Lernziel Woche 2

Lernziel TC 2012 / Woche 2
Mengen
1. Vervollständige die Definition der Teilmenge auf zwei verschiedene Arten:
„Für zwei Mengen , gilt
, wenn gilt
……………………..
bzw.
…….
2. Seien ,
Zeige:
beliebige Teilmengen einer Grundmenge
3. Wie ist die Potenzmenge
einer Menge
4. Begründe die Aussage
.
definiert?
Mengen
5. Es seien
1,2 sowie
2,3 .
Kennzeichne mit w (für wahr) oder f (für falsch), ob folgende Aussagen richtig sind:
(i)
1,2
(ii)
2,1
(iii)
2,2
(iv)
3,100
(v)
3, ∞
(vi)
,2
(vii)
,!
"#
6. Beschreibe folgende Mengen durch Aufzählung ihrer Elemente
|3 (% )7
(i)
$ %
(ii)
(iii)
$
5$
| ! ) 24 - .
| ∏0123 . ( 90
(i)
6$ 7
3,
(ii)
=$6>
(iii)
@$
,
|
7. Skizziere die folgenden Mengen
,A
#
1
8 $ 1, … ,3 : ;
#
?
|B3(
( 2, 0( A (1
Intervalle
8. Seien C, .
DC, .E
(i)
(ii)
C, .E
(iii)
DC, ∞
mit C ) .. Dann ist per Definition
|
$
|
$
|
$
3
<
<
#
(1
Schreibweise von Summen
9. Seien F, %
mit F ( % und CG , CGH3 , … , CI
Dann definiert man
I
J CK
.
CG < CGH3 < L < CI
K2G
Ausgehend von dieser Definition verfasse eine rekursive Definition (ähnlich wie bei der
Definition der Fakultät in der Besprechung des Eingangstests):
I
J CK $ M
K2G
10. Löse allgemein für . ) \, CK
0
falls F R %
… <J
sonst
:
leere Summe
[
]
J CK $
K2^
11. Berechne folgende Summen
∑K̀23 .K $
(i)
∑0K23 3 $
(ii)
∑#K23 2K $
(iii)
∑K23 Ψb $
(iv)
12. Sei % c F. Berechne die folgende Summe in Abhängigkeit von % und F:
I
J1$
K2G
13. Summiere die folgende Summe in umgekehrter Reihenfolge auf (d.h. das erste Summenglied
soll nachher CI und das letzte Summenglied C3 sein):
I
I
J CK $ J
K23
K23
Wichtige Summenformeln
14. Carl Friedrich Gauß musste in der Grundschule die natürlichen Zahlen von 1 bis 100 addieren.
Schreibe die Addition der natürlichen Zahlen von 1 bis d (d
) mit dem Summenzeichen
und werte den Ausdruck in Abhängigkeit von d aus.
15. Bei einer Kneipentour im Trainingscamp sitzen 21 Leute zusammen. Jeder will einmal mit
jedem anstoßen. Berechne, wie oft es „Kling“ macht.
16. Wie lautet die geometrische Summenformel? (Vergesse nicht zu erwähnen unter welchen
Voraussetzungen sie gilt)
I
J e K $ e ? < e3 < e < L < e I $
K2?
Hinweis: Setze dazu fI
∑IK2? eK und berechne e g fI B fI
17. Beweise obige Summenformel
18. Seien %, h
?
mit % c h. Definiere den Binomialkoeffizient mittels Fakultäten
%
i j
h
19. Seien %, h wie oben. Berechne
%
i j$
0
3
k l$
1
20. Zeige die „Regel von Pascal“:
Für alle %
und h
1, … , % gilt die Identität
%<1
%
%
k
l$i
j<i j
h
hB1
h
21. Für C, .
,%
?
gilt der Binomische Lehrsatz:
C<.
I
$J
Produkte
22. Es ist für %
?
1
für % $ 0[
.
% % B 1 ! für % R 0
Schreibe %! für %
? als Produkt:
%!
m
%! $ o
23. Berechne geschickt(!):
o h < 7h h p?3
K2q#
24. Löse allgemein für F, %
I
o1$
, F ( %:
K2G
I
o2$
K2G
I
o \ g CK $
K2G
I
g o CK
K2G
25. Wie lautet die Formel für das Teleskopprodukt und wann gilt sie?
Wurzeln
26. Zu jedem reellen C c 0 gibt es genau ein reelles . c 0 mit .² $ C.
Schreibweise und Definition: .
√C.
Beweise damit folgende Regeln für das Rechnen mit Wurzeln:
(i)
C, . c 0
√C g . $ √C g √.
√C $ |C|
Hinweis: Aus der Definition des Absolutbetrags folgt direkt: |C| $ tC.
(ii)
Vollständige Induktion
27. Sei eine Menge. | | ist die Kardinalität/Mächtigkeit der Menge . Sie gibt die Anzahl der
Elemente in an.
z.B. gilt | 1,2,4 | $ 3 und | | $ 0
Zeige durch vollständige Induktion folgenden Satz:
| |$%
|
| $ 2I
28. Zeige die Summenformel des Kleinen Gauß.
29. Beweise folgende Identität für alle natürlichen Zahlen %:
I
J
K23
30. Beweise die Ungleichung 2I c %
%
1
%
$
h h<1
%<1
.
31. Zeige mittels vollständiger Induktion die überaus wichtige „Bernoullische Ungleichung“:
c B1 %
1< I c 1<%
?
Beweise
32. Zeige die Dreiecksungleichung des Absolutbetrages auf :
„Für alle , A
gilt | < A| ( | | < |A|.“
Hinweis: Quadriere dazu beide Seiten der Ungleichung. Warum stellt dies eine Äquivalenzumformung dar?
33. Beweise durch Kontraposition:
Sei %
. Ist %² gerade, so ist auch % gerade.
Funktionen
34. Sei u:
w
eine Funktion.
Definiere das Bild von
u 3 $
3
Definiere das Urbild von
u q3 3 $
|
3
Definiere folgende Begriffe:
(i)
u ist injektiv:
(ii)
(iii)
:
|
:
u ist surjektiv:
u ist bijektiv:
35. Untersuche folgende Funktion ausführlich (d.h. mit Begründungen) auf Injektivität,
Surjektivität und Bijektivität:
u: w
x
36. Skizziere für y R 0 die Funktion u
z q{| sin für alle
.
37. Skizziere die Funktion ~ •
sin •
< cos •
für B5 ( • ( 5.
38. Seien ~: w , u: w 5 Funktionen.
Ergänze:
Dann ist u ‚ g:
w
mit
x
39. Zeige (zum Beispiel durch ein Gegenbeispiel), dass u ‚ ~ $ ~ ‚ u im Allgemeinen falsch ist.
Differentialrechnung
40. Zur Definition der Differenzierbarkeit:
Sei „
ein kompaktes Intervall.
Weiterhin sei u: „ w eine Funktion und C
u heißt an der Stelle C differenzierbar, wenn
41. Untersuche die Funktion | |:
w
H
?
mit
.
… | | auf Differenzierbarkeit an der Stelle 0.
42. Nenne sowohl die Produkt-, als auch die Quotientenregel:
43. Beweise beide formal:
3 †
|
44. Differenziere nach :
(i)
i j $
(ii)
‡√ ˆ $
†
g z|
(iii)
(iv)
(v)
tan
‰
‰|
†
†
$
$
3 ²<4
p
$
45. Beweise den „Satz von Fermat“:
(Dies ist die Notwendige Bedingung für das vorliegen von Extremstellen einer Funktion u: Die
Ableitung von u an der Extremstelle muss verschwinden.)
Sei „
DC, .E ein nicht-ausgeartetes Intervall (d.h. C ) .),
u: „ w eine Funktion,
C
C, . eine Extremstelle von u.
Ist u bei C differenzierbar, dann ist u † C $ 0.
Hinweis: Betrachte den Differenzenquotienten links und rechts des Punktes C.
46. Begründe mit dem „Satz von Fermat“ aus Aufgabe 41 (darf auch unbewiesen benutzt
werden), dass ein Polynom
mit C3 , … , CI
, CI ‹ 0 %
Š
I
$ J CK
K2?
K
, d.h. vom Grad n höchstens n-1 Extremstellen hat.
Hinweis: Verwende dazu die aus der Schule bekannte Eigenschaft, dass ein Polynom n-ten Grades höchstens n
(reelle) Nullstellen hat.
47. Zeige durch ein Gegenbeispiel, dass die folgende Aussage im Allgemeinen falsch ist:
„Wenn u: „ w in „ differenzierbar ist, gilt
u † R 0 in „ Œ u streng monoton wachsend in I.“
Hinweis: Es gilt nur „ “.
48. Beweise eine abgeschwächte Form des „Identitätssatz für differenzierbare Funktionen“:
Sei „
DC, .E ein beliebiges nicht-ausgeartetes Intervall. Die Funktion u: „ w sei stetig in „
und im Inneren von „ – also in C, . – differenzierbar. Dann gilt:
u†
$ 0 für alle x aus dem Inneren von I Œ u ‘ \’%“” in „
Hinweis:
Bei der Hinrichtung „ “ ist der „Mittelwertsatz“ anzuwenden: Für zwei Funkte ,
™— š
C, . : u † – $ — ˜˜™š
.
†
C, . gilt: •–
Bei der Rückrichtung „›“ untersuche die Gesamtheit aller möglichen Differenzenquotienten.
44. Zeige den „Satz des Pythagoras“: cos
< sin
$1
.
< “8%
B 1, differenziere diese Funktion nach und verwende den
Hinweis: Setze dazu u
\’“
Identitätssatz für differenzierbare Funktionen (darf auch unbewiesen verwendet werden).
49. Beweise den Satz über die „Ableitung der Umkehrfunktion“:
Sind „, œ
Intervalle und u•‡u q3 A ˆ existent und ‹ 0, so ist
1
u q3 † A $
q3
u•‡u A ˆ
Hinweis: Es reicht die Identität zu zeigen. Die Existenz von u q3
Benutze für deinen Beweis, dass
‰
‰ž
†
A braucht hier nicht bewiesen zu werden.
A $ 1 gilt, die Kettenregel des Differenzierens, sowie die grundlegende
Eigenschaft der Umkehrfunktion: u‡u q3 A ˆ $ A
50. Berechne mit obiger Formel die Ableitung von arctan
tanq3 :
w BŸ , Ÿ
„Mini-Max“-Aufgaben
51. Finde das Rechteck, das für einen gegebenen Umfang
Wie nennt man ein solches Rechteck?
den maximalen Flächeninhalt hat.