Mathematik II für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik II
Blatt 5
für Wirtschaftswissenschaftler
Sommersemester 2009
Dr. W. Kolbe
40) Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung der Differentialgleichungen
a) y ′′ + 2y ′ + 5y = 50x + 8e−x
b) y ′′ + 2y ′ + 5y = cos 2x
c) y ′′ + 2y ′ + 5y = xe−x sin 2x
Anleitung zu a): Bestimmen Sie zunächst eine spezielle Lösung ỹ1 (x) zu der Differentialgleichung mit der Störfunktion 50x und eine spezielle Lösung ỹ2 (x) zu der Differentialgleichung mit der Störfunktion 8e−x . Was gilt dann für ỹ1 (x) + ỹ2 (x)?
41) Bestimmen Sie die Polardarstellung der folgenden komplexen Zahlen:
3 + 4i,
3 − 4i,
−2 + 2i,
−2 − 2i.
42) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differenzengleichungen:
a) y(n + 1) + 3y(n) = 2 · 4n ,
b) y(n + 1) + 3y(n) = (−3)n ,
c) y(n + 2) − 4y(n + 1) + 3y(n) = 2 · 4n ,
d) y(n + 2) − 4y(n + 1) + 3y(n) = 3n ,
e) y(n + 2) − 6y(n + 1) + 9y(n) = 2 · 3n .
43) Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung der folgenden Differenzengleichung:
y(n + 2) − 4y(n + 1) + 5y(n) = 2 · 4n .
44) Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems:
y(n + 2) − 4y(n + 1) + 5y(n) = 2 · 4n ,
y(0) = 1, y(1) = 3.
45) Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Systems von Differenzengleichungen:
x(n + 1) − x(n) = 2 · 3n + y(n)
2y(n + 1) + y(n) = 3n − x(n)
Anleitung: Lösen Sie die erste Differenzengleichung nach y(n) auf und setzen Sie das
Ergebnis in die zweite Differenzengleichung ein, und zwar sowohl für y(n) als auch für
y(n + 1). Eine Differenzengleichung mit einer Summe von Störfunktionen ist analog zu
Aufgabe 40 a) zu behandeln.
46) Zeichnen Sie in einem geeigneten x, y–Koordinatensystem alle Punkte ein, die durch folgende Gleichung gegeben sind:
a)

x


y


x

b) 

c) 

d) 
y

x

=

s

=
2
1

y

= s
x


y

=
1
1
3
1
–2–

1 ≤ s ≤ 2,
,


+s
1
0

1
 + t

+s
−1
1
2
0 ≤ s ≤ 2,
,
3



−1


−1 ≤ s, t ≤ 1,
,

 + t
−2
−4

,
0 ≤ s, t ≤ 2.
47) Berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der Geraden

3








1




g1 : x =  2  + λ  2 




3
1


6






1



g2 : x =  5  + λ  −1 




1
8
(λ ∈ IR),
(λ ∈ IR).
48) Bestimmen Sie die Ebene, die
a) durch die Punkte A1 (1, 2, 3), B(1, 2, 4) und C(1, 0, 0) geht,
b) durch den Punkt A2 (1, 0, 1) geht und von den Richtungsvektoren r1 = (2, 1, 0)⊤ und
r2 = (0, 1, 1)⊤ aufgespannt wird,
c) durch den Punkt A3 (0, 1, 1) geht und den Normalenvektor n = (1, 2, 3)⊤ besitzt.
Geben Sie jeweils eine Parameterdarstellung und Gleichungsdarstellung an.
50) Gegeben seien die beiden Ebenen



3






2






1







E2 : x = 
E1 : x =  5  + λ  3  + µ  2 ,






3
2
1
2






2






1



+ s  2  + t  1 .
2 





1
0
−4
a) Bestimmen Sie Gleichungsdarstellungen der Ebenen E1 und E2 .
b) Bestimmen Sie den Schnittwinkel und die Schnittgerade g der Ebenen E1 und E2 .
c) Untersuchen Sie, ob die Gerade g auf der Ebene E3 mit der Gleichungsdarstellung
E3 : x + y + 2z = −8
liegt.
d) Gegeben sei die Gerade h durch



4






3



h : x =  3  + µ 0  .




−1
2
Zeigen Sie, dass sich g und h nicht schneiden. Warum sind g und h nicht parallel?
e) Bestimmen Sie den gemeinsamen Punkt der Geraden h und der Ebene E3 .
f) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (4, 3, 2) von der Ebene E3 .