Musterlösungen S254

Musterlösungen zu den Aufgaben "Elemente Stochastik" auf S. 254
Aufgabe 5
a) Zunächst für α=0,05:
Lösungsweg 1:
Erfolg bedeutet "Lampe kaputt" => p=0,3 n=60
Hypothese: H0: p " 0, 3 (weil wir wollen, dass p < 0, 03 ist)
verwirf H0 für X < µ " 1, 64# = 12, 17 , also für X<13
Lösungsweg 2:
!
!
Erfolg bedeutet "Lampe ok" => p=0,7 n=60
!
Hypothese: H0: p " 0, 7 (weil wir wollen, dass p > 0, 7 ist)
verwirf H0 für X > µ + 1, 64" = 47, 82 , also für X>47
!
!
Wichtig: beide Lösungswege führen zum gleichen Ergebnis! In Weg 1 kauft der Händler
das Angebot, wenn weniger
als 13 Birnen kaputt sind, in Weg 2, wenn mehr als 47 ganz
!
sind.
Lösungsweg 1 für α=0,1:
% k + 0, 5 # µ (
Suche k, für das P (X < k ) = "'
* = 10% . Die Tabelle auf S. 315 liefert z=-1,29
$
&
)
(=> α=9,85%, das nächste α wäre >10%).
Löse die !
Gleichung
k + 0, 5 " µ
= "1, 29 => k=12,92 => X<12,92 => verwirf H0 für X<13 (wie
#
oben).
Frage an euch:
Warum ergibt sich die gleiche untere Schranke, obwohl α doppelt so groß
!
ist?
b) Falls 13 Birnen kaputt sind, nimmt der Händler die Lieferung nicht an (H0 wird nicht
verworfen). Aber: Für p=0,29 ist µ " 1, 64# = 12, 05 => es könnten weniger als 30%
defekt sein, der Händler würde also ein günstiges Angebot verpassen.
c) 22 Birnen sind defekt.!Frage: kann es sein, dass p " 0, 3 ist?
Für p=0,3 ist µ + 1, 64" = 23, 82 , das Ergebnis wäre also durchaus verträglich mit einer
Hypothese H1: p=0,3 (innerhalb der 90%-Umgebung von µ). Der Händler könnte also ein
günstiges Angebot verpassen.
!
!
NB: Die Aufgabe ist definitiv schlecht formuliert oder einfach nur falsch platziert. Teile
b) und c) löst man eigentlich, indem man p schätzt. Das machen wir als nächstes, im Buch
steht es allerdings vor den Tests, vielleicht steht die Aufgabe daher an dieser Stelle.
Aufgabe 7
a) Der Großmarkt testet die Hypothese H0: p > 0, 1 (weil er die Qualität der Ware
vertraglich versichert hat).
Verwirf H0 für X " µ # 1, 64$ = 5, 08 => Falls das Gewicht bei weniger als 5 Packungen
abweicht, wird nicht ausgeliefert. !
Achtung: LAPLACE-Bedingung ist hier nicht erfüllt => eigentlich muss man mit PhiFunktion
! rechnen.
b) Der Händler testet die Hypothese H1: p " 0, 1 (weil er, falls p > 0, 1 ist, den Preis
drücken könnte).
Verwirf H1 für X > µ + 1, 64" = 17, 4 => Falls mehr als 17 Packungen unter dem
Mindestgewicht liegen, wird neu!verhandelt.
!
c) Fehlerbetrachtung
!
Fehler
1. Art
2. Art
!
Großhändler
liefert aus, obwohl p > 0, 1
=> Risiko, dass er den Preis senken
muss
aber die Ware wird
p > 0, 1 falsch,
!
nicht ausgeliefert
!
=> Kosten für Nachbesserung der
Ware
!
Einzelhändler
versucht, neu zu verhandeln, obwohl
p " 0, 1 stimmt
=> Ärger mit dem Großhändler
p " 0, 1 falsch, aber Ware wird
angenommen
=> er hätte die Ware billiger
bekommen können (oder bessere
Qualität)