Logik II - Wintersemester 2015-16

Logik II - Wintersemester 2015-16
Übungsaufgaben
Dr. Philipp Schlicht
Serie 3
Universität Münster
Aufgabe 8 (6 Punkte).
(1) Zeigen Sie, dass es für alle Ordinalzahlen α, β ein-
deutige Ordinalzahlen γ und δ < β gibt, so dass
α = (β ⊗ γ) ⊕ δ.
(2) (Cantor-Normalform) Zeigen Sie, dass es für jede Ordinalzahl α eindeutige
α0 ≥ · · · ≥ αk gibt, so dass
α = ω ⊗α0 ⊕ · · · ⊕ ω ⊗αk .
Aufgabe 9 (14 Punkte).
(1) (a) Jede Teilmenge einer endlichen Menge ist
endlich.
(b) Das Bild einer endlichen Menge unter einer Abbildung ist endlich
(c) Die Vereinigung von endlich vielen endlichen Mengen ist endlich.
(d) Die Potenzmenge jeder endlichen Menge ist endlich.
(2) (a) Das Bild einer abzählbarer Menge unter einer Abbildung ist abzählbar.
(b) Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar.
(c) Die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen ist abzählbar.
Aufgabe 10 (4 Punkte). Angenommen X ist eine unendliche Menge und S :=
[X]<ω ist die Menge der endlichen Teilmengen von X. Dann ist |S| = |X|.
Aufgabe 11 (4 Punkte). Angenommen (L, <) ist eine lineare Ordnung, so dass
|pred< (x)| < κ für alle x ∈ L. Zeigen Sie, dass |L| ≤ κ.
Eine schwach monoton wachsende Funktion f : Ord → Ord heisst stetig, wenn
supα<β f (α) = f (β) für alle Limesordinalzahlen β gilt. Sie dürfen verwenden, dass
es für jede unendliche Limesordinalzahl γ eine streng monoton wachsende stetige
kofinale Funktion f : cof(γ) → γ gibt. Der Beweis des Satzes von König verallgemeinert den Beweis des Satzes von Cantor, die folgende Aufgabe ist eine weitere
Verallgemeinerung des Satzes von Cantor.
Aufgabe 12 (6 Punkte). Zeige Sie, dass κcof(κ) > κ für alle unendlichen Kardinalzahlen κ gilt.
(Hinweis: nehmen Sie ähnlich wie im Beweis des Satzes von Cantor
an, dass es eine Liste der Länge κ gibt, die alle Funktionen f : cof(κ) → κ aufzählt.
Konstruieren Sie ein Funktion g : cof(κ) → κ, die nicht in der Liste vorkommt.)
Eine unendliche Kardinalzahlκ ist regulär, wenn cof(κ) = κ und singulär, wenn
cof(κ) < κ.
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Aufgabe 13 (Zusatzaufgabe, 6 Punkte). Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
(1) Jede streng monoton wachsende stetige Funktion f : Ord → Ord besitzt einen
Fixpunkt.
(2) Die ℵ-Funktion hat einen Fixpunkt.
(3) Wenn κ ein regulärer Fixpunkt der ℵ-Funktion ist, dann gibt es einen singulären
Fixpunkt µ < κ der ℵ-Funktion.
Abgabe: Montag, den 16. November 2015, 18:00, in Briefkasten 174.