Stausee - MatheSchmidt

Stausee
Ein Stausee ändert seine Wassermenge. Zunächst
wird er mit Wasser gefüllt. Die Zulaufratenfunktion ist gegeben durch
z(x) = (x2 − 10x + 24) · e 2 x
1
Der Graph von z ist rechts abgebildet.
Dabei wird x in Tagen und z(x) in tausend Kubikmeter pro Tag angegeben. Betrachtet wird das
Intervall [0; 6, 5], d.h.: 0 6 x 6 6, 5.
Hinweis: Eine negative Zulaufrate bedeutet, dass
Wasser aus dem Stausee herausläuft.
Ohne eigene Herleitung dürfen
1 Sie im Weiteren
z 00 (x) = 14 x2 − 12 x − 2 · e 2 x und
z 000 (x) =
1 2
8x
+ 14 x −
3
2
1
· e 2 x verwenden.
a) Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen das Wasser weder ein- noch abfließt. Geben Sie
die Zeitintervalle an, in denen Wasser zu- bzw. abläuft.
b) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zulaufrate im betrachteten Intervall maximal
ist.
1
Zeigen Sie, dass z 0 (x) = 21 x2 − 3x + 2 · e 2 x gilt.
c) Ermitteln Sie, welche Aussagen über die Änderung der Wassermenge zum Zeitpunkt
x = 5 möglich sind.
d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die Zulaufrate am stärksten ändert.
e) Entscheiden Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem sich im Becken wieder die Anfangswassermenge befindet. Die Begründung soll ohne Rechnung erfolgen.
f) In dem Stausee hat sich eine bestimmte Bakteriensorte eingelagert. Zum Zeitpunkt x =
0 befinden sich bereits 5 000 Bakterien im Stausee. Die Wachstumsratenfunktion der
Bakterien ist gegeben durch w(x) = x3 − 12x2 + 35x. Dabei wird x wieder in Tagen
angegeben und w(x) in 10 000 Bakterien pro Tag. Ermitteln Sie die Anzahl der Bakterien
nach 3 Tagen.
Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik
als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.
Stausee - Lösung
zu a) Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen das Wasser weder ein- noch abfließt. Geben Sie
die Zeitintervalle an, in denen Wasser zu- bzw. abläuft.
Zeitpunkte, zu denen das Wasser weder ein- noch abfließt, sind x = 4 und x = 6 (also
am Ende des 4. Tages und am Ende des 6. Tages). Dieses Ergebnis ergibt sich aus
z(x) = 0
1
⇔
(x2 − 10x + 24) · e 2 x = 0
1
⇔ x2 − 10x + 24 = 0 ∨ e 2 x = 0
⇔
x2 − 10x + 24 = 0
⇔
x=4∨x = 6
Das Zulaufen von Wasser ist gleichbedeutend mit z(x) > 0, das Ablaufen von Wasser ist
gleichbedeutend mit z(x) < 0. Hieraus ergibt sich, dass für 0 6 x < 4 Wasser zuläuft, für
4 < x < 6 Wasser abläuft und für x > 6 wieder Wasser zuläuft.
zu b) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zulaufrate im betrachteten Intervall maximal
ist.
1
Zeigen Sie, dass z 0 (x) = 12 x2 − 3x + 2 · e 2 x gilt.
Das gesuchte Maximum liegt entweder an den Rändern oder an einem relativem Maximum vor. Für das Auffinden relativer Maxima benötigen wir die erste Ableitung.
z(x) = (x2 − 10x + 24) · e 2 x
1
u(x) = x2 − 10x + 24
1
v(x) = e 2 x
u 0 (x) = 2x − 10
1
v 0 (x) = 21 · e 2 x
z 0 (x) = (2x − 10) · e 2 x + (x2 − 10x + 24) · 21 · e 2 x
1
1
= (2x − 10) · e 2 x + 21 x2 − 5x + 12 · e 2 x
1
= 2x − 10 + 21 x2 − 5x + 12 · e 2 x
1
= 21 x2 − 3x + 2 · e 2 x
1
1
Wir suchen nun relative Extrema:
Notwendige Bedingung: z 0 (x) = 0
z 0 (x) = 0
1
1 2
2x = 0
⇔
2 x − 3x + 2 · e
1
⇔ 12 x2 − 3x + 2 = 0 ∨ e 2 x = 0
1 2
⇔
2 x − 3x + 2 = 0
⇔
x2 −√
6x + 4 = 0 √
⇔
x = 3− 5∨x = 3− 5
⇔
x ≈ 0,763 ∨ x ≈ 5,236
Hinreichende Bedingung:
z 0 (x) = 0 ∧ z 00 (x)6= 0
√
√
√
√
1
z 00 (3 − 5) = 14 (3 − 5)2 − 12 (3 − 5) − 2 · e 2 (3− 5) ≈ −3,276 < 0
z 00 (3 +
√
5) =
√
1
4 (3
+
√
√
5)2 − 12 (3 + 5) − 2 · e 2 (3+
1
√
5)
≈ 30,654 > 0
√
Bei x√= 3 − 5 liegt also ein√ Hochpunkt und bei x = 3 + 5 ein Tiefpunkt vor. Mit
z(3 − 5) ≈ 24,826 und z(3 − 5) ≈ −12,945 erhalten wir H(0,763|24,826) als Hochpunkt
und T (5,236| − 12,945) als Tiefpunkt.
Wegen z(0) = 24 < 24,826 < 32,238 = z(6,5) nimmt z sein absolutes Maximum auf dem
Rand des Definitionsbereichs an, nämlich bei x = 6,5.
zu c) Ermitteln Sie, welche Aussagen über die Änderung der Wassermenge zum Zeitpunkt
x = 5 möglich sind.
Mit z(5) ≈ −12,18249396 erfahren wir,
√ dass die Wassermenge zum Zeitpunkt x = 5 sehr
stark abnimmt (zum Vergleich: z(3 − 5) ≈ −12,945, siehe 2.). Wäre die Zulaufrate einen
ganzen Tag lang so niedrig wie zum Zeitpunkt x = 5, würden etwa 12 182,5 m3 Wasser
ablaufen.
zu d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die Zulaufrate am stärksten ändert.
Die größte Änderung von z liegt an einer Extremstelle von z 0 (also an einer Wendestelle
von z) oder am Rand vor. Wir suchen daher zunächst nach Wendestellen:
Notwendige Bedingung: z 00 (x) = 0
z 0 (x) = 0
1
1 2
1
2x = 0
⇔
4x − 2x − 2 · e
1
⇔ 14 x2 − 12 x − 2 = 0 ∨ e 2 x = 0
1 2
1
⇔
4x − 2x − 2 = 0
⇔
x2 − 2x − 8 = 0
⇔
x = −2 ∨ x = 4
Hinreichende Bedingung:z 00 (x) = 0 ∧ z 000 (x) 6= 0
1
z 00 (4) = 81 · 42 + 14 · 4 − 32 · e 2 ·4 ≈ 11,084 > 0
x = −2 liegt außerhalb des Definitionsbereiches.
Aus z 0 (0) = 2, z 0 (4) ≈ −14,778 und z 0 (6.5) ≈ 93,490 entnehmen wir, dass sich die
Zulaufrate zum Zeitpunkt x = 6,5 am stärksten ändert.
zu e) Entscheiden Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem sich im Becken wieder die Anfangswassermenge befindet. Die Begründung soll ohne Rechnung erfolgen.
Die Menge zufließenden Wassers wird repräsentiert durch die Flächen oberhalb der xAchse, die Menge abfließenden Wassers wird repräsentiert durch die Fläche unterhalb der
x-Achse. Da letztere ersichtlich wesentlich kleiner ist als die Fläche, die für den ersten
Zulauf steht (also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse über dem Intervall
[0; 4]), wird die Anfangswassermenge nicht wieder erreicht.
zu f ) In dem Stausee hat sich eine bestimmte Bakteriensorte eingelagert. Zum Zeitpunkt
x = 0 befinden sich bereits 5 000 Bakterien im Stausee. Die Wachstumsratenfunktion
der Bakterien ist gegeben durch w(x) = x3 − 12x2 + 35x. Dabei wird x wieder in Tagen
angegeben und w(x) in 10 000 Bakterien pro Tag. Ermitteln Sie die Anzahl der Bakterien
nach 3 Tagen.
R3
In den ersten 3 Tagen kommen 10 000 · x3 − 12x2 + 35xdx Bakterien hinzu, d. h. für die
0
Anzahl W der Bakterien zum Zeitpunkt x = 3 gilt:
Z3
W(3) = W(0) + 10 000 · x3 − 12x2 + 35xdx.
0
R3
Wegen x3 − 12x2 + 35xdx =
0
1
4x
4
− 4x3 + 17,5x2
5 000 + 697 500 = 702 500 Bakterien.
3
0
= 69,75 gibt es nach 3 Tagen W(3) =