Einführung in die Geometrie Lösungen zu den Übungsaufgaben der

Einführung in die Geometrie
Lösungen zu den Übungsaufgaben der Vorlesungen 12 und 13
Satz 5.2
Satz 5.2: (Bewegungen mit zwei Fixpunkten)
Wenn eine Bewegung zwei verschiedene Fixpunkte hat, dann sind entweder alle Punkte der
Ebene Fixpunkte oder die Bewegung hat genau eine Fixpunktgerade.
Es war der Fall 2 zu bearbeiten:
Es seien A und B zwei Fixpunkte der Bewegung . Wir wissen bereits, dass jetzt alle Punkte
der Geraden AB Fixpunkte der Bewegung  sind.
Im Fall 2 gehen wir davon aus, dass ein weiterer nicht auf AB liegender Fixpunkt C der
Bewegung  existiert.
Zu zeigen ist jetzt, dass jeder Punkt der Ebene ein Fixpunkt der Bewegung  ist.
Beweis:
Es sei P ein beliebiger Punkt der Ebene.
Fall 1:
Die Gerade PC schneidet die Gerade AB.
In diesem Fall hat die Gerade PC mit dem Punkt C und dem Schnittpunkt D dieser Geraden
mit der Fixpunktgeraden AB zwei Fixpunkte der Bewegung . Damit ist nach Lemma 1 jeder
Punkt der Geraden PC ein Fixpunkt von b, also auch der Punkt P.
Fixpunkt nach Fall 2
C
B Fixpunkt nach Voraussetzung des Satzes 5.2
Fixpunkt weil C und D Fixpunkte sind (Lemma 1)
P
D Fixpunkt nach Lemma 1
A
Fixpunkt nach Voraussetzung des Satzes 5.2
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Fall 2:
Die Gerade PC ist parallel zur Geraden AB.
B
C
Q
P
G
D
A
Es sei D ein beliebiger Punkt auf der Fixpunktgeraden AB. Nach Lemma 1 ist CD eine
Fixpunktgerade. Auf CD existiert ein weiterer Fixpunkt Q von , der nicht zu PC gehört. Da
es durch P nur eine einzige Gerade gibt, die parallel zu AB ist und die Gerade PQ mit der
Geraden PC nicht zusammenfällt, schneidet die Gerade PQ die Gerade AB in genau einem
Punkt G. Weil G auf der Fixpunktgeraden AB liegt, ist er selbst ein Fixpunkt von . Wegen
der Fixpunkteigenschaft der Punkte Q und G ist nach Lemma 1 die gesamte Gerade PQ eine
Fixpunktgerade von und damit auch der Punkt P.
Ergänzung des Beweises von Satz 5.3 (Existenz von
Geradenspiegelungen)
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte.
Nach dem Bewegungsaxiom gibt es genau zwei Bewegungen, die A auf B und B auf A
abbilden.
Für beide dieser Bewegungen ist der Mittelpunkt M von AB ein Fixpunkt.
Beweis:
Zu zeigen:
M, der Mittelpunkt von AB , wird bei jeder Bewegung, die die A auf B und B auf A abbildet
auf sich selbst abgebildet.
Zunächst ist klar, dass M bei diesen Bewegungen auf einen Punkt N der Strecke AB
abgebildet wird (Strecke auf Strecke).
Annahme: N ist von M verschieden.
Da die Strecke AB genau einen Mittelpunkt M hat und nur für diesen |AM|=|MB| gilt, hätten
das Bild BN und die Originalstrecke AM verschiedene Längen. Weil aber jede Bewegung
abstandserhaltend ist, kann das nicht passieren.
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Lösungen zu den Übungsaufgaben der Vorlesungen 12 und 13
Es sei P ein beliebiger von M verschiedener Punkt der Mittelsenkrechten m der Strecke AB .
Zu zeigen:
P ist Fixpunkt der Bewegung, die A auf B, B auf A und die Halbebene ABP+ auf sich selbst
abbildet.
Zunächst ist klar, dass der Strahl MP+ auf einen Strahl MP’+ abgebildet wird (M ist Fixpunkt).
Wir nehmen an, dass P’, das Bild von P bei