T0: Rechenmethoden WiSe 2011/12 ¨Ubungsblatt 9
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T0: Rechenmethoden WiSe 2011/12 Prof. Jan von Delft, Übungen: Olga Goulko ([email protected]) http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/11t0/ Übungsblatt 9 Abgabe: Dienstag, 10.01.2012, 12:10 Beispielaufgabe 1. Stabilitätsanalyse in zwei Dimensionen Betrachten Sie die Differentialgleichung x + y ẋ . = ~x˙ = 1 + 2x ẏ Finden Sie den Fixpunkt und zeigen Sie, dass er im Allgemeinen instabil ist, jedoch stabil bezüglich Abweichungen in eine bestimmte Richtung. Finden Sie diese Richtung, und die entsprechende charakteristische Zeitskala, auf der eine Abweichung vom Fixpunkt in diese Richtung nach Null zerfällt. Beispielaufgabe 2. Fourierreihe der Sägezahnfunktion Die Sägezahnfunktion ist gegeben durch f (x) = x im Intervall −π < x < π, f (±π) = 0 und f (x + 2π) = f (x). Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten und geben Sie die Fourierreihe an. Skizzieren Sie die Funktion und den ersten nichtverschwindenden Term der Fourierentwicklung. Beispielaufgabe 3. Parseval-Identität und Faltung Sei f (x) wieder die Sägezahnfunktion aus der vorherigen Aufgabe und g(x) = sin x. Überzeugen Sie sich gilt, indem Sie exR π an diesem konkreten Beispiel, dassPdie Parseval-Identität ∗ ˆ f (n)ĝ (n) vergleichen. Beweisen Sie die plizit (1/2π) −π dxf (x)g(x) ausrechnen und mit berühmte Identität ∞ X 1 π2 = , n2 6 n=1 indem Sie die Parseval-Identität für f 2 (x) anwenden. Berechnen Sie schließlich die Faltung (f ∗ g)(x) und überprüfen Sie das Faltungstheorem explizit. Aufgabe 1. (∗∗ ) Überdämpfter harmonischer Oszillator Finden Sie die allgemeine Lösung der homogenen harmonischen Oszillator-Gleichungen, ẋ = v, v̇ = −Ω2 x − 2γv, für den überdämpften Fall γ > Ω durch das Lösen des entsprechenden Eigenwertproblems. 1 Aufgabe 2. (∗∗ ) Kritisch gedämpfter harmonischer Oszillator Finden Sie nun mit derselben Strategie die allgemeine Lösung der harmonischen OszillatorGleichungen aus der vorherigen Aufgabe im kritisch gedämpften Fall γ = Ω. In diesem Fall gibt es nur einen (entarteten) Eigenwert, man kann allerdings eine zweite Lösung durch Variation der Konstanten finden. Versuchen Sie nun auf einem anderen Weg zu der Lösung im kritischen Fall zu gelangen, nämlich indem Sie die allgemeinen Lösungen in p jeweils dem überdämpften und dem unterdämpften Fall für kleine Werte des Parameters |Ω2 /γ 2 − 1| Taylor entwickeln. Aufgabe 3. (∗ ) Fixpunkte von Differentialgleichungen in einer Dimension Betrachten Sie die autonome Differentialgleichung ẋ = sin x. Finden Sie die Fixpunkte dieser Differentialgleichung und untersuchen Sie diese auf ihre Stabilität. Zeigen Sie, dass stabile und instabile Fixpunkte sich tatsächlich abwechseln. Skizzieren Sie ẋ als Funktion von x und markieren Sie in Ihrer Skizze die Fixpunkte und den Fluss von x(t) zwischen den Fixpunkten. Aufgabe 4. (∗∗ ) Stabilitätsanalyse in drei Dimensionen Betrachten Sie die autonome Differentialgleichung, 1 − x3 ẋ ~x˙ = ẏ = 2y . 3z − 3 ż Finden Sie den Fixpunkt und zeigen Sie, dass er im Allgemeinen instabil ist, jedoch stabil bezüglich Abweichungen in eine bestimmte Richtung. Finden Sie diese Richtung, und die entsprechende charakteristische Zeitskala, auf der eine Abweichung vom Fixpunkt in diese Richtung nach Null zerfällt. Aufgabe 5. Fourierreihen Bestimmen Sie die Fourierreihen für folgende periodische Funktionen: (a) (∗∗ ) f1 (x) = sin2 x. Hinweis: Benutzen Sie die Darstellung von Sinus und Kosinus durch Exponentialfunktionen um das entsprechende Integral auszurechnen. Beachten Sie außerdem, dass für ganze R π 2ixm dx = 0 falls m 6= 0. Zahlen m gilt 0 e 4x, falls − π < x < 0 (b) (∗∗ ) f2 (x) = , mit f2 (±π) = −π und f2 (x + 2π) = f2 (x). 2x, falls 0 ≤ x < π Aufgabe 6. (∗∗ ) Faltungstheorem Betrachten Sie die Funktion fγ (t) = fγ (0)eγt für t ∈ [0, τ ] und f (t + τ ) = f (t) mit fγ (0) = τ /(eγτ − 1). Zeigen Sie, dass die Fourier-Koeffizienten dieser Funktion folgende Form haben, 1 fˆγ (n) = , iωn + γ mit ωn = 2πn/τ . Benutzen Sie dieses Ergebnis und das Faltungstheorem um die Reihe ∞ X e−iωn t ω2 + γ 2 n=−∞ n zu berechnen. 2
