Musterlösung Aufgabe 34, Blatt 8 (mit Kommentaren)

Musterlösung Aufgabe 34, Blatt 8
(mit Kommentaren)
Aufgabe 34
Zeigen Sie, dass die Menge aller koendlichen Teilmengen der natürlichen Zahlen abzählbar ist!
Bemerkung. Für eine beliebige unendliche Menge A heißt die Teilmenge B ⊂ A koendlich, falls ihr Komplement
A\B endlich ist.
Zusatz (ohne Wertung). Ist auch die Menge aller koendlichen Teilmengen der reellen Zahlen abzählbar?
Lösung
Wir bezeichnen die Familie aller koendlichen Teilmengen von N mit K. Zunächst definiert f (A) := N\A eine
bijektive Abbildung von der Familie E der endlichen Teilmengen von N auf K. Dies ist offensichtlich, wird aber
unten noch einmal ausführlich gezeigt, da einige Begriffe dabei noch einmal deutlich werden.
Es genügt also zu zeigen, dass es höchstens abzählbar unendlich viele endliche Teilmengen von N gibt. Dann
existiert nämlich eine surjektive Abbildung g : N → E (was die Familie aller endlichen Teilmengen von N bezeichnen
soll), und damit ist f ◦ g : N → K als Komposition einer surjektiven mit einer bijektiven Abbildung eine surjektive
Abbildung von N auf K, welches damit abzählbar ist.
Der Beweis für die Abzählbarkeit von E ist nun nicht mehr schwer. Wir bezeichnen für jede natürliche Zahl n
mit En die Familie der Teilmenge von
{0, 1, . . . , n} =: Nn .
Dies sind jeweils endlich viele (nämlich 2n+1 Stück – falls Ihnen dies nicht klar ist, versuchen Sie es zu beweisen!),
also ist die Familie
∞
∪
E = {∅} ∪
En
n=0
aller endlichen Teilmengen von N eine abzählbare Vereinigung endlicher Mengen und damit abzählbar.
Für die koendlichen Teilmengen von R klappt das natürlich nicht, denn es gibt schon zu jeder reellen Zahl x
die koendliche Teilmenge R\{x}, und das sind bereits überabzählbar viele.
Für Q hingegen funktioniert der obige Beweis aber ebenso. Genauer ist die Familie der endlichen (und damit auch
die der koendlichen) Teilmengen einer gegebenen Menge M genau dann abzählbar, wenn M selbst abzählbar ist.
Bemerkungen (i) Wir zeigen zunächst noch ausführlich, dass die oben angegebene Abbildung f wohldefiniert und
bijektiv ist. Zu jeder endlichen Menge A ⊂ N ist f (A) = N\A eine koendliche Teilmenge von N, also ist f
tatsächlich eine Abbildung f : E → K. Nach Definition gehört eine Menge B genau dann zu K, wenn eine endliche
Menge A ⊂ N (also A ∈ E) mit B = N\A = f (A) existiert. Die Abbildung f ist also surjektiv. Außerdem gibt es
zu einer gegebenen koendlichen Menge B nur eine endliche Menge A ⊂ N mit f (A) = B, nämlich A = N\B, also
ist f auch injektiv.
(ii) Ob man die leere Menge ∅ als endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen ansehen will, ist eine Bezeichnungsfrage. Man muss nur bei vielen Aussagen über endliche bzw. koendliche Mengen darauf achten, wofür man sich
entschieden hat und diese Menge explizit hinzunehmen oder ausschließen. Wir haben uns hier dafür entschieden,
die Nullmenge als endliche Menge zu bezeichnen. Der Unterschied für unsere Aufgabe besteht aber nur in einer
einzigen koendlichen Teilmenge (nämlich N selbst), die nichts daran ändert, ob die Familie der koendlichen Teilmengen abzählbar ist.
(iii) Es ist wichtig, zwischen Mengen von z. B. natürlichen Zahlen und Mengen (oder Familien) von Mengen zu
unterscheiden. Als Beispiel wollen wir die ersten Schritte bei der Bildung der obigen Vereinigung betrachten. Die
ersten der dort benutzten Familien sind
{
}
{
}
{
}
E0 = {0} , E1 = {0}, {1}, {0, 1} , E2 = {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2} .
Damit ergibt sich
{∅} ∪
2
∪
{
} {
} {
}
En = {∅} ∪ {0} ∪ {0}, {1}, {0, 1} ∪ {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}
n=0
=
{
}
∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2} = E2 ∪ {∅}.
Induktiv zeigt man übrigens für beliebiges n ∈ N
n
∪
Ek = En .
k=0
1
Vergäße man die Mengenklammern um die in den E gesammelten endlichen Teilmengen, so wäre die Vereinigung
von der Form
{ } {
} {
}
∅ ∪ 0 ∪ 0, 1, 0, 1 ∪ 0, 1, 2, 0, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 1, 2 = ∅ ∪ {0} ∪ {0, 1} ∪ {0, 1, 2} = {0, 1, 2}.
Das ist natürlich etwas ganz anderes.
(iv) Da wir nun gezeigt haben, dass sowohl die Menge E der endlichen als auch die Menge K der koendlichen
Teilmengen von N abzählbar sind, können wir ja auch folgern, dass die Familie E ∪ K = P(N) aller Teilmengen von
N abzählbar ist. Allerdings kann man auch zeigen, dass P(N) überabzählbar ist (wie?) – das ist auch tatsächlich
so. Wo liegt also der Fehler in unserer Argumentation für die Abzählbarkeit von P(N)?
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