Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch

Lehrstuhl für Theoretische Physik II
Prof. Dr. U. Eckern, Dr. M. Dzierzawa
Übungen zur Vorlesung Mathematische Konzepte I
WS 2010/11 - Blatt 10
(Abgabetermin: 11. Januar 2011 )
Aufgabe 31: Differentialgleichungen
Klassifizieren Sie die folgenden Differentialgleichungen (gewöhnlich oder partiell, linear
oder nichtlinear) und geben Sie jeweils die Ordnung an. Welche der linearen Differentialgleichungen sind homogen ?
∂
h̄2 2
(b) ih̄ Ψ(r, t) = −
∇ + V (r, t) Ψ(r, t)
∂t
2m
!
(a) mr̈(t) = −kr(t) + F(t)
(c) r̈(t) = −α
r(t)
|r(t)|3
(d)
∂2
∂2
ϕ(x,
t)
−
ϕ(x, t) + sin(ϕ(x, t)) = 0
∂t2
∂x2
Aufgabe 32: Fall mit Luftwiderstand
Ein Körper fällt unter dem Einfluss der Erdbeschleunigung g mit Geschwindigkeit v ≥ 0
Richtung Erdboden und wird dabei vom Luftwiderstand gebremst.
(a) Nehmen Sie an, dass der Luftwiderstand linear mit v zunimmt. Lösen Sie die
Bewegungsgleichung v̇(t) = g − γv(t) für v(0) = 0 durch Trennung der Variablen.
Untersuchen Sie den Grenzfall γ → 0.
(b) Wiederholen Sie die Rechnung für einen Luftwiderstand, der quadratisch mit v
anwächst, d.h. lösen Sie die Bewegungsgleichung v̇(t) = g − αv 2 (t) für v(0) = 0.
R
Hinweis: Für v < v∞ ist dv v2 1−v2 = v1∞ artanh vv∞ .
∞
Aufgabe 33: Harmonischer Oszillator
Die Bewegungsgleichung des ungedämpften harmonischen Oszillators lautet
ẍ(t) + ω02 x(t) = 0
(a) Lösen Sie diese Differentialgleichung mit Hilfe des Exponentialansatzes x(t) = eλt .
Wie lautet die allgemeine Lösung ? Wie lautet die allgemeine reelle Lösung ?
(b) Bestimmen Sie x(t) für die Anfangswerte x(t0 ) = x0 und ẋ(t0 ) = v0 .
Aufgabe 34: Gedämpfter harmonischer Oszillator
Die Bewegungsgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators lautet
ẍ(t) + γ ẋ(t) + ω02 x(t) = 0
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung mit Hilfe des Exponentialansatzes x(t) = eλt . Wie lautet die allgemeine reelle Lösung ?
Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch !