1. Das unbestimmte Integral

Integralrechnung. Das unbestimmte Integral
Integralrechnung
1. Das unbestimmte Integral
Denition
Betrachten wir die Gleichung
df (x) = g(x)dx,
die die Funktionen f (x) und g(x) miteinander verknüpft. Bis jetzt gingen wir davon aus,
dass die Funktion f (x) bekannt war, und unsere Aufgabe bestand daraus, die Funktion
g(x) zu bestimmen, die wir Ableitung nannten und als g(x) = f 0 (x) bezeichneten. Jetzt
wenden wir uns an die Umkehraufgabe. Gegeben sei die Funktion g(x) und wir wollen
f (x) nden. Bei dieser Fragestellung wird f (x) Stammfunktion von g(x) genannt. Das
Verfahren, bei dem die Stammfunktion berechnet wird, nennt man Integration von g(x).
Wie wir wissen, verwandelt sich die Funktion f (x) zum Dierential unter der Wirkung
vom Zeichen d, das also als eine Art Operator betrachtet werden kann. Jetzt bräuchte man
einen Umkehroperator, der das Wirken vom
r Zeichen d aufheben würde. Wir wollen diesen
neuen Operator Integral nennen und als bezeichnen. Wir würden ihn gern durch die
folgende Gleichung denieren:
r
df (x) = f (x).
Diese Möglichkeit gibt es wirklich, aber nur mit einem wichtigen Vorbehalt. Das Problem
liegt darin, dass man die Funktion f (x) anhand ihres Dierentials nicht eindeutig wiederherstellen kann. Tatsächlich, nehmen wir an, dass die Funktionen f0 (x) und f1 (x) in allen
Punkten, wo sie deniert sind, ein und dasselbe Dierential haben:
df0 (x) = df1 (x).
Darf man aus diesem Grund das Gleichheitszeichen zwischen ihnen stellen: f0 (x) = f1 (x)?
Nein, das darf man nicht. Betrachten wir die Dierenz
c(x) = f1 (x) − f0 (x)
und berechnen ihr Dierential:
dc(x) = d[f1 (x) − f0 (x)] = df1 (x) − df0 (x) = 0.
Dieses Ergebnis bedeutet, dass die Tangente an den Graphen c(x) in jedem Punkt eine
streng horizontale Gerade darstellt. Das ist nur dann möglich, wenn der Graph selbst
überall streng horizontal ist. Die Funktion c(x) ist also gleich einer xierten Zahl, nicht
aber unbedingt Null. Folglich, müssen die Funktionen f0 (x) und f1 (x) nicht unbedingt
übereinstimmen. Gegeben sei zum Beispiel:
df (x) = 2x dx.
Dann passen für f (x) die folgenden Funktionen mit gleichem Recht:
f0 (x) = x2 ,
f1 (x) = x2 + 1.
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Integralrechnung. Das unbestimmte Integral
r
Deswegen, falls das Zeichen die Wirkung vom Zeichen d aufhebt, müssen gleichzeitig
die folgenden zwei Gleichungsketten gelten:
r
r
df (x) = 2x dx = x2 ,
r
r
2
df (x) = 2x dx = x + 1 .
Mehr als das: an der Stelle von der unterstrichenen Eins, könnte hier eine beliebige reelle Zahl stehen. Was kann man hier tun? Wie wollen wir die Funktion anhand ihres
Dierentials wiederherstellen? Bleiben wir bei der Wahrheit und schreiben einfach:
r
2x dx = x2 + irgendeine Zahl, deren Wert wir nicht wissen.
Statt der Wörter irgendeine Zahl, deren Wert wir nicht wissen benutzt man allerdings den Fachbegri unbestimmte Integrationskonstante. Diese Konstante wird gewöhnlich mit C bezeichnet:
r
2
2x dx = x + C.
Wegen
r dieser Unbestimmtheit des Ergebnisses, nennt man das Vorgehen, das vom Operator vorgeschrieben wird, unbestimmte Integration. Im Allgemeinen wird dieses Vorgehen
mit dem Dierential einer beliebigen Funktion vorgenommen und auf die folgende Weise
deniert:
r
df (x) = f (x) + C.
Die zwei folgenden Gleichungen haben genau den gleichen Sinn:
r
r
g(x) dx = df (x),
g(x) dx = f (x) + C.
Die Notation g(x)dx wird gelesen als unbestimmtes Integral von (oder: über) der
Funktion f (x) nach der Variable dx. Die Funktion g(x) wird in diesem Kontext auch
Integrand genannt.
Anmerkung. In unseren Überlegungen haben wir schweigsam angenommen, dass die Funktion f (x) in ihrem Denitionsbereich überall dierenzierbar ist. Finden wir jetzt heraus,
was passiert, wenn es nicht der Fall ist. Betrachten wir zum Beispiel die Betragsfunktion
(
−x falls x < 0,
f (x) = |x| =
x falls x ≥ 0,
die in Punkt x = 0 nicht dierenzierbar ist. Ansonsten ist ihre Ableitung gleich
(
−1 falls x < 0,
g(x) = f (x) =
1 falls x > 0.
0
Beim Versuch, die Funktion f (x) anhand ihrer Ableitung g(x) wiederherzustellen, bekommen wir


−x + C1 falls x < 0;
r
fneu (x) = g(x) dx =
C2 falls x = 0;


x + C3 falls x > 0.
wobei die Konstanten C1 , C2 und C3 verschiedene Werte unabhängig voneinander haben können. Es lässt sich leicht feststellen, dass in allen Punkten auÿer x = 0 gilt:
0
fneu
(x) = g(x). Folglich, bleibt die Integrationskonstante C unveränderlich nur innerhalb
des Intervalls, wo die Stammfunktion f (x) dierenzierbar ist.
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Integralrechnung. Das unbestimmte Integral
Integrale von Standardfunktionen
Die Integrationsformeln für die Standardfunktionen sind nichts anderes als die uns schon
bekannte Formeln für Dierentiale mit den umgetauschten Gleichungsseiten.
ex dx = dex
dx
= d ln |x|
x
r
ex dx = ex + C
w dx
= ln |x| + C
x
r
xn dx =
sin x dx = −d cos x
r
sin x dx = − cos x + C
cos x dx = d sin x
dx
= d tan x
cos2 x
dx
= −d cot x
sin2 x
dx
= d arctan x
1 + x2
dx
√
= d arcsin x
1 − x2
cos x dx = sin x + C
dx
= tan x + C
cos2 x
w dx
= − cot x + C
sin2 x
w dx
= arctan x + C
1 + x2
w
dx
√
= arcsin x + C
1 − x2
xn dx =
dxn+1
n+1
r
xn+1
+C
n+1
w
x < 0 oder x > 0

n 6= −1, x > 0;
wenn n ∈ Z und n < −1,
dann x < 0 oder x > 0
auf den Intervallen, wo
cos x 6= 0
auf den Intervallen, wo
sin x 6= 0
−1 < x < 1
Das einzig Neue in dieser Tabelle ist die Verallgemeinerung der Gleichung d ln x = dx
x auf
den Fall, wenn x negativ ist. Mithilfe der Kettenregel kann man sich leicht vergewissern,
dass für x < 0 gilt:
d ln |x| = d ln(−x) =
1
−x
d(−x) =
1
.
x
Beim Berechnen von Integralen werden wir auch die folgenden zwei oensichtliche Regeln
benutzen.
Faktorregel. Ein konstanter Faktor a kann stets aus dem Integralzeichen herausgezogen
werden:
r
r
ag(x) dx = a g(x) dx.
Summenregel. Das Integral einer Summe ist die Summe der Integrale:
r
r
r
[g1 (x) + g2 (x)] dx = g1 (x) dx + g2 (x) dx.
Jedoch gibt es keine universellen Regeln, die ermöglichen, jede beliebige Kombination von
Standartfunktionen zu integrieren. Deshalb ist die analytische Integration in Allgemeinem
viel schwieriger als das Dierenzieren.
Integration durch Substitution
Manche Integrale lassen sich in die folgende Form umgestalten:
r 0
u (v) dv(x),
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Integralrechnung. Das unbestimmte Integral
wobei u0 (v) die Ableitung einer bekannten Funktion u(v) ist. In diesem Fall macht man
sich die Kettenregel zunutze
u0 (v) dv(x) = du[v(x)],
die nun auch auf die andere Weise umgeschrieben werden kann:
r 0
u (v) dv(x) = u[v(x)] + C.
Angenommen, wir wollen das Integral von cos(2x + 1) bestimmen. Dann
cos(2x + 1) dx =
=
1
2
1
2
cos(2x + 1) d(2x + 1)
d sin(2x + 1)
u(v) = sin v , v(x) = 2x + 1
u0 (v) = cos v
(Diese Gleichungskette ist am leichtesten zu prüfen, wenn man sie rückwärts liest.) Folglich,
r
1
cos(2x + 1) dx =
2
sin(2x + 1) + C.
Dieses Verfahren wird Integration durch Substitution genannt. Wir haben jetzt zwar keine
Substitution verwendet, aber es kommt auf dasselbe heraus, wenn man die neue Variable
explizit festlegt:
v = 2x + 1.
Tatsächlich, drücken wir x durch v aus:
x = 12 (v − 1),
dx =
1
2
dv,
und führen dann die entsprechende Substitution dürch:
cos(2x + 1) dx = cos 2 · 12 (v − 1) + 1 12 dv =
1
2
cos v dv =
1
2
d sin v =
1
2
d sin(2x + 1).
Das erhaltene Ergebnis lässt eine Verallgemeinerung zu. Angenommen, wir wollen die
Funktion der Form u0 (ax + b) integrieren, wobei a und b xierte Parameter sind (a 6= 0).
Dann
u0 (ax + b) dx =
1
a
1
a
u0 (ax + b) d(ax + b) =
Daher
r
1
a
u0 (ax + b) dx =
du(ax + b).
u(ax + b) + C.
Hier sind noch einige weitere Beispiele.
Beispiel 1.
w
e−x x dx = − 12
2
Beispiel 2.
r
tan x dx =
w
e−x d(−x2 ) = − 12 e−x + C.
2
2
w sin x
w d cos x
dx = −
= − ln | cos x| + C.
cos x
cos x
Beispiel 3 (a > 0, |x| < a).
w
w
d xa
dx
√
= q
a2 − x 2
1−
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x 2
a
= arcsin
x
a
4
+ C.
Integralrechnung. Das unbestimmte Integral
Partielle Integration
Die Grundlage des Verfahrens, das man partielle Integration nennt, ist die Produktregel
des Dierenzierens, die nun in der folgenden Form geschrieben wird:
u dv = d(uv) − v du
oder
r
r
u dv = uv − v du,
wobei u = u(x) und v = v(x) dierenzierbare Funktionen von x sind. (Die Integrationskonstante C muss man hier nicht schreiben, da die beiden Gleichungsseiten die Unbestimmtheit beinhalten.) Machen wir uns mit diesem Verfahren anhand einiger Beispiele
bekannt.
Beispiel 1. Bestimmen wir das Integral von ln x:
ln x dx = d (ln x · x) − x d ln x
u = ln x, v = x
= d (ln x · x) − x x1 dx
= d (ln x · x) − dx
= d (x ln x − x).
Daher
r
ln x dx = x ln x − x + C.
Beispiel 2. Integrieren wir die Funktion xex :
x ex dx = x dex = d (xex ) − ex dx
= d (xex ) − dex
= d (xex − ex )
= d (x − 1) ex .
u = x, v = e x
Also
r
x ex dx = (x − 1) ex + C.
Beispiel 3.
r 2 x
r
x e dx = x2 dex
r
u = x2 , v = e x
= x2 ex − ex dx2
r
= x2 ex − 2 xex dx
= x2 ex − 2(x − 1)ex + C.
Hier haben wir das Ergebnis des vorigen Beispieles benutzt.
Beispiel 4.
r
r
x cos x dx = x d sin x
u = x, v = sin x
r
= x sin x − sin x dx
= x sin x + cos x + C.
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Integralrechnung. Das unbestimmte Integral
Einige Integrale von rationalen Funktionen
Rationale Funktion wird als Quotient zweier Polynomen deniert. Es gibt eine allgemeine
Theorie, die ermöglicht, das Integral von einer beliebigen rationalen Funktion zu berechnen. Hier wollen wir uns aber nur auf die wichtigsten Beispiele beschränken.
1.
w
w d(x − a)
dx
=
= ln |x − a| + C.
x−a
x−a
w x dx
w x−a+a
w
w dx
=
dx = dx + a
= x + ln |x − a| + C.
x−a
x−a
x−a
x
w dx
1
x
1 w d a
3.
= arctan + C; a 6= 0.
=
2
2
2
x
x +a
a
a
a
+1
2.
a
4.
w
w d(x + b)
dx
x+b
1
+ C;
=
= arctan
2
2
2
2
(x + b) + a
(x + b) + a
a
a
5.
w
x dx
1 w d(x2 + a2 )
1
=
= ln(x2 + a2 ) + C.
2
2
2
2
x +a
2
x +a
2
6.
w
w x+b−b
x dx
=
dx
(x + b)2 + a2
(x + b)2 + a2
w (x + b) d(x + b)
w d(x + b)
=
−
b
(x + b)2 + a2
(x + b)2 + a2
b
1 x+b
= ln (x + b)2 + a2 − arctan
+ C;
2
a
a
a 6= 0.
a 6= 0.
7.
w
w d(x − a)
dx
1
=
=−
+ C.
2
2
(x − a)
(x − a)
x−a
8.
w
w x−a+a
w dx
w
x dx
dx
1
=
dx =
+a
= ln |x − a| −
+ C.
2
2
2
(x − a)
(x − a)
x−a
(x − a)
x−a
9.
w
dx
1 w (x + a) − (x − a)
=
dx
x 2 − a2
2a
(x + a)(x − a)
w dx 1 w dx
=
−
2a
x−a
x+a
1
1 x − a =
ln |x − a| − ln |x + a| + C =
ln
+ C;
2a
2a
x+a
10.
w
dx
1 w (x − a) − (x − b)
=
dx
(x − a)(x − b)
b−a
(x − a)(x − b)
1 w dx
1 w dx
=
−
b−a x−b b−a x−a
1
1
=
ln |x − b| +
ln |x − a| + C;
b−a
a−b
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6
a 6= b.
a 6= 0.
Integralrechnung. Das unbestimmte Integral
11.
w
x dx
=
(x − a)(x − b)
w
1
1
(x − a) − 1b (x − b)
a
dx
(x − a)(x − b)
ab
1 w dx
1 w dx
=
−
b−a a x−b
b
x−a
b
a
=
ln |x − b| +
ln |x − a| + C;
b−a
a−b
1
a
−
1
b
a 6= b.
Anmerkung 1. Die Intergale
w
dx
2
x + 2px + q
und
w
x2
x dx
+ 2px + q
kommen auf eines von den oben angeführten Beispielen heraus, weil
x2 + 2px + q = (x2 + 2px + p2 ) + (q − p2 ) = (x + p)2 − (p2 − q)

falls p2 − q < 0;
 (x + b)2 + a2 , a2 = −(p2 − q), b = p,
a = −p, p
falls p2 − q = 0;
= (x − a)2 ,
p

(x − a)(x − b), a = −p − (p2 − q), b = −p + (p2 − q), falls p2 − q > 0.
Anmerkung 2. Das Intergal
w x2 + 2p x + q
1
1
dx
2
x + 2p2 x + q2
lässt sich mithilfe der folgenden Darstellung berechnen:
w (x2 + 2p x + q ) + 2(p − p )x + (q − q )
w
2(p1 − p2 )x + (q1 − q2 )
2
2
1
2
1
2
dx =
1+
dx.
x2 + 2p2 x + q2
x2 + 2p2 x + q2
Noch mehr Integrale
1a. Das folgende Integral ist leicht zu bestimmen, indem man die trigonometrische Identität sin x = 2 sin x2 cos x2 benutzt.
w dx
w
dx
=
sin x
2 sin x2 cos
x
2
w cos
=
sin
x
2
x
2
w d tan x
d x2
2
tan
=
=
ln
cos2 x2
tan x2
x
2
+ C.
1b. Dasselbe Integral kann auch auf das Integral von einer rationalen Funktion reduziert
werden:
w dx
w sin x dx w d cos x
1 cos x − 1 =
=
= ln
+C
sin x
cos2 x − 1
2
cos x + 1 sin2 x
1 cos2 x − 1 = ln
+C
2
(cos x + 1)2 1
sin2 x
= ln
+C
2
(1 + cos x)2
1 + cos x 1
+ C = − ln
= − ln
+ cot x + C.
sin x
sin x
Die Ergebnisse sind natürlich identisch, weil tan
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7
x
2
=
sin x
.
1+cos x
Integralrechnung. Das unbestimmte Integral
2. Ebenso:
w dx
w cos x dx
w d sin x
1 sin x − 1 =
=−
+C
= − ln
cos x
cos2 x
2
sin x + 1 sin2 x − 1
1 sin2 x − 1 = − ln
+C
2
(sin x + 1)2 cos2 x
1
= − ln
+C
2
(1 + sin x)2
1
1 + sin x + C = ln
+ tan x + C.
= ln
cos x
cos x
√
3. Die Integrale, die die Wurzel x2 + 1 enthalten, kann man manchmal durch die folgende
trigonometrische Substitution berechnen:
x = tan ϕ,
dx =
p
√
dϕ
1
2+1 =
x
tan2 ϕ + 1 =
und
,
2
cos ϕ
cos ϕ
−
π
π
<ϕ< .
2
2
Beispiel:
w
√
1
x2 + 1
dx =
w
w dϕ
1
dϕ
+C
=
=
ln
+
tan
ϕ
cos ϕ
cos ϕ
cos2 ϕ
cos ϕ
√
= ln x2 + 1 + x + C
√
= lnx + x2 + 1 + C.
Ergänzung:
w
r x
w
2
x
1
1
x
√
dx = q
d
= ln +
+ 1 + C1
2
a
a
a
x 2 + a2
( xa ) + 1
√
= lnx + x2 + a2 + C.
√
4. Für die Integrale mit der Wurzel x2 − 1 verwendet man die trigonometrische Substi-
tution in der Form:
1
x=
,
cos ϕ
r
√
sin ϕ dϕ
sin ϕ
1
dx =
und x2 − 1 =
−1=
= tan ϕ,
2
2
cos ϕ
cos ϕ
cos ϕ
π
π
0<ϕ<
für x ≥ 1; −π < ϕ < − für x ≤ −1.
2
2
Beispiel:
w
w cos ϕ sin ϕ dϕ w dϕ
1
+C
√
dx =
=
=
ln
+
tan
ϕ
cos ϕ
sin ϕ cos2 ϕ
cos ϕ
x2 − 1
√
= lnx + x2 − 1 + C.
1
Ergänzung:
w
r x
w
2
x
1
1
x
√
dx = q
d
= ln +
− 1 + C1
2
a
a
a
x 2 − a2
( xa ) − 1
√
= lnx + x2 − a2 + C.
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Integralrechnung. Das unbestimmte Integral
5. Die trigonometrische Substitution, die die Wurzel
x = sin ϕ,
dx = cos ϕ dϕ und
√
1 − x2 behandeln lässt, lautet
p
√
1 − x2 = 1 − sin2 ϕ = cos ϕ,
−
π
π
<ϕ< .
2
2
Im folgenden Beispiel benutzen wir auch die trigonometrischen Identitäten
cos2 x = 12 (1 + cos 2ϕ) und sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ:
r√
r
r1
2
1 − x2 dx =
cos ϕ dϕ =
=
=
=
=
=
(1 + cos 2ϕ) dϕ
r2
r
1
1
dϕ
+
cos 2ϕ d(2ϕ)
2
4
1
ϕ + 14 sin 2ϕ + C
2
1
ϕ + 12 sin ϕ cos ϕ + C
2
p
1
1
ϕ
+
sin
ϕ
1 − sin2 ϕ + C
2
2
p
1
1
arcsin x + 2 x 1 − x2 + C.
2
Ergänzung:
r√
a2 − x2 dx = a
2
rq
1−(
x 2
)
a
d(
x
a
)=a
2
1
2
arcsin (
= 12 a2 arcsin
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x
a
x
a
)+
+ 12 x
1 x
(
2 a
q
x 2
) 1−(a) +C
p
a2 − x2 + C.