PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1: Übungsblatt 1

PN1 Einführung in die Physik für Chemiker 1
Prof. J. Lipfert
WS 2014/15
Lösungen zu Übungsblatt 1
Lösungen zu Übungsblatt 1
Aufgabe 1
Quadratische Gleichungen. Die allgemeine Lösungsstrategie ist hier die Gleichung
auf die Form der p-q-Formel” zu bringen, d.h. x 2 + px + q = 0; die Gleichung hat
”
dann die Lösungen
r p 2
p
x1,2 = − ±
−q
2
2
Im allgemeinen haben quadratische Gleichungen zwei Lösungen, wobei die Lösungen
komplexe Zahlen sein können. Wir beschäffigen uns aber meistens mit dem Fall,
dass die Lösungen reelle Zahlen sind. Die Lösungen können auch zusammenfallen, in
diesem Fall ist x1 = x2 .
a) (x + 2)2 = 16 ⇒ x 2 + 4x + 4 = 16 ⇒ x 2 + 4x − 12 = 0
Einsetzten inqdie p-q-Formel:
4 2
+ 12 ⇒ x1 = 2 und x2 = −6.
x1,2 = − 42 ±
2
b) x 2 − 8x + 7 =q
0 ist bereits in der richtigen Form; Einsetzten in die p-q-Formel:
−8
−8 2
x1,2 = − 2 ±
− 7 ⇒ x1 = 1 und x2 = 7.
2
c) 2x 2 −16x +14 = 0 kann durch Teilen durch 2 in die Form von Aufgabe b) gebracht
werden und hat deshalb die gleichen Lösungen!
2
d) 2x 2 − 4x − 6 =
q0 ⇒x − 2x − 3 = 0 Einsetzten in die p-q-Formel:
−2 2
±
+ 3 ⇒ x1 = 3 und x2 = −1.
x1,2 = − −2
2
2
Aufgabe 2
Differential- und Integralrechnung ( Kurvendiskussion”).
”
a) Untersuchung der Funktion f (x ) auf Symmetrie:
1
4
f (−x ) = − x 3 + x = −f (x )
2
3
Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
b) Nullstellen der Funktion f (x ):
1
4
1
4
f (x ) = 0 = x 3 − x = x ( x 2 − )
2
3
2
3
r
8
⇒ x1 = 0; x2,3 = ±
≈ ±1, 63
3
1
c) Erste und zweite Ableitung von f (x ):
3
4
f 0 (x ) = x 2 − ;
2
3
f 00 (x ) = 3x
d) Extrempunkte (Minima und Maxima) von f (x ):
3
4
8
2
f (x ) = 0 ⇒ x 2 − = 0 ⇒ xext1,2
= ⇒ xext1,2 = ±
2
3
9
0
r
8
≈ 0, 94
9
Zweite Ableitungen:
p
p
f 00 (x = 8/9) = (8) > 0p⇒ lokales Minimum
mit Funktionswert
f (x
p = 8/9) ≈ −0, 84
p
00
f (x = − 8/9) = − (8) <p0 ⇒ lokales Maximum
mit Funktionswert f (x = − 8/9) ≈ 0, 84
e) Zeichnung der Funktion f (x ) in ein Koordinatensystem: siehe Teilaufgabe h).
f) Scheitelpunkt der Funktion g(x ):
2
2
g 0 (x ) = 0 = x + ⇒ xs = −1
3
3
g 00 (x ) = 2/3 > 0 ⇒ lokales Minimum, mit Funktionswert g(−1) = −1/3
g) Schnittstellen zwischen f (x ) und g(x ) für f (x ) = g(x ):
1 3 4
1
x − x = x (x + 2) ⇒ xSchnitt1 = 0
2
3
3
1
4
1
2
1
1
6
2
⇒ x2 − = x + ⇒ x2 − x − = 0 ⇒ x2 − x − 4 = 0
2
3
3
3
2
3
3
3
Lösung mit der p-q-Formel”, d.h. x 2 + px + q = 0 hat die Lösungen
”
r p 2
p
−q
x1,2 = − ±
2
2
r
r
1
1
37
2
+4= ±
⇒ xSchnitt2 ≈ −1.69; xSchnitt3 ≈ 2.36
xSchnitt2,3 = ±
6
9
3
9
h) Zeichnung von f (x ) (schwarze, durchgezogene Linie) and g(x ) (rote, gestrichelte
Linie):
2
6
5
4
y
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
i) Fläche A zwischen f (x ) und g(x ) für x ≥ 0:
1
2
1
4
1
1
6
g(x ) − f (x ) = x 2 + x − x 3 + x = − x 3 + x 2 + x
3
3
2
3
2
3
3
xSchnitt,3
Z xSchnitt,3 1 4 1 3
1 3 1 2
2
A=
− x + x + 2x dx = − x + x + x ≈ 3, 15
2
3
8
9
0
0
Aufgabe 3
Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen).
a) sin(x ) (schwarze, durchgezogene Linie) und cos(x ) (graue, gestrichelte Linie):
y
1
0
−1
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
x
b) sin(x ): Nullstellen bei nπ, Maxima bei (4n + 1) π2 , Minima bei (4n + 3) π2 .
cos(x ): Nullstellen bei (2n + 1) π2 , Maxima bei 2πn, Minima bei (2n + 1)π.
3
c)
tan α =
sin α
;
cos α
d)
sin α = cos(α −
cot α = tan−1 α =
π
);
2
cos α
sin α
cos α = sin(α +
π
)
2
e) Erste und zweite Ableitung der Funktion f (x ) = sin(4x + 3):
f 0 (x ) = 4 cos(4x + 3);
f 00 (x ) = −16 sin(4x + 3)
f) Umrechnung von Grad- und im Bogenmaß:
Grad = Bogenmaß ·180◦ /π
Bogenmaß = Grad ·π/180◦
50◦ ≈ 0,87 rad; 1◦ ≈ 0,0175 rad; 1,0 rad ≈ 57,3◦ ; 6.2832 rad ≈ 360◦
g)
sin α =
cos α =
b
⇒ b = c · sin α = 8 cm · sin(30◦ ) = 4 cm
c
a
⇒ a = c · cos α = 8 cm · cos(30◦ ) ≈ 6.93 cm
c
4