pre05GreenscheFunkti..

Fakultät für Physik
T1: Klassische Mechanik, SoSe 2015
Dozent: Jan von Delft
Übungen: Katharina Stadler, Frauke Schwarz, Dennis Schimmel, Lukas Weidinger
http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/15t1/
Blatt 05.0: Green’sche Funktionen
Abgabe: Freitag, 15.05.2015, 13:00
Beispielaufgabe 1: Eigenschaften der δ-Funktion [3]
Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften der δ-Funktion:
1
δ(x)
(a) [0.5](L) δ(ax) = |a|
´
(b) [0.5](L) dxf (x)δ 0 (x) = −f 0 (0), wobei δ 0 (x) die Ableitung der δ-Funktion bezeichnet.
Veranschaulichen Sie sich die Form von δ 0 (x) wie folgt: berechnen und zeichnen Sie die
Ableitung der Lorentz-Funktion δ (x), die im Limes → 0 eine δ-Funktion liefert:
δ (x) =
1
,
π x2 + 2
mit
lim δ (x) = δ(x) .
→0
(1)
(c) [0.5](L) Zeigen Sie, dass Integration der Darstellung (1) eine Ergebnis liefert, das für → 0
die θ-Funktion ergibt. Damit haben Sie gezeigt, dass θ0 (x) = δ(x) gilt.
1
(d) [1](M) Zeigen Sie mittels der Darstellung (1), dass δ(x2 − a2 ) = 2|a|
[δ(x − a) + δ(x + a)].
2
2
Hinweis: entwickeln Sie zunächst δ (x − a ) für kleine /|a|.
´
(e) [0.5](S) Finden Sie eine Funktionen δ̃(x), für die dx δ̃(x) = 1 gilt, aber für die die
´
Gleichung dxf (x)δ̃(x) = f (0) nicht für beliebige f (x) gilt!
Beispielaufgabe 2: Green’sche Funktion des gedämpften freien Teilchens [8]
Eine freies gedämpftes Teilchen mit Masse m = 1, unter Einfluß einer externen Kraft F (t),
gehorche der Bewegungsgleichung
ẍ + γ ẋ = F (t).
(2)
(a) [0.5](L) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung xh (t) der zugehörigen homogenen Gleichung.
(b) [1](M) Die Green’sche Funktion G des Teilchens erfüllt die Gleichung
G̈ + γ Ġ = δ(t).
Finden Sie mittels dem Ansatz G(t) = θ(t)g(t) eine stetige Lösung dieser Gleichung.
1
(c) [0.5](L) Überprüfen Sie Ihr Resultat, indem Sie in der Green’schen Funktion des übergedämpften harmonischen Oszillators (HO),
r
γ
γ2
eλ+ t − eλ− t
mit λ± = − ±
− ω02 und γ > ω0 ,
GHO (t) = θ(t)
λ+ − λ−
2
4
den Grenzübergang ω0 → 0 durchführen.
(d) [2](S) Wählen Sie nun für die Kraft in (a) einen Rechteckspuls folgender Form (mit > 0):

für t < 0
(Bereich I),
 0
1/ für 0 ≤ t ≤ (Bereich II),
F (t) =

0
für < t
(Bereich III).
Skizzieren Sie den Kraftverlauf für verschiedenen Werte von und überlegen Sie sich,
daß für → 0 tatsächlich eine δ-Funktion (“idealer Kraftstoß”) entsteht. Finden Sie eine
stetige Lösung x(t) der Bewegungsgleichung (2), die die Randbedingungen erfüllt, dass
im gesamten Bereich I x(t) = ẋ(t) = 0 gilt. [Hinweis: bei t = 0 müssen die Lösungen
der Bereiche I und II stetig ineinaner übergehen; dasselbe gilt bei t = für die Lösungen
der Bereiche II und III.] Zeigen Sie, dass die Lösung x(t) im Limes → 0 die Green’sche
Funktion G(t) aus (b,c) liefert.
(e) [1](L) Die δ-Funktion läßt sich auch mittels anderer Formen für den Kraftpuls F (t) durch
einen geeigneten Limes darstellen. Wiederholen Sie Teilaufgabe (d) für Fα (t) = θ(t)αe−αt
(mit α > 0). Welcher Limes muss hier genommen werden, damit Fα einen δ-Puls darstellt?
(f) [1](L) Das Teilchen sei beim Einschalten einer äußeren Kraft F (t) = θ(t)f (t) zur Zeit
t = 0 am Ort x0 und habe die Geschwindigkeit ẋ0 . Geben Sie mittels der Green’schen
Funktion aus Teilaufgabe (b) die Lösung der Bewegungsgleichung für ein beliebiges f (t)
an.
(g) [1](M) Auf das Teilchen, das zunächst bei x = 0 in Ruhe sei, wirke nun ab t = 0 die Kraft
F (t) = θ(t)f0 sin(ωt + φ). Finden Sie den Bewegungsverlauf x(t) des Teilchens für t > 0.
(h) [1](L) Diskutieren Sie das Resultat von (g) im Limes großer Zeiten, t 1/γ? Was ist
dort der Mittelwert x̄, gemittelt über eine Periode der Antriebskraft? Diskutieren Sie (für
beliebige Zeiten) auch den Fall φ = 0 im Limes schwacher Dämpfung, γ → 0, und skizzieren Sie dafür die Geschwindigkeit ẋ(t). Warum wechselt diese niemals ihr Vorzeichen,
obwohl die Kraft oszilliert?
Beispielaufgabe 3: Testfragen [1]
Diese Fragen prüfen, ob Sie einfache, grundlegende Konzepte der Vorlesung verstanden
haben. Sie sollten sie ohne längeres nachdenken oder nachschlagen in ein paar Minuten beantworten können.
1. Skizzieren Sie die Resonanzkurve eines schwach gedämpften harmonischen Oszillators.
2. Was ist eine Greensche Funktion? Wie kann mit ihrer Hilfe die Lösung einer Differentialgleichung für beliebige Inhomogenitäten gefunden werden?
3. Wie findet man die Richtung einer Zwangskraft?
2
4. Was ist
´
dxδ(x) sin(x);
´
dxδ(x) cos(x);
´
dxδ 0 (x) sin(x);
´
dxδ 0 (x) cos(x) ?
[Gesamtpunktzahl Beispielaufgaben: 12]
Hausaufgabe 1: Fourier-Transfomation [2]
Die Fouriertransformierte f˜(ω) = F[f (t)](ω) ist definiert durch:
ˆ ∞
˜
dt eiωt f (t)
F[f (t)](ω) = f (ω) =
(3)
−∞
ˆ
∞
f (t) =
−∞
dω −iωt ˜
f (ω) .
e
2π
(4)
1 (a) [0.5](L) Finden Sie F t2 +a
2 (ω).
Hinweis: Spalten Sie die komplexe Exponentialfunktion in trigonometrische Funktionen
auf und benutzen Sie Bronsteins Tabelle bestimmter Integrale. Alternativ: (Bonus) [1](S)
Berechnen Sie das Fourier-Integral mittels Konturintegration! Zeigen Sie, dass die Rück1
transformation Ihres Ergebnisses für f˜(ω) wieder t2 +a
2 liefert.
(b) [0.5](L) Finden Sie F [θ(t)e−γt sin Ωt] (ω) für γ > 0.
(c) [0.5](L) Ableitung im Orginalbereich: Zeigen Sie durch Ableitung von Gl. (4), dass
n
d f (t)
F
(ω) = (−iω)n f˜(ω) .
n
dt
Hinweis: Benutzen Sie die Integraldarstellung der δ-Funktion.
(d) [0.5](L) Ableitung im Bildbereich: Zeigen Sie durch Ableitung von Gl. (3), dass
n
F [t f (t)] (ω) =
n˜
n d f (ω)
(−i)
dω n
.
Eine weitere Hausaufgaben wird demnächst online gestellt werden! Bitte schauen
Sie Freitagabend nochmal nach!
Hausaufgabe 2: Kritisch gedämpfter Oszillator mit Rechteck-Antriebspuls [5]
(a) [2](M) Für den kritisch gedämpften harmonischen Oszillator,
ẍ + 2γ ẋ + γ 2 x = f (t),
(5)
werde die Antriebskraft zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltet und sei danach konstant,
f (t) = θ(t)f . Finden Sie die Lösung der Bewegungsgleichung mit den Anfangsbedingungen x(t) = 0 und ẋ(t) = 0 für t < 0. Hinweise: Die allgemeine homogene Lösung hat die
Form xh (t) = (A + Bt)e−γt . Nutzen Sie als partikuläre Lösung die asymptotische Lösung
von (5) für t → ∞.
Finden Sie ferner die Lösung x(t) für den Fall, dass für t < 0 eine konstant treibende
Kraft f wirkt, die zum Zeitpunkt t = 0 ausgeschaltet wird.
3
(b) [1](M) Lösen Sie Gl. (5), mit Randbedingungen x(t) = 0 und ẋ(t) = 0 für t < 0, für einen
normierten Rechteckspuls der Form fT (t) = T1 θ(t)θ(T − t). Zeichnen Sie für γT 1 die
Lösung im gesamten Bereich 0 < t < ∞. Hinweis: das Ergebnis aus (a), ausgewertet bei
t = T , dient als Anfangswert für den Bereich t > T .
(c) [0.5](L) Zeigen Sie durch Einsetzen, dass G(t) = θ(t)e−γt t die Green’sche Funktion des
kritisch gedämpften harmonischen Oszillators ist, d.h. folgende Gleichung erfüllt:
2
d
d
2
(6)
+ 2γ + γ G(t) = δ(t) .
dt2
dt
(d) [0.5](L) Zeigen Sie, dass Ihr Ergebnis aus (b) im Limes T → 0 die Green’sche Funktion
aus (c) reproduziert. Warum ist das so?
(e) [1](M) Für einen beliebigen Antrieb f (t) lässt sich die Lösung von Gl. (5) schreiben als
ˆ ∞
dt0 G(t − t0 ) f (t0 ).
x(t) = xh (t) + xp (t), mit xp (t) =
−∞
Nutzen Sie diese nun diese Form, um die in (b) geforderte Lösung nochmal zu berechnen.
(f) (Bonus)[1](S) Alternative Berechnung der Green’schen Funktion: Finden Sie durch FourierTransformation der Bewegungsgleichung in (c) zunächst die Fourier-Transformierte G̃(ω),
und finden Sie dann G(t), indem Sie das Fourier-Integral mittels Konturintegration berechnen.
[Gesamtpunktzahl Hausaufgaben: 7]
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