Quadratische Funktion

Quadratische Funktion
Der Graph einer quadratischen Funktion
x 7→ y = f (x) = ax 2 + bx + c
= a(x − x0 )2 + y0
ist eine Parabel mit Scheitel (x0 , y0 ) = (−b/(2a), −b 2 /(4a) + c).
Quadratische Funktion
1-1
Quadratische Funktion
Der Graph einer quadratischen Funktion
x 7→ y = f (x) = ax 2 + bx + c
= a(x − x0 )2 + y0
ist eine Parabel mit Scheitel (x0 , y0 ) = (−b/(2a), −b 2 /(4a) + c).
y
y = a(x − x0 )2 + y0
a
y0
0
1
x0
x
Quadratische Funktion
1-2
Beweis:
y = ax 2 + bx + c
Quadratische Funktion
2-1
Beweis:
y = ax 2 + bx + c
quadratische Ergänzung
y =a
b
x2 + x
a
+c =a
b 2 b2
x+
−
+c
2a
4a
Quadratische Funktion
2-2
Beweis:
y = ax 2 + bx + c
quadratische Ergänzung
y =a
b
x2 + x
a
+c =a
b 2 b2
x+
−
+c
2a
4a
Standardform
y = a(x − x0 )2 + y0
Quadratische Funktion
2-3
Beispiel:
Schräger Wurf mit einer Geschwindigkeit v unter einem Winkel ϕ
parabelförmige Flugbahn:
y = x tan ϕ −
g
2v 2 cos2 ϕ
x2
mit g der Erdbeschleunigung
Schräger Wurf mit v = 6
ϕ = π/3
1.5
1
0.5
0
0
ϕ = π/6
0.5
1
1.5
ϕ = π/4
2
2.5
3
3.5
Quadratische Funktion
4
3-1
Herleitung durch Überlagerung der gleichförmigen Bewegung mit
Geschwindigkeit v und der beschleunigten Bewegung des freien Falls:
x(t) = vt cos ϕ
y (t) = vt sin ϕ −
1 2
gt
2
Quadratische Funktion
3-2
Herleitung durch Überlagerung der gleichförmigen Bewegung mit
Geschwindigkeit v und der beschleunigten Bewegung des freien Falls:
x(t) = vt cos ϕ
y (t) = vt sin ϕ −
Auflösen von x(t) nach t,
t=
1 2
gt
2
x
,
v cos ϕ
und Substitution in y -Komponente
vx sin ϕ
gx 2
gx
y (x) =
− 2
= x tan ϕ − 2
v cos ϕ
2v cos2 ϕ
2v cos2 ϕ
Quadratische Funktion
3-3
Herleitung durch Überlagerung der gleichförmigen Bewegung mit
Geschwindigkeit v und der beschleunigten Bewegung des freien Falls:
x(t) = vt cos ϕ
y (t) = vt sin ϕ −
Auflösen von x(t) nach t,
t=
1 2
gt
2
x
,
v cos ϕ
und Substitution in y -Komponente
vx sin ϕ
gx 2
gx
y (x) =
− 2
= x tan ϕ − 2
v cos ϕ
2v cos2 ϕ
2v cos2 ϕ
Wurfweite: y (x) = 0
x=
2v 2 cos2 ϕ
v2
tan ϕ =
sin(2ϕ)
g
g
Quadratische Funktion
3-4
Herleitung durch Überlagerung der gleichförmigen Bewegung mit
Geschwindigkeit v und der beschleunigten Bewegung des freien Falls:
x(t) = vt cos ϕ
y (t) = vt sin ϕ −
Auflösen von x(t) nach t,
t=
1 2
gt
2
x
,
v cos ϕ
und Substitution in y -Komponente
vx sin ϕ
gx 2
gx
y (x) =
− 2
= x tan ϕ − 2
v cos ϕ
2v cos2 ϕ
2v cos2 ϕ
Wurfweite: y (x) = 0
x=
2v 2 cos2 ϕ
v2
tan ϕ =
sin(2ϕ)
g
g
maximal für ϕ = π/4 =
b 45◦
Quadratische Funktion
3-5