b - KIT

Dr. Jörg-M. Sautter
28.3.2008
(Definieren von Vektoren und Matrizen)
Definieren Sie die folgende Variablen:


2 2 2
(f) A = 2 2 2 unter Verwendung von
2 2 2
ones


0 0 1 1

(g) B = 0 0 1 1 unter Verwendung
2 2 2 2
von zeros und ones
20 19 . . . 1
(h) C =
∈ R2,20
1 2 . . . 20
(a) a = (2 − 3 1) ∈ R1×3
Mathematiklabor – 1. Übungsblatt
(b) b = (2 − 3 1 2 − 3 1) ∈ R1×6 mit Hilfe
von a
Aufgabe 1:
(c) c = (1 2 3 4 5)T ∈ R5×1
Berechnen Sie
(a) ln(e2 )
(b)
Aufgabe 3:
(c) π
cos(60◦ )
(d)
√
(e) log(e2 )
q
1+
(f)
e
tan( π4 )
(d) d = (1 2 3 4 . . . 500) ∈ R1×500
27 3
14
(Matrix- und Vektoroperationen)
Aufgabe 2:
(a) Definieren Sie

2
A = 5
8
folgende Vektoren und Matrizen in Matlab



 
 
 
3 4
1 −2
1
3
−1
6 7 , B = −3
4  , a = −2 , b =  4  , c =  4 
9 1
5 −6
0
−2
2
(e) e = (0 0.01 0.02 . . . 0.99 1) ∈ R1×101
mit :“ und mit linspace
”
Aufgabe 4:
(Elementweise Operationen mit Vektoren)
Es sei u=[2 -3 1 0] und v=[-1 0 1 4]. Überlegen Sie sich die Resultate der folgenden
Matlab-Ausdrücke und überprüfen Sie Ihr Ergebnis.
(a) u+v-1
(c) u.*v
(b) [u v(2:4)]
(d) u./v
(e) u.bv
(b) Berechnen Sie
(i) AB, das Matrizenprodukt von A und B
(ii) Ab, das Matrix-Vektor-Produkt von A und b
(iii)
BT ,
(Elementweise Operationen)
die Transponierte von B
(a) Definieren Sie a = (1 2 3 4 5) ∈ R1×5 ohne alle Elemente explizit einzugeben.
(iv) det(A), die Determinante von A
(v)
Aufgabe 5:
A−1 ,
die Inverse von A
(b) Definieren Sie b = [1 4 9 16 25] mit Hilfe von (a)
(vi) aT b, das Skalarprodukt von a und b
(vii) a × b, das Kreuzprodukt von a und b
(viii) (a × b)T c, das Spatprodukt von a, b und c
(c) Berechnen Sie s = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 und p = 1 · 4 · 9 · 16 · 25 mit Hilfe von (a) und (b).
(d) Definieren Sie x = (0
π
2
π . . . 2π) ohne alle Elemente explizit einzugeben.
(e) Definieren Sie y = (sin(0) sin( π2 ) sin(π) . . . sin(2π)). Verwenden Sie den Befehl sin
dafür nur ein einziges mal!
(f) Berechnen Sie sin(1) + sin(2) + sin(3) + · · · + sin(100)
1
2
Aufgabe 6:
(Plotten von Funktionen)
(a) Um den Graphen der Funktion f (x) = 3 sin(x) im Intervall [−π, π] zu plotten, gehen
Sie in den folgenden Schritten vor:
• Definieren Sie einen Vektor x = (−π . . . π) der Länge 100 mit 100 äquidistanten
Punkten zwischen −π und π. Unterdrücken Sie dabei die Ausgabe der Elemente
von x auf dem Bildschirm!
• Definieren Sie einen Vektor y = 3 sin(x) und unterdrücken Sie auch hier die Ausgabe der Elemente von y auf dem Bildschirm.
• Lesen Sie den Hilfe-Text zum plot-Befehl durch und zeichnen Sie den Graphen
der Funktion mit einer roten Linie.
• Wählen Sie als Achsenskalierung −π ≤ x ≤ π und −2.5 ≤ y ≤ 2.5.
(b) Zeichnen Sie nun den Graphen der Funktion g(x) = x3 − 25 x + 15 sin(10x) als grüne
gestrichelte Linie in ein neues Koordinatensystem (d.h. in ein neues Fenster) mit der
selben Achsenskalierung wie in (a).
(c) Zeichnen Sie beide Funktionen in ein Schaubild.
Abbildung 1:
Aufgabe 7:
(Plotten von Funktionen)
Aufgabe 9:
Gegeben sei n ∈ N. Schreiben Sie folgende Matlab-Scripts:
(a) Zeichnen Sie das Schaubild der Funktion
f (x) = −x − x + 2
2
mit einer blauen Linie in ein Koordinatensystem mit −5 ≤ x ≤ 5 und −4 ≤ y ≤ 4.
Siehe Abbildung 1.
(b) Markieren Sie die beiden Nullstellen durch rote Kreise.
(c) Zeichnen Sie die Tangente an der linken Nullstelle mit einer grünen Linie.
Aufgabe 8:
(for-Schleife)
(a) Die Zahlen 1, 2, 3,. . . , n sollen im Sekundentakt nacheinander auf dem Bildschirm
ausgegegen werden.
(b) Die Summe der Zahlen 1, 2, 3,. . . , n soll mittels einer for-Schleife berechnet werden.
(c) n! soll mittels einer for-Schleife berechnet werden.
Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit den Matlab-Funktionen factorial und sum.
(Einfache 2D Plots)
Erzeugen Sie die Objekte aus Abbildung 2 in den jeweils dort angegebenen Koordinatensystemen.
3
4
Aufgabe 10:
(Spurwechsel1 )
Simulieren Sie einen Spurwechsel wie in Abbildung 3 dargestellt. Die Fahrbahn sei 45 m
lang und 10 m breit. Die Fahrbahnmarkierungen seien 1 m lang und 20 cm breit mit einem
Abstand von 2 m. Das Fahrzeug sei 4 m lang, 2.5 m breit und der Schwerpunkt des Fahrzeugs
sei in der Fahrzeugmitte. Das Fahrzeug starte bei x = 0 in der Mitte der rechten Fahrbahn.
Simulieren Sie den Spurwechsel für t = 0, 0.2, 0.4, . . . , 3 Sekunden für folgende Fälle:
(a) Die Geschwindigkeit in x-Richtung sei konstant vx = 10 ms . Die Querbeschleunigung ay
sei durch folgende stückweise konstante Funktion gegeben:
t in s
ay in sm2
(a) Quadrat, dessen Eckene auf einem Kreis mit Radius 0.5 um den Ursprung liegen
[0,0.5)
0
[0.5,1.5)
5
[1.5,2.5)
-5
[2.5,3]
0
Vernachlässigen Sie die Drehung des Fahrzeugs und stellen Sie nur die Positionen des
Schwerpunkts mit einem Kreis dar.
(b) Regelmäßiges 5-Eck mit Radius 1
(b) Simulieren Sie nun auch die Drehung des Fahrzeugs, indem Sie den Winkel zwischen
Tangente und der Horizontalen berechnen und das Auto dann in Tangentialrichtung
drehen (vgl. Abb. 3 (a)).
(c) Die Geschwindigkeit in x-Richtung sei nun nicht mehr konstant. Stattdessen beschleunige das Fahrzeug nun in x-Richtung mit ax = 3 sm2 (vgl. Abb. 3 (b)).
(c) Drei Dreiecke mit Radius 1
20
20
10
10
0
0
−10
−10
(d) Regelmäßiges 8-Eck mit Radius 0.5
−20
0
10
20
30
−20
40
0
10
20
30
40
(a) Spurwechsel mit in x-Richtung konstanter Ge- (b) Spurwechsel mit in x-Richtung konstanter Beschwindigkeit
schleunigung
Abbildung 3: Simulation eines Spurwechsels
Hinweis:
(e) Regelmäßiges 16-Eck mit Radius 1
(f) Kreis mit Radius 0.5
Der Schwerpunkt des Fahrzeugs beschreibt eine Kurve, die aus zwei Geradenstücken und zwei
Parabeln besteht. Für die Bewegung in x-Richtung gilt
Abbildung 2:
x(t) = vx t
1
5
1
x(t) = vx t + ax t2
2
bzw.
Die Idee der Teilaufgaben (a) und (b) stammt von Herrn Prof. Dr. Martin Stämpfle.
6
und für die Bewegung in y-Richtung gilt
1
y(t) = y0 + vy t + ay t2 .
2
Zur Drehung des Fahrzeugs verwendet Sie die Rotationsmatrix
cos(α) − sin(α)
R(α) =
.
sin(α) cos(α)
Aktuelle Hinweise zur Vorlesung sowie Begleitmaterial und Übungsblätter finden Sie unter
http://www.hs-esslingen.de/ejsautter/mathematiklabor
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