Blatt 4/L1/SS08 16. Die Beschleunigung eines Teilchens der Mass

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16. Die Beschleunigung eines Teilchens der Mass m, das unter dem Einfluss
der Schwerkraft und einer Bremskraft nach unten fällt, ist gegeben
durch
dv
a =
= g−cv ,
dt
wobei g die Erdbeschleunigung ist und c eine Konstante. Zum Zeitpunkt t = 0 soll die Bewegung beginnen.
(a) Diskutieren Sie qualitativ, wie sich die Geschwindigkeit mit der
Zeit verändert. Dazu betrachte die Änderung von dv
in der obigen
dt
Gleichung. Wie groß ist die Geschwindigkeit, wenn die Beschleunigung gleich Null wird?
(b) Skizzieren Sie die Lösungsfunktion v(t) ohne die obige Differentialgleichung zu lösen. Dazu kann man folgendermaßen vorgehen:
Zur Zeit t = 0 ist die v gleich Null und die Steigung g. Zeichnen
Sie eine kurze gerade Strecke ein, d.h. für einen genügend kleinen
Zeitabschnitt ∆t ist diese Steigung eine gute Näherung. Am Ende
von ∆t wird die Steigung nicht mehr g betragen, sondern kleiner/größer als g sein. Nun wiederholen sie die Argumentation für
einen weiteren Zeitabschnitt. Aus den obigen Überlegungen, (a),
wissen wir, welche Grenzgeschwindigkeit erreicht wird.
(c) Lösen Sie die Differentialgleichung (Tipp: z.B. Trennung der Variablen).
17. Betrachten Sie ein massives Teilchen in einem homogenen Schwerefeld.
Nehmen Sie nicht an, dass die träge und schwere Masse gleich sind.
Stellen Sie die Newtonsche Bewegungsgleichung auf (Masse hängt nicht
von Zeit ab) und lösen Sie die Gleichung.
18. Betrachten Sie die Auslenkung einer Feder
in
x–Richtung. Die Rückstellkraft kann phänomenologisch durch Fx =
−kx angesetzt werden (k. . . Konstante). Stellen Sie die Newtonschen
Bewegungsgleichung auf. Eine allgemeine Lösung ist durch
x(t) = C1 eiωt + C2 e−iωt
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gegeben (überprüfen Sie durch Einsetzen).
(a) Berechnen Sie die Konstante ω und die Konstanten C1 , C2 für die
Anfangsbedingungen x(0) = x0 und ẋ(0) = v0 . Zeigen Sie, dass die
Lösung mit in der VO besprochenen Lösung (x(t) = x0 cos(ωt) +
v0
sin(ωt)) übereinstimmt.
ω
(b) Berechnen Sie die kinetische Energie Ekin und die potentielle Energie U und überprüfen Sie die Energieerhaltung.
(c) Skizzieren Sie x(t), ẋ(t), Ekin , U in Abhängigkeit von t. Wie ändern
sich die Graphen falls die Schwingungsdauer τ oder k oder E oder
m verdoppelt/halbiert wird?
19. Betrachten Sie ein ideales Pendel mit Masse m und Länge l. Zeichnen
Sie alle relevanten Kräfte ein.
(a) Stellen Sie die Newtonschen Bewegungsgleichungen auf (Tipp: für
die Rückstellkraft benutzen Sie den Zusammenhang des Winkels
φ mit der Bogenlänge b). Warum fällt die Masse heraus?
(b) Für kleine Auslenkungen (was heißt hier klein?) kann sin φ(t) ≈
φ(t) angenommen werden. Zeigen Sie, dass mit dieser Näherung
φ(t) = A sin ωt + B cos(ωt) A, B, ω = const.
pg
mit ω = l die Differentialgleichung löst.
(c) Vergleichen Sie die Lösung mit dem Beispiel einer Masse an einer
Feder in x–Richtung (siehe VO bzw. Beispiel 18).
20. Betrachten Sie wieder das ideale Pendel mit Masse m. Stellen Sie die
potentielle Energie auf und berechnen Sie die kinetische Energie. Die
Gesamtenergie,die Summe aus potentieller und kinetischer Energie, ist
erhalten (warum?). Differenzieren Sie die Gesamtenergie und die Summe aus potentieller und kinetischer Energie nach der Zeit. Was erhält
man? Welches physikalische Konzept wurde hier im Vergleich zum vorigen Beispiel 19 verwendet?
21. Betrachten Sie wieder das ideale Pendel. Verwenden Sie diesmal die
Näherung sin φ(t) ≈ φ(t), also nur kleine Auslenkungen, und stellen
Sie die Bewegungsgleichung für φ(t) auf.
(a) Zeigen Sie, dass durch Multiplizieren der Bewegungsgleichung mit
φ̇ die potentielle Energie U (φ) berechnet werden kann und die
Energieerhaltung folgt (Tipp: wie VO).
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(b) Schreiben Sie die Hamilton-Funktion als Funktion von φ, φ̇ auf
und diskutieren Sie die Bahnen, die sich im durch φ und φ̇ aufgespannten Phasenraum ergeben, falls l,m,ω oder g größer/kleiner
werden (vergleichen Sie mit Feder Beispiel aus VO bzw. Beispiel
18). Hierbei ist die “Ortskoordinate” φ und zum Beispiel die “Impulskoordinate” φ̇.
(c) Gilt für große Auslenkungen auch die Energieerhaltung (vergleichen Sie mit Beispiel 20) und falls warum?
22. Zur Entspannung: Ein Pilot spring ohne Fallschirm aus seinem brennenden Flugzeug. Kurz vor dem Aufprall auf einen Heuhaufen habe er
eine Geschwindigkeit von 120 km/h erreicht. Ein Mensch kann unter
Umständen eine Verzögerung von höchstens 35g überleben. Im Heuhaufen sei die Verzögerung konstant angenommen (realistisch?). Wie
hoch müsste der Heuhaufen sein, damit der Pilot eine Chance zum
Überleben hat? Erst raten, dann rechnen :-)
23. Mit welcher Mindestgeschwindigkeit müsste ein Körper von der Erdoberfläche weggeschossen werden, damit er (sofern man von Reibungseffekten in der Erdatmosphäre und der Anwesenheit anderer Himmelskörper
absieht) ins Unendliche gelangen könnte (Umfang der Erde: 40000 km).
(Tipp: Verwenden Sie den Energiesatz.)
24. Vergleichen Sie das Ergebnis aus Beispiel 23 für die Fluchtgeschwindigkeit mit der typischen Geschwindigkeit von Luftmolekülen in der
Erdatmosphäre. Hinweis: Für eine grobe Abschätzung genügt es zu
wissen, dass für die mittlere kinetische Energie eines Moleküls gilt
m~v 2
= 32 k T (k. . . Boltzmannkonstante, T . . . absolute Temperatur,
2 p
v < v 2 mit |~v | = v)
25. Wie groß ist die Schwerebeschleunigung auf der Mondoberfläche. Berechnen Sie die Fluchtgeschwindigkeit auf dem Mond. Stellen Sie einen
Zusammenhang zu Beispiel 23 her.
26. Zeigen Sie, dass sich jedes radialsymmetrische Zentralkraftfeld
~r
F~ (~r) = f (r) ,
r
r := |~r|
in der Form F~ (~r) = −grad U (r) schreiben lässt. (Hinweis: Arbeitsintegral wegunabhängig)
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27. Ein LKW fährt auf einer ebenen Straße mit konstanter Geschwindigkeit
v auf einer Kreisbahn vom Radius r.
(a) Wie groß ist die maximal mögliche Geschwindigkeit (sodass der
Wagen nicht seitlich wegrutscht) bei vorgegebener Haftreibungszahl µH zwischen Reifen und Fahrbahn?
(b) Welche Maximalgeschwindigkeit ergibt sich für r = 40 m bei trockener Fahrbahn (µH ' 1), bzw. bei nasser Fahrbahn (µH ' 0.3)?
Geben Sie das Resultat in km/h an. (Hinweis: RH ≤ µH N mit N
Normalkraft)
28. Ein PISA-Beispiel: Längs der unten abgebildeten Bahnkurve bewegt
sich ein Massenpunkt in der eingezeichneten Pfeilrichtung, wobei der
Betrag seiner Geschwindigkeit zeitlich konstant ist.
(a) Zeichnen Sie die Beschleunigungsvektoren in den angegebenen Punkten der Bahnkurve ein, wobei die relativen Größenverhältnisse ungefähr stimmen sollten.
(b) Ändert sich die Beschleunigung, wenn die Bewegung mit der doppelten Geschwindigkeit erfolgt?
(c) Ändert sich die Beschleunigung, wenn die Bewegung in umgekehrter Richtung erfolgt?
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