Übungen zur Vorlesung Mathematische Rechenmethoden I

Übungen
zur Vorlesung
Mathematische Rechenmethoden I
Prof. Dr. Haye Hinrichsen, WS 16/17
Aufgabe 14 l’Hospitalsche Regel (2 Punkte)
Berechnen Sie
a sin x − sin(bx)
,
lim
x→0
x − sin x
ex − 1
lim
,
x→0
x
ln x
lim
,
x→1 x − 1
√
−4 + x2 − 9
lim
x→5 x2 − 4x − 5
Lösungsvorschlag für Aufgabe 14:
Regel von l’Hôpital:
lim
x→x0
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g(x) x→x0 g (x)
falls letzterer Grenzwert existiert und f (x0 ) = 0 sowie g(x0 ) = 0 gilt.
(a) Fall a 6= b:
→a−b6=0
z
}|
{
a sin(x) − sin(bx) (1)
a cos(x) − b cos(bx)
lim
= sign(a − b)∞
= lim
x→0
x→0
x − sin(x)
1 − cos(x)
| {z }
→0
Fall a = b:
→0
z
}|
{
a sin(x) − sin(ax) (1)
a cos(x) − a cos(ax) (1)
lim
= lim
=
x→0
x→0
x − sin(x)
1 − cos(x)
| {z }
→0
−a sin(x) + a2 sin(ax) (1)
=
x→0
sin(x)
= lim
−a cos(x) + a3 cos(ax)
= a(a2 − 1)
x→0
cos(x)
| {z }
= lim
→1
(b)
ex − 1 (1)
ex
= lim
=1
x→0 1
x→0
x
lim
(c)
ln(x) (1)
1/x
= lim
=1
x→1 x − 1
x→1 1
lim
(d)
√
√ x
2
−4 + x2 − 9 (1)
5
lim 2
= lim x −9 =
x→5 x − 4x − 5
x→5 2x − 4
24
(1)
Aufgabe 15 Differenzieren (2 Punkte)
Differenzieren Sie folgende Funktionen (bitte Zwischenschritte und die angewandten Regeln angeben):
• f (x) = (x2 + 3)/x
• f (x) =
cos x−sin x
cos x+sin x
• f (x) = exp(sin x)
• f (x, y) = x2 + y 3 + 2xy
Lösungsvorschlag für Aufgabe 15:
Rechenregeln:
• Linearität der Ableitung: LIN
• Quotientenregel: QR
• Kettenregel: KR
(a) f (x) = (x2 + 3)/x = x + 3x−1
LIN
⇒ f 0 (x) = 1 − 3x−2 = 1 −
3
x2
(b)
f 0 (x)
LIN+QR
=
(cos(x) + sin(x)) · (− sin(x) − cos(x)) − (cos(x) − sin(x)) · (− sin(x) + cos(x))
=
(cos(x) + sin(x))2
=−1
=−1
z
}|
{
z
}|
{
− sin2 (x) − cos2 (x) −2 sin(x) cos(x) − sin2 (x) − cos2 (x) +2 sin(x) cos(x)
=
=
(cos(x) + sin(x))2
2
=−
(cos(x) + sin(x))2
(c)
KR
f 0 (x) = esin(x) · cos(x)
(d)
∂f (x, y) LIN
= 2(x + y)
∂x
∂f (x, y) LIN 2
= 3y + 2x
∂y
Aufgabe 16 Kurvendiskussion (2 Punkte)
2
+3
Gegeben sei die Funktion f (x) = xx−1
. Bestimmen Sie dazu den Definitions- und Wertebereich. Geben Sie die Lage von Extrema und Wendepunkten an. Wie verhält sich f (x)
im Grenzfall x → ±∞ ?.
Lösungsvorschlag für Aufgabe 16:
Ableitungen der Funktion f :
x2 − 2x − 3
(x − 1)2
8
f 00 (x) =
(x − 1)3
f 0 (x) =
(2)
(3)
• Definitionsbereich:
D = R \ {1}
(Pol 1. Ordnung an der Stelle x = 1)
• Extrema:
(2)
!
f 0 (x) = 0 ⇔ x2 − 2x − 3 = 0
√
2± 4+4·3
⇔ x1,2 =
∈D
2
⇔ x1 = −1, x2 = 3 sind kritische Stellen der Funktion f
Test auf Art der kritischen Stellen:
(3)
f 00 (x1 ) = −1 < 0 ⇒ (x1 , f (x1 )) = (−1, −2) ist Hochpunkt von f
(3)
f 00 (x2 ) = 1 > 0 ⇒ (x2 , f (x2 )) = (3, 6) ist Tiefpunkt von f
• Wendepunkte:
!
(3)
!
f 00 (x) = 0 ⇔ 8 = 0
⇒ Die Funktion f besitzt keine Wendepunkte
• Wertebereich:
Aus Gleichung (3) folgt:
f 00 (x) < 0 ∀x < 1 ⇒ f ist rechtsgekrümmt im gesamten Intervall D1 :=] − ∞, 1[
f 00 (x) > 0 ∀x > 1 ⇒ f ist linksgekrümmt im gesamten Intervall D2 :=]1, +∞[
Damit sind die beiden Extremstellen x1,2 die globalen Maxima/Minima im
jeweiligen Intervall D1,2 (s. Abbildung) und der Wertebereich W wird durch
die beiden Funktionswerte f (x1 ) = −2 und f (x2 ) = 6 eingeschränkt:
W = ]− ∞, −2] ∪ [6, +∞[ = R\ ]− 2, 6[
• Verhalten im Unendlichen:
Polynomdivision liefert
f (x) = x + 1 +
4
x−1
Damit besitzt f die schiefe Asymptote a(x) = x + 1 und es gilt:
lim f (x) = ±∞
x→±∞
f(x)
20
Asymptoten
f(x)
10
0
-10
-20
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
Aufgabe 17 Taylor-Entwicklung (2 Punkte)
Entwickeln Sie folgende Funktionen bis zur zweiten Ordnung um x0 (Rechenweg angeben):
(a) f (x) = sin2 (x)
(b) f (x) = ln(x)
(c) f (x) =
(d) f (x) =
um x0 = 5
um x0 = 1
x4 +x3 +x2 −x+3
x2 −x+1
sin(x)
um
x
um x0 = 3
x0 = 0.
Lösungsvorschlag für Aufgabe 17:
Taylorreihe:
f (x) =
∞
X
f (n) (x0 )
n=0
n!
(x − x0 )n
(4)
im Konvergenzbereich der Reihe.
(a) f (x) = sin2 (x) um x0 = 5
f 0 (x) = 2 sin(x) cos(x) = sin(2x) (Additionstheorem)
f 00 (x) = 2 cos(2x)
⇒
(4)
f (x) ≈ sin2 (5) + sin(10)(x − 5) + cos(10)(x − 5)2 + O (x − 5)3
(b) f (x) = ln(x) um x0 = 1
f 0 (x) =
1
x
f 00 (x) = −
(4)
1
f (x) ≈ (x − 1) − (x − 1)2 + O (x − 1)3
2
⇒
(c) f (x) =
1
x2
x4 +x3 +x2 −x+3
x2 −x+1
um x0 = 3
2x5 − 2x4 + 2x3 + 3x2 − 4x + 2
(x2 − x + 1)2
2x(x5 − 3x4 + 6x3 − 8x2 + 9x − 3)
f 00 (x) =
(x2 − x + 1)3
f 0 (x) =
(4)
⇒
(d) f (x) =
f (x) ≈
sin(x)
x
117 395
342
+
(x − 3) +
(x − 3)2 + O (x − 3)3
7
49
343
um x0 = 0 mit D = R \ {0}
Eine Berechnung der Potenzreihe um x0 = 0 ∈
/ D ist sinnvoll da alle benötigten
Grenzwerte existieren und endlich sind
x cos(x) − sin(x)
x2
2x cos(x) + (x2 − 2) sin(x)
f 00 (x) = −
x3
f 0 (x) =
Damit gilt für die Grenzwerte:
lim f (x) = 1
(1× Regel von l’Hôpital)
lim f 0 (x) = 0
(2× Regel von l’Hôpital)
x→0
x→0
lim f 00 (x) = −
x→0
1
3
(3× Regel von l’Hôpital)
Es folgt:
(4)
1
f (x) ≈ 1 − x2 + O(x3 )
6