Lineare Algebra I ¨Ubung 9

Lineare Algebra I
Übung 9
PD. Dr. G. Kyureghyan
WS 2016/2017
Sei V ein K-Vektorraum. Die folgende Definition wurde in der Vorlesung
gegeben:
Elementare Umformungen eines Vektorsystems. Eine elementare Umformung eines Vektorsystems ist einer der folgenden Operationen, welche das
0 ) überführt:
Vektorsystem (v1 , . . . , vm ) in ein System (v10 , . . . , vm
(EU1) vi0 := vi + avj mit a ∈ K und vj0 := vj , für j 6= i.
(EU2) vi0 := vj , vj0 := vi und vk0 := vk für k 6= i, j.
(EU3) vi0 := avi mit a ∈ K \ {0} und vj0 := vj , für j 6= i.
Aufgabe 9.1 Zeigen Sie, dass der Rang eines Vektorsystems (v1 , . . . , vm ),
sich unter elementaren Umformungen nicht ändert: Geht das Vektorsystem
0 ) aus (v , . . . , v ) durch (EU1), (EU2) oder (EU3) hervor, so gilt
(v10 , . . . , vm
1
m
0
Rang (v1 , . . . , vm ) = Rang (v10 , . . . , vm
).
Aufgabe 9.2 Sei p eine Primzahl, 2 ≤ n ∈ N und 1 ≤ k ≤ n − 1. Sei
(v1 , . . . , vk ) ein Vektorsystem mit Rang (v1 , . . . , vk ) = k.
1. Zeigen Sie, dass es (pn − 1)(pn − p) . . . (pn − pk−1 ) Vektorsysteme vom
Rang k in Znp gibt.
2. Sei U ≤ Znp mit dim U = k. Wie viele Elemente hat U ? Zeigen Sie: die
Anzahl der Vektorsysteme vom Rang k in U ist (pk −1)(pk −p) . . . (pk −
pk−1 ).
3. Bestimmen Sie die Anzahl von k-dimensionalen Vektorräumen in Znp .
Aufgabe 9.3 Benutzen Sie das Cantorsche Diagonalargument um zu zeigen, dass R überabzählbar ist. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
1. Zeigen Sie, dass das Interval (0, 1) überabzählbar ist, indem Sie annehmen, dass sich alle reellen Zahlen im Intervall (0, 1) den natürlichen
Zahlen bijektiv zuordnen lassen, d.h. wir erhalten eine Zuordnungsliste, die alle reellen Zahlen in (0, 1) enthält.
2. Mittels ihrer Dezimaldarstellung sind alle reellen Zahlen in (0, 1) wie
folgt dargestellt: 0, a1 a2 a3 . . . mit ai ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}. Mit der vorherigen Aussage können wir alle Zahlen in (0, 1) nummerieren:
0, a11 a12 a13 a14 . . .
0, a21 a22 a23 a24 . . .
0, a31 a32 a33 a34 . . .
..
.
0, ak1 ak2 ak3 ak4 . . .
..
.
3. Sei nun die Zahl x = 0, b11 b22 b33 b44 . . . mit bii = 0 falls aii 6= 0 und
bii = 1 falls aii = 0. Zeigen Sie, dass x ∈ (0, 1) aber nicht in der oben
stehenden Zuordnungsliste enthalten ist.
4. Folgern Sie daraus, dass R nicht abzählbar ist.
Aufgabe 9.4 Benutzen Sie das obige Diagonalargument von Cantor um zu
beweisen, dass ein unendliches abzählbares Cartesisches Produkt von unendlichen abzählbaren Mengen nicht abzählbar ist, d.h., zeigen Sie, dass
N × N × ···
{z
}
|
|N|-mal
überabzählbar ist.
Abgabe: 03.01.2017 vor der Vorlesung