EPFL Session 4 – Lösungen

EPFL Session 4 – Lösungen
Thomas Nowak
Beispiel 15. Für eine reelle Zahl ξ bezeichne {ξ} = ξ − ⌊ξ⌋ den Bruchteil von ξ. Zeige, dass die Menge der
Zahlen {log n} mit n ∈ N dicht im Intervall [0, 1) liegt. (D.h. für jedes nichtleere offene Subintervall I von
[0, 1) existiert ein n ∈ N, sodass {log n} ∈ I.)
Lösung. Sei (a, b) ein offenes nichtleeres Subintervall von [0, 1). Aus a + k < log n < b + k mit k ∈ Z folgt
{log n} ∈ (a, b). Die erste Bedingung ist äquivalent zu ea ek < n < eb ek . Aus ek (eb −ea ) > 1 folgt die Existenz
eines n, sodass ea ek < n < eb ek . Da aber ek (eb − ea ) nach oben unbeschrankt ist, folgt die Existenz eines
solchen k, also auch die eines solchen n.
Beispiel 16. Sei a < b und f : [a, b] → [a, b] monoton wachsend. Zeige, dass es ein x ∈ [a, b] gibt, sodass
f (x) = x.
Lösung. Setze A = {x | x 6 f (x)}. Die Menge A ist nichtleer, weil a ∈ A. Weiters setze x0 = sup A. Für
jedes x ∈ A ist x 6 x0 , also x 6 f (x) 6 f (x0 ). Es ist also f (x0 ) eine obere Schranke von A, daher ist
x0 6 f (x0 ), also x0 ∈ A. Ganz allgemein impliziert x ∈ A auch f (x) ∈ A. Insbesondere, f (x0 ) ∈ A, was aber
f (x0 ) 6 x0 zur Folge hat. Insgesamt, x0 = f (x0 ) und wir sind fertig.
Beispiel 18. Wähle x0 = π/2 und setze xn = sin(xn−1 ) für n > 0.
(a) Zeige, dass die Folge (xn ) konvergiert.
(b) Finde den Limes.
(c) Wie schnell konvergiert die Folge?
Lösung. Siehe Lösung von Hans.
Beispiel 19. Sei n eine natürliche Zahl. Wie viele nicht reelle komplexe Zahlen z gibt es, für die sowohl z n
als auch (z + 1)n reell sind?
Lösung. Die Zahl z n ist genau dann reell, wenn z auf einer der n Geraden
gk = r · eϕi | r ∈ R und ϕ = kπ/n
liegt. Ist man an nichtreellen z interessiert, so bleiben nur die Geraden g1 , g2 , . . . , gn−1 über. Die Zahl (z +1)n
ist genau dann reell, wenn z auf einer der verschobenen Geraden gk − 1 liegt. Für 1 6 k, ℓ 6 n − 1 schneiden
sich die Geraden gk und gℓ −1 genau dann, wenn k 6= ℓ. Also gibt es insgesamt (n−1)(n−2)/2 Schnittpunkte.
Es sind genau diese Schnittpunkte, die die geforderte Bedingung erfüllen.
Beispiel 20. Anna und Robert spielen Polynom-Erraten. Dafür denkt sich Anna ein Polynom P mit ganzzahligen Koeffizienten aus. Dann wählt Robert eine reelle Zahl x aus und Anna sagt ihm so viele Dezimalstellen von P (x), wie er möchte. Gibt es eine Möglichkeit für Robert, immer zu gewinnen?
Lösung. Muss Robert jeweils nach einer endlichen Anzahl an Dezimalstellen raten, so gibt es für ihn keine
Möglichkeit, immer zu gewinnen: Die Zahl x, die Robert wählt, muss notwendigerweise transzendent, insbesondere irrational sein. Ansonsten weiß Robert nämlich nach der Antwort P (x) = 0“ nicht mehr weiter. Ist
”
aber x irrational, so liegt die Menge der Zahlen kx − ℓ mit ganzen k und ℓ dicht im Intervall [0, 1). Daher
kann Robert mit einer endlichen Anzahl an Dezimalstellen nichts anfangen.
Darf Robert hingegen alle Dezimalstellen wissen, so gibt es für beliebiges transzendentes x höchstens ein
Polynom P mit P (x) = y.
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Beispiel 24. Marvin gets off work at random times between 3 and 5 p.m. His mother lives uptown, his
girlfriend downtown. He takes the first subway that comes in either direction and eats dinner with the one
he is first delivered to. His mother complains that he never comes to see her, but he says she has a 50-50
chance. He has had dinner with her twice in the last 20 working days. Explain.
Lösung. Angenommen, Marvins Ankunftszeit an der U-Bahnstation ist gleichverteilt. Wenn der Fahrplan
aber so gestaltet ist, dass die U-Bahnen stadteinwärts immer um 15:00, 15:10, 15:20, . . . kommen und die
U-Bahnen stadtauswärts immer um 15:02, 15:12, 15:22, . . . , so erwarten wir, dass Marvin nur in einem
Zehntel aller Fälle zu seiner Mutter fährt.
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