Folien - Mathematik, TU Dortmund

Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Satz 6.15
Beispiele:
Für alle t, s 2 R gilt:
1.
|e it |
I
=1
aber nach 1. Binom
= e it · e is
3. e it = e it = 1it
e
4. e int = (e it )n , n 2 Z
2.
e i(t+s)
(Additionstheorem)
(cos t + i sin t)2 = cos2 t + 2i sin t cos t
cos 2t = cos2 t
I
Zu 2)
cos(t + s) + i sin(t + s)
= (cos t cos s
RS
sin t sin s) + i(sin t cos s + cos t sin s)
(Def.)
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(cos t + i sin t)3 = cos 3t + i sin 3t,
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cos 3t = cos3 t
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Zu 3) Wegen cos(t) = cos( t) und
e
it
1
e it
Def.
=
=
e it e it
=
3 cos t sin2 t
und
sin 3t = 3 cos2 t sin t
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sin3 t.
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sin(t) = sin( t) (vgl. später) folgt
cos( t) + i sin( t) = cos t
e it
sin 2t = 2 sin t cos t.
(cos t + i sin t)3 = cos3 t + 3 cos2 t · i sin t + 3 cos t(i sin t)2 + (i sin t)3
= (cos3 t 3 cos t sin2 t) + i(3 cos2 t sin t sin3 t).
Also durch Vergleich:
(vgl. später)
sin t sin s) + i(sin t cos s + cos t sin s)
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und
aber mit dem binomischen Lehrsatz (Pascalsches Dreieck!)
(Def.)
= (cos t + i sin t) · (cos s + i sin s)
= (cos t cos s
sin2 t
Das ist aber auch nichts Neues, denn diese Formeln haben wir bereits
im Beweis zu Satz 6.15 investiert. Sie werden später unabhängig
hiervon nachgewiesen.
Zu 1) |e it |2 = cos2 (t) + sin2 (t) = 1.
=
sin2 t.
Also durch Vergleich:
Beweis:
LS
(cos t + i sin t)2 = cos 2t + i sin 2t,
e it
=e
|e it |2
it
Satz 6.17 (Polardarstellung)
Jedes z 2 C kann in der Form
i sin t = e it
z = r · e it
.
2
Zu 4) Mehrfaches Anwenden von 2. für t = s
mit
r 2 [0, 1[,
t2R
dargestellt werden. Dabei ist durch z
I
Satz 6.16 (Moivre-Formel)
I
Für alle t 2 R, n 2 Z gilt:
I
r = |z| eindeutig bestimmt,
bei z 6= 0: t eindeutig in ] ⇡, ⇡] bzw. ganz allg. eindeutig bis auf
Addition ganzer Vielfacher von 2⇡ bestimmt,
bei z = 0:
t beliebig.
(cos t + i sin t)n = cos nt + i sin nt .
Beweis:
Beweis: Eulersche Relation und Satz 6.15 (4)
Bemerkung: Ausrechnen der LS für n > 0 nach dem binomischen
Lehrsatz (der auch in C gilt) liefert Darstellungen für cos nt, sin nt mittels
algebraischen Ausdrücken in cos t, sin t.
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Für z = 0:
Für z =
6 0:
0 = 0 · e it , t 2 R.
|z/|z|| = |z|/|z| = 1, also nach 6.14
eindeutigem t 2]
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⇡, ⇡]. Daraus folgt z = |z|e it .
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z = e it m.
|z|
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2
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Bemerkung 2:
z1 = r1 e it1
z2 = r2 e it2
Definition und Satz 6.18
Für z = a + bi 6= 0 gibt es nach letztem Satz ein eindeutig bestimmtes
t 2] ⇡, ⇡] mit z = re it .
Dieses t heißt das Argument von z, geschrieben arg z.
Es gilt
⇢
arccos ar , falls b 0
t = arg z =
arccos ar , falls b < 0
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d.h. die Beträge werden multipliziert/dividiert
und die Argumente addiert/subtrahiert.
Animation zur Addition
Animation zur Multiplikation
2
Beweis: Folge der Deutung von cos am Einheitskreis.
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Polardarstellung ‘gut’ für Multiplikation/Division:
⇢
z1 · z2
= r1 e it1 · r2 e it2 = r1 r2 · e i(t1 +t2 )
)
z1 /z2 = (r1 e it1 )/(r2 e it2 ) = r1 /r2 · e i(t1 t2 )
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(a, b 2 R)
it
= re
(r 0, t 2 R)
Umrechnungsformeln:
r=
a2 + b 2 ,
kartesische Darstellung
Grundlegende Idee dazu: Das Dreieck mit den Ecken 0, 1, z1 und das
Dreieck mit den Ecken 0, z2 und z1 · z2 sind ähnlich.
Polardarstellung
t = arg(a + bi),
Bemerkung 3: Multiplikation mit e i↵ (↵ > 0): Drehung um ↵ gegen
Uhrzeiger!
Bemerkung 4: Speziell Multiplikation mit i: Drehung um
gegen Uhrzeiger.
falls z = a + bi 6= 0
a+
x bi
?
y
Kartesische Darstellung ‘gut’ für Addition:
z1 = a1 + b1 i
z2 = a2 + b2 i
(a, b)
) z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i.
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= 90
i · ...
7!
J(. . .)
7!
b x+ ai
?
y
( b, a)
Jetzt grafisch klar, wie man komplexe Zahlen potenziert. Damit kann man
nun leicht rückwärts n-te Wurzeln komplexer Zahlen finden . . .
Geometrisch: ‘Vektoraddition’ !
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⇡
2
Entspricht der Abbildung J, die (a, b) auf ( b, a) dreht:
(r , t) heißen die Polarkoordinaten von (a, b).
Bemerkung 1:
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Dabei kann die Multiplikation z1 · z2 geometrisch ausgeführt werden.
a = r cos t, b = r sin t
p
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Definition und Satz 6.19
z = a + bi
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Definition und Satz 6.20 (n-te Einheitswurzeln)
Sei n 2 N. Die Gleichung
Beweis:
zn = 1
I
hat genau die n unterschiedlichen Lösungen
zk
:= e i
=
2k⇡
n
Satz 6.15(4)
2k⇡
cos 2k⇡
n + i sin n
=
(k=0,1,. . . , n-1). Diese heißen die n-ten Einheitswurzeln.
Graphisch: Ecken eines gleichseitigen n-Ecks, das S 1 einbeschrieben ist,
mit einer Ecke in 1. Animation
1
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alle angegebenen zk lösen z n = w , denn
⇣ t+2k⇡ ⌘n
p
(zk )n
=
( n r )n · e i n
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=
die zk sind alle verschieden: sie sind die Ecken eines gleichseitigen
n-Ecks um 0. Genauer: zk+1 geht aus zk durch Drehen um 2⇡
n um
Drehpunkt 0 hervor.
I
Polynomgleichung n-ten Grades z n + an 1 z n 1 + · · · + a0 = 0 hat
generell höchstens n Lösungen. Das gilt sowohl in R wie in C. Damit
kann es nicht mehr als die hier angegebenen Lösungen geben.
2
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Satz 6.23 (Fundamentalsatz der Algebra)
hat genau die n unterschiedlichen Lösungen
=
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Von der Existenz komplexer Wurzeln in allen algebraischen Situationen
lebt der Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra:
zn = w
E-Wurzeln
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Man finde die Lösungen der Gleichung z 3 + 8 = 0. Also z 3 =
8 = 8e i⇡ .
p
⇡+2k⇡
⇡
2k⇡
Damit sind die Lösungen 3 8 · e i 3 = 2e i 3 · e i 3 , k = 0, 1, 2.
Gleichseitiges Dreieck um 0 und einer Ecke in 2.
Sei n 2 N. Sei w = re it 2 C und w 6= 0. Die Gleichung
zk :=
periodisch).
Beispiel 6.22
Satz 6.21 (n-te Wurzeln)
p
n
(e it wie cos, sin 2⇡
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Beweis: in der Vorlesung motiviert. Hier beweisen wir nur den
allgemeineren
t
2k⇡
r · e i n · e| i{zn }
w
I
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p
n
r · e i(t+2k⇡)
t+2k⇡
r · ei n ,
Jedes nicht konstante Polynom
k = 0, 1, . . . , n
1.
p(x) = an x n + an
1x
n 1
+ . . . + a1 x + a0 ,
n 2 N, ai 2 C
hat eine Nullstelle in C. Also ist jede Gleichung (m. nicht konst. linker
Seite)
an x n + an 1 x n 1 + . . . + a1 x + a0 = 0
in C lösbar.
Bemerkung: Für w = 1 = 1 · e i·0 ergibt sich gleich der Satz über die
Einheitswurzeln.
Beweis: o.D.
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Bemerkung: Wie im Reellen gilt weiterhin (das wurde ja bereits im
letzten Satz bei Beweis benutzt): Ein Polynom n-ten Grades hat – auch in
C – max. n Nullstellen (alte Beweisidee: Spalte jede Nullstelle als Linearfaktor durch
Polynomdivision ab. Bei einem Polynom n-ten Grade geht dies max. n mal).
Zusammen mit dem Fundamentalsatz folgt:
Ein Polynom n-ten Grades (n > 0) hat in C (mit Vielfachheiten gezählt)
genau n Nullstellen.
Satz 6.26 (Darstellung der trigonometrischen Funktionen mittels der
Exponentialfunktion)
Übers Komplexe sind die trigonometrischen Funktionen durch die
Exponentialfunktion ausdrückbar:
cos t = 12 (e it + e
Der folgende Abschnitt ist nicht klausurrelevant und dient nur als
ergänzende Information.
Man kann die bekannte Exponentialfunktion auf die komplexen Zahlen
fortsetzen, so dass alles kompatibel mit der Euler-Relation (vgl. Definition
und Satz 6.14) ist und für reelle Einsetzungen nichts Neues ensteht:
Definition 6.24 (Komplexe e-Funktion)
it ),
sin t =
1
it
2i (e
e
it )
Beweis: Einfach mit der Euler-Relation (vgl. Definition und Satz 6.14) 2
Im Komplexen sind also die trigonometrischen Funktionen und die
Exponentialfunktion aus einem Holz“.
”
Für z = a + bi 2 C mit a, b 2 R setzt man
e z = e a+bi := e a · e ib = e a (cos b + i sin b).
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7. Abbildungen und Funktionen
Definition 7.1 (Abbildung, Funktion)
f :D!Z
e z+w = e z · e w .
ordnet jedem Element p 2 D genau ein Element f (p) 2 Z zu.
Man nennt Abbildungen auch Funktionen, vor allem dann, wenn die Werte
Zahlen sind (d.h. Z = R).
Beweis: Falls z = a + bi und w = u + vi, so
=
Def .
=
=
e a+bi+u+vi = e (a+u)+(b+v )i
D heißt Definitionsmenge, Z Zielmenge der Abbildung.
e a+u · e i(b+v ) = e a · e u · e ib · e iv
Das einem p 2 D zugeordnete f (p) heißt Bild von p unter f .
Def .
e a+bi · e u+vi = e a · e u · e ib · e iv
2
Schreibweise auch e z =: exp z.
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Seien D, Z Mengen. Eine Abbildung von D nach Z , geschrieben als
Satz 6.25
Für z, w 2 C gilt
RS
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Abbildungen und Funktionen
Man beachte, dass für reelle Zahlen z = a = a + 0 · i gilt e z = e a . Auch
die bekannte Funktionalgleichung der reellen Exponentialfunktion gilt
weiter für die Fortsetzung:
LS
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Ist D ⇢ R , so heißt f Funktion in einer reellen Veränderlichen,
ist D ⇢ Rn , so heißt f Funktion in n reellen Veränderlichen.
Ist Z ⇢ R, so heißt f reellwertig.
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