Theoretische Physik I (WS 2015 / 2016)

Theoretische Physik I
(WS 2015 / 2016)
Übung Ferien
10.12.2015
Aufgabe 31
(Wissenswertes über Schwingungen)
(40 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass die folgenden vier Darstellungen für eine eindimensionale harmonische
Schwingung äquivalent sind:
x(t) = C1 eiωt + C2 e−iωt
= B1 cos(ωt) + B2 sin(ωt)
= A cos(ωt − δ)
= <(Ceiωt )
(I)
(II)
(III)
(IV )
Beweisen Sie hierzu die Schlussfolgerungen I ⇒ II ⇒ III ⇒ IV ⇒ I und geben Sie für
jede Darstellung einen Ausdruck für die Konstanten mithilfe der Konstanten des vorangegangenen Ausdrucks an. (Also z. B. B1/2 = f (C1 , C2 ))
(b) Betrachten Sie einen harmonischen Oszillator mit der Periode τ . hf i sei der Mittelwert
einer beliebigen Funktion f (t), gemittelt über eine vollständige Schwingungsperiode,
hf i =
1ZT
f (t)dt.
τ 0
Bestimmen Sie: hT i = hU i = 21 E.
Wie hängt die Energie von der Amplitude und der Frequenz des harmonischen Oszillators
ab?
(c) Der gedämpfte harmonische Oszillator genügt der Newton’schen Bewegungsgleichung
mẍ = −kx − 2γ ẋ
Lösen Sie die Bewegungsgleichung für die Fälle ω0 > γ/m (Schwingfall), ω0 = γ/m
(aperiodischer Grenzfall, kritische Dämpfung) und ω < γ/m (Kriechfall) und skizzieren
Sie jeweils den zeitlichen Verlauf der Oszillationen.
(d) Bestimmen Sie eine spezielle Lösung des getriebenen, gedämpften harmonischen Oszillators
mẍ = −kx − 2γ ẋ + f0 cos(ωf t)
mit Hilfe der (komplexen) Fourier-Transformation. Denken Sie daran, dass die physikalische Lösung reell ist. Verallgemeinern Sie das Ergebnis auf eine beliebige periodische
Kraft f (t).
Aufgabe 32
(Stumme Glocke)
(30 Punkte)
Diese Aufgabe hat die Kölner Kaiserglocke - im Volksmund ”Die Stumme von Köln” oder ”Die
große Schweigerin” genannt - als historischen Hintergrund.1872 wurde nach der endgültigen
Fertigstellung des Kölner Doms und nach dem Sieg im deutsch-französischen Krieg die Kölner
Kaiserglocke in Auftrag gegeben. Sie war mit 27 Tonnen die schwerste schwingende Glocke
ihrer Zeit. Das erste Probeläuten im Südturm des Doms am 20.08.1875 wurde zur tragischen
Sensation: Die Glocke gab keinen Ton von sich... (aus F. Kuypers, ”Klassische Mechanik”)
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für den
Glockenkörper (1) und den Klöppel (2) einer ungedämpften, frei schwingenden Glocke auf. (siehe
Abb.)
(b) Linearisieren und vereinfachen Sie die Bewegungsgleichungen unter den Annahmen
ϕ1 (t), ϕ2 (t) 1
m2 m1 ,
I2 I1 .
Dann entkoppeln die beiden Differenzialgleichungen und die Differenzialgleichung für ϕ2 (t) beschreibt die harmonische, ungedämpfte Schwingung
des Klöppels, die durch die Glockenschwingung
ϕ1 (t) angeregt wird.
Bestimmen Sie die inhomogene Lösung für ϕ2 (t).
(Die homogene Lösung spielt keine Rolle, da sie
durch die in Wirklichkeit vorhandene Reibung
gedämpft wird.) Untersuchen Sie das Verhältnis ϕ2 (t)/ϕ1 (t) der Ausschläge von Klöppel und
Glockenkörper. Wann bleibt die Glocke stumm?
Aufgabe 33
(Stoß eines Kettenschwingers mit einer festen Wand) (30 Punkte)
Ein linearer Kettenschwinger mit 15 gleichen Massen m und 15 gleichen Federn D ist auf der
rechten Seite an einer ruhenden Wand befestigt und auf der linken Seite offen. Wie üblich ist qj
die Auslenkung der j-ten Masse aus der Gleichgewichtslage. (Die Bewegung ist eindimensional
und verläuft parallel zu den Federn.) Die Anfangsbedingungen
qj (0) = 0 q̇j (0) = v0
j = 1, .., 15
beschreiben den Aufprall eines Kettenschwingers, der innerlich nicht angeregt ist, auf die feste
Wand mit der Geschwindigkeit v0 .
Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und bestimmen Sie die Randbedingungen für das linke
offene Ende des Schwingers. Addieren Sie dazu in Gedanken einen weiteren (16.) Schwinger zu
der Kette und überlegen Sie sich, wie stark die virtuelle Feder gespannt ist. Berechnen Sie dann
die Schwingungen aller Massen analog zum Vorgehen bei Schwingungen mit zwei festen Enden.
Bei der Bestimmung der Amplituden Cr hilft die Orthogonalitätsrelation
N
X
!
!
2s − 1)π
2n + 1
(2r − 1)π
j sin
j =
δrs .
sin
2n + 1
2n + 1
4
j=1
Um sich das Ergebnis zu verdeutlichen, hilft es, die Bewegung graphisch darzustellen.
Frohe Feiertage und einen guten Start ins Neue Jahr