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Lineare Algebra
9. Übungsstunde
Steven Battilana
[email protected]
November 23, 2016
1
Erinnerung
Bemerkung.
Sei x, y 2 En , ↵ 2 E, dann gilt:
hx, yi = kxk kyk cos(↵).
Definition.
Ist m eine beliebige natürliche Zahl, 1  i, j  m mit i 6= j, 2 E und A 2 Em⇥m , so
nennt man die Matrizen Pij , Si ( ), Eij ( ) 2 Em⇥m Elementarmatrizen.
(i) Zeile i mit Zeile j vertauschen, multipliziere von links die Permutationsmatrix Pij A:
siehe 4. PDF.
(ii) Zeile i mit
6= 0 multiplizieren, multipliziere von links Si ( )A:
0
B
B
B
B
Si ( ) =B
B
B
B
B
@
i-te Spalte
1
1
...
1
1
...
1
C
C
C
C
C
C i-te Zeile
C
C
C
A
(iii) Zeile i durch (Zeile i + · Zeile j) erstetzten, multipliziere von links Eij ( )A: siehe
4. PDF.
Definition.
Eine komplexe n ⇥ n - Matrix A heisst unitär , falls AH A = AAH = 1.
Eine reelle n ⇥ n - Matrix A heisst orthogonal , falls AT A = AAT = 1.
Satz.
Sind A, B 2 En⇥n unitäre (bzw. orthogonale) Matrizen, so gilt:
(i) A, B ist regulär
(ii) A
(iii) A
1
1
= AH (bzw. A
1
= AT )
ist unitär (orthogonal)
(iv) AB ist unitär (orthogonal)
Definition.
Das Kronecker-Delta ist definiert durch:
(
ij
=
1,
0,
i=j
i 6= j
Definition.
Sei B = {bi }i2I eine Basis von V , h·, ·i Skalarprodukt auf V .
2
• B heisst orthogonal
, hbk , bl i = 0, 8k 6= l
In Worten: Basisvektoren ”stehen ? aufeinander”.
(
1, k = l
• B heisst orthonormal (ONB)
, hbk , bl i = kl =
0, k 6= l
In Worten: Basisvektoren ”stehen ? aufeinander” und haben Länge 1.
Bemerkung.
Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt h·, ·i, B =
P{bi }i2I Basis von V . Per Definition
von Basis kann man jedes v 2 V schreiben als v = i2I ↵i bi . Falls B eine ONB ist, so ist
↵i = hbi , vi, 8i 2 I,
) Koordinaten von v bezüglich B sind hbi , vi, 8i 2 I.
2
Das äussere Produkt und die orthogonale Projection
Bemerkung.
• innere Produkt: 8x, y 2 En :
hx, yi = xH y 2 E
• äussere Produkt: 8x 2 Em , 8y 2 En :
xy H 2 Em⇥n
Satz.
Die orthogonale Projektion PY x von x 2 En auf die durch y und Ursprung induzierte
Gerade ist:
1
y
H
H
PY x :=
2 yy x = uu x mit u :=
kyk
kyk
(i) y-Richtung: PY x = ↵y, ↵ 2 E
(PY x ist ein Punkt auf y).
(ii) x-Richtung:
(x
PY x) ? y.
Bemerkung. Projektionsmatrix
• PY x :=
1
yy H x
kyk2
= uuH x mit u :=
y
kyk
• PYH = PY (symmetrisch/hermitesch)
• PY2 = PY (idempotent; dies ich eine alternative Definition von einer Projektion)
3
Orthogonale und unitäre Matrizen (II)
Definition.
Die Matrix A 2 En⇥n ist orthogonal/unitär genau dann, wenn die Zeilen von A paarweise
orthonormal (bezüglich dem Standardskalarprodukt) zueinander stehen und die Spalten
von A paarweise orthonormal (bezüglich dem Standardskalarprodukt) zueinander stehen.
3
Bemerkung.
Der Begri↵ der orthogonalen/unitären Matrizen A 2 En⇥n ist unabhängig vom Skalarprodukt (per Definition vom euklidischen Skalarprodukt, d.h. AAH = AH A = 1). Der Begri↵ der orthogonalen Vektoren ist hingegen abhängig vom betrachteten Skalarprodukt
h·, ·iV .
Bemerkung.
Warnung: Diese Bemerkung ist eine Gedankenspieler und dient zur Vertiefung des bereits
erworbenen Verständnis.
Würde man die Defintion von der orthogonalen/unitären Matrix auf ein allgemeines
Skalaprodukt h·, ·iM erweitern würde man folgendes erhalten:
AM AH = AH M A = 1
Das M -Skalarprodukt wird wie folgt berechnet, falls bereits gegeben ist:
0
1
he1 , e1 iM he1 , e2 iM
···
he1 , en iM
..
..
B
C
.
.
B he2 , e1 iM he2 , e2 iM
C
M =B
C
.
.
.
..
..
..
@
hen 1 , en iM A
hen , e1 iM
···
hen , en 1 iM hen , en iM
Bemerkung.
Für das Standard-Skalarprodukt würde man dann folgendes erhalten:
A1AH = AH 1A = 1 , AAH = AH A = 1
Beispiel 1:
Betrachte das M -Skalarprodukt für M 2 En⇥n ist symmetrisch positiv definit aus S8A2:
hv, wiM := v T M w
Dann steht v senkrecht auf w bezüglich h·, ·iM , v T M w = 0.
Beispiel 2:
✓
UUH
◆
0 i
U=
ist unitär:
i 0
✓
◆✓
◆ ✓ 2
◆ ✓
◆
0 i
0
i
i
0
1 0
=
=
=
=1
0
i2
0 1
i 0
i 0
Aus U U H = 1 folgt auch U H U = 1.
Aus Satz 2.17 wissen wir, falls U quadratisch ist und es existiert eine Rechtsinverse, so
ist dies auch eine Linksinverse und damit eine eindeutige Inverse.
Beispiel 3:
Gegeben: ONB (bezüglich dem Standardskalarprodukt) A, B mit
⇢✓ ◆ ✓ ◆
⇢✓ 3 ◆ ✓ 4 ◆
1
0
5
A=
,
, B=
, 35
.
4
0
1
5
5
4
Gesucht: TBA und TAB
TAB
=
✓3
4
5
◆
ist orthogonal mit (TAB ) 1 = (TAB )T
✓ 3 4◆
A
B
1
B T
5
5
TB = (TA ) = (TA ) =
4
3
5
4
5
3
5
5
5
) Bei orthogonalen/uniären Matrizen ist es einfach die Inverse zu bestimmen, d.h. hat
man TAB erhält man sofort TBA .
Definition.
Bei der Koordinatenform wird eine Ebene durch vier reelle Zahlen a, b, c und d beschrieben.
Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten (x, y, z)T die Gleichung
ax + by + cz = d
erfüllen. Hierbei muss mindestens eine der drei Zahlen a, b, c ungleich null sein. Die Koordinatenform entspricht der Normalenform (siehe unten) nach Ausmultiplizieren, wobei
a, b und c die Komponenten des (nicht notwendigerweise normierten) Normalenvektors
n = (a, b, c)T sind und d = pT n gesetzt wird. Der Abstand der Ebene vom Koordi|d|
natenursprung ist dann durch |n|
gegeben. Ist der Normalenvektor normiert, dann betrgt
der Abstand gerade |d|.
Bemerkung Matrixrotationen
0
1
cos(↵)
sin(↵) 0
(i) Rotation um z-Achse: @ sin(↵) cos(↵) 0A
0
0
1
0
1
cos(↵) 0
sin(↵)
A
1
0
(ii) Rotation um y-Achse: @ 0
sin(↵) 0 cos(↵)
0
1
1
0
0
sin(↵)A
(iii) Rotation um x-Achse: @0 cos(↵)
0 sin(↵) cos(↵)
Bemerkung.
Um ein Skalarprodukt hv, wiA = v H Aw zu definieren, braucht man eine symmetrisch/hermitesch positiv definite Matrix A.
4
Orthogonale und unitäre Abbildungen
Definiton.
Seien V, W euklidische/unitäre Vektorräume, F : V ! W lineare Abbildung. Die lineare
Abbildung F heisst orthogonal/unitär
,
8x, y 2 V :
hF (x), F (y)iW = hx, yiV .
Satz.
Seien V, W euklidische/unitäre Vektorräume, F : V ! W lineare Abbildung. Orthogonale/Unitäre Abbildungen haben folgende Eigenschaften:
5
• F ist längentreu
• F ist winkeltreu
,
8x 2 V :
,
8x, y 2 V :
kF (x)kW = kxkV
^V (x, y) = ^W (F (x), F (y))
• ker(F ) = {0} , F ist injektiv
• Falls dim(V ) = dim(W ) < 1, dann ist F ein Isomorphismus
• Abbildungsmatrix von F bezüglich ONB’s in V und W ist orthogonal/unitär.
5
Überblick für spezielle Matrizen
Körper E = R
• symmetrische Matrizen:
Körper E = C
• hermitesche Matrizen:
T
A =A
• antisymmetrisch:
AT = A
aii = 0, 8i (Hauptdiagonale = 0)
• Orthogonal:
AT = A 1
• pos. def.: 8x 2 Rn \ {0} : xT Ax > 0
• pos. semi def.: 8x 2 Rn \ {0} : xT Ax
• antihermitesch:
0
6
AH = (A)T
= AT = A
H
A = A
• Unitär:
AH = A 1
• pos. def.: 8x 2 Cn \ {0} : xH Ax > 0
• pos. semi def.: 8x 2 Cn \ {0} : xH Ax
0