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LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Vorlesung Mathematik für Studierende der Biologie
WS 2013/2014 (Prof. Leibold)
Alle Antworten müssen mit Rechenweg oder Begründung angegeben werden.
Vereinfachen Sie alle Ergebnisse sofern möglich!
1. (Lösungsmengen)
[13 P]
(a) Für welche reellen Zahlen x gilt |e2x + 2 ex + 1| < 2?
[5 P]
(b) Für welche komplexen Zahlen z gilt exp(z) = −i?
[3 P]
(c) Für welche komplexen Zahlen z gilt exp(z)2 = 2?
[5 P]
2. (Integration/Differenziation)
[10 P]
Berechnen Sie
Z π
ln[2cos(x) ]dx
(a)
0
Z x
d
(b)
dy (x y)
dx 1
Z π/3
sin(x)
(c)
dx [Hinweis: cos(π/3) = 1/2!]
cos(x)2
0
[3 P]
[3 P]
[4 P]
3. (Iterierte Abbildungen, Eigenwerte)
[17 P]
Es beschreibe ~xn = (an , bn , cn )T die Altersverteilung einer Population im Jahr n. Dabei bezeichne
an die Anzahl der Neugeborenen im Jahr n, bn die Anzahl der Einjährigen und cn die Anzahl der
Zweijährigen. Die Dynamik der Population werde beschrieben durch die iterierte Abbildung


0 α1 α2
~xn+1 = A ~xn = σ1 κ1 0  ~xn .
0 σ2 κ2
(a) Was ist die biologische Bedeutung der Konstanten αi , und σi , i = 1, 2? Warum müssen κ1,2 = 0
sein?
[3 P]
(b) Seien λi und ~vi , i = 1, 2, 3 die Eigenwerte und Eigenvektoren von A. Begründen Sie (ohne zunächst
λi und ~vi zu berechnen), warum die Lösung ~xn = An ~x0 wie folgt geschrieben werden kann:
~xn =
3
X
~vi λni ξi (0)
i=1
Was bedeuted hier ξi (0)?
[3 P]
(c) Sei nun α1 = 1, α2 = 2, σ1,2 = 1/2. Weisen Sie nach, dass die Iterations-Matrix A die Eigenwerte
[6 P]
λ1 = 1 und λ2,3 = − 12 (1 ± i) hat. Bestimmen Sie einen Eigenvektor zu λ = 1.
(d) Warum gibt es einen Fixpunkt ~x∗ 6= 0? Was bedeutet dies biologisch?
[2 P]
(e) Begründen Sie anhand Teilaufgabe b, wie sich die Population für lange Zeiten entwickelt! Berechnen Sie dazu λni !
[3 P]
4. (Differentialgleichungen)
[9 P]
Gegeben sei die reelle Differentialgleichung
x
1
dy
− y=x
dx 2
(1)
mit x > 0. Berechnen Sie die Lösung zum Anfangswertproblem y(1) = A > 0!
5. (Qualitative Analyse von Differentialgleichungen, Taylorreihenentwicklung)
[27 P]
Betrachten Sie die Differentialgleichung
2
dv
= f (v) = v (e−v − I)
dt
(2)
mit I ∈ IR.
(a) Skizzieren Sie f (v) für I = 0, I < 0, 0 < I < 1 und I > 1.
[7 P]
(b) Wo liegen die Fixpunkte dieser Differentialgleichung?
[2 P]
(c) Analysieren Sie die Stabilität der Fixpunkte!
[3 P]
(d) Skizzieren Sie das Bifurkationsdiagramm (Fixpunkte als Funktion von I) und markieren Sie die
jeweilige Stabilität.
[4 P]
(e) Sei nun I = e−1 . Entwickeln Sie f in einer Taylorreihe um v = 1 bis einschließlich zweiter Ordnung
und substituieren Sie x(t) = v(t) − 1. Zeigen Sie hiermit, dass
dx
−1
=
(2 x + x2 )
dt
e
(3)
für x ≪ 1.
[5 P]
(f) Zeigen Sie
1
1
=
x (2 + x)
2
1
1
−
x 2+x
und finden Sie damit die eindeutige Lösung (x > 0) der DGL (3) zum Anfangswertproblem
x(0) = 1/4.
[6 P]
6. (Determinanten, Induktion)
[14 P]
Es sei

2
−1

0

0

Dn =  .
 ..

0

0
0
−1 0
0
0
2 −1 0
0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −1
..
..
.
.
...
...
...
0
0
0
0
0
0
0
..
.
...
...
...
...
0
0
0
0
..
.










−1 2 −1 0 

0 −1 2 −1
0
0 −1 2
eine n × n Matrix und an = det(Dn ) deren Determinante.
(a) Berechnen Sie a1 und a2 !
[2 P]
(b) Zeigen Sie anhand des Laplaceschen Entwicklungssatzes dass für n ≥ 3 die rekursive Gleichung
an = 2 an−1 − an−2
gilt.
(4)
[5 P]
(c) Betrachten Sie nun die Folge der Inkremente bn = an+1 − an , n ≥ 1. Zeigen Sie per vollständiger
Induktion, dass an = 1!
[4 P]
(d) Finden Sie nun einen geschlossenen Ausdruck für die Folge bn , n ≥ 1!
7. (Dreisatz und Prozentrechnung)
[3 P]
[10 P]
Eine flüssige chemische Substanz kostet 8000 Eur pro Liter 2% wässriger Lösung, d.h. in einem Liter
Lösung befinden sich 20 ml der Substanz.
(a) Für eine Messung benötigen sie 10 ml 0.01% Lösung. Wie hoch sind die Kosten pro Messung?
[4 P]
(b) Wieviel Wasser befindet sich in den 10 ml?
[1 P]
(c) Sie finden einen Lieferanten, der die gleiche Substanz für 4000 Eur pro Liter 2% Lösung anbietet, er hat aber nur mehr 2 Liter vorrätig. Wieviele Messungen können Sie mit diesen 2 Litern
durchführen?
[2 P]
(d) Sie haben 10000 Euro an Forschungsmitteln für Ihre Experimente zur Verfügung. Wieviele Messungen können Sie machen, wenn Sie den gesamten Vorrat des günstigen Lieferanten und den
Rest beim teureren Lieferanten beziehen können?
[3 P]