Ubung 2. Kinematik - Universität Potsdam

Universität Potsdam
Vorlesung Theoretische Physik I (LA)
M. Rosenblum
Institut für Physik
WS 16/17
Übung 2. Kinematik
(Besprechung in der Woche vom 31.10.16)
Aufgabe 2.1 (Geschwindigkeit in Kugelkoordinaten)
Drücken Sie den Geschwindigkeitsvektor ~v = (ẋ, ẏ, ż)
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
in Kugelkoordinaten r, φ und θ sowie deren Zeitableitungen aus.
Aufgabe 2.2 (gleichförmig beschleunigte Bewegung)
Ein Massenpunkt bewege sich im (homogenen) Schwerefeld der Erde. Die Anfangsbedingungen seien :
~r0 (t = t0 ) = (x = 0, z = h)
~v0 (t = t0 ) = (u, v)
~g = (0, −g)
1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie diese für ~r = ~r(t).
2. Berechnen Sie aus z = z(t) und x = x(t) die Bahnkurve z = z(x).
3. Berechnen Sie die Zeit t1 bis zum Erreichen des Endpunktes auf Höhe z = 0 sowie
die horizontale Distanz bis zum Endpunkt.
4. (**) Unter welchem Winkel muss man bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit v02 =
u2 + v 2 werfen, um möglichst weit zu kommen?
Aufgabe 2.3 (lineares Kraftgesetz)
Ein Seil, Masse m und Länge L, rutscht über eine Kante ab. Die Reibung des aufliegenden
Stückes soll vernachlässigt werden.
1. Wie lautet die Bewegungsgleichung?
2. Wie lautet die Lösung für den Fall, daß das Seil zur Zeit t = 0 losgelassen wird, wobei
das Stück x0 herabhängt?
3. Wie groß ist die Geschwindigkeit, wenn das Seilenende gerade über die Kante rutscht?
Aufgabe 2.4 (harmonischer Oszillator)
Zeigen Sie, dass x(t) = A cos(ω0 t + φ0 ) eine Lösung der homogenen Differentialgleichung
ẍ + ω02 x = 0 des linearen harmonischen Oszillators ist. Berechnen Sie die Geschwindigkeit
ẋ und die Beschleunigung ẍ und zeichnen Sie diese zusammen mit x(t) in ein Diagramm.
Kennzeichnen Sie die Nullstellen und die Extrempunkte der Funktionen an den Axen. Wie
ergeben sich die Konstanten A und φ0 aus den Anfangsbedingungen x(0) und ẋ(0)?
Aufgabe 2.5 (Federschwinger)
Betrachten Sie einen Federschwinger mit Federkonstante k und Masse m, der senkrecht zur
Erdoberfläche aufgehängt ist und auf den die Erdanziehungskraft wirkt.
1. Schreiben Sie die Lösung der homogenen Newtonschen Bewegungsgleichung auf.
2. Finden Sie eine spezielle Lösung der inhomogenen Bewegungsgleichung (Gleichgewichtspunkt).
3. Schreiben Sie die komplette Lösung auf und interpretieren Sie den Einfluss der
Schwerkraft auf das Verhalten des Pendels.