Stochastik - Universität Koblenz · Landau
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UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Dr. Dominik Faas
Stochastik
Wintersemester 2010/2011
Übungsblatt 7
Abgabetermin: 20.12.2010
Aufgabe 27
(1.5+1+1+1.5+1.5+1.5=8 Punkte)
(a) Eine Wetterstation sagt schönes Wetter mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% richtig
voraus und schlechtes Wetter mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% richtig voraus.
Das Wetter ist in 75% der Fälle schön.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Vorhersage? (Zusatzfrage:
Wie könnte die Wetterstation die Quote der korrekten Vorhersagen ohne weiteren
Aufwand erhöhen?)
• Wie groß ist die Chance auf schönes Wetter, wenn dies auch vorhergesagt wurde?
• Wie groß ist die Chance auf schönes Wetter, wenn schlechtes Wetter vorhergesagt
wurde?
(b) Jemand sucht seinen Geldbeutel. Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 20%, dass
er ihn verloren hat. Falls der Geldbeutel nicht verloren ist, befindet er sich mit 50%
Wahrscheinlichkeit auf dem Schreibtisch und mit 30% Wahrscheinlichkeit auf dem
Wohnzimmertisch. Wie groß ist die Chance, dass der Geldbeutel noch da ist, wenn er
weder auf dem Schreibtisch noch auf dem Wohnzimmertisch ist?
(c) In Aufgabe 19 (Blatt 5) wurde nach insgesamt sieben Wahrscheinlichkeiten gefragt.
Berechnen Sie zwei davon erneut, aber diesmal mit einem Baumdiagramm. (Achtung:
Dies ist in manchen Fällen einfach, in anderen wird es komplizierter.)
(d) 30% der Bewohner eines Ortes besitzen einen Garten. Von den Gartenbesitzern hat
jeder dritte ein Haustier, von den übrigen nur jeder siebte. Stellen Sie dazu das Baumdiagramm und das ’umgekehrte Baumdiagramm’ auf.
(e) Vier Kundenberater beantworten Fragen am Telefon. Dabei sind 20% der Anrufer mit
Berater A zufrieden, 40% der Anrufer sind mit Berater B zufrieden, 60% der Anrufer
sind mit Berater C zufrieden und 80% der Anrufer sind mit Berater D zufrieden. A
und B bearbeiten dabei jeweils 25% der Anfragen, C bearbeitet 40% der Anfragen
und D den Rest.
• Wieviele Prozent der Kunden sind mit ihrem Berater zufrieden?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufriedener Kunde von A (bzw. B,
bzw. C, bzw. D) beraten wurde?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein nicht zufriedener Kunde von A (bzw.
B, bzw. C, bzw. D) beraten wurde?
(f) In einer Lostrommel befinden sich 1 schwarze und 1 weiße Kugel. Es werden 4 Kugeln
gezogen. Dabei wird jedesmal die Farbe der gezogenen Kugel festgestellt, die Kugel
wieder zurückgelegt und eine weitere Kugel der gleichen Farbe hinzugefügt. Stellen Sie
einen vollständigen Baum auf und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau
k der gezogenen Kugeln weiß sind (k = 0, . . . , 4).
Aufgabe 28
(1+2+2=5 Punkte)
Sei (Ω, M, P ) ein W-Raum und A, B, C ∈ M mit P (A), P (B), P (C) > 0.
(a) Zeigen Sie:
P A ∩ B C = P AB ∩ C · P (B|C)
und P A ∪ B C = P (A|C) + P (B|C)
(b) Es gelte P (A) = 21 , P (B) = 53 und P (C) = 13 . Berechnen Sie P (A∪B) und P (A∪B∪C)
für den Fall, dass A, B, C unabhängig sind.
(c) Gegeben sei ein Laplacescher W-Raum (Ω, P (Ω) , P ) mit |Ω| = 360. Gibt es unabhängige Ereignisse A, B ∈ P (Ω) mit
(i) |A| = 300 und |B| = 226
(ii) |A| = 84 und |B| = 150
Belegen Sie Ihre Antwort jeweils mit einem Beispiel oder einer Begründung, dass keine
solchen A, B existieren.
(2+2∗ Punkte)
Aufgabe 29
Bei einem ZE hat ein bestimmtes Ereignis A die Wahrscheinlichkeit P (A) = p ∈ [0, 1].
(a) Das ZE wird (n =)4-mal durchgeführt. Bestimmen Sie mit einem Baumdigramm die
Wahrscheinlichkeit, dass A dabei genau (k =)2-mal eintritt.
(b)∗ Verallgemeinern Sie das Ergebnis aus (a) für beliebige n ∈ N∗ und k ∈ {0, . . . , n}.
Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 30∗
(2∗ +1∗ +1∗ =4∗ Punkte)
Seien (Ω1 , P (Ω1 ) , P1 ) und (Ω2 , P (Ω2 ) , P2 ) gegebene W-Räume mit endlichen oder abzählbar unendlichen Ergebnismengen Ω1 , Ω2 . Begründen Sie:
(a) Es gibt ein eindeutiges W-Maß P : P (Ω1 × Ω2 ) → R mit
P (A1 × A2 ) = P1 (A1 ) · P2 (A2 )
für alle A1 ∈ P (Ω1 ) , A2 ∈ P (Ω2 )
(Man nennt P das Produktmaß von P1 und P2 .)
(b) Für A1 ∈ P (Ω1 ) und A2 ∈ P (Ω2 ) sind die Mengen
A1 × Ω 2
und
Ω1 × A2
stochastisch unabhängig.
(c) Sind P1 und P2 Laplacesche W-Maße, so ist auch P ein Laplacesches W-Maß.
Diese Übungsblätter finden sie auch unter
http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/dominik-faas/material
