Skript_BkM_WS_14_15

FH
D
FB 4
Fachhochschule Düsseldorf
Lehrgebiet Mathematik für Ingenieure
Prof. Dr.-Ing. W. Scheideler
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
Brückenkurs Mathematik
WS 2014/15
aus- und überarbeitet von
B. Eng. Sevda Happel und
Dipl.-Ing. Juan Rojas
1
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Lehrgebiet Mathematik für Ingenieure
Prof. Dr.-Ing. W. Scheideler
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
Inhaltsverzeichnis
1
Brüche, Potenzen und Wurzeln
4
1.1
Brüche
4
1.1.1 Definition von Brüchen
4
1.1.2 Rechenregeln für Brüche
4
Potenzen
7
1.2.1 Definition von Potenzen
7
1.2.2 Rechenregeln für Potenzen
7
Wurzeln
10
1.3.1 Definition von Wurzeln
10
1.3.2 Rechenregeln für Wurzeln
10
1.2
1.3
2
Gleichungen
13
2.1
Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit ganzen Zahlen
13
2.2
Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit rationalen Zahlen
17
(Bruchgleichungen)
2.2.1 Gleichungen und Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine
17
Variablen enthalten
2.2.2 Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten
Bruchgleichungen mit einer Lösungsvariablen
3
20
20
2.3
Quadratische Gleichungen
24
2.4
Wurzelgleichungen
30
2.5
Lineare Gleichungssysteme
36
Trigonometrische Funktionen
42
3.1
Definition der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck
42
3.2
Winkelmaße (Grad- und Bogenmaß)
43
3.3
Drehsinn eines Winkels
44
3.4
Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis
45
3.5
Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
46
3.5.1 Trigonometrischer Pythagoras
46
3.5.2 Additionstheoreme für die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
47
2
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4
5
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3.5.3 Sinussatz
47
3.5.4 Kosinussatz
48
Exponential- und Logarithmusgleichungen
54
4.1.
Rechenregeln für Logarithmen
54
4.2.
Spezielle Logarithmen
55
4.3.
Basiswechsel
56
Lösungen der Beispielaufgaben
61
3
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1
Brüche, Potenzen und Wurzeln
1.1
Brüche
1.1.1 Definition von Brüchen
a ÷ b ; der Quotient a ÷ b ist die Bruchzahl
Die Bruchzahl
a
b
( a , b ∈ Z;
b ≠ 0 und b ≠ ∞ )
a
ist eine ganze Zahl, wenn a ein Vielfaches von b ist.
b
a
bezeichnet man auch als Bruch; a Zähler, b der Nenner, der Nenner gibt an, in wie viel gleiche
b
Teile eine Einheit zerlegt wurde. Der Zähler gibt die Anzahl der Teile an.
1.1.2 Rechenregeln für Brüche:
1. Ein Bruch wird erweitert, indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert wird:
z.B.:
a
b
=
a ⋅ k
b ⋅ k
2
5
=
2 ⋅ 3
6
=
5 ⋅ 3
15
(k ≠ 0)
2. Die gleichnamigen Brüche werden addiert oder subtrahiert:
z.B. :
1
9
2
+
−
7
7
7
=
1 + 9 −2
7
=
8
7
Falls die Brüche nicht gleichnamig sind, müssen sie vor dem Addieren oder Subtrahieren
gleichnamig gemacht werden, indem man sie durch Erweitern auf den kleinsten gemeinsamen
Nenner bringt:
4
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z.B. :
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3 ⋅ (13) + 6 ⋅ (5) − 1 ⋅ (7 )
18
13
5
7
+
−
=
6
3
18
39 + 30 − 7
18
=
⇒
62
18
3. Brüche werden multipliziert, indem jeweils die Zähler und die Nenner multipliziert werden:
a c
⋅
b d
z.B.:
10 2
⋅
23 7
a⋅c
b⋅d
=
=
(b ⋅ d
10 ⋅ 2
=
23 ⋅ 7
≠
0 und b ⋅ d
≠
∞)
20
161
4. Brüche werden dividiert, indem der Bruch in Nenner eliminiert wird. Dies geschieht durch
Erweitern von Zähler und Nenner mit einem geeigneten Wert:
z.B. :
3⋅8
7
5
3
7
5
8
3
⋅8
7
5
⋅8
8
=
=
24 1
⋅
7
5
1
5⋅
5
⇒
=
24 ⋅ 1
24
=
7 ⋅5
35
Musterlösung 1:
3
4
2
3
+
-
5
9
5
8
= ? ⇒
5
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9⋅3
+
9⋅4
8⋅2
8⋅3
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4⋅5
4⋅9
3⋅5
3⋅8
=
27 + 20
36
16 − 15
24
47
= 36
1
24
⇒
(Erweitern von Zähler und Nenner mit geeignetem Wert 36 und 24)
47
⋅ 24
47
47 ⋅ 2
94
36
=
⋅ 24 =
=
1
36
3
3
⋅ 24
24
(Erweitern von Zähler und Nenner mit geeignetem Wert 24 und Kürzen mit dem Wert 12)
Musterlösung 2:
1
= ? ⇒
1
1
+
a
b
1
b + a
a⋅b
=
1⋅ ab
b + a
⋅ab
ab
=
ab
b + a
Bespielaufgaben zu 1.1 (Brüche):
a2
b
a)
c)
b2
a
+
1
1
+
a
b
u
1 1 -
u
u + 1
1
= ?
= ?
-
b)
s2 - 1
1
2 +
s - 1
d)
11 a - 3
3x + 3
-
1
s2
= ?
1
s + 1
7a - 4
2x + 2
+
5a - 6
= ?
6x + 6
6
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1.2
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Potenzen
1.2.1 Definition von Potenzen
In der Potenz 3 4 heißt 3 Grundzahl oder Basis, 4 Hochzahl oder Exponent. Der Exponent gibt
an, wievielmal die Basis als Faktor gesetzt werden soll. Das ausgerechnete Produkt heißt
Potenzwert. Eine Summe von gleichen Summanden ergibt ein Produkt. Ein Produkt von gleichen
Faktoren ergibt eine Potenz.
an
=
a ⋅ a ⋅ a ⋅ ...... ⋅ a
(n Faktoren) ist die n-te Potenz von a,
a nennt man Basis und n Exponent.
1.2.2 Rechenregeln für Potenzen:
Im Folgenden sei m, n ∈ N
1.
am⋅ an
2.
am
an
=
a
=
a
negativer Exponent
a
m + n
( Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis )
m - n
-n
(Division von Potenzen mit gleicher Basis)
1
an
=
3.
n
 a m 


=
m
 a n 


4.
an⋅ bn
= (a ⋅ b) n
=
a
=
m⋅n
1
 
a
n
a ≠ 0 und a ≠ ∞
( Potenzieren von Potenzen)
(Multiplikation von Potenzen bei gleichen Exponenten)
7
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5.
an
bn
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a
 
b
=
n
b ≠ 0 und b ≠ ∞
(Division von Potenzen bei gleichen Exponenten)
6.
a0
=
1
Musterlösung 1:
Vereinfachen von dem algebraischen Ausdruck:
 1 


 -3 
-3
 1 


 -3 
= ? ⇒
-3
1
1
− 27
1
=
 1 


 -3 
3
1
(1)3
⇒
(- 3)3
1 ⋅ 27
1
−
⋅ 27
27
=
=
= − 27
Musterlösung 2:
Vereinfachen von dem algebraischen Ausdruck:
12
1
y3
2
x
8z 2
4
⋅
1
z
2
y
1
3
x5
6
÷
1
z3
1
2
z
y4
= ? ⇒
8
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12 y 3
⋅x 2
x2
4zx 5
⋅
÷
3y 2
12 y 3
8z 2 x 2
4zx 5
⋅
⋅
3y 2



÷
3
x5
⋅
3
x5
12 y 3
8z 2 x 2
 zx

 y
x5
3
4z
⋅
y2
⋅
8z 2 ⋅x 2
2
3
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
6y4
2z 4
6
z3
⋅
y4
2⋅z
2z
y4
⋅
2⋅ z
y4
⇒
⇒
2z 4
6y4
⇒
3
Bespielaufgaben zu 1.2 (Potenzen):
Vereinfachen Sie die algebraischen Ausdrücke:
a)
b)
-4
9b 3
20 b
⋅
-4
16 a 2
25 a
4x
2 - m
7z
c)
⋅ y
m - n
3z
x2 - y2
÷
3m
= ?
÷
5z
m + n
14 y
5a
x + y
3 - m
⋅ x
1 - 2m
= ?
= ?
9
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1.3
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Wurzeln
1.3.1 Definition von Wurzeln
Unter der Quadratwurzel aus x verstehen wir diejenige Zahl, deren Quadrat x ergibt.
Ist x
n
= a für a ≥ 0 , dann heißt x die n-te Wurzel aus a.
Schreibweisen:
x =
n
a
1
(Wurzelschreibweise) oder x = a n (exponentielle Schreibweise). a heißt
Radikand, n Wurzelexponent.
1.3.2 Rechenregeln für Wurzeln:
1.
2.
3.
4.
n
am
m
n
= a n =  a  m


m
m n
a
=
n a ⋅n b
n a
n b
1
a n
1
1
 1 m


m⋅n
= a n  = a
= m⋅n a




1
1
1
= a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n = n a ⋅ b
a
= n
b
für b > 0 ; alle m, n ∈ N
10
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Binomische Formeln:
1.
(a ± b) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2
2.
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2
Achtung!!!:
( 2u − 3v) 2 ≠ (2u ) 2 − (3v) 2 ≠ 4u 2 − 9v 2 !!!
( 2u − 3v) 2 = (2u ) 2 − 2 ⋅ 2u ⋅ 3v + (3v) 2 = 4u 2 − 12uv + 9v 2 !!!
sondern
sondern
4t 2 − 9 z 2
≠
4t 2 − 9 z 2
!!!
4t 2
−
9 z 2 ≠ 2t − 3z !!!
Dieser Term kann nicht vereinfacht werden!!!
Musterlösung 1:
Vereinfachung des folgenden algebraischen Ausdrucks:
8
-
2
8
+
2
23
23
= ?
-
2
+
2
=
⇒
2
2
-
2
2
2
+
2
=
2
3 2
=
1
3
11
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Musterlösung 2:
Vereinfachung des folgenden algebraischen Ausdrucks:
(
2
3⋅
) (
8
4
)
5
2 = ?
3 2 
3 5


 3 
 2
 ( 2) 2 
⋅  ( 2) 2 








⇒
3 2
2 5
⋅
⋅
2
3
2
2
= ( 2)
⋅(2)
5
5
2 + 5
7
1 +
2 = 2 2
2 ⋅ 22 = 2
= 2 2 =
⇒
27
Bespielaufgaben zu 1.3 (Wuzeln):
Vereinfachen Sie die algebraischen Ausdrücke:
a)




b)
1
 8 4  3


a
b




b
a
+
2
= ?
= ?
7
16 4 = ?
-
c)
d)
5⋅
3
10
3
2
+
-
10
3
2
3
= ?
12
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2
Gleichungen
2.1
Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit ganzen Zahlen
Werden zwei Terme T und T durch das Gleichheitszeichen „ = “ verbunden werden, so nennen
1
2
wir diese Verbindung eine Gleichung.
T = T
1
2
z.B.:
T = 3x + 4
1
T = 12 - x
2
T = T ergibt dann 3 x + 4 = 12 - x
1
2
Werden zwei Terme T und T2 durch das Zeichen „ < “, „ > “, „ ≤ “ oder „ ≥ “ verbunden,
1
so nennt man diese Verbindung eine Ungleichung.
z.B.:
T < T
1
2
T ≤ T
1
2
T > T
1
2
T ≥ T
1
2
3 x + 4 ≤ 12 - x
3 x + 4 > 12 - x
Musterlösung 1 für lineare Gleichung:
Lösung folgender Gleichungen:
a)
11 - 2 x = 6 = ?
11 - 2 x = 6
⇒
⇒
− ( 11 )
13
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− 2 x = 6 − 11
− 2x = − 5
x =
Merke:
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⇒
: ( − 2)
⇒
 5 
⇒ L = 

 2 
5
2
Zur Umformung einer Gleichung in eine einfachere äquivalente Gleichung darf
auf beiden Seiten die gleiche Zahl addiert oder subtrahiert, mit der gleichen Zahl (z) multipliziert
oder dividiert werden, aber z ≠ 0 und z ≠ ∞ .
b)
8x - (2x - 4) = 3
⇒
8x - 2x + 4 = 3 ⇒
6x + 4 = 3 ⇒
6x + 4 = 3 ⇒
- (4)
6x = 3 - 4 ⇒
6 x = -1 ⇒
x = -
1
6
: (6 )
 1 
⇒ L = 
 6 
Merke:
a - ( - b + c) = a + b - c
a + ( b - c) = a + b - c
a + ( - b - c) = a – b - c
a + (b + c) = a + b + c
a - (b - c) = a - b + c
a + (-b + c) = a – b + c
a - (-b - c) = a + b + c
a - (b + c) = a - b - c
14
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Musterlösung 2 für lineare Ungleichung:
Merke:
Zusammenstellung der wichtigsten Intervalle
Bei der Beschreibung der Definitions- und Wertebereiche von Funktionen benötigen wir spezielle,
als Intervalle bezeichnete Teilmengen von R.
1. Endliche Intervalle
(a < b)
[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}
[a, b) = {x | a ≤ x < b}
abgeschlossenes Intervall
halboffene Intervalle
(a, b] = {x | a < x ≤ b}
(a, b) = {x | a < x < b}
offenes Intervall
2. Unendliche Intervalle
[a, ∞) = {x | a ≤ x < ∞ }
(a, ∞) = {x | a < x < ∞ }
(- ∞, b] = {x | - ∞ < x ≤ b}
(- ∞, b) = {x | - ∞ < x < b}
(- ∞, 0) = R (0, ∞ ) = R
+
(- ∞, ∞ ) = R
Offene Intervalle können mit gerundeten Klammern „( )“ oder nach außen gerichteten eckigen
Klammern „] [“ gekennzeichnet sein!!!
Lösungsmenge folgender Gleichung:
a)
5 - x > 2
⇒
5 - x > 2 ⇒
− (5)
15
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−x > 2 − 5 ⇒
− x > −3 ⇒
: (− 1)
x < 3
⇒
Merke:
L =
( - ∞,
3
)
Durch die Multiplikation oder Division mit der negativen Zahl ändern alle Zahlen
ihre Vorzeichen. Dabei behalten sie zwar ihren aber die Richtung ändert sich:
z.B.:
2x + 3 y < 6 ⇒
⋅ (− 1)
− 2x − 3 y > −6
Bespielaufgaben zu 2.1 (Lineare Gleichungen):
Lösen Sie die Gleichungen:
a)
3 x - 18 = - x + 6
b)
x - 3 = 8
c)
24 - 7 x = 3
d)
19 - 2 x = 5 x - 16
e)
5x - (3 + 2x) = 9
f)
( a - b)(x - c) - ( a + b )( x + c ) + 2 a ( b + c ) = 0
16
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2.2
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Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit rationalen Zahlen (Bruchgleichungen)
2.2.1 Gleichungen und Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen
enthalten
Die Regel für Äquivalenzumformungen von Gleichungen und Ungleichungen mit ganzen Zahlen
gelten auch für Gleichungen mit rationalen Zahlen.
Zur Umformung einer Gleichung und Ungleichung darf auf beiden Seiten die gleiche Zahl addiert
oder subtrahiert, mit der gleichen Zahl multipliziert oder dividiert werden. Die Division durch null
ist nicht möglich.
Musterlösung 1 für Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen enthalten:
Lösung der folgenden Gleichungen ?
a)
7x + 6
9
- x
=
4 -
5x - 2
6
⇒
7x + 6
9
- x
=
4 -
5x - 2
6
⇒
⋅ (18 )
(Mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner 18 multiplizieren)
2 ⋅ ( 7 x + 6 ) - 18 x
=
18 ⋅( 4 ) - 3 ⋅ ( 5 x - 2 )
14 x + 12 - 18 x = 72 - 15 x + 6
− 4 x + 12 = 78 - 15 x
− 11 x + 12 = 78
⇒
− 11 x = 78 − 12
⇒
⇒
⇒
⇒
+ (15 x)
+ (− 12)
17
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− 11 x = 66
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: (− 11)
⇒
x = 6
⇒ L =
b)
{6 }
5x
6
+ 2 = 5 -
5x
6
+ 2 = 5 -
5x
6
+
2x
3
= 5 - 2
= 3
⇒
9x = 6 ⋅3
⇒
9 x = 18
2x
3
+ 2 = 5
5x + 2⋅2x
6
9x
6
2x
3
⇒
⇒
 2x
+ 
 3
⇒
⇒



- (2)
⇒
⋅ (6 )
: (9 )
x = 2
⇒
L =
{2 }
18
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Bespielaufgaben zu 2.2.1 (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen
enthalten):
Lösen Sie die Gleichungen:
a)
x
3
b)
9x + 1
4
c)
5x
8
x
5
- 3 =
3x - 4
5
-
+ 2
- 5
=
3x
4
=
0
+ 3
Musterlösung 1 für Ungleichung mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen enthalten):
Lösung folgender Ungleichung:
3x
4
-
7
8
< x -
2
3
⇒
3x
4
-
7
8
< x -
2
3
⇒
⋅ (24 )
(Mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner 24 multiplizieren)
18 x - 21 < 24 x - 16
⇒
18 x - 21 < 24 x - 16
⇒
− 6 x - 21 < - 16
⇒
− (24 x)
+ (21)
− 6 x < - 16 + 21 ⇒
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−6 x < 5
x > −
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: (− 6 )
⇒
5
6
5
⇒ L = (− , ∞)
6
Bespielaufgaben 2.2.1 (Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen
enthalten):
Lösen Sie folgende Ungleichungen:
a)
3 (x - 2 )
4
4 (x + 1 )
3
b)
3x + 2 <
c)
x - 1
2
+
x − 3
4
> 0
d)
x - 1
7
+
x − 3
8
> 0
-
≤
5 (x - 3 )
- x
6
1
x
4
2.2.2 Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten
Bruchgleichungen mit einer Lösungsvariablen
Bei Bruchgleichungen kommen die Variablen auch im Nenner vor,
z.B.:
2x - 3
x + 3
= 4,
x - 2
x - a
=
1
a
20
FH
D
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FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
Stehen Variablen im Nenner eines Bruchterms, so kann es vorkommen, dass beim Einsetzen von
Zahlen für die Variablen der Nenner den Wert 0 annimmt. Der Term geht in diesem Fall nicht in
eine Zahl über, weil die Division durch null nicht definiert ist.
Die Zahlen, die beim Einsetzen für die Variablen den Term nicht in eine Zahl überführen, gehören
nicht zum Definitionsbereich des Terms.
2
x + 1
In der Gleichung
=
1
x - 2
nimmt der Nenner des linken Bruchterms T beim
1
Einsetzen von -1 (x + 1 = 0 ) den Wert 0 an, beim Einsetzen von 2 (x - 2 = 0 ) wird
der Nenner des rechten Bruchterms T gleich null. Beide Zahlen gehören deshalb nicht zum
2
Definitionsbereich D der Gleichung!!!. Die Lösung einer Gleichung mit Brüchen, deren Nenner
Variablen enthalten, beginnt mit der Festlegung des Definitionsbereiches D der Gleichung.
Musterlösung 1 :
Lösungsmenge folgender Gleichung:
1
x (x + 3 )
1
x (x - 3 )
+
=
Definitionsbereich der Gleichung festlegen:
2
x2 - 9
D = R \
⇒
{ − 3,
0, 3 }
In der Gleichung (oben) nimmt beim Einsetzen von { − 3, 0 , 3 } wird Nenner des Bruchterms
gleich null. Aber Nenner darf nicht null sein ( Nenner ≠ 0 und Nenner ≠ ∞ ) . Daher
{ − 3, 0 , 3 } zur Lösungsmenge der Gleichung nicht gehören.
1
x (x + 3 )
+
1
x (x - 3 )
2
(x + 3 )(x - 3 )
=
(Mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner
( x - 3 ) + (x + 3 ) =
x - 3 + x + 3
=
2x
2x
⇒
⋅ x ( x − 3) ( x + 3)
x ( x − 3 )( x + 3 ) multiplizieren)
⇒
⇒
21
FH
D
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2x
=
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
{ − 3,
⇒ L = R \
2x
0, 3 }
Musterlösung 2:
Lösungsmenge folgender Gleichungen:
3
x
5
2x
- 1 =
⇒
D = R \
Definitionsbereich der Gleichung festlegen:
3
x
5
2x
- 1 =
3 ⋅ ( 2 ) - 1 ⋅ ( 2 x) =
6 - 2x
=
5
-2 x
=
5 - 6
-2 x
=
- 1
x
⇒
=
⋅ ( 2 x)
⇒
5
{0 }
⇒
⇒
- (6 )
⇒
⇒
: (- 2 )
1
2
1
L =  
2 
Musterlösung 3:
Lösung folgender Gleichungen ?
x - 5
x - 2
=
1 -
x + 1
x - 2
⇒
22
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Definitionsbereich der Gleichung festlegen: D = R \
x - 5
x - 2
x + 1
x - 2
+
=
(x - 5 ) + (x + 1 ) =
=
x - 2
⇒
2x - 4
=
x - 2
⇒
x - 4
=
x
2
=
daher: ⇒ L =
=
⋅ (x - 2 )
- (x)
⇒
-2
⇒
-2
⇒
⇒
x - 2
2x - 4
2x - x - 4
1
{2 }
+ (4)
dieses Element gehört nicht zur Definitionsmenge
{}
Bespielaufgaben 2.2.2 (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten):
Lösen Sie folgende Gleichungen:
9x - 7
3x - 2
a)
b)
c)
x
a
- b =
x + a
x - b
4x - 5
2x - 3
-
=
1
0
+
x + b
x - a
=
2
23
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2.3
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Quadratische Gleichungen
Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:
ax2 + bx + c =
0
(a ≠ 0 )
1. Lösungsverfahren (sog. p, q – Formel):
Sie lässt sich stets in die Normalform
x 2 + px + q
=

p =

0
b
, q =
a
c

a
überführen. Die (formalen) Lösungen dieser Gleichung lauten (sog. p, q – Formel):
Lösungen einer in der Normalform x 2 + p x + q
=
0 gegebenen quadratischen Gleichung
(sog. p, q – Formel)
x
1, 2
=
-
 p 2
  - q
2
p
±
2
Das bedeutet 1. Lösung von x
x
1
=
-
p
+
2
 p 2
  - q
2
2. Lösung von x
x
2
=
-
p
2
 p 2
  - q
2
Eine Fallunterscheidung wird dabei anhand der Diskriminante D
=
 p2
- q
 
 2 
wie folgt vorgenommen:
D > 0:
Zwei verschiedene reelle Lösungen
D = 0:
Eine reelle Lösung
D < 0:
Keine reellen Lösungen. (Die Lösungen dann sog. (konjugiert)
komplexe Zahlen)
24
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Musterlösung 1:
Lösungsmenge folgender Gleichung:
-2 x 2 - 4 x + 6
=
0
⇒
-2 x 2 - 4 x + 6
=
0
⇒
x 2 + 2x - 3
=
⇒
0
D
=
 p 2
- q


 2 
D
=
22
- (- 3 )
 
2 
: (- 2 )
(p = 2 , q = - 3 )
⇒
⇒
⇒
D =
4 > 0
x
1, 2
=
-
p
2
±
 p 2
- q
2
 
x
1, 2
=
-
2
2
±
22
  - (- 3 )
2 
x
1, 2
=
-1 ±
x
1, 2
=
-1 ± 2
x
1
=
-1 + 2
Zwei verschiedene reelle Lösungen
4
⇒
(p = 2 , q = -3 )
⇒
⇒
⇒
25
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D
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x
1
oder
x
1
=
2
⇒ L =
(1. Lösung)
-1 − 2
=
2
x
=
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
⇒
-3
(2. Lösung)
{ − 3, 1 }
Musterlösung 2:
Lösungsmenge folgender Gleichung
3 z 2 + 9 z + 6 ,75
=
0
⇒
3 z 2 + 9 z + 6 ,75
=
0
⇒
z 2 + 3 z + 2 ,25
=
D
=
 3 2
- ( 2 ,25 )
 
 2 
D
=
0
z
1
=
-
⇒
3
2
±
0
: (3)
⇒
⇒
( p = 3, q = 2,25 )
Eine reelle Lösung
 - 3  2 - ( 2 ,25 )
 2
⇒
z = − 1,5
1
⇒ L =
{ − 1,5 }
26
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Musterlösung 3:
Lösungsmenge folgender Gleichung ?
y 2 - 4 y + 13
D
=
⇒
0
 -4  2
- ( 13 ) =


 2 
=
( p = -4, q = 13 )
-9 < 0
⇒
Keine reellen Lösungen
D < 0
2. Lösungsverfahren mit Hilfe der binomischen Formel:
a2 - b2
=
(a - b) (a + b)
Musterlösung 1:
Lösungsmenge folgender Gleichung:
t 2 - 9
=
0
⇒
(t - 3 )(t + 3 ) =
(t
1
- 3) =
t - 3
1
=
t = 3
1
oder
(t
2
0
0
0
⇒
⇒
⇒
+ (3)
(1. Lösung)
+ 3) = 0
⇒
27
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t
+ 3 = 0
2
t
2
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⇒
= -3
⇒ L =
- (3)
(2. Lösung)
{ − 3, 3 }
3. Lösungsverfahren mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:
Wie kann man eine Quadratische Gleichung in eine Binomische Form bringen?
Musterlösung 1:
Lösungsmenge folgender Gleichung:
x 2 + 6x + 5
=
⇒
0
 6 
x 2 + 6 x +  
 2 
2
 6 
-  
 2 
2
+ 5
x 2 + 6 x + (3) 2 - ( 3) 2 + 5
(x + 3 ) 2 - 9 + 5
(x + 3 ) 2 - 4
(x + 3 ) 2 - 2 2
=
=
0
0
⇒
⇒
⇒
⇒
0
=
0
=
=
0
⇒
(x + 3 - 2 )(x + 3 + 2 ) =
0
⇒
28
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(x + 3 - 2 ) =
oder
x + 1 =
0
x
⇒
=
-1
⇒
- (1)
x = −1
1
(x + 3 + 2 ) =
x + 5
x
=
⇒ L =
=
-5
0
⇒
0
⇒
0
⇒
⇒
(1. Lösung)
- (5)
x
= −5
2
(2. Lösung)
{ - 1, - 5 }
Bespielaufgaben zu 2.3 (Quadratische Gleichungen):
Lösen Sie folgende Gleichungen:
a)
-2 x 2 - 4 x + 6
b)
(5x + 3) 2 - (4 x + 2) 2
c)
3 x 2 - 27 x + 54
d)
e)
1
x
+
2
x2
1
x - 4
-
+
3
x3
=
0
=
=
2
x - 3
=
( 2 x + 1 ) 2 - 21
0
0
-
3
x - 1
=
0
29
FH
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f)
x 2 - 27
=
g)
4x
x - 3
=
h)
2.4
1
x2 +
3
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
8
3x + 5
x + 2
1
x 4
12
x - 3
+
1
12
=
0
Wurzelgleichungen
In Wurzelgleichungen tritt die Unbekannte in rationaler Form innerhalb von Wurzelausdrücken
auf.
Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl b, die man mit sich selbst
multiplizieren muss, um a zu erhalten.
a = b,
z.B.:
b2 = 9
b =
b2 = a
wenn
(a , b ∈ R )
⇒
3 ⋅3
oder
b =
( −3 ) ⋅( −3 )
⇒ b = 3
Nach der Definition (so.) ist die Quadratwurzel stets immer positiv. Es ist deshalb a 2 = a ,
weil das Quadrieren das negative Vorzeichen von a eliminiert.
Berücksichtigen wir bei einer ganzen Zahl nur die Länge ihres Pfeils, also nicht seine Richtung, so
spricht man vom Betrag der Zahl.
30
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Wir bezeichnen den Betrag der Zahl a mit a und lesen „ Betrag von a “. a ist daher niemals
negativ. Es ist demnach:
a = a
bei
a > 0
z.B. :
+3 = 3
a = -a
bei
a < 0
z.B. :
-(-3) = 3
a = 0
bei
a = 0
z.B. :
0 = 0
Musterlösung 1:
Lösungsmenge folgender Gleichung:
2⋅
= 5
⇒
x = 5
T
T
2
1
⇒
x
2 ⋅
4 x = 25
x =
⇒
( )2
(Quadrieren)
: (4 )
25
4
Probe bei Wurzelgleichungen unbedingt durchführen!!!
auch wenn kein Rechenfehler vorliegt!!!
31
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Probe:
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
25
4
x =
ist die gefundene Lösung. Ist sie aber Lösung der vorgegebenen
Wurzelgleichung? Diese Frage kann nur durch eine Probe, d.h. durch Einsetzen von den
gefundenen Werten in die Wurzelgleichung entschieden werden:
25
4
2⋅
=
2⋅
 5 2
 
 2 
5
2
= 5
⇒
⇒
= 5
⇒
5 = 5
T1 = T2
⇒
25
4
x =
⇒
T
2
T
1
2⋅
5
ist also eine Lösung der Wurzelgleichung.
 25 
⇒ L = 

 4 
Musterlösung 2:
Lösungsmenge folgender Gleichung:
2⋅
t
= -5
⇒
32
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2⋅
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
T
1
( )2
⇒
= -5
T
2
t
⇒
4 t = 25
: (4 )
25
4
t =
Probe:
25
4
2 ×
=
2⋅
(
5
2
5 2
)
2
= -5
= -5
⇒
5 ≠ -5
⇒
T1 ≠ T2
⇒
t =
25
4
⇒ L =
⇒
T
2
T
1
2⋅
-5
⇒
ist daher keine Lösung der Wurzelgleichung!!!
{}
Musterlösung 3:
Lösungsmenge folgender Gleichung:
33
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D
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2⋅
t
+ 3
2⋅ t
+ 3
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
=
=
T
1
2⋅
t
⇒
t
= t - 3
⇒
t
T
2
( )2
⇒
Achtung!!!:
(a ± b) 2 ≠ a 2 ± b 2
Allgemein:
z.B. für a = 5 und b = 2:
(5 − 2) 2 ≠ 5 2 − 2 2
weil
( 5 − 2 ) 2 = 5 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 2 + 2 2 = 25 − 20 + 4 = 9
5 2 − 2 2 = 25 − 4 = 21
4t
=
t 2 - 6t + 9
t 2 - 10 t + 9
=
 10 
t 2 - 10 t + 

 2 
2
ist
⇒
0
- ( 4 t)
⇒
(quadratische Ergänzung)
 10 
- 

 2 
2
+ 9
t 2 - 10 t + ( 5 ) 2 - ( 5 ) 2 + 9
=
t 2 - 10 t + 25 - 25 + 9
⇒
( t - 5 ) 2 - 16
t - 5
= ±
16
= 0
und
⇒
=
0
=
0
0
⇒
⇒
+ (16 )
⇒
34
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t - 5
= ±4
t - 5
= 4
t
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
⇒
⇒
+ (5)
⇒
= 9
t = 9
1
oder
t - 5
t
= -4
= 1
t
2
Probe1:
⇒
⇒
= 1
für t = 9
1
2⋅
9 = 9
T = T
1
2
t = 9
1
Probe 2:
+ (5 )
⇒
+ 3 = 9
T
T
2
1
9
⇒
⇒
⇒
ist also eine Lösung der Wurzelgleichung.
für t1 = 1
35
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FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
2⋅ 1
+ 3 = 1
T
T
2
1
5 ≠ 1
⇒
T ≠ T
1
2
t
⇒
= 1
2
⇒ L =
⇒
ist daher keine Lösung der Wurzelgleichung.
{9 }
Bespielaufgaben zu 2.4 (Wurzelgleichungen):
Lösen Sie folgende Gleichungen:
a)
7 +
b)
56 -
x
x
c)
2x + 5
d)
9x - 2
2.5
=
12
= x
-
=
4x - 4
25 x - 1
+ 1
-
=
0
4x + 1
Lineare Gleichungssysteme
In diesem Abschnitt behandeln wir das unter der Bezeichnung Gaußscher Algorithmus bekannte
Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Das Verfahren bzw. Algorithmus wurde von dem berühmten deutschen Mathematiker Carl
Friedrich Gauß entwickelt. Er ist am 30 April 1777 in Braunschweig geboren und verstarb 1855 in
Göttingen.
36
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Der Gaußsche Algorithmus:
Lineare Gleichungssysteme bestehen aus m linearen Gleichungen mit n unbekannten
Größen x1 , x 2 , ..., x n .
Innerhalb einer jeden Gleichung treten dabei die Unbekannten in linearer Form, d.h. in der 1.
Potenz auf, versehen noch mit einem konstanten Koeffizienten.
Definition:
Das aus m linearen Gleichungen mit n Unbekannten x1 , x2 , ..., xn
bestehendes System vom Typ
a x + a x + ... a x =
11 1
12 2
1n n
a x + a x + ... a x =
21 1
22 2
2n n
⋮
⋮
a
c
1
c
2
x + a x + ... a x = c
m1 1
m2 2
mn n
m
heißt ein lineares Gleichungssystem. Die reellen Zahlen aik sind die Koeffizienten
des Systems, die Zahlen ci werden als Absolutglieder bezeichnet (i = 1, 2,...,m;
k = 1, 2,...,n)
Musterlösung 1:
Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei unbekannten Größen x
und y:
(I)
2x - 5y
(II)
x + y
=
=
2
1
Das von Gauß stammende Verfahren zur Lösung eines solchen Gleichungssystems ist ein
Eliminationsverfahren, das schrittweise eine Unbekannte nach der anderen eliminiert, bis nur noch
eine Gleichung mit einer einzigen Unbekannten übrigbleibt. In unserem Bespiel eliminieren wir
zunächst die unbekannte Größe x wie folgt:
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Wir addieren zur I. Gleichung das (-2)-fache der II. Gleichung. Bei der Addition fällt dann jeweils
die Unbekannte Größe x heraus:
(I)
2x - 5y = 2
(II)
x + y
(I)
2x - 5y = 2
(-2·II)
− 2 x - 2y = − 2
(I + (-2·II))
-7 y = 0
=
1
⇒
y
=
0
Durch Ersetzen dieses Wertes ( y = 0 ) in eine darüber stehende Gleichung erhält man den Wert
für x. Ersetzen wir y = 0 in II. Gleichung:
für y = 0
x + y = 1
⇒
x + 0 = 1
⇒
x = 1
Ergebnisse: x = 1
y = 0
38
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Musterlösung 2:
Lösung eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei unbekannten Größen x, y
und z.
(I)
-x + y + z
(II)
x - 3y - 2z
(III)
5x + y + 4z
Eliminationsverfahren:
=
0
=
5
=
3
Wir addieren zur II. Gleichung die I. Gleichung und zur III.
Gleichung das 5-fache der I. Gleichung.
Bei der Addition fällt dann jeweils die Unbekannte Größe x heraus:
(II)
x - 3y - 2z
(I)
-x + y + z
(I + II)
− 2y − z
=
=
5
0
=
5
(III)
5x + y + 4z
(5·I)
−5 x + 5y + 5 z
=
6y + 9z
3
(III + 5·I)
=
=
3
0
Damit haben wir das lineare Gleichungssystem auf zwei Gleichungen mit den beiden
Unbekannten y und z reduziert:
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(I + II)
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=
-2 y - z
(III + 5 ⋅ I)
6 y + 9z
5
=
3
Nun wird das Verfahren wiederholt. Um die zweite Unbekannte y zu eliminieren, addieren wir zur
Gleichung (III + 5 ⋅ I) das 3 fache der Gleichung (I + II)
(III + 5 ⋅ I)
6 y + 9z
=
(3⋅ ( I + II))
-6 y - 3 z
= 15
(III + 5 ⋅ I) + (3⋅ ( I + II))
6z
3
=
18
Die beiden eliminierten Gleichungen (I) und (I + II) bilden zusammen mit der übriggebliebenen
Gleichung (III + 5 ⋅ I) ein sog. Gestaffeltes Gleichungssystem, aus dem der Reihe nach von unten
nach oben die drei Unbekannten x, y und z berechnet werden können:
-x + y + z = 0
(I)
(I + II)
-2 y - z = 5
(III + 5 ⋅ I)
6 z = 18
Aus der letzten Gleichung folgt z = 3.Durch einsetzen dieses Wertes in die darüber stehende
Gleichung erhält man für y den Wert – 4. Aus der I. Gleichung schließlich ergibt sich:
Ergebnis :
x = −1
y = −4
z = 3
40
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Bespielaufgaben zu 2.5 (Lineare Gleichungssyteme):
Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems:
a)
b)
24 x + 7 y
=
27
8 x - 33 y
=
115
2s - t
1
=
- s + 2t
c)
d)
e)
=
2
x + 3y
x - y
=
8
7 x - 13
3y - 5
=
4
=
-x + x
1
2
-4
-x + x + 2x
1
2
3
=
2x + x + 3x
1
2
3
= 7
2x - x
1
2
=
1
- 7 x + 3 ,5 x
1
2
f)
3
= 7
3x − y + 9 z = 6
- 2x + 3 y
− 5z
= 2
3x − 2 y + 8 z = 0
g)
2u + 7 v + 3 t
= −7
+ 2t
=
3
5u + v + 3t
=
2
u + 5v
41
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3
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
Trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen (auch Winkelfunktionen genannt) sind periodische Funktionen und
daher zur Beschreibung und Darstellung periodischer Bewegungsabläufe besonders geeignet. z.B.
Mechanische und elektromagnetische Schwingungen (z.B. Federpendel, elektromagnetischer
Schwingkreis), Biegeschwingungen, Torsionsschwingungen, Gekoppelte Schwingungen,
Ausbreitung von Wellen.
3.1
Definition der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck
Die vier trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sind zunächst nur
für Winkel 0° und 90° als gewisse Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck definiert.
c
a
a: Gegenkathete
b: Ankathete
c: Hypotenuse
ß
b
Umkehrfunktion im Bereich
Trigonometrische Funktion:
0 ° ≤ β ≤ 90 ° :
sin β =
Gegenkathete a
=
Hypotenuse
c
arcsin(
a
) = β
c
cos β =
Ankathete
b
=
Hypotenuse c
b
arccos( ) = β
c
tan β =
Gegenkathete a
a/c
sin β
= =
=
Ankathete
b
b/c
cos β
arctan(
a
) = β
b
cot β =
Ankathete
b
b/c
cos β
= =
=
Gegenkathete a
a/c
sin β
arc cot(
b
) = β
a
42
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3.2
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
Winkelmaße (Grad- und Bogenmaß)
Winkel werden im Grad- oder Bogenmaß gemessen. Als Gradmaß verwenden wir das sog.
Altgrad, d.h. eine Unterteilung des Kreises in 360 Grade. Das Bogenmaß definieren wir wie folgt:
Definition: Unter dem Bogenmaß x eines Winkel β (im Gradmaß) verstehen wir die Länge
desjenigen Bogens, der dem Winkel β im Einheitskreis (Radius r = 1)
gegenüberliegt (Bild 3.2.1).
Bild 3.2.1
Anmerkung:
Das Bogenmaß x lässt sich auch etwas allgemeiner definieren. Ist b die Länge des Bogens, der in
einem Kreis vom Radius r dem Winkel α gegenüber liegt, so gilt (Bild 3.2.1):
Bogenlänge
Radius
=
x
=
b
r
Das Bogenmaß ist demnach eine dimensionslose Größe, die „Einheit“ Radiant (rad) wird meist
weggelassen.
Zwischen Bogenmaß x und Gradmaß β besteht die lineare Beziehung :
x
β
=
2π
π
=
360°
180°
Sie ermöglicht eine Umrechnung zwischen den beiden Winkelmaßen.
43
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Musterlösung 1:
x =
Umrechnung vom Gradmaß (α) ins Bogenmaß (x):
α
x
30°
45°
90°
π
π
π
6
4
2
π
180°
⋅α
180°
225°
360°
π
5
π
4
2π
Musterlösung 2:
α =
Umrechnung vom Bogenmaß (x) ins Gradmaß (α):
180°
π
⋅x
x
0,43
0,98
1,61
2,08
4,12
π
α
24,64°
56,15°
92,25°
119,18°
236,06°
180°
3.3
Drehsinn eines Winkels
Drehsinn eines Winkels: Im Gegenuhrzeigersinn überstrichene Winkel werden positiv (positiver
Drehsinn), im Uhrzeigersinn überstrichene Winkel negativ gezählt (negativer Drehsinn)
(Bild 3.3.1).
v
P
x
1
ß
-ß
u
-x
P'
Bild 3.3.1 Zur Festlegung des Drehsinns eines Winkels
44
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3.4
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Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis
Unter dem Sinus eines beliebigen Winkels β versteht man den Ordinatenwert des zu β gehörenden
Punktes P auf dem Einheitskreis (Bild 3.4.1). .Bei einem vollen Umlauf auf dem Einheitskreis (im
positiven Drehsinn) durchläuft der Winkel β alle Werte zwischen 0° und 360° und die
Sinusfunktion sin β dabei alle Werte im Intervall [-1, 1], d.h. |sin β| ≤ 1
Unter dem Kosinus eines beliebigen Winkels β versteht man den Abszissenwert des Punktes P auf
dem Einheitskreis wieder (Bild 3.4.1). Analoge Überlegungen wie beim Sinus führen schließlich
zu der für beliebige Winkel β definierten Kosinusfunktion cos β,|cos β| ≤ 1
v
1
ß
sin ß
P
cos ß
u
Bild 3.4.1 Darstellung von Sinus und Kosinus im Einheitskreis
sin(180° – β) = sin β
Es gilt also:
Bespielaufgaben zu 3.4 (Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis):
Begründen Sie folgende Ausdrücke am Einheitskreis:
sin(180° – β) = sin β
cos(180° – β) = – cos β
tan(180° – β) = – tan β
sin(180° + β) = – sin β
cos(180° + β) = – cos β
tan(180° + β) = tan β
sin(360° – β) = – sin β
cos(360° – β) = cos β
tan(360° – β) = – tan β
sin(360° + β) = sin β
cos(360° + β) = cos β
tan(360° + β) = tan β
sin(– β) = – sin β
cos(– β) = cos β
tan(– β) = – tan β
sin β = cos(β –
π
)
2
cos β = sin(β +
π
)
2
45
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Tabelle 3.4.1: Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion (k Є Z)
3.5
y = sin x
y = cos x
Definitionsbereich
-∞<x<∞
- ∞ <x < ∞
Wertebereich
-1≤y≤1
-1≤y≤1
Periode (primitive)
2π
2π
Symmetrie
ungerade
gerade
Nullstellen
x k = kπ
xk =
Relative Maxima
xk =
Relative Minima
xk =
π
2
+ kπ
x k = k 2π
+ k 2π
2
π
3
π + k 2π
2
x k = π + k 2π
Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
3.5.1 „Trigonometrischer Pythagoras“
(sin α)2 + (cos α)2 = sin2 α + cos2 α = 1
sin2 β + cos2 β = 1
z.B. für den Winkel β gilt:
v
ß
cos ß
sin ß
P
1
u
Bild 3.5.1 zur Herleitung des „trigonometrischen Pythagoras“
46
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3.5.2 Additionstheoreme für die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
sin (x ± x ) = sin (x ) cos (x ) ± cos (x ) sin (x )
1
2
1
2
1
2
cos (x ± x ) = cos (x ) cos (x ) ∓ sin (x ) sin (x )
1
2
1
2
1
2
tan (x ± x ) =
1
2
tan (x ) ± tan (x )
1
2
1 ∓ tan (x ) tan (x )
1
2
Aus ihnen lassen sich weitere wichtige Beziehungen herleiten. Setz man in den
Additionstheoremen von Sinus und Kosinus jeweils x1 = x2 = x und nimmt das obere Vorzeichen,
so erhält man folgende Formeln:
sin ( 2 x) = 2 sin (x) cos (x)
cos ( 2 x) = cos 2 (x) - sin 2 (x)
Aus diesen wiederum ergeben sich zusammen mit dem „trigonometrischen Pythagoras“ die
Beziehungen:
1
[1 - cos ( 2 x)]
2
sin 2 (x) =
cos 2 ( x ) =
1
[1 + cos ( 2 x)]
2
3.5.3 Sinussatz
Für ein beliebiges Dreieck (Bild 3.5.3) gilt:
a
sin (A)
=
b
sin (B)
=
c
sin (C)
47
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a
B
C
c
b
A
Bild 3.5.3 Beliebiges Dreieck
3.5.4 Kosinussatz
Für ein beliebiges Dreieck (Bild 3.5.3) gelten die folgenden drei Beziehungen:
a 2 = b 2 + c 2 - 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos (A)
b 2 = a 2 + c 2 - 2 a ⋅ c ⋅ cos (B)
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos (C)
Musterlösung 1:
Gegeben:
sin (α ) =
Gesucht:
cos(α)
3
2
sin
√3/2
2. Quadranten
1. Quadranten
/3
2
2 /3
1
-1/2
3. Quadranten
1/2
cos
4. Quadranten
48
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„Trigonometrischer Pythagoras“
(sin α ) 2 + (cos α ) 2 = 1
 3


 2 


⇒
2
cos 2 α
+ cos 2α = 1
3
4
+
cos 2 α +
3
4
cos 2 α = 1 -
⇒
⇒
= 1
= 1
⇒
3
4
⇒
 3 
-  
 4 
cos 2 α =
4 ⋅ (1) − 4 ⋅ (3)
4 ⋅ (1)
cos 2 α =
4 - 3
4
cos 2 α =
1
4
cos (α ) = ±
1
2
⇒
1
cos ( α ) =
1
2
⇒
1
cos ( α ) = −
2
2
⇒
⇒
⇒
⇒
(
)
α
1
=
π
+ 2π k
3
α
2
=
2π
3
+ 2π k
(k ∈ Z )
49
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Musterlösung 2:
Gegeben:
a = 138 m, α = 64° und β = 53°
Gesucht:
c
a
b
h
ß
p
q
c
α + β + θ = 180 °
⇒
θ = 180 ° − ( α + β )
θ = 63 °
sin θ
sin β
=
(Winkel Summe eines Dreiecks)
⇒
⇒
a
c
⇒
c =
sin θ
⋅a
sin α
c =
sin 63 °
⋅ 138 ⇒ c = 136 ,8 m
sin 64 °
⇒
Musterlösung 3:
Gegeben:
sin α =
Gesucht:
c
4
3
, sin ß =
und a = 130 m
5
5
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a
b
a
b
h
ß
ß
p
c
( sin α) 2 + ( cos α) 2 = 1
 4 


 5 
2
+ cos 2 α = 1
⇒
16
+ cos 2 α = 1
25
⇒
16
cos 2α = 1 −
25
25 − 16
25
9
cos 2α =
25
gemäß Skizze
⇒
⇒
16
+ cos 2 α = 1
25
cos 2α =
q
c
 16 
−

 25 
⇒
⇒
cos α = ±
⇒
cos α =
( sin β ) 2 + ( cos β ) 2 = 1
3
5
3
5
⇒
51
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 3 


 5 
2
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+ cos 2 β = 1
⇒
9
+ cos 2 β = 1
25
⇒
9
+ cos 2 β = 1
25
⇒
9
cos 2 β = 1 −
25
⇒
cos 2 β =
25 − 9
25
16
cos 2 β =
25
sin α =
 9 
− 
 25 
⇒
cos β = ±
⇒
4
3
, sin ß =
und a = 130 m
5
5
cos β =
gemäß Skizze
4
5
b ⋅ cos α + a ⋅ cos β = c
(1)
b ⋅ sin α = a ⋅ sin β
(2)
b⋅
4
3
= 130 ⋅
5
5
97 ,5 ⋅
4
5
⇒
3
4
+ 130 ⋅ = c
5
5
⇒
b = 97 ,5 m
⇒
(Einsetzen in (1))
c = 162,5 m
52
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Bespielaufgaben zu 3 (Trigonometrische Funktionen):
1)
Wie hoch ist ein Turm, der unter dem Winkel von 2° in der Ferne erscheint und nach der
Kante 5 km entfernt ist?
2)
3)
Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen
a)
sin 2 x + sin x = 0
b)
3 sin 2 x + 7 cos 2 x = 4
Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme:
a)
sin ( 2 α ) = 2 sin ( α ) cos ( α )
b)
sin 2( α ) =
c)
sin ( 3 α ) = 3 sin ( α ) - 4 sin 3(α )
d)
cos ( 2 α ) = cos 2 ( α ) - sin 2 (α )
e)
1
cos 2 ( α ) =
( 1 + cos (2 α ))
2
1
( 1 - cos (2 α ))
2
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Exponential- und Logarithmusgleichungen
Eine Exponentialgleichung liegt vor, wenn die Unbekannte Größe nur im Exponenten von
Potenzausdrücken auftritt. Ein allgemeines Lösungsverfahren für Gleichungen dieser Art lässt
sich
leider nicht angeben. In vielen Fällen gelingt es jedoch, die Exponentialgleichung nach
elementaren Umformungen und anschließendem Logarithmieren zu lösen.
Für alle a ∈ R + gilt; a b = x
⇒ b = log x ; ( b > 0 ; a > 0 und a ≠ 1 )
a
für den Exponenten x führt man die Bezeichnung „Logarithmus von x zur Basis a “ ein
Beispiele:
(1)
10 3
log
10
⇒
log
10
10 3 = 3
(2)
log 32 = log 2 5 = 5
2
2
(3)
0,01
log
4.1
10
( )
⇒
10
-2
log ( )
10
= -2
Rechenregeln für Logarithmen
Für alle a ∈ R + gilt
1)
log (x ⋅ y) = log x + log y
a
a
a
2)
log
x
a y
= log x - log y
a
a
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3)
log x n = n ⋅ log x
a
a
4)
log a n = n ⋅ log a = n
a
a
5)
log 1 = 0
a
(log a = 1)
a
Beispiele für die Rechenregeln für Logarithmen:
1)
log 2 ( 8 ⋅ 4 ) = log 8 + log 4
2
2
⇒
log 23 + log 22 = 3 + 2 = 5
2
2
2)
 81 
log 
= log 81 - log 27
3  27 
3
3
⇒
log 34 - log 33 = 4 − 3 = 1
3
3
3)
log 125 4 = 4 ⋅ (log 125)
5
5
⇒
4 ⋅ (log 53 ) = 4 ⋅ 3 = 12
5
4.2
Spezielle Logarithmen
log r = ln r
e
log
10
r = lg r
log r = ld r
2
(Natürlicher Logarithmus)
(Zehnerlogarithmus)
(Zweierlogarithmus)
55
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4.3
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Basiswechsel a
b
log r
a
log b
a
log r =
b
= (
1
) ⋅ log r = K ⋅ log r
a
a
log b
a
K
So gilt beispielsweise für die Umrechnung zwischen dem Zehnerlogarithmus und dem natürlichen
Logarithmus:
ln r =
lg r
lg e
lg r =
ln r
ln 10
=
=
lg r
0 ,4343
ln r
2 ,3026
= 2 ,3026 ⋅ lg r
= 0 ,4343 ⋅ ln r
Musterlösungen 1:
a)
log 8 = log 2 3 = 3
2
2
b)
log 625 = log 5 4 = 4
5
5
c)
4
log 0 ,004 = log
5
5 100
log
⇒
1
-2
= log 5
= -2
5 25
5
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Musterlösung 2:
5⋅2 x - 3 = 7
⇒
5⋅2 x - 3 = 7
⇒
5⋅2 x = 3 + 7
⇒
5 ⋅ 2 x = 10
2x = 2
(Auflösung nach 2 x )
+ (3)
⇒
: (5)
⇒
log ( )
2
log 2 x = log 2
2
2
⇒
(Logarithmieren)
x = 1
Musterlösung 3:
4 ⋅ 2 x - 1 = 15
4 ⋅ 2 x - 1 = 15
4 ⋅ 2 x = 1 + 15
4 ⋅ 2 x = 16
2 x = 4
ld 2 x = ld 4
⇒
⇒
⇒
⇒
( Auflösung nach 2 x )
+ (1)
⇒
: (4)
ld ( )
(Logarithmieren)
⇒
57
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x ⋅ ld 2 = ld 4
x =
ld 4
ld 2
⇒
= 2
Musterlösung 4:
3
x - 4
3x
34
⇒
= 2
⋅( 3 4 )
⇒
= 2
3 x = 2⋅3 4
3 x = 162
⇒
⇒
x ⋅ ln 3 = ln 162
ln ( ) (Logarithmieren)
⇒
x=
ln 162
ln 3
Musterlösung 5:
e
e
2x
=1
⇒
2x
=1
⇒
2 x ⋅ ln e = ln 1
ln ( )
⇒
2 x ⋅ log e = log 1
e
e
2x = 0
⇒
(Logarithmieren)
⇒
x = 0
58
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Musterlösung 6:
-x
2 x + 4⋅2
+ 2 = 0
4
2x
2 x +
z +
4
z
⇒
+ 2 = 0
+ 2 = 0
(Substitution z = 2 x )
⇒
⋅ (z )
⇒
( z ≠ 0 und z ≠ ∞ )
z 2 + 4 + 2 z= 0
(z + 2 ) 2 = 0
z + 2 = 0
⇒
⇒
⇒
- (2)
z = -2
z = 2x
⇒
x = log ( -2 )
2
daher: x =
log ( )
2
(Logarithmieren)
ist nicht definiert!!!
{}
Weil a b = x ⇒ b = log x
a
( b > 0 , a > 0 und a ≠ 1 )
59
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Bespielaufgaben zu 4 (Exponential- und Logarithmusgleichungen):
1)
2)
Berechnen Sie mit Hilfe von lg( 3 ) = 0 ,477 ohne Rechner:
a)
lg( 9 )
d)
lg 3
( )
b)
lg( 10 )
c)
lg( 0 ,9 )
e)
 1
lg  
3
f)
lg  310 


Lösen Sie folgende Gleichungen
x - 1
a)
3
b)
1
 
2
c)
256 ⋅ 0 ,5
d)
3
= 27
x
= 20
2x - 4
4x - 4
e)
 b 20 x - 7 




f)
15 =
g)
log
16
= 2x
=
3
9 - 3x
x + 1
3
7 - 4x
15 x - 3 
=  b



1 x + 1
x - 1
- 8
8

2

(2x + 3) =
3
4
60
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Lösungen der Beispielaufgaben
Bespielaufgaben zu 1.1 (Brüche):
a)
b)
c)
d)
a 2 − ab + b 2
1
2 s4
1 - u2 - u
a
x + 1
Bespielaufgaben zu 1.2 (Potenzen):
a)
b)
c)
9 a2
20 b
8y
m + 1
5 x z 2m
3z
5 a( x - y )
Bespielaufgaben zu 1.3 (Wurzeln):
a)
( a + b )2
ab
61
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b)
16
c)
1
128
d)
13
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Bespielaufgaben zu 2.1 (Lineare Gleichungen):
a)
6
b)
11
c)
3
d)
5
e)
4
f)
a
Bespielaufgaben zu 2.1.1 (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen
enthalten):
a)
− 15
b)
-7
11
c)
−8
62
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Bespielaufgaben zu 2.1.1 (Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen
enthalten):
a)
 4

− 5 , ∞ 


b)
8

 − ∞, − 
11 

c)
5

 , ∞
3

c)
 29

 , ∞
 15

Bespielaufgaben zu 2.2.2 (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten):
a)
1
b)
ab
c)
1
(a + b)
2
Bespielaufgaben zu 2.3 (quadratische Gleichungen):
a)
Zwei verschiede reelle Lösungen
x = 1
1
x
2
= −3
63
FH
D
FB 4
Fachhochschule Düsseldorf
Lehrgebiet Mathematik für Ingenieure
Prof. Dr.-Ing. W. Scheideler
b)
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
Keine reellen Lösungen (Die Lösungen sind sog. (konjugiert) komplexe Zahlen)
x = − 1 + 2i
1
x
c)
2
= − 1 − 2i
Zwei verschiede reelle Lösungen
x = 6
1
x
d)
2
= 3
Zwei verschiede reelle Lösungen
x = 1
1
x
e)
2
= −3
Eine reelle Lösung
25
x =
1
7
f)
Zwei verschiede reelle Lösungen
x =
1
x
g)
2
35
= − 35
Eine reelle Lösung
x = −3
1
64
FH
D
FB 4
Fachhochschule Düsseldorf
Lehrgebiet Mathematik für Ingenieure
Prof. Dr.-Ing. W. Scheideler
h)
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
Zwei verschiede reelle Lösungen
1
x =
1
4
x
2
= −1
Bespielaufgaben zu 2.4 (Wurzelgleichungen):
a)
x = 25
b)
x = 49
c)
x = 10
d)
x = 2
Bespielaufgaben zu 2.5 (lineare Gleichungssysteme):
a)
x = 2
y = −3
b)
c)
s =
4
3
t =
5
3
x = 11
y = 7
65
FH
D
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d)
FB Maschinenbau und Verfahrenstechnik
1
x =
1
6
x
2
= −
23
6
7
x =
3
2
e)
keine Lösung
f)
x = − 16
y = 0
z = 6
g)
u = − 49
v = − 26
t = 91
Bespielaufgaben zu 3.4 (Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis):
sin(180° – β) = sin β
cos(180° – β) = – cos β
tan(180° – β) = – tan β
sin(180° + β) = – sin β
cos(180° + β) = – cos β
tan(180° + β) = tan β
sin(360° – β) = – sin β
cos(360° – β) = cos β
tan(360° – β) = – tan β
sin(360° + β) = sin β
cos(360° + β) = cos β
tan(360° + β) = tan β
sin(– β) = – sin β
cos(– β) = cos β
tan(– β) = – tan β
sin β = cos(β –
π
)
2
cos β = sin(β +
π
)
2
66
FH
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Bespielaufgaben zu 3 (Trigonometrische Funktionen):
1)
174 ,6 m
2)
Lösung der trigonometrischen Gleichungen mit Hilfe des Einheitskreises:
a)
x = 0 + 2πk ,
1
x
2
= π + 2πk
(k∈Z )
π
x = −
+ 2πk
3
2
b)
π
x =
+ 2πk ,
1
3
x =
3
3)
2π
3
+ 2πk ,
π
x = −
+ 2πk
2
3
2π
x = −
4
3
(k ∈Z )
+ 2πk
Herleitung mit Hilfe der Additionstheoreme:
a)
sin ( 2 α ) = 2 sin ( α ) cos ( α )
b)
sin 2( α ) =
c)
sin ( 3 α ) = 3 sin ( α ) - 4 sin 3(α )
d)
cos ( 2 α ) = cos 2 ( α ) - sin 2 (α )
e)
1
cos 2 ( α ) =
( 1 + cos (2 α ))
2
1
( 1 - cos (2 α ))
2
67
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D
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Bespielaufgaben zu 4 (Exponential- und Logarithmusgleichungen):
1)
2)
Berechnung mit Hilfe von lg( 3 ) = 0 ,477 ohne Rechner:
a)
0,954
b)
1
c)
− 0 ,046
d)
0 ,24
e)
− 0 ,48
f)
4 ,8
Lösung der Exponential- und Logarithmusgleichungen:
a)
x = 4
b)
x
c)
x = 4
d)
x = 2
e)
x =
f)
g)
= −
ln( 20 )
ln( 2 )
1
2
 80 
ln 
 21 
x =
3 ln( 2 )
x =
5
2
68