
Fluss m w mal; oder:
• Der magnetische Fluss m durchsetzt die vom Spulendraht aufgespannte Fläche w mal. Damit ist:
u = w
d m d
=:
dt
dt
• Die Grösse = w·m heisst
verketteter magnetischer Fluss.
• Einheit: [ ] = [m ] = Vs = Wb.
Induktive elektrische Spannung
-70-
Die Spule X
Die Induktivität der Spule
Beispiel: «Toroidspule»
(A) exakt:
(B) genähert:
(C) allgemein:
= w m =
μ0 μr w 2b ln
2
μ0 μr w 2 A
= w m =
i
( ) i
ra
ri
L=
μ0 μr w 2b ln
2
μ0 μr w 2 A
L=
(
= L i
Der mit der Spule verkettete magnetische Fluss
ist direkt proportional zur Stromstärke i durch
die Spule. Die Proportionalitätskonstante heisst
Induktivität L der Spule. L hängt nur von der
Geometrie und dem Material der Spule ab.
( )
w 2 A 1
i
Vs
[L] = = H
A
ra
ri
)
L=
«Henry»
35
-71-
Die Spule XI
Zeitliche Variation der Zustandsgrössen
i , ,u
u = w
(t )
d m d
di
=
= L
dt
dt
dt
i (t)
u (t ) = L u (t)
di ( t )
dt
0
T 4
T 2
3T 4
T
t
Die elektrische Spannung u
eilt dem Strom i durch die
Spule eine Viertelperiode
voraus, bzw. der Strom i
ist nacheilend.
i ( t ) := iˆ cos ( t )
-72-
Die Spule XII
Netzwerkelement und Symbol
(1) Schaltsymbol:
u
(2) Definitionsgleichung:
a)
= L i
i
L
Verbraucherbezugspfeilsystem !
u
(3) Zum Netzwerkelement:
• Idealisierung besteht in der Ver-
b)
i
L
(4) Spannungen und Ströme:
di
u = L
dt
1
i = u ( ) d + I 0
L 0
nachlässigung des Drahtwiderstandes und der Wicklungskapazität.
• (a) Altes IEC-Symbol;
(b) Aktuelles DIN-Symbol.
Mathematisches
Netzwerkmodell
der Spule
36
-73-
Die Spule XIII
Energieinhalt der Spule
(1) Zur Induktivität der «rechteckigen» Spule:
μ 0 μr
A = a2
• Herleitung siehe Folien 1-283 bis 1-287:
A
a
1 1
Wm = H B V =: H BV
2
2
a
i
• Voraussetzungen: Lange Spule, Magnetfeld nur im Innern vorhanden; äusseres
Streufeld wird vernachlässigt:
w
H = H e B = B e
μ μ wi
wi
B= 0 r
2
= w m = w B n a
H=
(
)
-74-
Die Spule XIV
Energieinhalt der Spule
(1) Zur Induktivität der «rechteckigen» Spule:
• Induktivität: Zeigt den selben Ausdruck wie
bei der Näherungsrechnung für die ToroidSpule (Folie 70).
A
μ μ w2a2
= w B n a 2 = 0 r
i
(
)
μ0 μr w 2 a 2 μ0 μr w 2 A
L= =
=
i
• Formfaktor der Induktivität ist das Feldvolumen, welches wie folgt parametrisiert ist.
V = A
: Mittellinie
A: Querschnittsfläche
37
-75-
Die Spule XV
Energieinhalt der Spule
(2) Im Magnetfeld gespeicherte Energie:
Mit dem H- und dem B-Feld aus Folie 73 ergibt sich für die Energie:
μ μ wi
wi
1 wi μ0 μr wi
H=
B= 0 r
Wm = V
2
A
Äquivalente Darstellungen
1 μ0 μr w 2 A 2 1
2
Wm = i = L i
1
2
2
Wm = L i 2
2
1 μ0 μr w 2 A 1
1
Wm = i i = i Wm = i
2 2
2
1
2
2
1 2
1 μ μ w A
1 2
=
W
Wm = 0 r
=
m
2 L
2 2 L -76-
Die Spule XVI
Berechnung spezieller Induktivitäten
Beziehungen zur Induktivität:
= L i
u = L
di
dt
1
Wm = L i 2
2
L
L=
2Wm
i2
Die Induktivität lässt sich auch ohne verketteten Fluss, d.h. über den Energieinhalt
der Spule bestimmen: innere Induktivität.
Die Bestimmung von Induktivitäten soll
nun anhand von zwei Beispielen aus
der Praxis dargestellt werden. Hierbei
werden zwei verschiedene Anteile der
Induktivität in Erscheinung treten.
38
-77-
Die Spule XVII
Beispiel: «Zweidrahtleitung»
(1) Betrachtete Anordnung:
Aa: «äussere»
Fläche
Ai: «innere»
Fläche
• In der unendlich langen
Doppelleitung wird die
Fläche unendlich gross.
In der xy-Ebene:
H =
i i
ez ez
2 x
2 ( d x )
• Der magnetische Fluss
ist auch unendlich gross.
• Wie erfasst man L ?
• Induktivitätsbelag L’ = H/m
-78-
Die Spule XVIII
Beispiel: «Zweidrahtleitung»
(2) Die äussere Indukivität La:
Den verkettete Fluss durch die «äussere» Fläche mit der erzeugenden Stromstärke
in Verbindung bringen.
d 0
1
μ0i
1 a = ma = B n dA =
+
dx
2 0 x d x Aa
w=1
=
La =
negatives Vorzeichen
fällt weg, da das BFeld und der Bezugspfeil von m die gleiche
Richtung (-z) haben.
0 μ0i d 0 μ0i d 0 ln
ln d = ln 2 0 0 0
d 0 La a μ 0
=
=
ln i
0 0
d
La =
d
μ0
ln 0 39
-79-
Die Spule XIX
Beispiel: «Zweidrahtleitung»
(3) Der äussere Indukivitätsbelag La’:
La
μ0 0
0,2 cm
La =
0,4 cm
4
1,0 cm
d
μ0
ln 0 2,0 cm
2
0
0
2
4
6
8
10
12 cm
d
-80-
Die Spule XX
Beispiel: «Zweidrahtleitung»
(4) Die innere Indukivität Li :
Ai : «innere»Fläche
Ai = A1 + A2
• Durch die innere Fläche Ai
tritt auch ein verketteter Fluss.
• Symmetrie: Es muss der gesamte verkettete Fluss nur für
einen Leiter berechnet werden. Für beide Leiter gilt dann
entsprechend das Doppelte.
• Abstand d >> 0 der Leiter sei
gross: nur «eigenes» H-Feld
zählt innerhalb von 0.
• Im Leiterinnern A1 ist der Fluss
nicht mehr mit dem gesamten
Strom i verkettet; es gilt:
x2
i = 2 x = i 2
0 0
i
2
40
-81-
Die Spule XXI
Beispiel: «Zweidrahtleitung»
(4) Die innere Indukivität Li :
• Die Durchdringung des verketteten Flusses mit
dem zugehörigen «ortsabhängigen» Strom bedarf einer allgemeinen Fassung von = L·i.
• Wir gehen den anderen Weg über die Energie:
H =
Wmi =
μ μ i
B = 0 r 2 2 0
i
2 02
0
0
Folie 1-196
1 H B 2 d =
2
μ0 μr i 2 0 3
μ μ i d = 0 r
=
2
4
8 0
16
0
2
2
-82-
Die Spule XXII
Beispiel: «Zweidrahtleitung»
(4) Die innere Indukivität Li :
μμ
2W
Li = 2 2 mi = 0 r
4
i
Der Faktor 2 steht für die Berücksichtigung der beiden Leiter.
(5) Die gesamte Indukivität L:
μ d μμ
L = La + Li 0 ln + 0 r
4
0 Die Doppelleitung setzte sich aus
einem äusseren und inneren Bereich zusammen: Induktivitätsbeiträge können addiert werden.
(6) Der Induktivitätsbelag L’ der Doppelleitung :
L =
L μ0 d μr + ln
0 4 41
-83-
Die Spule XXIII
Beispiel: «Koaxialleitung»
(1) Zur Anordnung:
Leiterabschnitt
der Länge Das Magnetfeld der Koaxialleitung
wurde bereits auf Folie 1-208 bis
1-211 hergeleitet:
μμ i
B = 0 r 2 2 i
μ i
B= 0
2 μμ i
B= 0 r2
2 i
2 ai2 1 2
a ai2 -84-
Die Spule XXIV
Beispiel: «Koaxialleitung»
(2) Die äussere Indukivität La:
a = ma
ai
μi
μ i = B n dA = 0 d = 0 ln ai 2
2 i A
i
μ La = a = 0 ln ai i
2
i Die äussere Induktivität ergibt sich
aus der Verkettung des magnetischen
Flusses im «Leiterzwischenraum» mit
der erzeugenden Stromstärke.
(3) Die innere Indukivität Li:
Die innere Induktivität berechnet sich wiederum über die
Energie unter Berücksichtigung der magnetischen Felder aus
Folie 82. Die resultierenden Ausdrücke sind kompliziert und
sollen hier nicht explizit hergeleitet werden.
42
-85-
Die Spule XXV
Beispiel: «Koaxialleitung»
(3) Die innere Indukivität Li:
Wmi =
μ0 μr i 2 μ0 μr i 2
+
16 4
Beitrag des (einzigen)
Innenleiters (cf. Folien
81 und 82).
Li =
2 ai2
2 ai4
1
+
+
a2 ai2
a2 ai2
(
1 )
a
2 ln ai ai2
a2 + ai2 +
a2 ai2 4 ( a2 ai2 ) μ 0 μ r μ 0 μ r 2 ai2
2 ai4
a
+
1
+
+
2 ln 2
2
2
2
8
2 a ai ( a ai ) ai 2
a2 + ai2 1 2 ai 2 +
a ai 4 ( a2 ai2 ) -86-
Die Spule XXVI
Beispiel: «Koaxialleitung»
(3) Die innere Indukivität Li:
μ 0 μ r μ 0 μ r 2 ai2
2 ai4
a
Li =
+
1
+
+
2 ln 2
2
2
2
8
2 a ai ( a ai ) ai Beitrag des
Beitrag des
ai2
a2 + ai2 Innenleiters
Aussenleiters
1 2
+
2
2
2 (konstant)
(sehr klein)
a ai 4 ( a ai ) (4) Der Induktivitätsbelag der Koaxialleitung L’:
L = Li + La μ0 μr μ0
+
ln ai 8
2
i (siehe hierzu auch Folie 84)
43
-87-
Die Spule XXVII
Beispiel: «Koaxialleitung»
(5) Zum Induktivitätsbelag der Koaxialleitung:
La Li
,
μ0 μ0
8 8
Merke: Falls i gross wird,
d.h. in die Nähe von ai
rückt, dann kann der Beitrag von Li’ gross werden.
La
16
i = 0,1cm
14
La
La
12
10
i = 0,5 cm
8
L 6
4
hier gemäss Formel
aus Folie 86
2
Li , μr = 1
0
0
2
4
6
10 cm ai
8
μ0
2
Li
ai μr ln + i 4 Wandstärke des Aussenleiters: 0.2 cm.
-88-
Die Spule XXIX
Bauformen technischer Spulen
(1) Auswahl verschiedener Spulentypen:
Bauarten:
• Luftspulen (> 500 MHz)
• Spulen mit Magnetkern
• Toroidspulen
• Schalenkernspulen
Spulenkerne:
• Geschichtete, mit Papier
isolierte, dünne Eisenbleche mit r = 100 –
10’000.
Integrierte Mikrowellen-Spulen
(1 GHz – 0.5 THz)
• Ferrit-Kerne, d.h. gesintertes Eisenoxid-Keramik
für mittelfrequente Anwendungen.
44
-89-
Gekoppelte Spulen I
Die Gegeninduktivität
(1) Experimentalanordnung zur Definition der Gegeninduktivität:
(a) Durch Spule 1 fliesst Strom i1:
Das Magnetfeld bzw. Fluss 11
wird erzeugt:
11 = w1 m1 =
= w1 B1 n1 dA
A1
Das Magnetfeld der Spule 1
koppelt auch in die Spule 2:
21 = w2 m 21 =
= w2 B1 n2 dA
A2
-90-
Gekoppelte Spulen II
Die Gegeninduktivität
(1) Experimentalanordnung zur Definition der Gegeninduktivität:
(a) Durch Spule 1 fliesst Strom i1:
m21 ist der von der Spule 1
durch den Querschnitt A2 der
Spule 2 erzeugte magnetische
Fluss, welcher den mit der
Spule 2 verketteten magnetischen Fluss 21 hervorruft.
Wir schreiben nun:
11 = L1 i1
EigenInduktivität
21 = M 21 i1
GegenInduktivität
M21 = f(Geometrie 1 und 2,
gegenseitige Lage)
45
-91-
Gekoppelte Spulen III
Die Gegeninduktivität
(1) Experimentalanordnung zur Definition der Gegeninduktivität:
(b) Durch Spule 2 fliesst Strom i2:
(der Strom i1 := 0 A)
22 = w2 m 2 =
= w2 B2 n2 dA
A2
Das Streufeld der Spule 2
koppelt auch in die Spule 1
und es ergibt sich:
12 = w1 m12 =
= w1 B2 n1 dA
A1
-92-
Gekoppelte Spulen IV
Die Gegeninduktivität
(1) Experimentalanordnung zur Definition der Gegeninduktivität:
(b) Durch Spule 2 fliesst Strom i2:
m12 ist der von der Spule 2
durch den Querschnitt A1 der
Spule 1 erzeugte magnetische
Fluss, welcher den mit der
Spule 1 verketteten magnetischen Fluss 12 hervorruft.
Wir schreiben nun:
22 = L2 i2
EigenInduktivität
12 = M 12 i2
GegenInduktivität
M12 = f(Geometrie 1 und 2,
gegenseitige Lage)
46
-93-
Gekoppelte Spulen V
Die Gegeninduktivität
(2) Zwei stromführende Spulen:
Durch Spule 1 fliesst Strom i1 und gleichzeitig fliesst durch Spule 2 der Strom i2:
Da alle Beziehungen linear sind können die damit verknüpften verketteten Teilflüsse
überlagert werden:
1 = 11 + 12 2 = 21 + 22 1 = L1 i1 + M 12 i2
2 = M 21 i1 + L2 i2
Frage: Wie verhalten sich die beiden Gegeninduktivitäten M12 und M21 zueinander?
Annahme: der Raum zwischen den beiden Spulen sei isotrop.
Es sei: (1) i1 = I1 und i2 = 0: Erstes Gedankenexperiment.
1
Wm1 = L1 I12
2
Wm 2 = 0
-94-
Gekoppelte Spulen VI
Die Gegeninduktivität
(2) Zwei stromführende Spulen:
(2) i1 = I1 und i2 = 0 I2 : Verkopplung führt nun zur gegenseitigen Beeinflussung, d.h.
zur Änderung der verketteten Flüsse in Spule 1 und Spule 2. Dadurch wird in beiden
Spulen je eine (Gegen-)Spannung induziert.
uind1 = d12
di
= M 12 2
dt
dt
uind 2 = d 21
di
= M 21 1
dt
dt
Damit i2 = 0 I2 müssen beim Aufbau des Magnetfeldes diese Gegenspannungen
überwunden werden, d.h. es wird daher folgende Energie im Feld gespeichert.
t
1
Wm = L1 I12 + ( uind1i1 uind 2i2 ) dt =
2
0
I
Arbeit um die durch di 2 in Spule 1
induzierte Spannung zu überwinden.
Energieinhalt
Spule 1
Arbeit für FeldAufbau in Spule 2
I
2
2
1
1
1
= L1 I12 + M 12 I1 di2 + L2 I 2 di2 = L1 I12 + M 12 I1 I 2 + L2 I 22
2
2
2
0
0
47
-95-
Gekoppelte Spulen VII
Die Gegeninduktivität
(2) Zwei stromführende Spulen:
(3) i2 = I2 und i1 = 0: Umgekehrtes Gedankenexperiment.
Wm1 = 0
1
Wm 2 = L2 I 22
2
(4) i2 = I2 und i1 = 0 I1 : Damit i1 = 0 I1 müssen beim Aufbau des Magnetfeldes
diese Gegenspannungen überwunden werden, d.h. es wird daher folgende Energie
im Feld gespeichert.
I
I
1
1
1
1
1
2
Wm = L2 I 2 + M 21 I 2 di1 + L1 I1 di1 = L2 I 22 + M 21 I 2 I1 + L1 I12
2
2
2
0
0
(5) Fazit: Da im Endzustand in beiden
Gedankenexperimenten jeweils die
gleichen Ströme fliessen müssen,
gilt für die Gegeninduktivitäten:
M 12 = M 21 := M
Gekoppelte Spulen
sind bezüglich der
gegenseitigen Verkopplung reziprok.
Gekoppelte Spulen VIII
-96-
Die Gegeninduktivität
(3) Zusammenfassung:
1 = L1 i1 + M i2
2 = M i1 + L2 i2
Der verkettete magnetische Fluss in
zwei magnetisch verkoppelten Spulen
ist direkt proportional zu den elektrischen Stromstärken in den Spulen
Die Proportionalitätskonstanten sind
die Eigeninduktivitäten L1 und L2 der
beiden Spulen sowie die Gegeninduktivität M zwischen den Spulen.
Für die Einheiten gilt demnach:
[L1] = [L2] = [M] = Vs/A = H (Henry)
di1
di
+M 2
dt
dt
di
di
u 2 = M 1 + L2 2
dt
dt
u1 = L1 Die an den Klemmen zweier gekoppelten
Spulen anliegenden elektrischen Spannungen u1 und u2 setzen sich aus zwei
Anteilen zusammen: Der eine Anteil ist
Proportional zur Stromänderung in der
betrachteten Spule, der andere Anteil ist
proportional zur Stromänderung in der
verkoppelten Spule.
48
-97-
Gekoppelte Spulen IX
Die Bezugspfeilordnungen
(1) Die physikalische Anordnung:
• Verbraucherbezugspfeilsystem
• Bezugspfeile werden an den
beiden Spulen so gewählt,
dass die jeweiligen Bezugspfeile
der Stromstärken bzw. der Spannungen parallel zueinander liegen.
• Flächennormalenvektor bzw.
der Bezugspfeil des verketteten
magnetischen Flusses steht zur
elektrischen Stromstärke im
Rechtsschraubensinn.
• (a) Gleichsinnig gewickelt: Je
einen positiv verketteten Fluss
Mit L1 und L2 > 0 M > 0
gleichsinnig gewickelt
gegensinnig gewickelt
• (b) Gegensinnig gewickelt: Die
Spule 1 hat einen positiven, die
Spule 2 einen negativen Fluss.
Mit L1 und L2 > 0 M < 0
-98-
Gekoppelte Spulen X
Die Bezugspfeilordnungen
(2) Schaltsymbole der gekoppelten Spulen:
Gleichsinnig gewickelte
Spulen (Punkte an gleichen Enden)
M >0
Gegensinnig gewickelte
Spulen (Punkte an ungleichen Enden)
M <0
Hochfrequenztechnik
Gleichwertige
Schaltsymbole
Niederfrequenzund Energietechnik
49
-99-
Gekoppelte Spulen XI
Die Bezugspfeilordnungen
(3) Wicklungssinn und Bezugspfeilordnung:
i1
u1
a)
M
L2
L1
M <0
M
i1
i2
u2
u1
M>0
b)
u2
L2
L1
i2
Ändert man die Bezugspfeilordnung
an einer der beiden Spulen, dann
verändern sich (logischerweise) die
Vorzeichenverhältnisse erneut.
-100-
Gekoppelte Spulen XII
Streufaktor und Kopplungsfaktor
(1) Streuflüsse:
Streuflüsse der Spulen 1 und 2:
m 1 = m1 m 21
m 2 = m 2 m12
Streufaktoren der Spulen 1 und 2:
1 =
m 1
m 21
= m1
m1
m1
= 1
2 =
m 21
m1
m 2
= 1 m12
m 2
m 2
50
-101-
Gekoppelte Spulen XIII
Streufaktor und Kopplungsfaktor
(1) Streuflüsse:
Streufaktoren der Spulen 1 und 2:
1 = 1
m 21
w Mi
wM
= 1 1 1 = 1 1
m1
w2 L1i1
w2 L1
2 = 1
m12
w Mi
wM
= 1 2 2 = 1 2
m 2
w1 L2i2
w1 L2
Streufaktoren sind ein Mass dafür, wie gross
der Anteil des magnetischen Flusses der
einen Spule ist, welcher die andere Spule
nicht durchsetzt.
Z.B.: Fluss m1 durchsetzt Spule 2 vollständig
m1 = m21 1 = 0
Es gilt zudem:
L
i
w
L
M
m1 = 1 i1 m 21 =
i1
w1
w2
L
M
m 2 = 2 i2 m12 =
i2
w2
w1
= L i
m =
-102-
Gekoppelte Spulen XIV
Streufaktor und Kopplungsfaktor
(2) Kopplungsfaktoren:
Kopplungsfaktoren zwischen den Spulen 1 und 2:
k1 =
m 21
wM
= 1
m1
w2 L1
k1 = 1 1
k2 =
m12
m 2
k2 = 1 2
=
w2 M
w1 L2
Kopplungsfaktoren sind ein Mass für die Verkopplung der beiden Spulen miteinander.
Z.B.: Fluss m1 durchsetzt Spule 2 vollständig
m1 = m21 k1 = 1
Für reale Spulen gilt immer:
k1 < 1
k2 < 1
1 > 0
2 > 0
Typischerweise haben die
Streufaktoren eher kleine
Werte, d.h. die Kopplungsfaktoren gehen gegen eins.
51
-103-
Gekoppelte Spulen XV
Streufaktor und Kopplungsfaktor
(3) Gesamtstreufaktoren und Gesamtkopplungsfaktoren:
Die Gesamtkopplungs- bzw. Gesamtstreufaktoren erfolgen aus einer Mittelwertbildung:
m 21 m12
M2
M
k = k1 k2 =
=
=
m1 m 2
L1 L2
L1 L2
= 1 k 2
= 1
k=
M
L1 L2
M2
L1 L2
Näherung für kleine Streufaktoren 1 und 2:
= 1 k 2 = 1 k1 k2 = 1 (1 1 ) (1 2 ) = 1 1 + 1 + 2 1 2
1 + 2 1 + 2
-104-
Gekoppelte Spulen XVI
Beispiel: «Zwei ineinanderliegende Spulen»
(1) Anordnung:
i1
w1
H1 , B1
z d1
w2
n2
n1
i2
d2
H2 , B2
2
2
1
1
Voraussetzungen:
• Äussere Spule ist ideal, d.h.
Streufeld wird vernachlässigt.
• Für = 0 sind die beiden
Spulen gleichsinnig gewickelt.
• Es sei zuerst nur die äussere
Spule angeschlossen, d.h.
i1 0 und i2 = 0.
Gesucht:
• Die Gegeninduktivität M der
angegebenen Anordnung.
52
-105-
Gekoppelte Spulen XVII
Beispiel: «Zwei ineinanderliegende Spulen»
(2) Magnetfeld und magnetischer Fluss:
i1
w1
H1 , B1
z d1
w2
n2
Äussere Spule 1:
n1
i2
w1 i1
1
B1 =
μ0 w1 i1
1
d2
H2 , B2
2
2
1
Fluss in innerer Spule 2:
m 21 = B1 n2 dA
1
m 21 =
H1 =
A2
μ0 w1 i1
d
cos ( ) 1
4
2
2
=
μ0 w1 i1
cos ( ) dA
1 A2
Gekoppelte Spulen XVIII
-106-
Beispiel: «Zwei ineinanderliegende Spulen»
(3) Verketteteter magnetischer Fluss:
i1
w1
H1 , B1
z d1
w2
n2
n1
i2
21 = w2 m 21
d2
H2 , B2
2
2
Mit der inneren Spule 1 ist demnach der folgende magnetische
Fluss verkettet:
μ0 w1w2 i1
d22
=
cos ( ) 1
4
1
Für die Gegeninduktivität M gilt
daher die einfache Beziehung:
1
M=
21 μ0 w1w2 d22
=
cos ( )
i1
4 1
53
-107-
Gekoppelte Spulen XIX
Beispiel: «Zwei ineinanderliegende Spulen»
(3) Alternative Berechnung der Gegeninduktivität:
i1
w1
H1 , B1
z d1
w2
n2
n1
i2
d2
H2 , B2
2
2
1
1
Diese Anordnung mit einstellbarer
Gegeninduktivität heisst Variometer.
• Man hätte auch umgekehrt, mit
der inneren Spule 2 beginnen
können; d.h. i1 = 0 und i2 0.
• Das Streufeld der kurzen,
inneren Spule 2 müsste dabei
aber bei der Berechnung mitberücksichtigt werden, da dieses
Streufeld die Spule 1 durchsetzt.
• Diese Berechnung ist sehr, sehr
aufwändig!
• Wir nutzen besser die Reziprozitätseigenschaft: M12 = M21 = M.
• Merke: M() ist variabel!
M = 0 = (2n+1)·/2
M lässt sich negativ einstellen
54