Schwingungen und Wellen

Musso: Physik I
Teil 14 Schwingungen
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SCHWINGUNGEN UND WELLEN
Tipler-Mosca
14. Schwingungen (Oscillations)
14.1 Harmonische Schwingung (Simple harmonic motion)
14.2 Energie eines harmonischen Oszillators (Energy in simple harmonic motion)
14.3 Einige schwingende Systeme (Some oscillating systems)
14.4 Gedämpfte Schwingungen (Damped oscillations)
14.5 Erzwungene Schwingungen und Resonanz (Driven oscillations and resonance)
Eine Schwingung tritt auf, wenn die
stabile Gleichgewichtslage eines Systems
leicht gestört wird.
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14.1 Harmonische Schwingung (Simple harmonic motion)
Federschwinger:
Gegenstand im Gleichgewicht ⇒ F = 0 ⇒ x = 0 Gleichgewichtslage
Gegenstand um x aus Gleichgewichtslage verschoben ⇒
aus Hooke'sches Gesetz (siehe Gl. (4.7) bzw. auch Gl. (12.9)) ⇒
Fx = −k x
mit k Federkonstante
Aus zweites Newton'sches Axiom
i
= ma ⇒ Fx = max
⇒
i
Federschwinger als Beispiel eines
harmonischen Oszillators
∑F
−k x = max
k
⇒ ax = − x
m
d2 x
k
=− x∼x
bzw.
2
dt
m
A Amplitude
ω Winkelgeschwindigkeit
δ Phasenkonstante
ωt + δ Phase der Schwingung
T
Schwingungsdauer
f oder ν
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Frequenz
Einheit Herz (Hz)
1 Hz = 1 s-1
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zwei schwingende Systeme mit gleicher Frequenz x1 = A1 cos(ωt ) und
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x2 = A2 cos(ωt + δ )
⇒
mit n = 0,1,2,3,...
wenn δ = 0 oder 2n 2π ⇒ cos(ωt + δ ) = cos(ωt ) ⇒
wenn δ = 0 oder (2n + 1) π ⇒ cos(ωt + δ ) = − cos(ωt )
beide Systeme sind in Phase
⇒ beide Systeme sind in Antiphase
Citicorp Building, New York
http://www.nyfd.com/new_york/citicorp.jpg
Schwankungen des Gebäudes durch heftige Winde reduziert durch
schwingendes Dämpfungssystem mit 180° Phasenverschiebung
a=
dv d2 x
= 2 = −ω 2 A cos(ωt + δ ) = −ω 2 x
dt
dt
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⇒
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k
k
x ⇒ ω=
m
m
Aus den Anfangsbedingungen bei t0 = 0 x(t0 ) = x0 und v (t0 ) = v 0
Aus a = −ω 2 x
x0 = A cos δ
und a = −
und v 0 = − Aω sin δ
⇒
tanδ = −
v0
ω x0
⇒
A=
⇒
x0
cos δ
Schwingungsdauer oder Schwingungsperiode T definiert durch
x(t + T ) = x(t ) für alle t ⇒
A cos ⎡⎣ω ( t + T ) + δ ⎤⎦ = A cos [ωt + ωT + δ ] = A cos (ω t + δ )
Für sinus und cosinus gilt: ωt + 2π + δ = ω t + δ
2π
= 2π f
Kreisfrequenz ω =
T
⇒
⇒
2π = ωT
⇒
Astronautenwaage m =
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k
ω2
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Beispiel 14.1: Wellenreiten
Boot bewegt sich vertikal mit y = A cos (ωt + δ ) wobei A = 1.2 m ω =
ω
Teil a) aus f =
2π
1 -1
s
f = 2
= 0.0796 Hz
2π
1 -1
π
s und δ = :
2
6
1
= 12.6 s
f
π⎞
⎛1
Teil b) Ort y (t ) des Bootes bei t = 1 s: y (t = 1 s) = (1.2 m ) cos ⎜ s -1 (1 s ) + ⎟ = 0.624 m
6⎠
⎝2
⇒
⇒
T =
Teil c) aus y = A cos (ωt + δ ) ⇒
Geschwindigkeit v =
⎡⎛ 1
⎡⎛ 1
π⎤
π⎤
d
⎛1
⎞
⎞
⎞
y = y = −ω A sin (ωt + δ ) = − ⎜ s-1 ⎟ (1.2 m ) sin ⎢⎜ s-1 ⎟ t + ⎥ = − 0.6 m s-1 sin ⎢⎜ s-1 ⎟ t + ⎥
dt
6⎦
6⎦
⎝2
⎠
⎠
⎠
⎣⎝ 2
⎣⎝ 2
(
)
⎡⎛ 1
⎡⎛ 1
d2
π⎤
π⎤
⎛1
⎞
⎞
⎞
Beschleunigung a = 2 y = y = −ω 2 A cos (ωt + δ ) = − ⎜ s-1 ⎟ (1.2 m ) cos ⎢⎜ s -1 ⎟ t + ⎥ = − 0.3 m s-2 cos ⎢⎜ s-1 ⎟ t + ⎥
dt
6⎦
6⎦
⎝2
⎠
⎠
⎠
⎣⎝ 2
⎣⎝ 2
Teil d) Anfangswerte bei t0 = 0 s:
2
⇒ y 0 = A cos δ
⎡π ⎤
v 0 = − 0.6 m s-1 sin ⎢ ⎥ = −0.300 m s-1
⎣6⎦
⎡π ⎤
⇒ a0 = − 0.3 m s-2 cos ⎢ ⎥ = −0.260 m s-2
⎣6⎦
⇒
⇒ a0 = −ω 2 A cos δ
)
⎡π ⎤
y 0 = (1.2 m ) cos ⎢ ⎥ = 1.04 m
⎣6⎦
⇒
⇒ v 0 = −ω A sin δ
(
(
)
(
)
Beispiel 14.2: Ein schwingender Gegenstand
mögliches Prüfungsbeispiel
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Beispiel 14.3: Schwingender Klotz an einer Feder
Klotz m = 2 kg, Feder k = 196 N m-1, Auslenkung x = 5 cm bei t = 0 s,
Teil a) gesucht ω, f , T :
aus Gl. (14.8) ω =
k
m
⇒ ω=
ω
2π
196 N m-1
= 9.90 s-1
2 kg
9.90 s-1
1
= 1.58 Hz bzw. T = = 0.635 s
f
2π
Aus der Anfangsbegingung für t0 = 0 ⇒ A = 5 cm und δ = 0
⇒
aus Gl. (14.11) f =
⇒ f =
Teil b) aus Gl. (14.4) x = A cos(ωt + δ )
⇒
x = ( 5 cm ) cos ⎡⎣(9.90 s-1 )t ⎤⎦
Beispiel 14.4: Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Federschwingers
mögliches Prüfungsbeispiel
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Zwei gleiche Massen, die an gleichen Federn befestigt sind,
und auf einer reibungsfreien Oberfläche ruhen.
aus Gl. (14.8) bzw. (14.12) f =
1
2π
k
m
⇒
Konsequenzen:
Musik: die Tonhöhe ändert sich nicht (bzw. kaum) wenn ein Ton z.B. am Klavier
stark oder zart angeschlagen wird.
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Harmonische Schwingung und Kreisbewegung
für δ = 0 ⇒
bei t = 0
bei t
bei t
bei t
bei t
⇒
T
=
⇒
4
T
=
⇒
2
3T
=
⇒
4
=T ⇒
x=A
v =0
a = −ω 2 A
x =0
v = −ω A
a=0
x = −A
v =0
a = ω2A
x =0
v = ωA
a=0
x=A
v =0
a = −ω 2 A
x = A cos (ωt )
v = x = −ω A sin (ωt )
a = x = −ω 2 A cos (ωt )
Kreisbewegung
mit θ = ωt + δ
und v = ω r = ω A
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14.2 Energie eines harmonischen Oszillators (Energy in simple harmonic motion)
aus Emech = Ekin + Epot
mit Gl. (6.22) Epot =
1 2
kx und x = A cos ( ωt + δ )
2
⇒ Epot =
1 2
kA cos2 (ωt + δ )
2
1
mv 2 und v = −ω A sin (ωt + δ ) ⇒
2
1
1
= mω 2 A2 sin2 (ωt + δ ) = kA 2 sin2 (ωt + δ )
2
2
mit Ekin =
Ekin
mit Emech = Ekin + Epot
⇒
1 2
1
kA ⎡⎣cos2 (ωt + δ ) + sin2 (ωt + δ ) ⎤⎦ = kA2
2
2
2
2
sin θ + cos θ = 1
Emech =
da
T
T
0
0
es gilt ∫ sin2 (ωt + δ )dt = ∫ cos2 (ωt + δ )dt =
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1
2
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Potentielle Energie Epot als Funktion von x
Gesamtenergie Emech = Ekin + Epot
Da Emech ≥ Epot gilt ⇒ Bewegung beschränkt auf - A ≤ x ≤ + A
Beispiel 14.5: Energie und Geschwindigkeit eines schwingenden Gegenstands
Körper m = 3 kg, Amplitude A = 4 cm, Periode T = 2 s
Teil a) aus Gl. (14.17) Gesamtenergie Emech =
1 ⎛ 2π ⎞ 2 1
⎛ 2π ⎞
A = ( 3 kg ) ⎜
= m⎜
⎟
⎟
2 ⎝ T ⎠
2
⎝2 s⎠
2
Emech
2
( 4 cm )
Teil b) maximale Geschwindigkeit aus
v x ,max =
2Emech
=
m
2 ⋅ ( 0.0237 J)
3 kg
Teil c) gesucht Ort x mit v x =
1
v x ,max
2
aus Emech = Ekin + Epot
3
1
Emech = kx12
4
2
x1 =
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k
m
⇒
= 2.37 × 10 −2 J
1
mv x2,max = Emech
2
⇒
= 0.126 m s-1 = 12.6 cm s-1
1
1
= mv x2 + kx 2
2
2
⇒
2
1 2
1
1
kA und aus Gl. (14.12) f = =
T 2π
2
3Emech
=
2k
⇒
2
⇒ Emech
1
11
1
1
1
1 ⎛1
⎞
mv x2,max + kx12 = Emech + kx12 ⇒
= m ⎜ v x ,max ⎟ + kx12 =
2
42
2
4
2
2 ⎝2
⎠
3 ⎛1 2⎞
3
3
A=
( 4 cm ) = 3.46 cm
⎜ kA ⎟ =
2k ⎝ 2
2
2
⎠
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Allgemeine Bewegung in der Nähe des Gleichgewichts
Potentielle Energie Epot in Abhängigkeit von x für eine stabile und eine instabile Gleichgewichtslage
Angenäherte Parabel mit Minimum bei x1:
Epot = A + B ( x − x1 )
aus Fx = −
dEpot
dx
Fx = −k ( x − x1 )
2
⇒
⇒
Fx = −2B ( x − x1 )
⇒
mit 2B = k
⇒
harmonische Bewegung um x1
Potentielle Energie Epot als Funktion von x für ein kleines Kügelchen,
das auf dem Boden einer kugelförmigen Schale hin und her rollt.
Gestrichelte Kurve: Näherung von Epot durch Parabel
⇒ nur für kleine Auslenkungen um die Gleichgewichtslage stimmen beide
Kurven überein
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14.3 Einige schwingende Systeme (Some oscillating systems)
Vertikale Bewegung des Federschwingers
Gesamtkraft auf Masse m :
∑F
y ,i
= −ky + mg
⇒
i
Auslenkung aus der Ruhelage aus ky 0 = mg ⇒ y 0 =
mit Gesamtauslenkung y = y 0 + y '
∑F
y ,i
mg
k
⇒
= −k ( y 0 + y ' ) + mg = −ky 0 − ky '+ mg = −ky '
⇒
i
may = −ky '
⇒
d2
mit ay = 2 y ' = y '
dt
⇒
my ' = −ky '
⇒
k
k
⇒
y ' ⇒ Lösung y ' = A cos (ωt + δ ) wobei ω =
m
m
Wirkung der Gravitationskraft: Verschiebung der Gleichgewichtslage
y' = −
Gesamtkraft auf Masse ausgelenkt um y ' gegeben durch − ky ',
k
,
m
d.h. gleich wie horizontaler Federschwinger
oszilliert um Gleichgewichtslage mit ω =
Federkraft und Gravitationskraft sind beide konservative Kräfte (verrichtete Arbeit unabhängig vom Weg) ⇒
Summe beider Kräfte auch konservativ ⇒
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Epot = −W = − ∫ ( ∑ Fy ) dy ' = − ∫ ( −ky ' ) dy ' =
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1
ky '2 + Epot,0
2
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Beispiel 14.6: Federschwinger mit Papierfedern
Papierfeder, 1 Blatt Papier mit Masse m1 aufgehängt ⇒ Auslenkung y 0 = 8 cm,
gesucht angehängte Masse mn für Schwingungsfrequenz f = 1 Hz
aus Gl. (14.12) f =
k
g
=
m1 y 0
n=
k
mn
und mit Hooke'sches Gesetz plus Gleichgewichtsbedingung ky 0 = m1g
⇒ mit mn = nm1 ⇒
1
( 2π f )
ω
1
=
2π 2π
2
g
y0
⇒ n=
nk
g
=
mn y 0
1
( 2π ) (1 Hz )
2
2
⇒
f =
9.81 m s-1
= 3.11
0.08 m
1
2π
g
ny 0
⇒
3 Blatt Papier erforderlich
⇒
⇒
Beispiel 14.7: Perle auf einem schwingenden Block
mögliche Prüfungsaufgabe
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Beispiel 14.8: Potentielle Energie eines Feder-Erde-Systems
Masse m=3 kg, Federausdehnung y 0 = 16 cm,
zusätzliche Ausdehnung y ' = 5 cm,
gesucht potentielle Gesamtenergie Epot :
1
ky '2 + Epot,0 ⇒
2
Teil a) bei Gleichgewichtslage y ' = 0 ⇒ Epot (0 ) = Epot,0 ≡ 0
aus Gl. (14.23) Epot ( y ' ) =
und mg − ky 0 = 0
⇒
(
bei maximale Auslenkung y ' = A = 5 cm ⇒ Epot ( A ) =
(
)
( 3 kg) 9.81 m s-2
mg
⇒ k=
= 184 N m-1
k=
0.16 m
y0
1 2
kA
2
⇒
)
1
2
184 N m-1 ( 0.05 m ) = 0.230 J
2
Teil b) Sei Epot = 0 für die unbelastete Feder (m = 0 bzw. y ' = − y 0 )
Epot ( A ) =
⇒
1
ky '2 + Epot,0 ⇒
2
1
Epot,0 = − ky 02 ⇒
2
aus Gl. (14.23) Epot ( y ' ) =
1 2
ky 0 + Epot,0 ⇒
2
2
1
Epot,0 = − 184 N m-1 ( 0.16 m ) = −2.35 J
2
1
Für die ausgelenkte Feder Epot ( A ) = kA 2
⇒
2
1
Epot ( A ) = kA2 + Epot,0 = 0.230 J − 2.35 J = −2.12 J
2
0=
(
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)
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Das mathematische Pendel
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Seite 16
Mathematischer Pendel:
Idealisierung punktförmige Masse m, masseloser Faden mit Länge L
aus Auslenkung ϕ0 ⇒ Schwingung mit Periode T
Aus Kräftediagramm und
∑F
i
= ma
⇒
i
⎛ dφ ⎞
Radialkomponente FT − mg cos φ = mL ⎜
⎟
⎝ dt ⎠
d2s
Tangentialkomponente − mg sin φ = m 2
⇒ mit s = Lφ ⇒
dt
g
d2φ
d2φ
−mg sin φ = mL 2
⇒
= − sin φ
⇒
2
L
dt
dt
Die Pendelschwingung des mathematischen Pendels ist unabhängig
von der Masse des Pendelkörpers.
2
d2φ
g
=
−
sin φ nichtlineare Differentialgleichung zweiten Grades ⇒
dt 2
L
für kleine Winkel φ gilt sin φ ≈ φ ⇒
g
d2φ
=
−
φ ⇒ Schwingungsgleichung des harmonischen Oszillators
dt 2
L
Lösungsfunktion φ = φ0cos (ωt + δ )
d2φ
= −ω 2φ
2
dt
mit ω 2 =
g
L
⇒
aus Gl. (14.28) ⇒ bei bekanntem L und T kann g bestimmt werden
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Seite 17
Das Pendel in einem beschleunigten System
Kastenwagen beschleunigt mit a0 = aKW relativ zu den Schienen
(Inertialsystem).
Sei aPK Beschleunigung des Pendelkörpers relativ zu den Schienen ⇒
wenn Pendelkörper relativ zu Kastenwagen ruht ⇒ θ = θ0 und
aPK = aKW
⇒
bezogen auf Schienen: mg + T = maPK ⇒ mg + T = maKW
x -Komponente: 0 + T sin θ0 = maKW
⇒
T sin θ 0 = maKW
y -Komponente: − mg + T cos θ 0 = 0
⇒
T cos θ 0 = mg
⇒ Division ⇒
tanθ 0 =
aKW
g
⇒
Mathematisches Pendel in der Gleichgewichtslage
in einem beschleunigten System
wenn Pendelkörper relativ zum Kastenwagen schwingt ⇒
Beschleunigung des Pendelkörpers bezüglich des Kastenwagens
aPK,KW = aPK − aKW
⇒
aus mg + T = maPK
mg + T = m ( aPK,KW + aKW )
mit g − aKW = g '
⇒
⇒
Mathematisches Pendel beim Schwingen
in einem beschleunigten System
m ( g − aKW ) + T = maPK,KW
⇒
Bewegungsgleichung des Pendelkörpers im beschleunigten Bezugssystem
mg '+ T = maPK,KW
bei T = 0
⇒ mg ' = maPK,KW
⇒
Pendelkörper würde im Kasten
mit g ' unter einem Winkel zur Vertikalen fallen;
bei T ≠ 0 und Pendelkörper schwingend
Schwingungsdauer T ' = 2π
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⇒
L
g'
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Seite 18
Pendelschwingungen mit großer Amplitude
Beispiel 14.9: Eine Pendeluhr
φ0 / rad
φ0 / deg
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.0
11.5
22.9
34.4
45.8
57.3
Pendeluhr, genaue Zeit bei φ0 = 10° ⇒
sei φ0 < 10°, was macht die Uhr? ⇒ aus Gl. (14.30) T wird kleiner
⇒ Uhr geht vor
⎡
T − T0
1
1
⎛ 1 ⎞⎤
⎛1 ⎞
= 2 sin2 ⎜ φ0 ⎟ = 0.190%
aus Gl. (14.30) T = T0 ⎢1 + 2 sin2 ⎜ φ0 ⎟ ⎥ ⇒
T0
2
⎝ 2 ⎠⎦
⎝2 ⎠
⎣ 2
mit T0 = 1 d = 1440 min
T − T0 = 0.190% von 1440 min = 2.73 min d-1
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Das physikalische Pendel
Teil 14 Schwingungen
Seite 19
Physikalisches Pendel: ein ausgedehnter starrer Körper, der nicht in
seinem Massenmittelpunkt CM aufgehängt ist.
Mit Abstand D des Massenmittelpunkts CM von der Drehachse,
Auslenkungswinkel φ aus der Gleichgewichtslage, und Gesamtmasse M ⇒
der Auslenkung entgegengerichtetes Drehmoment τ = −MgD sin φ
MgD
d2
d2
MgD
=
−
sin
⇒
=
−
sin φ
φ
φ
φ
I
dt 2
dt 2
MgD
d2
für kleine Auslenkungen ist sin φ ≈ φ ⇒
φ
=
−
φ = −ω 2φ wobei
2
I
dt
mit τ = Iα = I
ω=
d2
φ
dt 2
⇒
⇒
I
MgD
I
Für große Amplituden ⇒ Reihenentwicklung Gl. (14.30) mit T0 aus Gl. (14.33)
Übergang physikalisches Pendel ⇒ mathematisches Pendel
Trägheitsmoment I des mathematischen Pendels: I = MD 2
I
MD 2
D
T = 2π
= 2π
= 2π
MgD
MgD
g
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⇒
⇒
mit Pendellänge D = L
Seite 19
⇒
T = 2π
L
g
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Teil 14 Schwingungen
Seite 20
Beispiel 14.10: Schwingungsdauer eines homogenen Stabs
Homogener Stab mit Masse M und Länge L, gesucht Schwingungsdauer
wenn:
Teil a) Drehpunkt P am Stabende
⇒ aus Tabelle 9.1 I =
mit Abstand Achse - Massenmittelpunkt D =
aus Gl. (14.33) T = 2π
1
L
2
1
ML2
3
⇒
⇒
I
2ML2
2L
= 2π
= 2π
3MgL
3g
MgD
Teil b) Drehpunkt P im Abstand x vom Massenmittelpunkt CM ⇒
Anwendung des Satzes von Steiner Gl. (9.13) I = ICM + Mx 2
aus Tabelle 9.1 I =
1
ML2 + Mx 2
12
⇒
⇒
1
1 2
ML2 + Mx 2
L + x2
I
aus Gl. (14.33) T = 2π
= 2π 12
= 2π 12
Mgx
Mgx
gx
für x → 0
⇒
für x =
L
2
⇒
für x
L
⇒
T →∞
⎛ 1 2 1 2⎞
1 2
2⎜
L + L ⎟
L + x2
12
4 ⎠
⎝
12
= 2π
= 2π
T = 2π
gx
gL
T → 2π
1
1
L+ L
6
2 = 2π 2L
g
3g
x
g
Beispiel 14.11: Minimale Schwingungsdauer eines homogenen Stabes
mögliche Prüfungsaufgabe
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Seite 20
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Teil 14 Schwingungen
Seite 21
14.4 Gedämpfte Schwingungen (Damped oscillations)
Aperiodischer Grenzfall (kritische Dämpfung)
Gedämpfte Schwingung
und starke Dämpfung (überdämpft) ⇒ Kriechfall
Gedämpfter Oszillator
Schwach gedämpfter Oszillator (unterdämpfte Bewegung)
Reibungskraft F = -bv
⇒
Ein Schwingungssystem mit einer geschwindigkeitsproportionalen Reibungskraft heißt linear gedämpft.
Aus Gl. (14.17) E ∼ A2 , d.h. die Energie ist proportional dem Amplitudenquadrat der Schwingung.
Für eine lineare Dämpfung ⇒ Abnahme des Amplitudenquadrats ist exponentiell
A0
Amplitude zur Zeit t = 0
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τ
Zeitkonstante oder Zerfallszeit der Schwingung
Seite 21
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Teil 14 Schwingungen
Seite 22
Die Bewegungsgleichung eines gedämpften Oszillators ergibt sich wieder aus dem
zweiten Newton'schen Gesetz ⇒ für einen Federschwinger
homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Lösung mit einem Exponentialansatz x = e λt
⇒
⇒
λ aus Lösung der quadratischen Bestimmungsgleichung
2
λ 2 + (b m ) λ + (k m) = 0
⇒
λ 2 + ( b m ) λ + ω02 = 0
⇒
b
⎛b⎞
− ± ⎜ ⎟ − 4ω02
2
m
b
⎛ b ⎞
⎝m⎠
2
λ=
=−
± ⎜
⎟ − ω0
2
2m
⎝ 2m ⎠
⇒
drei Fälle der gedämpften Schwingung:
1. Starke Dämpfung (überdämpft):
2. Aperiodischer Grenzfall:
b
> ω0
2m
b
= ω0
2m
3. Schwache Dämpfung (unterdämpft):
b
< ω0
2m
Stoßdämpfer: Dämpfungskonstante so gewählt,
daß nur ein bis zwei Nachschwingungen auftreten
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Teil 14 Schwingungen
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Bei schwacher Dämpfung ⇒ Lösung der Bewegungsgleichung x( t ) = A( t )cos (ω ' t + δ ) mit
⎛ b ⎞
ω ' = ω0 1 − ⎜
A(t ) = A0e
⎟
⎝ 2mω0 ⎠
b
Für sehr schwache Dämpfung
2mω0
2
− ( b 2 m )t
Für zunehmende Dämpfung
und ω0 =
k
m
1
⇒ ω ' ≈ ω0
b
→1
2mω0
⇒ ω' → 0
Kritische Dämpfung bzw. aperiodischer Grenzfall bei
Aus A(t ) = A0 e −( b 2 m )t
A2 = A02e − ( b m )t
⇒
bei kritischer Dämpfung
bkr
=1
2mω0
ungedämpfte Schwingung
Aus Gl. (14.17) Emech =
Emech =
1
− b m t
m ω '2 A02e ( )
2
⇒
⇒
b
=1
2mω0
⇒ ω' = 0
Zeitkonstante τ =
m
b
1
m
=
bkr 2ω0
⇒ bkr = 2mω0
⇒
τ kr =
τ =∞
⇒
τ kr ≤ τ ≤ ∞
b=0
1 2 1
kA = mω 2 A2
2
2
⇒
⇒
für gedämpfter Oszillator A = A0 e
⇒ bei schwacher Dämpfung ⇒ Emech ≈
− ( b 2 m )t
⇒ Emech =
1
m ω '2 A2
2
⇒
1
− b m t
m ω02 A02e ( ) = Emech,0e −t τ
2
Energetische Betrachtung zu Emech = Emech,0e −t τ siehe auch Gl. (14.47) und Gl. (14.48)
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Aus Emech = Emech,0e −t τ
Teil 14 Schwingungen
⇒
Differentiation nach t
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1
1
⇒ dEmech = − Emech,0e −t τ dt = − Emech dt
τ
τ
bei schwacher Dämpfung Energieverlust ΔEmech im Zeitintervall Δt einer Periode T (Δt = T )
⇒
ΔEmech =
1
τ
EmechT
⇒
⎛ ΔEmech ⎞
T
2π
2π
relative Energieabnahme während einer Schwingungsperiode ⎜
= =
=
⎟
Q
ω0τ
⎝ Emech ⎠Periode τ
2
⎛ b ⎞
m
⇒ mit Q = ω0τ und τ =
aus Gl. (14.37) ω ' = ω0 1 − ⎜
⎟
b
⎝ 2mω0 ⎠
⇒ bei schwacher Dämpfung b → 0 und Q → ∞ somit ω ' → ω0
⇒ ω ' = ω0 1 −
1
4Q 2
Beispiel 14.12: Musik machen
Klavier, mittleres c ω0 = 262 Hz, beim Anschlag Emech,0
⇒
Schwingungsenergie Emech nach t1/2 = 4 s auf die Hälfte gesunken
1
Emech,0 = Emech,0e −t1/ 2 τ ⇒
2
1
t
t
4s
= e −t1/ 2 τ ⇒ − ln 2 = − 1/ 2
⇒ τ = 1/ 2 =
= 5.77 s
2
ln 2 ln2
τ
Teil b) aus Gl. (14.43) Q = ω0τ ⇒ Q = 2π ( 262 Hz )( 5.77 s ) = 9500
Teil a) aus Gl. (14.41) Emech = Emech,0e −t τ
⇒
⎛ ΔEmech ⎞
⎛ ΔEmech ⎞
T 2π
Teil c) aus Gl. (14.44) ⎜
= =
⇒ ⎜
= 6.61× 10 −4
⎟
⎟
Q
⎝ Emech ⎠Periode τ
⎝ Emech ⎠Periode
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14.5 Erzwungene Schwingungen und Resonanz (Driven oscillations and resonance)
Damit ein gedämpftes system in Bewegung bleibt, muß ihm mechanische
Energie zugeführt werden: angetriebene oder erzwungene Schwingung.
Wenn die zugeführte mechanische Energie gleich der durch die dissipativen
Prozesse abgeführte Energie ⇒ Amplitude bleibt zeitlich konstant ⇒
stationärer Zustand.
Wenn die treibende Frequenz ω gleich der Eigenfrequenz ω0
des Oszillators ist ⇒ maximale Energie, die auf den Oszillator
übertragen wird ⇒ Resonanzfrequenz
Resonanzkurve: die dem Oszillator durch eine
periodische Anregung zugeführte mittlere Leistung
Wenn Dämpfung schwach (hohes Q ) ⇒ Breite Δω der Resonanzkurve schmal
Für starke Dämpfung (kleines Q ) ⇒ Breite Δω der Resonanzkurve groß
⇒ scharfe Resonanz
Die Breite Δω der Resonanzkurve in halber Maximalhöhe heißt Halbwertsbreite
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Ausgedehnte Objekte haben mehr als eine Resonanzfrequenz:
Resonanzmuster einer Gitarre
Resonanzerscheinungen im Alltag:
Schaukel ⇒ von außen geschubst, von innen gepumpt
nicht gut ausgewuchtete Maschinen ⇒ Übertragung von Vibrationen
Hammerwerken ⇒ Anregung von Fundamentalschwingungen in Gebäuden
Glas ⇒ Zerspringen mit Hilfe einer intensiven Schallwelle
Resonatoren in der Hochfrequenztechnik, in der Lasertechnik
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Mathematische Behandlung der Resonanz
Erzwungene Oszillation: zusätzlich zur rücktreibenden Kraft und zur Reibungskraft noch eine äußere
treibende Kraft F = F0 cos ω t mit Kreisfrequenz ω
⇒
Zweites Newton'sche Gesetz, angewendet auf einem gedämpften Oszillator:
−kx − bv + F0 cos ω t = ma
⇒
k
mit ω =
m
2
0
dx
d2 x
− mω x − b
+ F0 cos ωt = m 2
dt
dt
⇒
2
0
⇒
Inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ⇒
Lösung besteht aus zwei Teilen: Lösung der homogenen Differentialgleichung + partikuläre Lösung
Lösung der homogenen Gleichung = Lösung des gedämpften Oszillators Gl. (14.36)
x = A0e
− ( b 2 m )t
cos (ω ' t + δ )
⇒
Einschwingvorgang, wegen e
−( b 2 m )t
nach langer Zeit vernachlässigbar
Partikuläre Lösung ⇒ stationäre Lösung
Auslenkung des Oszillators und treibende Kraft
oszillieren mit gleicher Kreisfrequenz ω, aber
Unterschied in der Phase gegeben durch δ
ω
ω0 ⇒ δ ≈ 0
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ω ≈ ω0 ⇒ δ ≈ π 2 ω
ω0 ⇒ δ ≈ π
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Beispiel 14.13: Ein Federschwinger
mögliche Prüfungsaufgabe
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Alonso-Finn
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10. Schwingende Bewegung
10.1 Einführung
10.2 Kinematik der einfachen harmonischen Bewegung
10.3 Rotierende Vektoren bzw. Phasoren
10.4 Kraft und Eenrgie in der einfachen harmonischen Bewegung
10.5 Grundgleichungen der einfachen harmonischen Bewegung
10.6 Der einfache Pendel
10.7 Überlagerung von zwei einfachen harmonischen Bewegungen in der gleichen Richtung und
10.8 Überlagerung von zwei einfachen harmonischen Bewegungen in der gleichen Richtung und
10.9 Überlagerung von zwei einfachen harmonischen Schwingungen in zueinander senkrechten
10.10 Gekopplete Schwingungen
10.11 Molekülschwingungen
10.12 Anharmonische Schwingung
10.13 Gedämpfte Schwingung
10.14 Erzwungene Schwingung
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