Kapitel 4. Numerische Lösung des Strömungsproblems mit finiten

Numerische Lösung der
Strömungsgleichung
Matthias Willmann, Joaquin Jimenez-Martinez,
Wolfgang Kinzelbach
Grundwasser I / Numerische Lösung
1
Warum brauchen wir numerische Methoden?
 Analytische Lösungen gibt es nur für homogene Aquifere
mit sehr einfachen Randbedingungen
 Im allgemeinen Fall muss die Strömungsgleichung
numerisch gelöst werden
 Dazu muss Gleichung in Raum und Zeit diskretisiert
werden (Rechner kann nur mit endlich vielen
Freiheitsgraden umgehen)
 Verschiedene Methoden der Diskretisierung: Finite
Differenzen, Finite Elemente, Finite Volumen
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Grundwasser I / Numerische Lösung
2
Bilanz über Zelle
Finite Differenzen
Element
Finite Elemente
Bilanz über Patch
Knoten
Rand G
Finite Volumen
Bilanz über FV
Volumen W
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Grundwasser I / Numerische Lösung
Vorgehen
Formales mathematisches Vorgehen
 Ersetzen der Differentialquotienten durch
Differenzenquotienten
Hier anschaulicheres Vorgehen:
 Einteilen des Aquifers in rechteckige Zellen
 Aufstellen der Wasserbilanz für jede Zelle
 Ausdrücken der Wasserbilanz in den unbekannten
Piezometerhöhen (Darcy)
 Lösung des resultierenden Gleichungssystems
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Grundwasser I / Numerische Lösung
4
Beispiel 2-D Strömung
h
S
 (T h)  q
t
 Bilanz an Einzelzelle (block-zentriertes Verfahren)
y
Dicke =
Mächtigkeit des Aquifers
Dy
Dx
x
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Flüsse zwischen Zelle und Nachbarzellen
Q
Neubildung und
Brunnen: qDxDy
Q1
1
4
0
2
Q2
Q4
3
Q3
Bilanz:
Dt  Q1  Q2  Q3  Q4  Q    h0 (t  Dt )  h0 (t )  S DxDy
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Flüsse zwischen Zelle und Nachbarzellen
Bilanz:
Dt  Q1  Q2  Q3  Q4  Q    h0 (t  Dt )  h0 (t )  S DxDy
Mit dem Darcy-Gesetz folgt:
h1 (t ')  h0 (t ')
h2 (t ')  h0 (t ')
Q1  DxT10
Q2  DyT20
Dy
Dx
h (t ')  h0 (t ')
h (t ')  h0 (t ')
Q3  DxT30 3
Q4  DyT40 4
Dy
Dx
Tij Transmissivität zwischen Knoten i und j
t '  t , t  Dt 
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Grundwasser I / Numerische Lösung
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Flüsse zwischen Zelle und Nachbarzellen
Bilanz:
S0
 h0 (t  Dt )  h0 (t )  
Dt
h1 (t ')  h0 (t ')
h2 (t ')  h0 (t ')
T10
 T20

2
2
Dy
Dx
h (t ')  h0 (t ')
h4 (t ')  h0 (t ')
T30 3

T
 q0
40
2
2
Dy
Dx
wobei
q0  Q /(DxDy)
Die Gleichung für den stationären Fall folgt durch Nullsetzen des Speicherterms
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Mittelung der Transmissivitäten
Die Transmissivität zwischen zwei Zellen wird als Mittel
der Zelltransmissivitäten berechnet
Tij 
Ti  T j
2
oder Tij 
2TT
i j
Ti  T j
Bei geringen Kontrasten: beide Mittel verwendbar
Bei starken Kontrasten: harmonisches Mittel besser
Das harmonische Mittel erlaubt auch die einfache Einbeziehung von
undurchlässigen Rändern: Äussere Transmissivität Null setzen!
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Knotengleichung in globalen Indizes
 Indizierung mit einem Index: Durchnummerierung der Knoten
 Indizierung mit zwei Indizes: Praktischer!
h0  hi , j
T10  TJ i , j 1
h1  hi , j 1
T20  TI i , j
h2  hi 1, j
T30  TJ i , j
h3  hi , j 1
T40  TI i 1, j
h4  hi 1, j
S0  Sij
(i,j)
TIi,j
TJi,j
q0  qij
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Grundwasser I / Numerische Lösung
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Gleichungssystem
Si , j
h
i, j
TJ i , j 1
TJ i , j
(t  Dt )  hi , j (t ) 
Dt
hi , j 1 (t ')  hi , j (t ')
Dy
hi , j 1 (t ')  hi , j (t ')
2
Dy
2

 TI i , j
 TI i 1, j
hi 1, j (t ')  hi , j (t ')
2

2
 qi , j
Dx
hi 1, j (t ')  hi , j (t ')
Dx
i=1,…,NX
j=1,…,NY
Die Gleichungen für i=1, j=1, i=NX, j=NY sind nicht definiert: Es bedarf
der Randbedingungen
z.B. Knoten am Rand hat vorgegebene Höhe: hRand = f(t) bekannt
Oder Randzufluss gegeben: Dann wird entsprechender Zuflussterm
durch bekannten Zufluss ersetzt. Am undurchlässigen Rand entfällt
der Term
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Gleichungssystem
 h (t  Dt )  h (t )  
S
i, j
i, j
TJ i , j 1
TJ i , j
i, j
Dt
hi , j 1 (t ')  hi , j (t ')
Dy
hi , j 1 (t ')  hi , j (t ')
2
Dy 2
 TI i , j
 TI i 1, j
hi 1, j (t ')  hi , j (t ')
Dx
hi 1, j (t ')  hi , j (t ')
2
Dx 2

 qi , j
Um die instationären Gleichungen zu lösen, muss festgelegt werden,
was mit t‘ gemeint ist
t‘ = t führt zu explizitem Verfahren
Einzige Unbekannte pro Gleichung: hij(t+Dt)
t‘ = t+Dt führt zu implizitem Verfahren
Gekoppeltes System mit 5 Unbekannten pro Gleichung
h(t‘) = 0.5(h(t+Dt)+h(t)) Crank-Nicolson führt zu implizitem Verfahren
Gekoppeltes System mit 5 Unbekannten pro Gleichung
In jedem Zeitschritt wird nach hij(t+Dt) gelöst.
Diese Lösung wird Anfangsbedingung für nächsten Zeitschritt
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Gleichungssystem
Das explizite Verfahren ist das schnellste Verfahren, da jede Gleichung
unabhängig von den anderen gelöst werden kann. Gut für Parallelisierung.
Allerdings erfordert es die Einhaltung eines Stabiliätskriteriums. Dt muss
Hinreichend klein sein, um zu gewährleisten, dass der Fluss zur Zeit t den
Fluss über das ganze Zeitintervall gut approximiert.
Gegebene Anfangssituation
h
Das im Zeitintervall Dt zufliessende Volumen muss kleiner
gleich dem zur Auffüllung des Tals erforderlichen Volumen sein
V  2QDt  2
Dt 
Dx
Dx
Dx
1S 2
Dx
2T
Die impliziten Verfahren sind unbedingt stabil.
h
TbDt  DxbhS
Dx
(b Tiefe in Zeichenebene)
Neumann Kriterium (1D)
T  Dt
Dt  1



2
2 
S  Dx
Dy  2
Neumann Kriterium (2D)
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Grundwasser I / Numerische Lösung
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Stationäre Strömung
TJ i , j 1
hi , j 1  hi , j
Dy
2
 TI i , j
hi 1, j  hi , j
Dx
2
 TJ i , j
hi , j 1  hi , j
Dy
2
 TI i 1, j
hi 1, j  hi , j
Dx
2
 qi , j  0
Bei Durchnummerierung der Knoten mit einem Index:
 aij   hi    qi 
Das Gleichungssystem ist immer gekoppelt. Max. 5 Unbekannte pro Gleichung
d.h. maximal 5 Koeffizienten aij ungleich Null. Schwach besetzte Matrix!
Lösung durch Standardlöser für Systeme von linearen Gleichungssystemen.
Direkte Lösungsverfahren: Gauss-Jordan (langsam, Aufwand proportional zu n3)
Iterative Lösungsverfahren: Gauss-Seidel, PCG (Preconditioned Conjugate
Gradients), Multigrid-Verfahren (in aufsteigender Folge der Schnelligkeit)
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Beliebig geformtes Gebiet
Aktiver Knoten (Kennung 1)
Randknoten
Festpotential
rand
Knoten ausserhalb
Gebiet (T=0)
(Kennung 0)
Festpotentialrand
Knoten mit
vorgegebener
Höhe
(Kennung -1)
Trick für Randzuflüsse:
Null setzen und alle Randzuflüsse als Brunnen über q eingeben
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Undurchlässiger Rand
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Beispiel für Handrechnung
Aquifer mit 6 Knoten
Stationäre Strömung
Flussbreite klein
gegen Dx
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Berechnung
Wasserbilanzen für Knoten 1-4
Q51  Q21  Q31  Q1  N DxDy  0
Q12  Q42  N DxDy  0
Q63  Q13  Q43  N DxDy  0
Q34  Q24  Q4  N DxDy  0
h5  h1
h h
h h
DyT51  2 1 DyT21  3 1 DxT31  Q1  N DxDy  0
Dx / 2
Dx
Dy
h1  h2
h h
DyT12  4 2 DxT42  N DxDy  0
Dx
Dy
Einsetzen der Zahlenwerte
h6  h3
h h
h h
liefert 4 Gleichungen
DyT63  1 3 DxT13  4 3 DyT43  N DxDy  0
Dx / 2
Dy
Dx
für h1, h2, h3, h4
h3  h4
h h
DyT34  2 4 DxT24  Q4  N DxDy  0
Dx
Dy
h5  50m h6  50m
Verwendung von Darcy
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Lösung des Gleichungssystems
 Gleichungssystem
(immer symmetrisch)
a11h1  a12 h2  a13h3
a21h1  a22 h2
a31h1
 b1
 a24 h4
 b2
 a33h3  a34 h4
 b3
a42 h2  a43h3  a44 h4  b4
 Gauss-Seidel Verfahren (iterativ): Löse jede Gleichung formal nach
Diagonalelement. Dies führt zu Iterationsvorschrift. Verwende immer
aktuellsten vorhandenen Wert.
h1neu   b1  a12 h2alt  a13h3alt  a11
h2neu   b2  a21h1neu  a24 h4alt  a22
h3neu   b3  a31h1neu  a34 h4alt  a33
h4neu   b4  a42 h2neu  a43h3neu  a44
Stop der Iteration
wenn maximale Änderung
der Höhen kleiner als
vorgegebene Schranke e
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Erweiterung auf freien Aquifer
 Änderungen
Tij  k f ,ij (hij  bij )
Sij  ne,ij
 Anderer Ansatz für Transmissivität zwischen Knoten
TI ij  kI ij (hij  bij )(hi 1, j  bi 1, j )
TJ ij  kJ ij (hij  bij )(hi , j 1  bi , j 1 )
 Folge: Knotengleichungen nichtlinear
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Erweiterung auf freien Aquifer
 Knotengleichung (TI, TJ abhängig von h)
ne i , j
h
TI i , j
i, j
(t  Dt )  hi , j (t ) 
Dt
hi 1, j (t ')  hi , j (t ')
Dx 2
 TJ i , j 1
 TJ i , j
hi , j 1 (t ')  hi , j (t ')
Dy 2
hi , j 1 (t ')  hi , j (t ')
Dy 2
 TI i 1, j
hi 1, j (t ')  hi , j (t ')
Dx 2
 qi , j
 Lösung bei stationärer Berechnung: Iterativ
Tijstart  kij (hijstart  bij )
Tijneu  kij (hijalt  bij )
 Lösung bei instationärer Berechnung: Linearisierung, Korrektur nach
jedem Zeitschritt
Tij (t  Dt )  kij (hij (t )  bij )
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Oberflächengewässer
 Fluss mit Anbindung an Aquifer, kolmatierte Sohle
Zufluss wenn h zwischen
hr und br:
qij 
Qij
Aij
 kSchicht
(h  hij )
r
ij
d Schicht
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Leakage-Faktor
 lij (hijr  hij )
Zufluss allgemein
qij  lij (hijr  hij ) für hij  bijr
qij  lij (hijr  bijr ) für hij  bijr
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Oberflächengewässer
Beachte: Diese Funktion ist nichtlinear, eventuell Iteration bei der
Berechnung der Höhen erforderlich
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Oberflächengewässer
 Unterschied zwischen Leakage und Neubildung durch
Niederschlag:
 Leakage ist von Grundwasserhöhe abhängig
 Neubildung durch Niederschlag ist unabhängig vom
Grundwasserstand
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Drainage
Aus Fluss wird Drainage
mit hr = br
qij  lij (bij  hij ) für bij  hij
qij  0.............. für bij  hij
Vorteil: Kein Zufluss, wenn
h unter b. Kann anstelle Festpotential für Quellen genutzt werden
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Randbedingung der 3. Art
 Fluss und Drainage können allgemeiner als Randbedingungen der 3.,
Art angesehen werden:
h
qij  k
 l (h r  h) 
n
h
ah  b
 c (vorgegeben)
n
Äusseres Potential zieht über Widerstand Wasser an
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25
Verdunstung aus Aquifer
 Abhängig von Grundwasserstand: Maximal, wenn GW-Stand an der
Oberfläche, Null wenn GW-Stand tiefer als Extinktionstiefe.
Verdunstungsrate (einschliesslich Transpiration)
Tiefe
unter GOK
Extinktionstiefe
Vor allem relevant in ariden Gebieten, aber auch in Feuchtgebieten bei uns.
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Woher kommen die Daten
 Geometrie:
 Top-Bottom: Bohrungen, Geophysik
 GOK: LIDAR, Synthetic Aperture Radar (Stereoview)
 Transmissivitäten:
 Pumpversuche
 Speicherkoeffizienten:
 Pumpversuche
 Neubildung:
 Bodenwasserbilanz, Niedrigwasserabflussanalyse, Umwelttracer
 Flusswasserspiegel, Sohlen, Dränhöhen
 Vermessung
 Pumpraten
 Aufzeichnungen der Wasserwerke
 Grösste Probleme: Randzufluss, Leakagefaktoren
 aus Modellkalibrierung
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Beispiele zum Lesen von Gleichenplänen: Gebiet
Festpot.
50 m
T = 0.01 m2/s
Festpot.
45 m
3000 m
5000 m
inaktiv
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Grundwasser I / Numerische Lösung
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Beispiele zum Lesen von Gleichenplänen
HS 2016
Grundwasser I / Numerische Lösung
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Beispiele zum Lesen von Gleichenplänen
HS 2016
Grundwasser I / Numerische Lösung
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Beispiele zum Lesen von Gleichenplänen
HS 2016
Grundwasser I / Numerische Lösung
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Beispiele zum Lesen von Gleichenplänen
Exfiltration aus Fluss und Infiltration
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Beispiele zum Lesen von Gleichenplänen
HS 2016
Grundwasser I / Numerische Lösung
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Beispiele zum Lesen von Gleichenplänen
Umläufigkeit bei Staudamm
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Vorsicht
 Das Interpretieren von Gleichenplänen ist nicht eindeutig.
 T-kontrast und Neubildungskontrast können ähnlich aussehen
h
Entweder gleicher Durchfluss und
unterschiedliches T
Oder: gleiches T, unterschiedliche Neubildung
x
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Einführung in PMWIN
undurchlässig
(5000 m, 3000 m)
(0, 3000 m)
Fluss
Festpot. h=100 m
Brunnen QB=50 L/s
Randzufluss
K = 0.0021 m/s
(4150m, 1650m)
(0,0)
undurchlässig
Freier Aquifer
Top = 102 m, Bottom = 78 m,
Neubildungsrate = 8 L/s/km2
Randzufluss Westen 12 l/s
Porosität für Bahnlinien: n=0.15
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(5000 m, 0)
Berechne mittleres, stationäres Strömungsfeld
und stelle die Höhengleichen dar
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