Induktion - Mathematik-Vorkurs für Informatiker

Christian Eisentraut & Julia Krämer
www.vorkurs-mathematik-informatik.de
Mathematik-Vorkurs für Informatiker
Induktion1
Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe)
Notieren Sie die Definitionen der folgenden Begriffe aus dem Kopf ohne im Skript nachzuschlagen und korrigieren Sie dann ihre Lösungen:
(a) induktiv
(b) wohlfundierte Induktion
(c) noether’sche Induktion
(d) strukturelle Induktion
(e) starke Induktion
(f) natürliche Induktion
Kategorie 1
Aufgabe 2. (Induktive Definitionen)
Sammeln Sie induktive Definitionen, die Sie in der Vorlesung bzw. in den Übungen
bereits kennen gelernt haben.
Kategorie 2
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 3. (Induktive Definitionen)
∑
∏
Notieren Sie die folgenden endlichen Summen mit Hilfe von
und
ohne die “…Schreibweise”.
Beispiel
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 2n =
n
∑
2i
i=0
(a) 0 + 2 + 4 + . . . + 2 · n
(b) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 2 · n + 1
(c) 1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q n
1
Die vorlegende Sammlung an Übungsaufgaben erstellt von Christian Eisentraut und Julia Krämer
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1
Kategorie 3
(d) 1 · 2 · 3 . . . · n
(e) 1 · 2 · 4 · 8 · . . . · 2n
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 4. (S)
hreiben Sie nun die ∑
folgenden natürlichsprachlich definierten Summen und Produkte
formal mit Hilfe von
und Π auf.
c
Beispiel
Die Summe von 1 bis zu einem beliebigen n der Potenzen von 3 –
n
∑
3i
i=1
(a) die Summe der geraden Zahlen von 134 bis 199267
(b) das Produkt der ersten n ungeraden Zahlen
(c) die Summe beginnend bei einem beliebigen m und aufhörend bei n (n, m ∈ N)
über die Potenzen von 2
(d) das Produkt von m bis n Potenzen von 2, wobei n und m in N beliebig sind.
Aufgabe 5. (Induktion verstehen)
Finden Sie eine mathematische und eine nicht-mathematische Analogie, um das Prinzip
der Induktion möglichst anschaulich zu erklären. Diskutieren Sie mit Ihren Kommilitonen
Ihren Vorschlag.
Kategorie 2
Hinweis: Vewenden Sie keine der Analogien aus der Vorlesung.
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 6. (Induktion verstehen)
Was ist an folgender Behauptung falsch: Mit Induktion kann man keine Aussage über
die geraden Zahlen beweisen, da für jede gerade natürliche Zahl n ihr Nachfolger n + 1
ungerade ist.
Überlegen Sie sich dann, wie Sie über gerade Zahlen, ungerade Zahlen, Potenzen und
andere Folgen von Zahlen, Induktion führen.
2
Kategorie 6
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 7. (Induktionsbeweis)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe von natürlicher oder starker Induktion:
(a) ∀n ∈ N : ∃k ∈ Z : n3 + 2 · n = 3 · k
n
∑
n · (n + 1) · (2 · n + 1)
i2 =
(b) ∀n ∈ N :
6
i=1
n
∑
n · (n + 1) 2
(c) ∀n ∈ N :
i3 = (
)
2
i=1
n
∑
(d) ∀n ∈ N :
(2 · i − 1) = n2
i=1
(e) ∀q ∈ Q \ {1, −1} : ∀n ∈ N :
n
∑
i=0
qi =
Kategorie 5
1 − q n+1
1−q
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 8. (Induktionsbeweis)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe von natürlicher oder starker Induktion:
n
∏
1
1
(a) ∀n ∈ N : n ≥ 2 →
(1 − ) =
i
n
i=2
n
(b) ∀n ∈ N : n ≥ 2 → 2 > n + 1
Kategorie 5
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 9. (Induktionsbeweis)
Beweisen Sie, dass die Potenzmenge P(M ) einer endlichen Menge M gerade 2|M | viele
Elemente hat.
Lösung.
TODO::ODOT
3
Kategorie 5
Aufgabe 10. (Induktionsbeweise verstehen)
Finden Sie den Fehler im folgenden Induktionsbeweis.
Kategorie
Behauptung: Alle Menschen haben das gleiche Geschlecht.
Beweis: Formal ist die Aussage zu zeigen: ∀n ∈ N : Wenn X eine n-elementige Teilmenge
von Menschen ist, dann haben alle Menschen in der Menge das gleiche Geschlecht.
Induktionsverankerung: n = 1
Hier ist nichts zu zeigen, da ein Mensch immer das gleiche Geschlecht hat wie er selbst.
Induktionsannahme: Für ein festes, aber beliebiges n ∈ N gilt: In einer n-elementigen
Menge von Menschen haben alle Menschen das gleiche Geschlecht.
Induktionsschritt: n −→ n + 1
• Gegeben sei eine (n + 1)-elementige Menge von Menschen. Die Menschen werden
mit m1 , . . . , mm+1 bezeichnet.
• Betrachte die Teilmenge M1 = {m1 , .., mn }. Nach Induktionsannahme haben all
diese Menschen das gleiche Geschlecht.
• Betrachte nun die Teilmenge M2 = {m2 , .., mn+1 }. Nach Induktionsannahme haben auch diese Menschen alle das gleiche Geschlecht.
• Da aber z.B. m2 ∈ M1 und m2 ∈ M2 , müssen alle Menschen das gleiche Geschlecht
wie m2 haben.
Damit haben alle Menschen m1 , . . . m2 das gleiche Geschlecht.
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 11. (Induktionsbeweis)
Wir definieren die Menge aller Mauern M induktiv:
Kategorie
ψ
M ∋ φ, ψ ::=
|
φ
φ
|
ψ
Eine Mauer kann also aus einem einzelnen Ziegel bestehen, oder aus beliebigen Mauern
vertikal mit blauer Verbindung oder horizontal mit grüner Verbindung zusammengesetzt
sein.
Wir wollen nun zeigen, dass Mauern stabil sind. Nehmen Sie dazu an:
• Jeder Ziegelstein ist stabil.
• Eine Mauer ist genau dann stabil, wenn die beiden Mauern aus denen sie zusammengesetzt wurde, stabil ist.
Beweisen Sie nun diese Aussage mit Hilfe von struktureller Induktion.
4
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 12. (Induktionsbeweis)
Beweisen Sie mit Hilfe von struktureller Induktion: Seien b und b′ Belegungen (aus der
Aussagenlogik). Wenn b(p) = b′ (p) für jede aussagenlogische Variable, dann gilt auch
JφKb = JφKb für alle φ ∈ L.
Kategorie
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 13. (Induktionsbeweis)
Beweisen Sie, dass für alle prädikatenlogischen Strukturbäume gilt: Sei x die Anzahl der
Knoten und n die maximale Tiefe2 des Baumes. Dann gilt x ≤ 2n+1 − 1.
Kategorie
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 14. (Mengen mit noether’scher Induktion)
Geben Sie mindestens vier Mengen mit einer Ordnung an, auf denen Sie eine noether’sche
Induktion durchführen könnten.
Kategorie
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 15. (Existenz der Primfaktorzerlegung)
Zeigen Sie formal, dass die Teilbarkeitsrelation auf den natürlichen Zahlen größer als 1
(also N \ {0, 1}) wohlfundiert ist. Was sind die minimalen Elemente? Wie viele gibt es?
Hinweis: Erinnern Sie sich an Primzahlen.
Lösung.
TODO::ODOT
2
das ist die maximale Anzahl, die man an Kanten von der Wurzel zu Blättern benutzen kann, wenn
man immer nur Kanten folgt
5
Kategorie
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 16. (Eindeutige Primfaktorzerlegung)
Zeigen Sie nun mit Hilfe von Aufgabe ??, dass es für jede natürliche Zahl größer als 1
eine eindeutige Primfaktorzerlegung gibt.
Kategorie
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 17. (Induktionsbeweis)
Definieren Sie die natürlichen Zahlen, das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz
auf den natürlichen Zahlen induktiv, indem Sie eine wohlfundierte Nachfolgerelation
aufstellen.
Kategorie
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 18. (Induktionsbeweis (Schubfachprinzip))
Beweisen Sie: Werden n ∈ N Objekte in k, für k ∈ N und k < n Fächer aufgeteilt, dann
gibt es mindestens ein Fach, dass mehr als ein Objekt enthält.
Kategorie
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 19. (Induktionsbeweis)
Beweisen Sie für alle n ∈ N, dass es in jeder n + 1-elementigen Teilmenge der ganzen
Zahlen zwei verschiedene ganze Zahlen gibt, so dass die Differenz durch n teilbar ist.
Lösung.
TODO::ODOT
6
Kategorie
Aufgabe 20. (Knobelaufgabe mit Induktion)
In einem Kloster wohnt eine Anzahl Schweigemönche. Diese Mönche schweigen allerdings
nicht nur, sondern sie kommunizieren ÜBERHAUPT nicht miteinander, also auch nicht
durch Zeichensprache oder sonstige Gesten. In einer Nacht haben alle diese Mönche den
gleichen Traum: Ihnen wird prophezeit, dass einige Mönche an einer tödlichen Krankheit
erkrankt sind. Alle so erkrankten Mönche haben nach dieser Nacht einen schwarzen
Punkt auf der Stirn. Weiterhin bekommen alle Mönche durch den Traum den Befehl
herauszufinden, ob sie selber erkrankt sind, und sich dann selber in der nächstmöglichen
Nacht umzubringen, falls sie erkrankt sind. Und als wenn das noch nicht genug wäre,
gibt es auch nirgendwo im Kloster einen Spiegel oder einen sonstigen Gegenstand, auf
dem die Mönche feststellen könnten, ob sie selber einen Punkt auf der Stirn haben oder
nicht. 3
(a) Überlegen Sie sich zunächst: In der fünften Nacht nach der Prophezeiung sind alle
erkrankten Mönche tot. Wie viele Mönche waren krank?
(b) Finden Sie nun heraus, am wievielten Tag alle erkrankten Mönche tot sind, wenn
anfangs n ∈ N viele erkranken. Beweisen Sie Ihre Behauptung dann mit Induktion.
Kategorie
Hinweis: Die Mönche können einander sehen, d.h. sie sehen, wer von den anderen Mönchen einen Punkt trägt und wer nicht.
Lösung.
TODO::ODOT
Aufgabe 21. (Mächtigkeit von Induktion verstehen)
Überlegen Sie sich, ob man alle Aussagen, die man mit wohlfundierter Induktion beweisen
kann auch ohne Induktion beweisen kann. Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung.
TODO::ODOT
3
Die Aufgabenstellung ist hier http://knobeln.wiegels.net/2000.phtml?18 entnommen
7
Kategorie