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Mathematik für Ökonomen 1
Übungen
Dr. Thomas Zehrt
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum
Universität Basel
Herbstsemester 2008
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Thema
Vorlesung
Übung
Mengen, Funktionen und Logik
Folgen und Reihen
Finanzmathematik
Reelle Funktionen
Grundbegriffe der Differentialrechnung
Ökonom. Anwendungen der Differentialrechnung
Kurvendiskussionen
Funktionen in zwei Variablen
Produktionsfunktionen
Extrema von Funktionen in zwei Variablen
Extrema von Funktionen mit Nebenbedingung
Integralrechnung I
Integralrechnung II
Prüfungsvorbereitung
18.
25.
02.
09.
16.
23.
30.
06.
13.
20.
27.
04.
11.
18.
23.
30.
07.
14.
21.
28.
04.
11.
18.
25.
02.
09.
16.
09.
09.
10.
10.
10.
10.
10.
11.
11.
11.
11.
12.
12.
12.
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2008
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2008
09.
09.
10.
10.
10.
10.
11.
11.
11.
11.
12.
12.
12.
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2008
2
Mengen, Funktionen und Logik
1. Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen im R2 .
(a) A1 = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 − 2 = 0 }
(b) A2 = { (x, y) ∈ R2 | x + 3y + 1 = 0 }
(c) A3 = { (x, y) ∈ R2 | x/y − 1 = 0 }
(d) A4 = { (x, y) ∈ R2 | y/x − 1 = 0 }
(e) A5 = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 0 }
2. Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen im R2 . Entscheiden Sie dann, ob die Mengen konvex
sind.
(a) B1 = { (x, y) ∈ R2 | y ≥ x2 und y < 5 }
(b) B2 = { (x, y) ∈ R2 | y ≤ 2x − 1 und y > 3x + 2 }
(c) B3 = { (x, y) ∈ R2 | y < x + 3 und y < −x + 4 und y > −4 }
(d) B4 = { (x, y) ∈ R2 | y < 3 und y > 3 }
3. Bestimmen und skizzieren Sie die folgenden Teilmengen der reellen Zahlen.
4 − 2x
− 10 < 0 }
4+x
|x + 1|
(b) C2 = { x ∈ R |
≤1}
|x − 1|
x
≤2}
(c) C3 = { x ∈ R |
|x + 1|
(a) C1 = { x ∈ R |
4. Stellen Sie für die gegebenen Punkte P1 und P2 die Verbindungsstrecke P1 P2 jeweils in Parameterschreibweise und in Koordinatenschreibweise dar.
(a) P1 = (1, 0) und P2 = (0, 2)
(b) P1 = (−3, 1) und P2 = (4, 2)
5. Sei (2, 15] ein halboffenes Intervall. Überprüfen Sie an Hand der Definition, ob der Punkt
(a) 2,
(b) 15 bzw.
(c) 3.1
Randpunkt des Intervalls ist.
6. Sei X die Menge aller Einwohner von Basel(mit festem Wohnsitz und Reisepass). Wir betrachten die folgenden Funktionen f, g, h : X → N
• f (x) ist das Alter von x
• g(x) ist die Reisepassnummer von x
• h(x) ist die Hausnummer des Hauses, in dem x wohnt.
Welche dieser Funktionen sind injektiv oder bijektiv? Falls möglich bestimme man die Umkehrfunktionen.
3
7. Negieren Sie die folgenden Aussagen und finden Sie jeweils zwei verschiedene Formulierungen
dieser Negationen. Versuchen Sie den Wahrheitsgehalt der Aussagen festzustellen(falls das mit
vernünftigem Aufwand möglich ist).
(a) In diesem Skript sind genau 12’745 Buchstaben.
(b) In diesem Skript sind höchstens 12’745 Buchstaben.
(c) In diesem Skript sind mindestens 12’745 Buchstaben.
(d) Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind gerade.
(e) Es gibt ein x ∈ R mit: x ist gerade und Teiler von 27.
(f) Alle gut vorbereiteten Studierenden bestehen die Mathematikklausur.
(g) Das Wetter ändert sich oder nicht.
(h) Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, dann bleibt das Wetter wie es ist oder es ändert
sich.
8. Ist die im folgenden Beispiel formulierte Kette von Folgerungen (a)-(f) logisch?
Aus ,,Die tanzenden Männchen” von Arthur Connan Doyle:
Holmes hatte stundenlang schweigsam dagesessen, . . . ,,Also, Watson,, sagte er auf
einmal, ,,Sie haben also nicht die Absicht, in südafrikanische Anleihen zu investieren”?
Überrascht zuckte ich zusammen. . . .
,,Woher, um alles in der Welt, wissen Sie das?” fragte ich. . . .
,,Gestehen Sie nur, Watson, dass Sie verblüfft sind”, sagte er.
,,Ich bin’s.”
,,Eigentlich sollte ich mir das schriftlich von Ihnen geben lassen.”
,,Wieso?”
,,Weil Sie in fünf Minuten sagen werden, dass ich der Schluss eigentlich lächerlich
einfach ist.”
,,Ich bin sicher, dass ich nichts dergleichen sagen werde.”
,,Sehen Sie, mein lieber Watson” - er steckte das Reagenzglas in den Ständer und
begann einen Vortrag in der Pose eines Professors, der zu seiner Klasse spricht-,
,,es ist wirklich nicht schwierig, eine Reihe von Schlüssen aufzubauen, bei der jeder
von dem vorausgegangenen abhängt und dabei doch einfach in sich selbst ist. Wenn
man dann die mittleren Schlussfogerungen weglässt und seinen Zuhörern nur mit
dem Ausgangspunkt und dem Endresultat konfrontiert, kann man eine verblüffende,
wenn auch möglicherweise nach Effekthascherei aussehende Wirkung erzielen. Nun,
es war in der Tat nicht schwierig, nach Betrachtung der Falte zwischen Ihrem linken
Zeigefinger und Daumen für sicher anzunehmen, dass Sie nicht daran denken, Ihr
kleines Kapital in den Goldfeldern anzulegen.”
,,Ich sehe keinen Zusammenhang.”
,,Das glaube ich Ihnen gerne, aber ich kann schnell einen engen Zusammenhang
aufzeigen. Dies sind die fehlenden Glieder einer ganz simplen Kette:
(a) Sie hatte Kreide an Finger und Daumen der linken Hand, als Sie gestern nacht
aus dem Club nach Hause kamen.
(b) Mit diesen Fingern halten Sie die Kreide, wenn Sie Billard spielen und das
Queue stumpf machen wollen.
(c) Sie spielen nur mit Thurston Billard.
4
(d) Vor vier Wochen erzählten Sie mir, dass Thurston eine Option auf ein südafrikanisches Unternehmen hat, die innerhalb eines Monats fällig wird, und dass
er Sie beteiligen möchte.
(e) Ihr Scheckbuch ist in meinem Schrank eingeschlossen, und Sie haben mich nicht
nach dem Schlüssel gefragt.
(f ) Sie haben nicht vor, Ihr Geld auf die Weise anzulegen.”
,,Wie lächerlich einfach.”
,,Genau!” sagte er, ein wenig gereizt. . . .
5
Folgen und Reihen
1. Berechnen Sie
2
X
a)
k=−2
b)
5
X
k=1
c)
(−1)k · k · 2k
24−k · [1 + (−1)k ]
100
X
4
k=1
2. Berechnen Sie
a)
b)
3
4 X
X
i=2 h=2
4
7−i
X X
i·h
(i + 2j).
i=3 j=2
3. Berechnen Sie
a)
b)
5 k
X
3
4
k=0
∞
X
3 k
4
k=0
8
2 4
+ ....
c) 1 − + −
3 9 27
4. Welche der folgenden Zahlenfolgen sind monoton? beschränkt? konvergent (Grenzwert)?
n
4
a) an = 2 +
3
n
3
b) bn = 2 + −
4
n
π
1
sin n ·
c) cn =
2
2
2
n +2
d) dn =
n3 + 1
n3 + n2
−n
e) en =
n2 + 2
n2 + 2n + 1
f ) fn =
−n
n+1
5. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
2
n
n2
−
a)
lim
n→∞ n + 1
n+3
n 1 n
1
· 1+
b)
lim
1−
n→∞
2
n
p
p
n2 + 3n + 1 − n2 + 2n
c)
lim
n→∞
6
6. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
a)
b)
c)
12 2·n
n→∞
7n
n+2 n
lim
n→∞
n−3
n−3 n
lim
n→∞
n+2
lim
1+
Zusatzaufgaben
1. Gehen Sie nochmals den Beweis von Satz 4.1 durch und versuchen Sie die Logik dieses Beweises
und sämtliche Details zu verstehen.
2. Definieren Sie die Begriffe Zahlenfolge, geometrische Folge, nach oben beschrängte Folge, nach
unten beschrängte Folge, beschrängte Folge, monoton wachsende Folge, streng monoton wachsende Folge, monoton fallende Folge, streng monoton fallende Folge, konvergente Folge, Nullfolge und divergente Folge.
3. Geben Sie zwei Beispiele von direkt definierten Zahlenfolgen und zwei Beispiel von rekursiv
definierten Zahlenfolgen an.
4. Geben Sie jeweils zwei verschiedene Folgen an, die die aufgeführten Eigenschaften haben (falls
es solche Folgen gibt).
(a) nach oben beschränkt
(b) nach unten beschränkt
(c) beschränkt
(d) monoton wachsend
(e) streng monoton wachsend
(f) monoton wachsend und Grenzwert 7
(g) streng monoton fallend und Grenzwert 3
(h) divergent und beschränkt
(i) divergent und unbeschränkt
(j) beschränkt und konvergent
(k) konvergent und unbeschränkt
(l) konvergent und divergent
(m) monoton wachsend, nach oben beschränkt und Grenzwert 3
(n) streng monoton fallend, Grenzwert 2 und zweiter Grenzwert −2.
5. Die Folge an = 1/n ist eine Nullfolge. Bestimmen Sie eine Zahl N (ǫ), so dass alle Folgenglieder
an mit n > N (ǫ) in der ǫ-Umgebung von 0 liegen für
(a) ǫ = 2
(b) ǫ = 0.5
(c) ǫ = 0.03.
7
6. Seien a0 , a1 , . . . , ak , b0 , b1 , . . . , bl reelle Zahlen mit ak 6= 0 6= bl . Welche ,,Werte” kann der
Grenzwert
lim
n→∞
ak nk + ak−1 nk−1 + . . . + a1 n + a0
bl nl + bl−1 nl−1 + . . . + b1 n + b0
annehmen? Wovon hängt das Konvergenzverhalten der rationalen Folge ab?
7. Sei q eine reelle Zahl. Welches Konvergenzverhalten kann die Folge {q n } (in Abhängigkeit von
q) haben?
8. Definieren Sie die Begriffe unendliche geometrische Reihe und n-te Partialsumme einer unendlichen geometrischen Reihe.
9. Beweisen Sie für q 6= 1 die Gleichung
n−1
X
qk =
1 − qn
.
1−q
qk =
1
.
1−q
k=0
10. Beweisen Sie für q < 1 die Gleichung
∞
X
k=0
11. Geben Sie zwei Definitionen für die Eulersche Zahl e an. Wie könnte man ,,per Hand” einen
Nährungswert für e berechnen?
12. Beweisen Sie, dass für die Reihe
∞
X
1
k!
k=0
=
1
1
1
1
+ + + + ...
0! 1! 2! 3!
= 1+1+
1 1
+ + ...
2 6
folgendes gilt:
(a) Die Reihe ist nach unten beschränkt ist.
(b) Die Reihe ist nach oben beschränkt ist.
(c) Die Folge der Partialsummen dieser Reihe ist streng monoton wachsend.
13. Kennen Sie die folgenden Grenzwerte?
1 n
lim
1+
n→∞
n
1 −n
lim 1 +
n→∞
n
p n
lim 1 +
n→∞
n
p −n
lim 1 +
n→∞
n
lim
n→∞
1
1−
n
n
1 −n
lim
1−
n→∞
n
p n
lim 1 −
n→∞
n
p −n
lim 1 −
n→∞
n
8
Finanzmathematik
1. Ein Kapital von 50′ 000 Franken werde mit einem Jahreszinssatz von 5% verzinst. Gesucht ist
der Kontostand nach 10 Jahren bei
(a) jährlicher
(b) monatlicher
(c) stetiger
Verzinsung.
2. Wie lange dauert es, bis sich ein Geldbetrag bei einem Zinssatz von
(a) 6%
(b) 5%
verdoppelt hat?
3. Ein Projekt erfordert heute einen Aufwand A0 = 50′ 000 Franken. In zehn Jahren fällt ein
einmaliger Ertrag E10 = 90′ 000 Franken an.
(a) Berechnen Sie den Barwert B0 des Projektes in Abhängigkeit vom Bewertungssatz p.
(b) Bei welchen Zinssätzen p > 0 lohnt sich die Durchführung des Projektes?
4. Eine Schuld von 100′ 000 Franken soll durch jährliche Raten von 10′ 000 Franken getilgt werden
(p = 6%). Wieviele Zahlungen sind nötig?
5. Eine Person zahlt 10 Jahre lang 1000 Franken am Ende eines jeden Jahres auf ein Konto ein.
Wie lange kann diese Person anschliessend eine ebensolche Rente beziehen, wenn der Zinssatz
5% beträgt?
6. Für welche p ≥ 0 gilt
a)
120′ 000
720′ 000
− 600′ 000 > 0?
+
2
(1 + p)
1+p
b)
25′ 000
150′ 000
−
− 50′ 000 > 0?
10
(1 + p)
(1 + p)5
7. Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der Differenzengleichungen
a) yk+1 + 2yk = 2
b) 3yk = yk−1 + 6
8. Welche Lösung der Differenzengleichung
2yk+1 + 3yk = 5
erfüllt die Anfangsbedingung y0 = 2?
9
Zusatzaufgaben
1. Ein Anfangskapital K0 wird n Jahre lang auf einem Konto verzinst. Welches Kapital steht
nach dieser Zeit zur Verfügung, wenn die Verzinsung innerhalb eines Jahres
(a) einmalig
(b) 4-malig
(c) k-malig
(d) stetig
erfolgt?
2. Wie bestimmt man den Barwert eines Projektes?
3. In welcher Zeit verdoppelt, verdreifacht bzw. ver-k-facht sich ein Guthaben, das auf einem
Konto mit einmaliger jährlicher Verzinsung zum Zinssatz p angelegt ist?
4. (aus: G. Kallischnigg, U. Kockelkorn, A. Dinge: Mathematik für Volks- und Betriebswirte, R.
Oldenbourg Verlag, 3. Auflage(1998), ab Seite 43)
(a) Jedes Jahr sterben 20% des Baumbestandes der Vorperiode ab. Zum Ausgleich werden
jedes Jahr 100′ 000 Bäume gepflanzt. Am 31.12.1997 gab es genau 1′ 000′ 000 Bäume.
i. Stellen Sie die Differenzengleichung für den Baumbestand auf.
ii. Zu welchem Zeitpunkt ist ein Baumbestand von 631′ 072 erreicht?
iii. Wieviele Bäume müssten ab 1998 jährlich gepflanzt werden, damit am 31.12.2002
der Baumbestand 831′ 920 beträgt?
(b) Die Bevölkerungszahl einer Stadt sei im k-ten Jahr gleich yk . Der natürliche Zuwachs soll
jährlich 1.5% betragen. Durch die industrielle Entwicklung bedingt, soll die Bevölkerungszahl in 20 Jahren von 20’000 auf 50’000 anwachsen. Wieviele Personen müssen jährlich
zuziehen, wenn der Zuzug über den gesamten Zeitraum konstant gehalten werden soll?
10
Reelle Funktionen
1. Für die folgenden Funktionen ist der Definitionsbereich D zu bestimmen:
p
(a) f (x) = ln(x − 3)
√
x−6
(b) g(x) = √
10 − x
1
(c) h(x) = 2
x −1
Beweisen Sie, dass g streng monoton steigend ist.
2. Ermitteln Sie für die Funktionen
(a) f (x) = ln(1 + x),
x2 +1
(b) g(x) = e
x ∈ (−1, ∞)
, x ∈ [0, ∞)
den Wertebereich und bestimmen Sie die zugehörigen Umkehrfunktionen.
3. Die Nachfragefunktion nach einem Gut sei qd (p) = 15− 3p, die Angebotsfunktion für das selbe
Gut sei qs (p) = −2 + 2p.
(a) Bei welchem Preis herrscht Marktgleichgewicht?
(b) Drücken Sie den Preis als Funktion der nachgefragten (angebotenen) Menge aus.
4. Lösen Sie die folgenden Gleichungen
(a) 5x = 7
(b) ex
2 −2x
=1
(c) ln x2 − 3 = 0
(d) e−ax =
1
a
wobei a > 0
(e) ln x2 − 1 = 3 ln(2) + ln(3)
(f) ln(x − 5) + ln(x + 1) =
(3x )
(g) 2
1
2
ln(49)
=5
5. Sei a eine reelle Zahl mit a > 0. Für welche x ∈ R gilt die Gleichung
a
x
− ln
= 2?
ln
4a
x
6. Für welche Werte a, b gilt
a) cos(x) = sin(x + a)
b) cos(x) = − sin(x − b)
7. Gegeben ist die Funktion
 2
x − 2x


 2
x −4
f (x) :=
c



d
x 6= 2, x 6= −2
x=2
x = −2
.
Gibt es eine reelle Zahl c, so dass f in x = 2 stetig ist? Gibt es eine reelle Zahl d, so dass f in
x = −2 stetig ist?
11
8. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
x2 (x2 − x)
x→1 (x − 1)(x + 1)
(a) lim
(b) lim e−1/x und lim e−1/x
x→0+
(c)
(d)
x→0−
x5
+2
x3 − 1
lim x2 ex
lim
x→−∞
x→−∞
9. Zeigen Sie, dass die Funktion f (x) = e−x − x2 auf [0, 1] genau eine Nullstelle besitzt.
Zusatzaufgaben
1. Geben Sie die Definitionen für die Begriffe Funktion, Definitionsmenge, Wertebereich, injektiv,
Graph einer Funktion, Monotonie, strenge Monotonie, Beschränktheit, gerade Funktion und
ungerade Funktion.
2. Unter welcher Bedingung (welchen Bedingungen) ist eine Funktion umkehrbar?
3. Welche Eigenschaft hat der Graph einer umkehrbaren Funktion?
4. Nennen Sie für die aufgeführten Funktionen jeweils den (maximalen) Definitionsbereich, den
Wertebereich und die Monotonieeigenschaften.
(a) f (x) = 2x
(b) f (x) =
1 x
2
(c) f (x) = log2 (x)
(d) f (x) = log 1 (x)
2
(e) f (x) = sin(x)
(f) f (x) = cos(x)
(g) f (x) = tan(x)
5. Beweisen Sie mit Hilfe der Logarithmengesetze die Gleichung
loga (u) =
ln(u)
ln(a)
6. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Begründen Sie Ihre Behauptungen.
(a) Eine streng monotone Funktion ist immer umkehrbar.
(b) Eine umkehrbare Funktion ist immer streng monoton.
(c) Eine monotone Funktion ist immer umkehrbar.
(d) Eine umkehrbare Funktion ist immer monoton.
(e) Eine Funktion ist dann und nur dann umkehrbar, wenn sie injektiv ist.
(f) Eine Funktion ist dann und nur dann umkehrbar, wenn sie streng monoton ist.
7. Wann heisst eine auf dem Intervall I definierte Funktion f stetig in x0 ∈ I?
12
8. Welche Typen von Unstetigkeitsstellen kennen Sie? Geben Sie für jeden Typ eine Beispielfunktion an.
9. Begründen Sie die Relation (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f −1 .
10. Was besagt der Nullstellensatz?
11. Warum hat jedes Polynom p(x) = ax3 + bx2 + cx + d vom Grad 3 mindestens eine reelle
Nullstelle? Gilt das auch für Polynome vom Grad 2?
13
Grundbegriffe der Differentialrechnung
1. Bestimmen Sie definitionsgemäss die Ableitung von y =
1
.
1+x
2. Bestimmen Sie unter Verwendung der (Ableitungs)regeln die Ableitungen der folgenden Funktionen:
(a) y = 7 · (4 − x)8
p
3
(b) y = x2 − 5x
(c) y = sin(2x2 )
p
(d) y = 1 − cos(3x)
sin(x)
(e) y =
1 + ex
(f) y = x · ln(4x)
√
(g) y = e
x
3. Gegeben ist die Funktion
f (x) :=
a · emx
mx + b
für x > 0
für x ≤ 0
mit m 6= 0. Die Parameter a, b und m sind so zu wählen, dass f an der Stelle 0 stetig ist und
dort eine 1. Ableitung besitzt.
4. Bestimmen Sie für die Funktion f (x) = 1/x den Richtungswinkel τ der Tangente im Punkt
P (2, 0.5).
5. Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:
(a) f1 (x) =
3x + 1
für x 6= 4
x−4
√
(b) f2 (x) = xe x
1
(c) f3 (x) = ln
1 + x2
(d) f4 (x) = 73x
(e) f5 (x) = xx
6. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von l’Hospital.
sin(2x)
x→0
2x
ex−1 − x − 2
B = lim
x→1
(x − 1)2
x3 − x2
C = lim
x→0 cos(x)(1 − cos(x))
A =
lim
14
Zusatzaufgaben
1. Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen (dort, wo sie definiert sind):
(a) f1 (x) = x · esin(a) + cos(b)
(b) f2 (x) =
cos(x)
1 − sin(x)
(c) f3 (x) = 4x3 e−x ln(x)
√ (d) f4 (x) = ln sin2 (x) + e x
p
p
(e) f5 (x) = 1 + cos2 (x) · 1 + sin(2x)
2. Bestimmen Sie die Ableitung von cot(x) = cos(x)/ sin(x).
3. Bestimmen Sie definitionsgemäss die Aleitung (Differentialquotient) von f (x) = x3 .
4. Definieren Sie die Begriffe gerade Funktion und ungerade Funktion und beweisen Sie:
(a) Die Ableitung einer geraden Funktion ist eine ungerade Funktion.
(b) Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist eine gerade Funktion.
5. Sei y = f (x) eine differenzierbare Funktion und x0 ein Punkt im Definitionsbereich von f .
Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (x0 , f (x0 ))?
6. Sei y = f (x) = 3x + 2 eine (lineare) Funktion. Bestimmen Sie die (fünf) Gleichungen der
Tangenten an den Graphen von f in den Punkten (1, 5), (2, 8), (3, 11), (π, 3 · π + 2) und
(π/e, 3 · π/e + 2).
7. Beweisen Sie die verallgemeinerte Produktregel für drei Funktionen f , g und h:
(f · g · h)′ = f ′ · g · h + f · g′ · h + f · g · h′ .
15
Ökonomische Anwendungen der Differentialrechnung
1. (a) Berechnen Sie die Preiselastizität der Nachfrage für die Nachfragefunktion f (p) = 100−2p
für 0 ≤ p < 50. In welchem Bereich ist die Nachfragefunktion elastisch resp. unelastisch?
(b) Um wieviel % verändert sich die Nachfrage (approximativ), wenn der Preis von p = 40
um 1%, 2%, 4% 5%, 10% bzw. 13% erhöht wird?
Hinweis: Benutzen Sie die Elastizität!
(c) Für welche α > 0 ist die folgende Nachfragefunktion elastisch:
q(p) =
1
, p > 0.
pα
2. Gegeben ist die Kostenfunktion
K(x) = −70 + 20x +
1′ 600
,
x + 20
x≥0
(a) Berechnen Sie das Differential dK für die Kostenzunahme bei einer Produktionserhöhung
von x0 auf x0 + ∆x für
i. x0 = 30 und ∆x = 1
ii. x0 = 30 und ∆x = 10
(b) Vergleichen Sie den Näherungswert dK mit der exakten Kostenzunahme ∆K.
3. Bestimmen Sie die Wachstumsraten für die folgenden Funktionen:
(a) f (t) = 4t
(b) f (t) = t3 .
4. Man beweise: Die Wachstumsrate r(t) einer Funktion f (t) kann berechet werden als
r(t) =
d
( ln(f (t)) ) .
dt
Bestätigen Sie mit Hilfe dieser Formel die Ergebnisse aus der vorhergehenden Aufgabe und
berechnen Sie die Wachstumsrate von
f (t) =
t2
,
(t + 1)3
t > 0.
5. Bestimmen Sie die Einkommenselastizität der Konsumfunktion
C(I) = A · e−b/I
wobei I, A, b > 0 (I bezeichnet das Einkommen).
6. Bestimmen Sie die Differentiale der folgenden Funktionen:
(a) E(x) = x · p(x)
x>0
(b) N (I) = I − I · s(I) I ≥ 0
K(x)
x>0
(c) k(x) =
x
(d) G(x) = x · p(x) − K(x) x > 0
16
Zusatzaufgaben
1. Schätzen Sie für die folgenden Funktionen unter Nutzung des Differentials die (näherungsweise) Funktionswertveränderung gegenüber dem Wert im Punkt x0 = 1.5 bei einem Zuwachs
um ∆x = 1, ∆x = 0.1 bzw. ∆x = 0.01 und vergleichen Sie mit den exakten Änderungen.
2
15 + e−x
1
sin(x)
(b) g(x) = 3x +
10
1 2x−1
(c) h(x) =
e
100
(a) f (x) =
2. Berechnen Sie die Elastizitätsfunktion zu den folgenden Funktionen:
(a) f (x) = ax + b
(b) g(x) = 3x5/2
(c) h(x) = 0.01x3 − x2 + 8x + 150
1
3
Eins?
3. An welcher Stelle x > 0 beträgt die Elastizität der Funktion f (x) = 2x − +
2
x
Bestimmen Sie die Elastizitätsbereiche der Funktion.
4. Zeigen Sie, dass die so genannte Gleichung von Amoroso und Robinson
f ′ (x) = ǫf,x · d(x) = d(x) · (1 + ǫd,x )
mit
d(x) :=
f (x)
x
gilt.
5. Sei K = K(x) eine Kostenfunktion (Kosten als Funktion der produzierten Stückzahl x eines
Gutes) und p der (konstante) (Verkaufs)Stückpreis.
(a) Begründen (beweisen) Sie, warum man die Ableitung K ′ (x) als die approximativen Kosten betrachten kann, die anfallen, wenn man den Output von x auf x + 1 erhöhen will.
(b) Sei x̄ ein Output, der die Durchschnittskosten minimiert. Zeigen Sie:
K ′ (x̄) =
K(x̄)
.
x̄
(c) Sei x̄ ein Output, der zu maximalem Profit führt. Zeigen Sie:
K ′ (x̄) = p.
6. Seien f = f (x) und g = g(x) zwei differenzierbare Funktionen. Zeigen (beweisen) Sie, dass die
Elastizität der Produktfunktion f · g die folgende Eigenschaft hat:
ǫf ·g,x = ǫf,x + ǫg,x .
7. Sei c 6= 0 eine reelle Zahl. Zeigen Sie, dass die Funktion f (x) = xc konstante Elastizität hat.
8. Beschreiben (benennen) Sie alle Terme in der Relation
∆f (x)
f (x)
≈ ǫf,x ·
∆x
x
und beschreiben Sie (kurz) in Worten die Aussage dieser Relation.
17
9. Erläutern Sie (kurz) in Worten die Bedeutung der folgenden Ausdrücke: ∆x, dx, ∆f (x), df (x),
df (x)
∆x ∆f (x) ∆f (x)
x , f (x) , ∆x und dx .
10. Beschreiben Sie (kurz) in Worten und/ oder mit einer Skizze den Unterschied zwischen den
beiden Ausdrücken ∆f (x) und df (x).
11. Seien a > 0, a 6= 1 und b 6= 0 zwei reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass die Funktion f (x) = abx eine
konstante Wachstumsrate hat.
18
Kurvendiskussionen
1. Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema der Funktionen
2
f (x) = x2 · e9−x ,
x∈R
x
g(x) =
,
x ∈ [2, 10]
ln(x)
7
1
+ 4,
x ∈ [1, 2]
h(x) =
x x
2. Untersuchen Sie die Funktion
f (x) = (x − a)2 · ex , a ∈ R
auf Nullstellen, relative Extrema und Verhalten bei x → ±∞. Zeichnen Sie ,,den” Graphen.
3. Bestimmen Sie die Taylor-Polynome für die folgenden Funktionen an den jeweiligen Entwicklungspunkten:
(a) P1 (x), P2 (x) und P3 (x) für f (x) = ln(1 − x) an der Stelle x0 = 0,
(b) P2 (x) für K(x) = 50 + 6x + 20e−0.1(x−10) an der Stelle x0 = 10,
(c) P2 (x) für f (x) = xx , x > 0 an der Stelle x0 = 1.
4. Klären Sie, ob die folgenden Funktionen konvex, konkav oder weder konvex noch konkav sind:
(a) K(x) = 30 · x − 10 · ln(x + 1),
(b) f (x) = x · e−x , x ∈ [−2, 1]
(c) g(x) = ln(x2 + 1), x ∈ R
x>0
5. Ein Produzent kann eine Menge x eines Produktes herstellen und zu einem Stückpreis von
p = 19 verkaufen. Die Gesamtkosten, um die Menge x herzustellen, belaufen sich auf
K(x) = −70 + 20x +
1′ 600
,
x + 20
x ≥ 0.
(a) Wie lautet die Gewinnfunktion G(x)?
(b) Ermitteln Sie das Produktionsniveau x∗ , welches zum globalen Gewinnmaximum führt
(Hinweis: Untersuchen Sie, ob G(x) konkav ist).
6. Die Nachfrage nach einem Gut als Funktion des monatlichen Einkommens sei gegeben durch
die Funktion

 0
falls x < 1
f (x) =
10(x − 1)2

falls x ≥ 1
ex
wobei x das monatliche Einkommen (in tausend Fr.) und y die nachgefragte Menge (in tausend
Stück) bezeichnet.
(a) Berechnen Sie dasjenige Einkommen, für welches die Nachfrage maximal ist.
(b) Stellen Sie obige Funktion graphisch dar und diskutieren Sie die Kurve.
(c) Berechnen Sie für x ≥ 1 die Einkommenselastizität ǫf,x der Nachfrage und stellen Sie
diese Funktion graphisch dar.
(d) Welche prozentuale Erhöhung/Verringerung der Nachfrage bringt eine 1%-ige Erhöhung
des Einkommens bei x = 2, 3, 5, 7? (Hinweis: ǫf,x nutzen)
19
Zusatzaufgaben
1. Definieren Sie die Begriffe konvexe Funktion, konkave Funktion, Wendestelle,
2. Wie lautet der Mittelwertsatz? Kennen Sie unmittelbare Folgerungen aus dem Mittelwertsatz?
3. Geben Sie die Definition für konvexe Funktion und konkave Funktion. Geben Sie mindestens
drei weitere Eigenschaften von konvexen Funktionen und mindestens drei weitere Eigenschaften von konkaven Funktionen an.
4. Nennen Sie ein notwendiges Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Maximums (Minimums).
5. Nennen Sie ein hinreichendes Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Maximums (Minimums).
6. Überlegen Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. Begründen (beweisen) Sie
Ihre Antwort.
(a) Eine Nullstelle der ersten Ableitung ist stets ein lokales Extremum.
(b) Ist x0 ein lokales Extremum von f , so hat die erste Ableitung von f in x0 eine Nullstelle.
(c) Ist x0 ein lokales Extremum von f , so ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt
(x0 , f (x0 )) parallel zur y-Achse.
(d) Ist x0 ein lokales Extremum von f , so ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt
(x0 , f (x0 )) parallel zur x-Achse.
(e) Eine Funktion, die auf dem Intervall [1, 13] sowohl konvex als auch konkav ist, muss eine
konstante Funktion sein.
(f) Eine Funktion, die auf dem Intervall [1, 13] sowohl konvex als auch konkav ist, könnte
eine lineare Funktion sein.
P
(k)
7. Welche Eigenschaft(en) hat hat das Taylor-Polynom P2 (x) = 2k=0 fk! (x − x0 )k von f mit
Entwicklungspunkt x0 (im Hinblick auf f und x0 )?
8. Angenommen, Sie kennen von einer (genügend oft) differenzierbaren Funktion f nur die beiden
Werte f (1) = 1 und f ′ (1) = 0.2. Bestimmen Sie einen möglichst guten Näherungswert für
f (1.1)!
9. Angenommen, Sie kennen von einer (genügend oft) differenzierbaren Funktion g nur die drei
Werte g(1) = 1, g′ (1) = 1 und g′′ (1) = −2. Bestimmen Sie einen möglichst guten Näherungswert für g(1.1)!
20
Funktionen in zwei Variablen
1. Bestimmen Sie die Niveaulinien f (x, y) = c, c = 0, 1, 2, 3, . . . für die folgenden Funktionen:
(a) f1 (x, y) = y 2 − x
(b) f2 (x, y) = |y|
(c) f3 (x, y) = p1 x + p2 y
p1 > 0, p2 > 0
0.5 0.5
(d) f4 (x, y) = x y
x ≥ 0, y ≥ 0
p
(e) f5 (x, y) = 1 − x2 + y 2
2. Bestimmen Sie einige Niveaulinien der Funktion
f (x, y) = ex
2 +y 2
+ 3 · (x2 + y 2 ).
3. Sei die Funktion
z = f (x, y) = x2 + 2y 2 − x
gegeben. Bestimmen Sie
(a) die Niveaulinien für z = 1/4 und z = 7/4 und
(b) die partiellen Ableitungen allgemein und an der Stelle (−1, 1).
Vermuten Sie auf Grund der Niveaulinien die Existenz einer Extremalstelle. Wo liegt diese
und welchen Typ hat sie?
4. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen:
(a) f (x, y) = cos(x2 + xy + y 2 ) − y
(b) P (K, L) = K 0.4 · L0.6
(c) U (x1 , x2 , x3 ) =
x0.2
1
· x0.2
2
· x0.6
3
K > 0, L > 0
x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0
5. Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der folgenden Funktionen:
(a) f (x, y) = sin(1 + 2x0.5 · y 0.5 )
x > 0, y > 0
(c) P (K, L) = K 0.3 · L0.4
K > 0, L > 0.
(b) f (x, y) = x · ln(y 2 + 1)
6. Berechnen Sie die Tangentialebene im Punkt (1, 2) der Funktionen
z = f (x, y) = x + y +
z = f (x, y) = exy .
8
,
xy
x > 0, y > 0
21
Zusatzaufgaben
1. Sei q1 = f (p1 , p2 ) eine Nachfragefunktion für die beiden konkurrierenden Güter P-Cola und
C-Cola (q1 Nachfrage nach P-Cola, p1 Preis von P-Cola, p2 Preis von C-Cola). Welche Eigenschaft(en) sollte f haben? Geben Sie zwei mögliche Modelle für f an, die diese Eigenschaft(en)
haben.
2. Sei q1 = f (p1 , p2 ) eine Nachfragefunktion für die beiden komplementären Güter Kaffee und
Kaffeemaschinen (q1 Nachfrage nach Kaffee, p1 Preis von Kaffee, p2 (Durchschnitts)Preis einer
Kaffeemaschine). Welche Eigenschaft(en) sollte f haben? Geben Sie zwei mögliche Modelle
für f an, die diese Eigenschaft(en) haben.
3. Was muss man sich unter dem Schrägbild (Graph) einer Funktion z = f (x, y) vorstellen? Wie
kann man das Schrägbild der Funktion z = f (x, y) = x + y konstruieren?
4. Sei z = f (x, y) eine Funktion. Was versteht man unter dem direkten Bild, dem Schrägbild
und den Niveaulinien der Funktion?
5. Bestimmen Sie einige Niveaulinien der folgenden Funktionen und skizzieren Sie diese (,,mit
Höhenbeschriftung).
x2 + y 2
cos(x2 + y 2 )
z = f (x, y) = sin(x2 − y 2 + 4) + cos(x2 − y 2 + 4)
z = f (x, y) = sin(x2 + y 2 ) +
6. Sei z = f (x, y) eine differenzierbare Funktion. Erklären Sie kurz in Worten den Unterschied
zwischen df und ∆f .
7. Sei z = f (x, y) eine differenzierbare Funktion und (x0 , y0 ) ein Punkt im Definitionsbereich von
f . Wie ist die Tangentialebene an den Graphen von f im Punkt (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) definiert?
8. Sei z = f (x, y) = 2x − 3y + 2 eine (lineare) Funktion. Bestimmen Sie die Gleichungen
der Tangentialebenen
den √
Graphen von f in jedem der folgenden Punkten: (1, 2, f (1, 2)),
√ √ an √
(3, 7, f (3, 7)), ( 2, 3, f ( 2, 3)) und allgemein: (a, b, f (a, b)).
9. Erläutern Sie (kurz) in Worten die Bedeutung der folenden Ausdrücke: ∆x, ∆y, dx, dy,
(x,y)
∆y ∆f (x,y) ∂f (x,y)
∆f (x, y), df (x, y), ∆x
und ∂f ∂y
.
x , y , f (x,y) ,
∂x
10. Beschreiben (benennen) Sie alle Terme in den beiden Relationen
∆f (x, y)
f (x, y)
∆f (x, y)
f (x, y)
∆x
x
∆y
≈ ǫf,y ·
y
≈ ǫf,x ·
und beschreiben Sie (kurz) in Worten die Aussage dieser Relationen.
22
Produktionsfunktionen
1. Berechnen Sie das totale Differential folgender Funktionen:
(a) f (x, y) = 3x4 − 7xy + x
(b) f (x, y, z) = ln(xyz),
(c) P (K, L) = 150 · K
x > 0, y > 0, z > 0
0.3
2
2
· L0.7 , K > 0, L > 0
2
(d) f (x1 , x2 , x3 ) = ex1 +x2 +x3
2. Gegeben ist die Gewinnfunktion G(K, L) = P (K, L)−rK −wL, wobei P (K, L) = 200K 0.5 L0.3 ,
r = 40 und w = 30.
(a) Berechnen Sie das totale Differential an der Stelle (K0 , L0 ) = (1, 1). Wie lässt sich die
Formel ökonomisch interpretieren?
(b) Vergleichen Sie für (dK, dL) = (0.05, −0.05) den Näherungswert dG mit dem exakten
Wert ∆G.
3. Gegeben sei die Funktion f (x, y) = 3x2 − 6xy + y 3 − 60x + 60y.
(a) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen fx (x, y) und fy (x, y).
(b) Berechnen Sie im Punkt (x0 , y0 ) = (10, 10) die Tangentensteigung an der Niveaulinie.
4. Gegeben sind die zwei Kurven mit den Gleichungen
x2 − 2x −
y2
=0
c
und
x2 − 8x + y + 16 − v = 0.
Man wähle c und v so, dass beide Kurven sich an der Stelle x = 3 berühren (Hinweis: Implizite
Differentiation). Stellen Sie die Kurven graphisch dar.
5. Gegeben sei die CES-Funktion u(x, y) = (x0.5 + 3y 0.5 )2 , x > 0, y > 0.
(a) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen ux und uy .
(b) Durch u(x, y) = 16 ist eine Indifferenzkurve (Niveaulinie) definiert. Ermitteln Sie die
Substitutionsrate im Punkt (x0 , y0 ) = (1, 1).
6. Sind die folgenden Funktionen homogen? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Homogenitätsgrad
der Funktionen.
(a) f (x, y) = xy 2 + yx
(b) f (x, y) = xy 3 + yx3 + x2 y 2
√
(c) f (x, y) = 2x + y + 3 xy
(d) f (x, y) = xy · ln (x2 + y 2 ) · (xy)−1
7. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Homogenitätsgrad der Funktionen und zeigen Sie, dass
diese Funktionen die Eulersche Relation erfüllen.
√
(a) f (x, y) = xy
(b) P (K, L) = (aK ρ + bLρ )1/ρ , a > 0, b > 0, ρ 6= 0
(c) f (x, y) = x2 y 5 (ln x − ln y), x > 0, y > 0
23
Zusatzaufgaben
1. ,,Beseitigen,, Sie die linearen Glieder 2x und 4y durch quadratische Ergänzung:
2x2 + 2x + 3y 2 + 4y + 6 = 0.
2. Skizzieren Sie die folgenden implizit gegebenen Kurven (falls sie existieren). Beschriften Sie in der Skizze stets den Mittelpunkt und die Halbachsen.
(x − 2)2
2
(x − 2)2
+
2
(x − 2)2
+
2
(x − 2)2
+
2
(x − 2)2
−
2
(x − 2)2
−
2
(x − 2)2
−
2
(x − 2)2
+
2
+
+
+
−
−
+
+
−
−
(y − 1)2
4
(y − 1)2
4
(y − 1)2
4
(y − 1)2
4
(y − 1)2
4
(y − 1)2
4
(y − 1)2
4
(y − 1)2
4
+1 = 0
−1 = 0
+1 = 0
−1 = 0
+1 = 0
−1 = 0
+1 = 0
−1 = 0
(x − 2)2 (y − 1)2 1
+
−
2
4
2
(x − 2)2 (y − 1)2 1
−
−
2
4
2
= 0
= 0
3. Gegeben ist die Funktion f (x, y) = exy−4 .
(a) Berechnen Sie das totale Differential an der Stelle (x0 , y0 ) = (2, 2).
(b) Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials einen Näherungswert für
f (1.98, 2.01).
4. Definieren Sie den Begriff homogene Funktion vom Grad g.
5. Was besagt die Eulersche Relation? Schreiben Sie die Gleichung auf und benennen
Sie alle darin vorkommenden Grössen.
6. Eine homogene Funktion z = f (x, y) vom Grad g = 3 habe auf dem Einheitskreis
x2 + y 2 = 1 die Werte z = 2x + y (nur auf dem Einheitskreis!). Bestimmen Sie den
Funktionswert von f an der Stelle (3, 1).
7. Das Angebot eines Produzenten hängt vom Preis p des hergestellten Gutes und
vom Lohnsatz w ab. Was besagt der Satz von Euler, falls die Angebotsfunktion
f (p, w) homogen vom Grad 0 ist?
8. Von einer homogenen Funktion f (x, y) kennt man den Homogenitätsgrad r = 2
sowie die partiellen Ableitungen
1 1 1 −3
1 1 1 −3
+
+ y und fy (x, y) = 2
+
+x
fx (x, y) = 2
x
x y
y
x y
Ermitteln Sie f (x, y).
24
Extrema von Funktionen in zwei Variablen
1. Untersuchen Sie die folgenden beiden Funktionen auf lokale Extrema und Sattelpunkte
(a) f (x, y) = x3 + 4x2 − 3x − 8xy + 4y 2
(b) f (x, y) = 3x2 − 6xy + y 3 − 60x + 60y − 700
2. Gesucht sind die lokalen Extrema und die Sattelpunkte der Funktion
f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy.
3. Für die Fertigung eines Gutes G (in der Menge q) werden zwei Produktionsfaktoren A (in der
Menge a) und B (in der Menge b) eingesetzt. Die zugehörige Produktionsfunktion lautet
q = f (a, b) = 10 −
1 1
− .
a b
Der Gewinn der Unternehmung (in Geldeinheiten) lasse sich durch die Funktion
G(q, a, b) = 9q − 4a − b
beschreiben. Man berechne diejenige Kombination der Produktionsfaktoren, die den Gewinn
maximiert.
4. Zeigen Sie, dass die Gewinnfunktion
G(K, L) = K 0.25 L0.5 − 0.25K − 0.5L
in (K0 , L0 ) = (1, 1) ein lokales Maximum annimmt.
5. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf lokale Extrema.
(a) f (x, y) = x2 − xy + y 2 + 9x − 6y + 20
√
(b) f (x, y) = y x − y 2 − x + 6y
(c) f (x, y) = x3 + 8y 3 − 6xy + 1
(d) f (x, y) = 2xy − 4x − 2y
6. Bestimmen Sie die globalen Extremwerte der Funktion
f (x, y) = sin(x) + sin(y) + sin(x + y)
auf der Menge M = {(x, y) | 0 ≤ x, y ≤ π2 }.
Hinweis: Es gilt cos(2x) = 2 cos2 (x) − 1.
25
Zusatzaufgaben
1. Bestimmen Sie alle lokalen Extremalstellen der Funktion
f (x, y) = 3x2 y + 4y 3 − 3x2 − 12y 2 + 1
sowie deren Typ.
2. Ein Unternehmen produziert zwei verschiedene Sorten A und B eines Gutes. Die
täglichen Kosten der Produktion von x Einheiten der Sorte A und y Einheiten der
Sorte B sind
K(x, y) = 0.04x2 + 0.01xy + 0.01y 2 + 4x + 2y + 500
Nehmen Sie an, dass das Unternehmen den ganzen Output verkauft, und zwar die
Sorte A zum Stückpreis von 15.− und die Sorte B zum Stückpreis 9.−. Bestimmen
Sie das Produktionsniveau beider Sorten, dass den Gewinn maximiert.
26
Extrema von Funktionen mit Nebenbedingung
1. Gegeben sei eine Produktionsfunktion vom Cobb-Douglas-Typ
P (K, A) = 10 K 0.25 A0.75 .
(a) Die Preise pro Einheit Kapital und Arbeit sind pK = 2 und pA = 6. Für welche Produktionsfaktorkombination (K, A) werden die Kosten C(K, A) minimal, falls 80 Einheiten
produziert werden sollen?
(b) Es soll eine möglichst grosse Menge P produziert werden, wobei für die Gesamtkosten
C(K, A) genau Fr. 1’000.- zur Verfügung stehen.
2. Ein Konsument mit der Nutzenfunktion u(c1 , c2 ) = c10.4 c20.6 muss die Budgetrestriktion p1 c1 +
p2 c2 = 10, p1 , p2 > 0 einhalten. Zeigen Sie, dass für den optimalen Konsumplan (c⋆1 , c⋆2 ) gilt:
p1 c⋆1 = 4 und p2 c⋆2 = 6.
3. Gegeben sei das Optimierungsproblem f (x, y) = xy 2 − 3ey , x > 0 unter der Nebenbedingung
φ(x, y) = y − ln(x) = 0.
(a) Ermitteln Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode die möglichen Extremalstellen.
(b) Klären Sie mit Hilfe der Reduktionsmethode, ob ein lokales Maximum vorliegt.
4. Suchen Sie Kandidaten für ein Extremum der Funktion f (x, y) = ax + by, wobei a 6= 0, b 6= 0,
unter der Nebenbedingung φ(x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0.
5. Bestimmen Sie die Extrema der Funktion
f (x, y) = x2 + 2y 2 + 2y
unter der Nebenbedingung φ(x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0 mittels
• Reduktionsmethode, indem Sie die Nebenbedingung nach x auflösen,
• Reduktionsmethode indem Sie die Nebenbedingung nach y auflösen und
• mittels der Methode von Lagrange.
Hinweis: Seien Sie nicht verwundert, wenn Sie nicht auf jedem Weg beide Lösungen finden.
6. Bestimmen Sie die globalen Extremwerte der Funktion
f (x, y) = x2 − y 2
auf der Kreisscheibe B = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1}.
Hinweis: Innere Punkte von B und Randpunkte getrennt untersuchen.
27
Zusatzaufgaben
1. Bestimmen Sie alle möglichen Extremalstellen der Funktion f (x, y) = x2 + 2y 2
unter der Nebenbedingung φ(x, y) = y − x2 + 1.
Bemerkung: Eine weitere Untersuchung der Kandidaten wird nicht verlangt.
2. Bestimmen Sie alle möglichen Extremalstellen der Funktion f (x, y) = Axa y b unter
der Nebenbedingung φ(x, y) = px + qy − m = 0, wobei A, a, b, p, q und m positive
Konstanten sind.
Bemerkung: Eine weitere Untersuchung der Kandidaten wird nicht verlangt.
28
Integralrechnung I
1. Bestimmen Sie alle Stammfunktionen von
(a) f1 (x) = 3x2 − 1/x
(b) f2 (x) = 5x(1 + x2 )1.5
(c) f3 (x) = cos(x) · esin(x)

 1
für x ≥ 2
(d) f4 (x) =
x−1
 1
für x < 2
2. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale:
(a)
(b)
(c)
(d)
Z
Z
2
e0.5x dx
0
1
0
Z
2
Z0 π
0
2x
dx
1 + x2
3x dx
| cos(x)| dx
3. Gesucht ist die Fläche, die von den Funktionen
1
1
y = x, y = − x
2
2
und y =
1 2
x +1
16
eingeschlossen wird.
4. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale:
(a)
(b)
Z
2
Z0 e
1
(c)
(d)
(e)
Z
Z
Z
2xe2x dx
1
ln(x) dx
x
π/2
sin(2t) dt
0
3
√
x x + 1 dx
0
2
x ln(x) dx
1
5. Welche Fläche schliessen die Kurven y = 1 − xe−x und y = 1 − 1e x ein?
6. Die Grenzkosten c(x) sind als Funktion des Outputs x gegeben durch c(x) = 2e0.2x . Man
bestimme die Gesamtkostenfunktion C(x) bei vorgegebenen Fixkosten CF = 90.
29
Zusatzaufgaben
1. Finden Sie die Funktionsgleichung einer Kurve, deren Anstieg durch die Gleichung
f (x) = 3x − 2 beschrieben wird und deren Funktionswert im Punkt x = 4 gleich 1
ist.
2. Die Grenzerlösfunktion eines Unternehmens sei durch U ′ (x) = 10 − 8x − 72 x2 gegeben, wobei x die produzierte Menge beschreibt. Bestimmen Sie die Erlösfunktion.
3. Gegeben sei die Grenzkostenfunktion K ′ (x) = 5x2 − 10.5x + 17. Bei einer produzierten Menge von x = 10 Einheiten entstehen Kosten in Höhe von 2000.−.
(a) Bestimmen Sie die Gesamt- sowie die Durschnittskostenfunktion.
(b) Wie gross sind die Fixkosten?
30
Integralrechnung II
1. Welche der folgenden uneigentlichen Integralen konvergieren? Berechnen Sie deren Wert.
Z ∞
1
dx
(a)
x3
1
Z 1
1
(b)
dx
x3
Z0 ∞
1
dx
(c)
2/3
x
1
Z 1
1
(d)
dx
1/3
x
Z0 ∞
e−x dx
(e)
Z0 ∞
xe−x dx
(f)
0
2. Berechnen Sie die Werte der folgenden uneigentlichen Integrale
Z ∞
3
x2 e−x dx
(a)
Z0 e
1
(b)
dx
1 x ln(x)
3. Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl n die folgende Gleichung gilt:
Z ∞
n
1
xn−1 e−x dx =
.
n
0
4. Bestimmen Sie mittels der Substitutionsregel die folgenden unbestimmten Integrale und überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit dem Hauptsatz der Integralrechnung:
Z
(a)
(e3x−4 + 5e−2x ) dx
Z
9
dx
(b)
2 − 6x
Z e
1 + ln(x)
(c)
dx
x
Z1
√
(d)
5 7x − 3 dx
5. Berechnen Sie mittels partieller Integration die folgenden unbestimmten Integrale und überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit dem Hauptsatz der Integralrechnung:
Z
(a)
xe2x dx
Z
(b)
x2 sin(2x) dx
Z
√
(c)
(x − 2) x + 2 dx
Z
(d)
ln(x) dx
31
Zusatzaufgaben
1. Überprüfen Sie, ob die Funktion
( 1
f (x) =
4
0
für − 2 ≤ x ≤ 2
sonst
die Dichtefunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung sein kann.
2. Es sei die Wahrscheinlichkeitsdichte
0
f (x) =
ae−ax
für x ≤ 0
sonst
gegeben, wobei a > 0 ein gegebener Parameter ist. Bestimmen Sie die zugehörige
Verteilungsfunktion F .
Lösungen
33
Mengen, Funktionen und Logik
Lösungen der Aufgaben
π
2
gedreht!
–0.5
–1
1
0
0.5
–1
0
–0.5
3
2
x
–3
–2
1
–1
1
–1
–2
–3
–3
–2
–1
y
2
3
–3
–2
–1
1
2
y
3
1
x
2
3
–3
–1
–2
–0.5
–1
y
y
0.5
1
0.5
x
x
2
1
3
1. Achtung: Alle Zeichnungen sind um
0
–1
–2
–3
2
4
6
8
1
x
2
3
2. Die erste Zeichnung ist um π2 gedreht und die Lösungsmenge ist der Bereich zwischen der
horizontalen Geraden und der quadratischen Parabel (Parabelstück inklusive)!
34
100
10
10
50
5
5
0
-100
-50
0
0
50
100
-10
-5
0
0
5
10
-10
-5
0
-50
-5
-5
-100
-10
-10
5
10
3. C1 = { x ∈ R | x < −4 oder x > −3 }
C2 = { x ∈ R | − ∞ < x ≤ 0 } = (−∞, 0]
C3 = { x ∈ R | x 6= −1 } = R − {−1}
4. Die Lösung ist jeweils in Parameter- und in Koordinatendarstellung angegeben.
0
1
(a)
+t
für t ∈ [0, 1]
oder y = 2 − 2x für x ∈ [0, 1]
2
−2
10 1
−7
4
für t ∈ [0, 1]
oder y =
+t
(b)
+ x für x ∈ [−3, 4]
−1
2
7
7
5. 2 und 15 sind Randpunkt, 3.1 nicht
Bemerkung: Trotzdem hat der Punkt 2 die Eigenschaft, dass jede Umgebung von ihm sowohl
Punkte aus dem Intervall als auch aus dem Komplement des Intervalls enthält!
6. f ist nicht injektiv, nicht surjektiv; g ist injektiv und nicht surjektiv; h ist nicht injektiv und
nicht surjektiv
7. ?
8. ?
35
Folgen und Reihen
Lösungen der Aufgaben
1. a) 6 und b) 10 und c) 400
2. a) 45 und b) 45
3. a) 3.288, b) 4 und c)
3
5
4. Grenzwerte: a) −, b) 2, c) 0 , d) 0 e) 1 und f ) 1
5. a) 2, b) e (Eulersche Zahl) und c)
1
2
6. a) e24/7 , b) e5 , c) e−5
Lösungen einiger Zusatzaufgaben
5.(c) N (0.03) = 100/3, d.h. ab dem 34. Folgenglied liegen sicher alle Glieder in der 0.03-Umgebung
von 0.
36
Finanzmathematik
Lösungen der Aufgaben
1. a) 81′ 444.73 Franken, b) 82′ 350.48 Franken und c) 82′ 436.06 Franken
2. a) 11.9 Jahre und b) 14.2 Jahre
3. a) B0 = −50′ 000 +
90′ 000
, b) p < 6.054%
(1 + p)10
4. 16
5. 20 Jahre
6. Hinweis: Setzen Sie x := 1 + p.
a) 0 ≤ p < 0.2 und b) 0 ≤ p < 0.08447
7. a)
yk = (−2)k · (y0 − 2/3) + 2/3
b) yk = (1/3)k · (y0 − 3) + 3
8. Musterlösung
Eine lineare Differenzengleichung 1. Ordnung wir schrittweise gelöst:
(a) Herstellen der Normalform
2yk+1 + 3yk = 5 ⇐⇒ 2yk+1 = −3yk + 5
5
3
yk+1 = − yk +
2
2
|{z}
|{z}
⇐⇒
A
(b) A und B ablesen und y ∗ berechnen
A = −
B
3
2
B =
5
2
y∗ =
5
B
2
=
= 1
1−A
1 − (− 23 )
(c) Allgemeine Lösung bestimmen
Nach der Lösungsformel für lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung gilt:
k
∗
yk = A (y0 − y ) + y
∗
=
3
−
2
k
(y0 − 1) + 1
(d) Lösung des Anfangswertproblems
Wir setzen die gegebene Anfangsbedingung y0 = 2 in die allgemeine Lösung ein und
erhalten
k
k
k
3
3
3
(y0 − 1) + 1 = −
(2 − 1) + 1 = −
+ 1.
yk =
−
2
2
2
37
Die Lösung des Anfangswertproblems ist also yk =
− 23
k
+ 1.
Lösungen einiger Zusatzaufgaben
3. Kette von Umformungen
k·G
=
G · (1 + p)n
|:G
⇐⇒
k
=
(1 + p)n
| ln(...)
⇐⇒
ln(k)
=
ln((1 + p)n ) = n · ln(1 + p)
⇐⇒
n
=
ln(k)
ln(1 + p)
Aufrunden!
38
Reelle Funktionen
Lösungen der Aufgaben
1. a) D = [4, ∞),
b) D = [6, 10),
c) D = {x ∈ R | x 6= 1, x 6= −1}
2. a) W = (−∞, ∞) f −1 (x) = ex − 1,
g−1 (x) = (ln(x) − 1)0.5
b) p = 5 − 31 qd , p = 1 + 12 qs
3. a) p̄ = 3.4, q̄ = 4.8,
4. a) x = 1.20906,
b) W = [e, ∞)
b) x1 = 0, x2 = 2,
e) x1 = 5, x2 = −5,
c) x1 = 2, x2 = −2,
f ) x = 6,
d) x =
ln(a)
,
a
g) x = 0.76678
5. x = 2ae
6. a) a =
π
2
+ 2πk mit k ∈ Z
b) b =
π
2
+ 2πk mit k ∈ Z
7. c = 0.5; f ist für alle d ∈ R unstetig in x = −2
8. a) 0.5,
b) 0 und ∞,
c) ∞,
d) 0
9. Nullstellensatz und strenge Monotonie ausnutzen
Lösungen einiger Zusatzaufgaben
11. Ein Polynom ist eine stetige Funktion. Ausserdem gilt:
lim (ax3 + bx2 + xx + d) = −∞
x→−∞
lim (ax3 + bx2 + xx + d) = ∞
x→∞
Also ist unsere Funktion ,,weit links,, sicher negativ und ,,weit rechts,, sicher positiv. Nach
dem Nullstellensatz hat sie also mindestens eine Nullstelle.
39
Grundbegriffe der Differentialrechnung
Lösungen der Aufgaben
1. ?
2. a) − 56(4 − x)7 ,
e)
b)
2x − 5
,
− 5x)2/3
3(x2
cos(x)(1 + ex ) − ex sin(x)
(1 + ex )2
c) 4x · cos(2x2 ),
f ) 1 + ln(4x),
1 √
g) √ e x
2 x
3 · sin(3x)
d) p
,
2 1 − cos(3x)
3. a = b = 1, m beliebig
4. τ = 165.96◦
5. a)
f1′ (x)
−13
,
=
(x − 4)2
d) f4′ (x) = 3 · ln(7) · 73x
6. A = 1
B=
1
2
b)
f2′ (x)
√ √
x
= 1+
e x,
2
c) f3′ (x) =
−2x
,
1 + x2
e) f5′ (x) = (1 + ln(x))xx
C = −2
Lösungen einiger Zusatzaufgaben
1. a) f1′ (x) = esin(a) + cos(b),
b) f2′ (x) =
c) f3′ (x) = 4x2 e−x (3 ln(x) − x ln(x) + 1),
e) f5′ (x) =
1
,
1 − sin(x)
d) f4′ (x) =
√
1
x
√
e
2 x
√
e x
2 sin(x) cos(x) +
sin2 (x) +
− sin(x) cos(x) · (1 + sin(2x)) + (1 + cos2 (x)) · cos(2x)
p
p
1 + cos2 (x) · 1 + sin(2x)
40
Ökonomische Anwendungen
Lösungen der Aufgaben
1. a) Nachfragefunktion ist elastisch für p > 25,
2. a) i)
19.36
a) ii) 193.6
3. a) r(t) = ln(4)
4. r(t) =
b) r(t) =
b) i)
b) − 20% ,
19.372549
c) α > 1
b) ii)
194.6666667
3
t
2−t
t(t + 1)
5. ǫC,I = b/I
6. a) dE = [x · p′ (x) + p(x)]dx = xdp + pdx
b) dN = [1 − I · s′ (I) − s(I)]dI = dI − Ids − sdI
1
1
c) dk = [K ′ (x) − k(x)]dx = [dK − k(x)dx]
x
x
d) dG = [x · p′ (x) + p(x) − K ′ (x)]dx = xdp + pdx − dK
Lösungen einiger Zusatzaufgaben
1. Zunächst ist hier zu beachten, dass hier nach den Funktionswerten gefragt ist. Wir verwenden
für die Näherung dieser Funktionswerte mittels Differential die wohlbekannte Beziehung:
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 ) ∆x = f (x0 ) + df (x0 , ∆x) = f¯(x0 + ∆x).
Für die drei Funktionen gilt an der Stelle x0 = 1.5:
2e−x
f (x0 ) = 0.13138
(15 + e−x )2
1
cos(x) g(x0 ) = 4.59975
g′ (x) = 3 +
10
1 2x−1
h′ (x) =
e
h(x0 ) = 0.07389
50
f ′ (x) =
f ′ (x0 ) = 0.00863
g′ (x0 ) = 3.00707
h′ (x0 ) = 0.14778
Für die Näherungen gilt:
∆x
f¯(1.5 + ∆x)
f (1.5 + ∆x)
ḡ(1.5 + ∆x)
g(1.5 + ∆x)
h̄(1.5 + ∆x)
h(1.5 + ∆x)
1
0.1
0.01
0.14001
0.13224
0.13147
0.13261
0.13156
0.13140
7.60682
4.90046
4.62982
7.55985
4.89996
4.62982
0.22167
0.08867
0.07537
0.54598
0.09025
0.07538
Es gibt stets eine recht gute Übereinstimmung für ∆x = 0.01 und eine recht schlechte für
∆x = 1.
2. a) ǫf,x = 1 −
b
ax + b
b) ǫg,x =
5
2
c) ǫh,x =
0.03x3 − 2x2 + 8x
0.01x3 − x2 + 8x + 150
41
3.
• Elastizität der Funktion
3 1
+
2 x
1
f ′ (x) = 2 − 2
x
1
2− 2 x
2x2 − 1
f ′ (x)x
x
=
=
ǫf,x =
3 1
3
f (x)
2x − +
2x2 − x + 1
2 x
2
f (x) = 2x −
Dabei wurde im letzten Schritt der Bruch mit x erweitert, um in Zähler und Nenner der
Einfachheit halber Polynome zu erzeugen.
• Wo ist die Elastizität gleich 1?
2x2 − 1
3
2x2 − x + 1
2
1
=
⇐⇒
2x2 − 1
=
3
2x2 − x + 1
2
⇐⇒
3
x
2
=
2
⇐⇒
x
=
4
3
• Wo ist die Funktion f elastisch?
⇐⇒
2x2 − 1 3
2
2x − x + 1 2
2
2x − 1
>
>
1
2 3
2x − x + 1
2
Nun muss man diese Ungleichung mit Beträgen lösen (Vorkurs). Dazu werden zunächst
die kritischen Punkte beider Ausdrücke (Nullstellen, hier wechselt das Vorzeichen) in den
Beträgen bestimmt.
q
– Der Ausdruck 2x2 − 1 ist in den Punkten x = ± 12 gleich Null und da wir die
Funktion f nur für x > 0 untersuchen, interessiert uns nur die positive Nullstelle.
Wir sehen auch sofort

q
1
 ≤0
für
0
<
x
≤
2
q
2x2 − 1
1
 >0
für 2 < x
– Der Ausdruck 2x2 − 32 x+1 hat keine Nullstellen (Mitternachtformel oder quadratische
Ergänzung). Weiterhin kann man leicht zeigen, dass sogar 2x2 − 23 x + 1 > 0 für alle
x > 0 gilt.
42
Mit diesen Überlegungen können wir nun die Betragsstriche in der obigen Ungleichung
beseitigen. Natürlich ist dabei eine Fallunterscheidung nötig.
r
1
≈ 0.709
(a) Bereich 1: 0 < x ≤
2
In diesem Betreich ist der linke Ausdruck nicht positiv und der rechte positiv. Es
gilt somit (nur in diesem Bereich!!):
2
2x − 1
⇐⇒
− 2x2 − 1
>
2 3
2x − x + 1
2
>
3
2x2 − x + 1
2
⇐⇒
0
>
3
4x − x =
2
⇐⇒
0
>
4x −
⇐⇒
3
= 0.375
8
>
x
2
3
4x −
2
x
3
2
Dabei haben wir in der dritten Zeile benutzt, dass ein Produkt genau dann kleiner
als Null ist, wenn beide Faktoren verschiedene Vorzeichen haben. Ausserdem kann x
nur nicht-negative Werte annehmen.
r
3
1
≈ 0.709 alle x mit
=
Wir haben also gezeigt, dass im Bereich 0 < x ≤
2
8
0.375 > xdie Ungleichung lösen. Unsere Ausgangsfunktion ist also auf dem Intervall
3
x ∈ 0,
elastisch.
8
r
1
≈ 0.709 < x
(b) Bereich 2:
2
In diesem Betreich ist der linke Ausdruck positiv und der rechte positiv. Es gilt somit
(nur in diesem Bereich!!):
2
2x − 1
2 3
2x − x + 1
2
>
⇐⇒
2x2 − 1
>
3
2x2 − x + 1
2
⇐⇒
0
>
3
2− x
2
⇐⇒
x
>
4
3
q
1
2
≈ 0.709 < x alle x mit
4
3
≈ 1.333 < x die
4
,∞
Ungleichung lösen. Unsere Ausgangsfunktion ist also auf dem Intervall x ∈
3
elastisch.
4
3
, ∞ elastisch.
∪
Insgesamt ist die Funktion somit auf 0,
8
3
Wir haben also gezeigt, dass im Bereich
43
• Wo ist die Funktion f unelastisch?
Natürlich könnten wir den obigen direkten Weg wieder durchlaufen, um die gesuchten
Bereiche zu finden. Aber da wir oben gezeigt haben, wo |ǫf,x | > 1 gilt, muss im Kom 3 4
4
3
plement der gefundenen Menge 0,
,∞ =
,
∪
das logische Gegenteil, also
8
3
8 3
|ǫf,x | ≤ 1 gelten. Bedenken wir noch, dass ǫf, 3 = −1 und ǫf, 4 = 1 ist, muss unsere
8
3
3 4
Funktion auf dem offenen Intervall
,
unelastisch sein.
8 3
• ,,Graphische Lösung,,
Wir könnten die Aufgabe auch graphisch lösen. In der Skizze sehen Sie den Graphen der
Funktion f (rot) und den Graphen der Funktion ǫf,x (blau). Wenn wir wissen wollen,
wo unsere Funktion f unelastisch ist, müssen wir nur die Werte x finden, an denen die
Funktion ǫf,x Werte zwischen −1 und 1 annimmt.
6
5
4
3
y
2
1
0
0,5
-1
1
1,5
2
2,5
3
3,5
x
4. Wir zeigen nur die erste der beiden Gleichnungen:
f ′ (x)
=
ǫf,x · d(x)
⇐⇒
f ′ (x)
=
f ′ (x)x f (x)
·
f (x)
x
⇐⇒
f ′ (x)
=
f ′ (x)
und von der Richtigkeit der letzten Aussage sind wir alle überzeugt.
4
44
Kurvendiskusionen
Lösungen der Aufgaben
1. a) lokales Minimum bei 0 und zwei lokale Maxima bei −1 und +1
b) Globales Minimum bei e, globales Maximum bei 10
c) Globales Maximum bei 1, globales Minimum bei 2
2. lokales Minimum bei x = a, lokales Maximum bei x = a − 2,
lim f (x) = +∞, lim f (x) = 0
x→+∞
x→−∞
3. a) P1 (x) = −x, P2 (x) = −x −
x2
x2 x3
und P3 (x) = −x −
−
2
2
3
b) P2 (x) = 100 + 2x + 0.1x2
c) P2 (x) = x2 − x + 1
4. a) konvex
b) konkav
c) weder konvex noch konkav
5. a) G(x) = 70 − x −
1′ 600
x + 20
b) x∗ = 20
6. a) x∗ = 3
x(3 − x)
x−1
d) 2%, 0%, −2.5%, −4.667%
c) ǫf,x =
Lösungen einiger Zusatzaufgaben
8. Wir kennen den Funktionswert und den Wert der Ableitung von f an der Stelle 1, können
also das Taylor-Polynom P1 vom Grad 1 (Tangente) an f konstruieren. Wir hoffen, dass sich
f und P1 an der Stelle 1.1 wenig unterscheiden.
f (1.1) ≈ P1 (1.1)
= f (1) + f ′ (1)(1.1 − 1)
= 1 + 0.2 · 0.1 = 1.02
45
Funktionen in zwei Variablen
Lösungen der Aufgaben
1. a) x = y 2 − c Parabeln nach rechts geöffnet,
b) y = c und y = −c Paare von horizontalen Geraden,
c) y = c/p2 − (p1 /p2 )x fallende Geraden
d) Für c > 0 : y = c2 /x Hyperbeln und für c = 0 : x = 0 oder y = 0
e) Für c 6= 1 : x2 − y 2 = 1 − c2 Hyperbeln und für c = 1 : y = ±x ein Geradenpaar
2. x2 + y 2 = k, Kreise mit Zentrum (0, 0)
y2
(x − 0.5)2
y2
(x − 0.5)2
+
und 1 =
+
0.5
0.25
2
1
b) fx (−1, 1) = −3 und fy (−1, 1) = 4
Minimum bei (0.5, 0)
3. a) 1 =
4. a) fx = −(2x + y) sin(x2 + xy + y 2 ) und fy = −(2y + x) sin(x2 + xy + y 2 ) − 1
b) PK = 0.4 K −0.6 · L0.6 und PL = 0.6 K 0.4 · L−0.4
0.6
0.2
−0.8
0.2
0.2
−0.4
c) Ux1 = 0.2 x−0.8
· x0.2
· x0.6
2 · x3 , Ux2 = 0.2 x1 · x2
3 , Ux3 = 0.6 x1 · x2 · x3
1
5. a)
fxx = −x−1 · y · sin(1 + 2x0.5 y 0.5 ) − 0.5 · x−1.5 · y 0.5 · cos(1 + 2x0.5 y 0.5 )
fyy = −x · y −1 · sin(1 + 2x0.5 y 0.5 ) − 0.5 · x0.5 · y −1.5 · cos(1 + 2x0.5 y 0.5 )
fxy = − sin(1 + 2x0.5 y 0.5 ) + 0.5 · x−0.5 · y −0.5 · cos(1 + 2x0.5 y 0.5 )
b) fxx = 0
fyy =
2x−2xy 2
(y 2 +1)2
c) PKK = −0.21 · K −1.7 · L0.4
PKL = 0.12 · K −0.7 · L−0.6
fxy =
2y
+1
y2
PLL = −0.24 · K 0.3 · L−1.6
6. z = −3x − y + 12 und z = e2 (2x + y − 3)
Lösungen einiger Zusatzaufgaben
5. Der Versuch diese Gleichungen nach y aufzulösen scheitert hier. Welche Werte gibt die erste
Funktion aus, wenn man auf einem Kreis vom Radius 10 entlangläuft?
8. Hinweis: Erst überlegen, dann (falls nötig) rechnen.
46
Produktionsfunktionen
Lösungen der Aufgaben
1. (a) df = [12x3 − 7y + 1]dx − 7xdy
(b) df = (1/x)dx + (1/y)dy + (1/z)dz
(c) dP = 45 · K −0.7 L0.7 dK + 105 · K 0.3 L−0.3 dL
2
2
2
(d) df = 2ex1 +x2 +x3 (x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3 )
2. (a) Gewinnfunktion:
G(K, L) = P (K, L) − rK − wL
= 200 K 1/2 · L3/10 − 40K − 30L
Partielle Ableitungen:
GK (K, L) = 100 K −1/2 · L3/10 − 40
GL (K, L) = 60 K 1/2 · L−7/10 − 30
Partielle Ableitungen in (1, 1):
GK (1, 1) = 60
GL (1, 1) = 30
Differential in (1, 1):
dG = dG(1, 1, dK, dL) = GK (1, 1) dK + GL (1, 1) dL
= 60 dK + 30 dL
Ausgehend von der Wahl der Produktionsfaktoren als (K0 = 1, L0 = 1) beschreibt
die Formel einen einfachen approximativen Zusammenhang zwischen den Änderungen
von Kapital und Arbeit einerseits und der zugehörigen Gewinnänderung andererseits.
Erhöhen wir z.B. beide Inputs um 1, d.h. dK = dL = 1, so erhöht sich der Gewinn ungefähr um dG = 60·1+30·1 = 90. erhöhen wir K um 1 und senken L um 1 (d.h. dK = 1
und dL = −1 ), so erhöht sich unser Gewinn ungefähr um dG = 60 · 1 + 30 · (−1) = 30.
Der Vorteil dieser Formel hier ist nicht ihre Präzision, sondern ihre einfache Berechenbarkeit bei festem Ausgangspunkt.
(b) dG = 1.5 und ∆G = 1.31
3. (a) fx (x, y) = 6x − 6y − 60 und fy (x, y) = −6x + 3y 2 + 60
(b) 0.2
47
4. Musterlösung
(a) Zunächst untersuchen wir beide Kurven (oder besser Kurvenscharen) und bestimmen
mittels impliziter Differentiation allgemeine Formeln für den Tangentenanstieg in einem
beliebigen Kurvenpunkt.
• Kurve 1
0 = φ(x, y)
= x2 − 2x −
1 2
y
c
= x2 − 2x(+1 − 1) −
1 2
y
c
(x − 1) (y − 0)2
−
−1
1
c
=
√
Das ist eine Hyperbel mit dem Mittelpunkt (1, 0) und den Halbachsen 1 und c
(vergl. Formelsammlung). Der Tangentenanstieg in einem beliebigen Kurvenpunkt
berechnet sich mittels impliziter Differentiation.
A(x, y, c) := −
φx (x, y)
2x − 2
(x − 1)c
= −
=
φy (x, y)
−2y/c
y
• Kurve 2
0 = ψ(x, y)
= x2 − 8x + y + 16 − v
= x2 − 8x(−16 + 16) + y + 16 − v
= (x − 4)2 + (y − v)
Das ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitel (4, v) (vergl. Formelsammlung). Der Tangentenanstieg in einem beliebigen Kurvenpunkt berechnet sich mittels
impliziter Differentiation.
B(x, y, v) := −
2x − 8
ψx (x, y)
= −
= 2(4 − x)
ψy (x, y)
1
(b) Beide Kurven sollen sich für x = 3 berühren und die Koordinaten dieses Punktes (oder
besser dieser Punkte) seien mit (3, y) bezeichnet. Setzen wir diese Koordinaten in die
beiden Kurven ein, erhalten wir die beiden folgenden Gleichungen:
y2
y2
= 3−
c
c
= 3c
0 = φ(3, y) = 9 − 6 −
oder
y2
0 = ψ(3, y) = 9 − 24 + y + 16 − v = y − v + 1
oder
y = v−1
oder
y 2 = (v − 1)2
Sollen beide Kurven durch den Punkt (3, y) gehen, so muss die folgende Gleichung gelten:
48
3c = (v − 1)2
(c) Sollen beide Kurven im Punkt (3, y) den gleichen Tangentenanstieg haben, so muss
A(3, y, c) = B(3, y, v) gelten.
(3 − 1)c
y
= 2(4 − 3),
und diese Gleichung reduziert sich nach leichter Rechnung zu
c = y
(d) Kombiniert man die drei eingerahmten Gleichungen erhält man die einzige Lösung c = 3
und v = 4.
5. (a) ux = 1 + 3(y/x)0.5 und uy = 3(x/y)0.5 + 9
(b) −1/3
6. (a) nicht homogen,
(b) homogen vom Grad 4,
(c) homogen vom Grad 1,
(d) homogen vom Grad 2
7. (a) r = 1, (b) r = 1, (c) r = 7
Lösungen einiger Zusatzaufgaben
3. (a) df |(2,2) = 2dx + 2dy
(b) 0.98
7. pfp + wfw = 0
8. Hinweis: Satz von Euler
f (x, y) =
1
2
1 1
+
x y
−2
+ xy
49
Extrema von Funktionen in zwei Variablen
Lösungen der Aufgaben
1. (a) Lokales Minimum (1, 1), Sattelpunkt (−1, −1)
(b) Lokales Minimum (12, 2), Sattelpunkt (10, 0)
2. Lokales Minimum (1, 1), Sattelpunkt (0, 0)
3. (1.5, 3)
4. 5. (a) Lokales Minimum (−4, 1)
(b) Lokales Maximum (4, 4)
(c) Lokales Minimum (1, 1/2)
(d) Kein Extremum
6. (Lösungsskizze) Im Inneren des Quadrates M der zulässigen Punkte müssen die Bedingungen
0 = fx (x, y) = cos(x) + cos(x + y)
0 = fy (x, y) = cos(y) + cos(x + y)
gelten. Damit gilt cos(x) = cos(y) bzw. x = y (wegen x, y ∈ [0, π/2]!) und es muss gelten
cos(x) + cos(2x) = cos(x) + 2 cos2 (x) − 1 = 0 mit der Lösung x = y = π/3 (Hinweis nutzen
und die für cos(x) quadratischen Gleichung lösen). Der Test mittels der zweiten partiellen
Ableitungen ergibt
√ ein lokales Maximum in diesem Punkt mit dem zugehörigen Funktionswert
f (π/3, π/3) = 23 3.
Der Rand von M zerfällt in 4 Teile:
(a) x = 0 und 0 ≤ y ≤ π/2
(b) x = π/2 und 0 ≤ y ≤ π/2
(c) y = 0 und 0 < y < π/2
(d) y = π/2 und 0 < x < π/2
In den Randpunkten mit x = 0 gilt f (0, y) = 2 sin(y) mit einem Maximum in y = π/2 sowie
f (0, π/2) = 2 und einem Minimum in y = 0 sowie f (0, 0) = 0.
usw....
50
Lösungen einiger Zusatzaufgaben
1. (Lösungsskizze) Durch das Nullsetzen der ersten partiellen Ableitungen der Funktion f erhält
man die beiden folgenden notwendigen Bedingungen:
0 = fx = 6xy − 6x = 6x(y − 1)
0 = fy = 3x2 + 12y 2 − 24y
Wegen der Produktform verschwindet die partielle Ableitung fx für x = 0 oder y = 1. Für
diese Werte betrachten wir die partielle Ableitung fy :
• (x = 0) fy (0, y) = 12y 2 − 24y = 12y(y − 2) = 0 gilt für y = 0 oder y = 2. Damit
erfüllen die Punkte P1 = (0, 0) und P2 = (0, 2) die notwendigen Bedingungen.
• (y = 1) fy (x, 1) = 3x2 + 12 − 24 = 0 gilt für x = 2 oder x = −2. Damit erfüllen die
Punkte P3 = (2, 1) und P4 = (−2, 1) die notwendigen Bedingungen.
Für die zweiten partiellen Ableitungen gilt allgemein:
fxx = 6y − 6
fyy = 24y − 24
fxy = 6x.
Nun setzen wir die vier Punkte ein und erhalten das folgende Resultat:
• P1 = (0, 0) ist lokales Maximum, denn
fxx (0, 0) = −6 < 0
fyy (0, 0) = −24 < 0
2
fxx (0, 0)fyy (0, 0) − fxy
(0, 0) = 144 > 0.
• P2 = (0, 2) ist lokales Minimum, denn
fxx (0, 2) = 6 > 0
fyy (0, 2) = 24 > 0
2
fxx (0, 2)fyy (0, 2) − fxy
(0, 2) = 144 > 0.
• P3 = (2, 1) ist Sattelpunkt, denn
fxx (2, 1) = 0
fyy (2, 1) = 0
2
fxx (2, 1)fyy (2, 1) − fxy
(2, 1) = −144 < 0.
• P4 = (−2, 1) ist Sattelpunkt, denn
fxx (−2, 1) = 0
fyy (−2, 1) = 0
2
fxx (−2, 1)fyy (−2, 1) − fxy
(−2, 1) = −144 < 0.
2. x = 100 und y = 300
51
Extrema von Funktionen mit Nebenbedingung
Lösungen der Aufgaben
1. (a) K = A = 8, Cmin = 64
(b) K = A = 125, Pmax = 1250
2. 3. Lokales Maximum bei (e−3 , −3) und lokales Minimum bei (e, 1)
a
a2 + b2
−a
Minimum: x2 = √
a2 + b2
4. Maximum: x1 = √
b
a2 + b2
−b
y2 = √
a2 + b2
y1 = √
5. lokales Maximum (0, 1) und lokales Minimum (0, −1)
6. (Lösungsskizze) Im Inneren der Kreisscheibe muss für ein (lokales) Extema fx (x, y) = 2x = 0
und fy (x, y) = 2y = 0 gelten und das ist nur für den Punkt (0, 0) erfüllt. Mittels der zweiten
partiellen Ableitungen zeigt man, dass dieser Punkt kein Extremwert von f ist.
Auf dem Rand haben wir ein Extremwertproblem (Zielfunktion ist f ) mit Nebenbedingung
φ(x, y) = x2 + y 2 − 1 = 0. Mit der Lagrange-Funktion F (x, y, λ) = x2 − y 2 + λ(x2 + y 2 − 1)
erhält man neben der Kreisgleichung die beiden notwendigen Bedingungen Fx = 2x + 2xλ = 0
und Fy = −2y + 2yλ = 0. Lösungspunkte sind P1 = (0, 1), P2 = (0, −1), P3 = (1, 0) und
P4 = (−1, 0), wobei P1 und P2 Minima sind und P3 und P4 Maxima.
Lösungen einiger Zusatzaufgaben
1. (Lösungsskizze) Als Lagrange-Funktion des Problems erhält man
F (x, y, λ) = f (x, y) + λφ(x, y)
= x2 + 2y 2 + λ(y − x2 + 1)
und das System der notwendigen Bedingungen nimmt die folgenden Form an.
0 = Fx (x, y, λ) = 2x − 2λx = 2x(1 − λ)
0 = Fy (x, y, λ) = 4yλ
0 = Fλ (x, y, λ) = y − x2 + 1
Aus der ersten Gleichung liest man sofort die beiden Möglichkeiten x = 0 oder λ = 1 ab. Im
Falle x = 0 erhält man aus den beiden anderen Gleichungen y = −1 und λ = 4. Im Falle λ = 1
1
1√
erhält man y = − und x = ±
3. Damit existieren die drei möglichen Extremalstellen
4
2
• (0, −1) mit λ = 4 und dem Funktionswert f (0, −1) = 2
7
1√
1
3, − ) mit λ = 1 und dem Funktionswert
• (
2
4
8
7
1√
1
• (−
3, − ) mit λ = 1 und dem Funktionswert
2
4
8
52
Während der erste Punkt ein lokales Maximum darstellt, sind der zweite und der dritte Punkt
lokale und gleichzeitig globale Minima.
2.
x =
a m
a+b p
y =
b m
a+b q
53
Integralrechnung I
Lösungen der Aufgaben
1. (a) F1 (x) = x3 − ln(x) + c
(b) F2 (x) = (1 + x2 )2.5 + c
(c) F3 (x) = esin(x) + c
ln(x − 1) + c
(d) F4 (x) =
x+c−2
für x ≥ 2
für x < 2
2. a) 2e − 2, b) ln(2), c) 8/ ln(3), d) 2
3. 8/3
4. a) 0.5(1 + 3e4 ), b) 1/2, c) 1, d) 116/15, e) 2 ln(2) − 0.75
5. 0.08
6. C(x) = 10e0.2x + 80
Lösungen einiger Zusatzaufgaben
1. g(x) = 23 x2 − 2x − 15
2. U (x) = 10x − 4x2 − 76 x3 (beachte: U (0) = 0)
3. Gesamtkosten: K(x) = 53 x3 −
Durchschnittskosten: k(x) =
Fixkosten:
2065
3
21 2
4 x
K(x)
x
+ 17x +
=
5 2
3x
2065
3
−
21
4 x
+ 17 +
2065
3x
54
Integralrechnung II
Lösungen der Aufgaben
1. 1/2,
∞,
∞,
3/2,
1,
1
2. a) 1/3, b) ∞
3. 1 3x−4 5 −2x
e
− e
+c
3
2
3
(b) − ln(|2 − 6x|) + c
2
3
(c)
2
10
(7x − 3)3/2 + c
(d)
21
4. (a)
1 2x
e (x − 1/2) + c
2
1
1
(b) (−x2 cos(2x) + x sin(2x) + cos(2x)) + c
2
2
2
(x + 2)3/2 (3x − 14) + c
(c)
15
(d) x ln(x) − x + c
5. (a)
Lösungen einiger Zusatzaufgaben
1. Ja.
2. F (x) =
0
1 − e−ax
für x ≤ 0
x>0