Basisaufgaben

Arbeitsplan:
Reelle Zahlen
Jahrgangsstufe 9
Basisaufgaben
Aufgabe 1
Berechne.
25
a. √81; √56 ; √1 144 ; √(−84)2
23
b. √1,21; −√400 ; √2 49 ; √312
1
c. √104 ; √0,0004; −√6 4 ; √(−196)2
Aufgabe 2
Berechne soweit möglich. Begründe jeweils, wenn du dies nicht für möglich hältst.
a. √−112
b. √52 − 32
c. √−3 ⋅ (−3)4
Aufgabe 3
Wie lang ist die Seite eines Quadrats mit einem Flächeninhalt von
a. 36 mm2
b. 2,25 ha
Aufgabe 4
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 4𝑥 2 − 9 = 55.
Aufgabe 5
Gib die ersten vier Schritte einer Intervallschachtelung für die Zahl √153 an.
Hinweis: Zur Lösung dieser Aufgabe ist der Taschenrechner zugelassen.
Aufgabe 6
Berechne.
2
1
3
a. 3 ⋅ √16 ; (−√49) ; √16 + √75 ; √9 + √16 − √25
9
b. 0,8 + √0,36; √64 ⋅ √16; √25 + 16
Aufgabe 7
Radiziere teilweise.
a. √48
b. √125
c. √288
d. √4,9
Aufgabe 8
Vereinfache.
a. 7√3 + 4√3 + 7√3 ⋅ 4√3
b. 5√6 − 8√24
c. −3 + √180: √5
d. √6 ⋅ √54
e. √12,5 ⋅ √50 + 4
f. √32 ∶ √4 + 7√2
Arbeitsplan:
Reelle Zahlen – Basisaufgaben - Lösung
Jahrgangsstufe 9
Aufgabe 1
Berechne.
a. √81 = √92 = 9
√56 = √(53 )2 = 53 = 125
√1
25
169
132 √132 13
=√
=√ 2=
=
144
144
12
√122 12
√(−84)2 = √842 = 84
b. √1,21 = √1,12 = 1,1
−√400 = −√202 = −20
√2
23
121
112 √112 11
=√
=√ 2 =
=
49
49
7
7
√72
√312 = √(36 )2 = 36 = 729
c. √104 = √(102 )2 = 102 = 100
√0,0004 = √0,022 = 0,02
−√6
1
25
52
5
√52
= −√ = −√ 2 = −
=−
4
4
2
2
√22
√(−196)2 = √1962 = 196
Aufgabe 2
Berechne soweit möglich. Begründe jeweils, wenn du dies nicht für möglich hältst.
a. √−112 = n. d.
b. √52 − 32 = √25 − 9 = √16 = √42 = 4
c. √−3 ⋅ (−3)4 = √−243 = n. d. , da −243 < 0
Aufgabe 3
Wie lang ist die Seite eines Quadrats mit einem Flächeninhalt von
a. 36 mm2
𝐴 = 36 𝑚𝑚2 = 𝑙 2
𝑙 = √36 𝑚𝑚2 = 6 𝑚𝑚
b. 2,25 ha
𝐴 = 2,25 ℎ𝑎 = 22500 𝑚2 = 𝑙 2
𝑙 = √22500 𝑚2 = 150 𝑚
Aufgabe 4
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 4𝑥 2 − 9 = 55.
4𝑥 2 − 9 = 55
4𝑥 2 = 64
𝑥 2 = 16
|𝑥 | = 4
𝐿 = {−4; 4}
Aufgabe 5
Gib die ersten vier Schritte einer Intervallschachtelung für die Zahl √153 an.
Hinweis: Zur Lösung dieser Aufgabe ist der Taschenrechner zugelassen.
𝐼1 =]12; 13[ ; 𝐼2 =]12,3; 12,4[ ; 𝐼3 =]12,36; 12,37[ ; 𝐼4 =]12,369; 12,370[
oder:
𝐼1 = [12; 13] ; 𝐼2 = [12,3; 12,4] ; 𝐼3 = [12,36; 12,37] ; 𝐼4 = [12,369; 12,370]
Aufgabe 6
Berechne.
a. 3 ⋅ √16 = 3 ⋅ √42 = 3 ⋅ 4 = 12
2
(−√49) = 49
1
3
1
1
1
1
1 1
9
√ +√ =√ +√ =√ 2+√ 2 = + =
16
75
16
25
4
5
4 5 20
√9 + √16 − √25 = √32 + √42 − √52 = 3 + 4 − 5 = 2
b. 0,8 + √0,36 = 0,8 + √0,62 = 0,8 + 0,6 = 1,4
9
32
3
√64 ⋅ √ = √82 ⋅ √ 2 = 8 ⋅ = 6
16
4
4
√25 + 16 = √41
Aufgabe 7
Radiziere teilweise.
a. √48 = √16 ⋅ 3 = √42 ⋅ 3 = 4√3
b. √125 = √25 ⋅ 5 = √52 ⋅ 5 = 5 ⋅ √5
c. √288 = √144 ⋅ 2 = √122 ⋅ 2 = 12√2
49
72
7
d. √4,9 = √10 = √10 = 10 =
√
7√10
10
7
= 10 √10
Aufgabe 8
Vereinfache ohne den Taschenrechner.
a. 7√3 + 4√3 + 7√3 ⋅ 4√3 = (7 + 4) ⋅ √3 + 7 ⋅ 4 ⋅ √3 ⋅ √3
2
= 11√3 + 28 ⋅ (√3) = 11√3 + 28 ⋅ 3 = 11√3 + 84
b. 5√6 − 8√24 = 5√6 − 8√4 ⋅ 6 = 5√6 − 8√22 ⋅ 6 = 5√6 − 8 ⋅ 2√6
= 5√6 − 16√6 = −11√6
c. −3 + √180: √5 = −3 + (
√180
√5
) = −3 + √
180
5
= −3 + √36 = −3 + √62
= −3 + 6 = 3
d. √6 ⋅ √54 = √6 ⋅ 54 = √324 = √182 = 18
e. √12,5 ⋅ √50 + 4 = √12,5 ⋅ 50 + 4 = √625 + 4 = √252 + 4 = 25 + 4 = 29
f. √32 ∶ √4 + 7√2 =
√32
√4
32
+ 7√2 = √ 4 + 7√2 = √8 + 7√2 = √4 ⋅ 2 + 7√2
= √22 ⋅ 2 + 7√2 = 2√2 + 7√2 = 9√2
Reelle Zahlen
Arbeitsplan:
Jahrgangsstufe 9
Standardaufgaben
Aufgabe 1
Ermittle die Streckenlänge a, wenn gilt: 𝐴 𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧 = 27 𝑐𝑚 2
Aufgabe 2
Vereinfache. Es gilt 𝑎 ∈ 𝐼𝑅.
a) √√𝑎4
b) √101000
c) √25𝑎 2 − 16𝑎2
d) (√29 + √21) ⋅ (√29 − √21)
e) (√2 + √3) ⋅ (√8 + √12)
f) 9√48 − 6√27 − 3√147
Aufgabe 3
Forme in einen Term ohne Wurzelzeichen um und vereinfache. Es gilt 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼𝑅.
a) √(−8)2
b) √16𝑥 4 ⋅ 2
2
c) −√49𝑥 2 𝑦 2
d) (√4𝑏2 ) ⋅ 3 e) √
1
𝑎8
Aufgabe 4
Vereinfache. Es gilt 𝑎, 𝑏, 𝑥 ∈ 𝐼𝑅.
a) √100𝑥 2 + 21𝑥 2
b) √– 𝑎(−8𝑎 − 𝑎)
c) √100𝑏2 − (8𝑏)2
Aufgabe 5
Vereinfache jeweils möglichst weitgehend. Es gilt 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐼𝑅+ .
a) √𝑥: √𝑥𝑧 4
b) √6𝑦 ⋅ √24𝑦𝑧 2
32
c) √75𝑥: √6𝑥
1
d) √8𝑥 5 : √8𝑥
Aufgabe 6
Vereinfache durch Rationalmachen des Nenners so weit wie möglich.
a)
1
√2
b)
√5
c)
√3
2√11
√14
d)
(5+ √8)
3
e) √2 +
√2
√45
Aufgabe 7
Vereinfache. Radiziere dabei teilweise soweit wie möglich.
a)
√1,5 ∙ √27
√4,5
b)
√54
√50
∙
5√3
√24
c)
6
√8
32
−√9
Aufgabe 8
Vereinfache und mache den Nenner rational. Welche Bedingung muss jeweils die Variable
erfüllen, damit der Ausgangsterm und der umgeformte Term definiert sind?
1
4𝑥
a)
b) √𝑥 +
√𝑎
√4𝑥
Aufgabe 9
Gib jeweils die Lösungsmenge über der Grundmenge IR an.
2
a) √1 + √𝑥 = 9
b) 𝑥 ∙ √3 = √75
c) (𝑥 ∙ √𝑥) = −125
Aufgabe 10
Bestimme jeweils die Lösungsmenge über der Grundmenge IR.
a) 20 − √𝑥 = 4
b) 12𝑥 2 − (27 − 6𝑥 2 ) = 135
Aufgabe 11
Für welche 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ist der Term √2𝑥 − 1 definiert? Begründe kurz.
Arbeitsplan:
Reelle Zahlen – Standardaufgaben - Lösung
Jahrgangsstufe 9
Aufgabe 1
2𝑎 + 6𝑎
𝐴 𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧 =
⋅ 3𝑎 = 12𝑎2
2
12𝑎 2 = 27𝑐𝑚 2
𝑎2 = 2,25𝑐𝑚 2
𝑎 = 1,5𝑐𝑚
Aufgabe 2
a) √√𝑎4 = √𝑎2 = |𝑎|
b) √101000 = √10500 ⋅ 10500 = 10500
c)
√25𝑎2 − 16𝑎2 = √9𝑎2 = 3|𝑎|
d) (√29 + √21) ⋅ (√29 − √21) = 29 − √29 ⋅ √21 + √21 ⋅ √29 − 21 = 29 − 21 = 8
e) (√2 + √3) ⋅ (√8 + √12) = √2 ⋅ √8 + √2 ⋅ √12 + √3 ⋅ √8 + √3 ⋅ √12 = √16 + √24 +
√24 + √36 = 4 + 2 ⋅ 2√6 + 6 = 10 + 4√6
f) 9√48 − 6√27 − 3√147 = 9 ⋅ 4√3 − 6 ⋅ 3√3 − 3 ⋅ 7√3 = 36√3 − 18√3 − 21√3 = −3√3
Aufgabe 3
Forme in einen Term ohne Wurzelzeichen um und vereinfache!
a) √(−8)2 = 8
b) √16𝑥 4 ⋅ 2 = 4𝑥 2 ⋅ 2 = 8𝑥 2
c) −√49𝑥 2 𝑦 2 = −7|𝑥𝑦|
2
d) (√4𝑏2 ) ⋅ 3 = (√4𝑏2 ) ⋅ (√4𝑏2 ) ⋅ 3 = 4𝑏2 ⋅ 3 = 12𝑏2
1
1
e) √𝑎8 = 𝑎 4
Aufgabe 4
Vereinfache ohne Taschenrechner!
a) √100𝑥 2 + 21𝑥 2 = √121𝑥 2 = 11|𝑥|
b) √– 𝑎(−8𝑎 − 𝑎) = √8𝑎2 + 𝑎2 = √9𝑎2 = 3|𝑎|
c)
√100𝑏2 − (8𝑏)2 = √100𝑏2 − 64𝑏2 = √36𝑏2 = 6|𝑏|
Aufgabe 5
𝑥
1
1
a) √𝑥: √𝑥𝑧 4 = √𝑥𝑧 4 = √𝑧 4 = 𝑧 2
b) √6𝑦 ⋅ √24𝑦𝑧 2 = √6𝑦 ⋅ 24𝑦𝑧 2 = √144𝑦 2 𝑧 2 = 12𝑦𝑧
c)
32
6𝑥
√75𝑥: √6𝑥 = √75𝑥 ⋅ √32 = √
1
8𝑥
450𝑥 2
32
450
= √ 32 𝑥 2 = 3,75𝑥
d) √8𝑥 5 : √8𝑥 = √8𝑥 5 ⋅ √ 1 = √8𝑥 5 ⋅ 8𝑥 = √64𝑥 6 = 8𝑥 3
Aufgabe 6
Vereinfache durch Rationalmachen des Nenners so weit wie möglich!
a)
b)
c)
d)
1
1
√2
√2
= 2 = 2 √2
√2⋅√2
1
√5⋅√3
√15
= 3 = 3 = 3 √15
√3
2√11
2√11⋅√14
2⋅√154
=
√2
√5
=
√14
(5+√8)
√45
=
=
14
7
5√45+√360
=
45
3
e)
3√2
√2 + √2 = √2 +
1
= √154
14
(5+√8)⋅√45
2
45
=
15√5+6√10
45
3
1
2
= 3 √5 + 15 √10
5
= √2 + 2 √2 = 2 √2
Aufgabe 7
Vereinfache. Radiziere dabei teilweise soweit wie möglich.
𝑎)
√1,5 ∙ √27
√4,5
b)
√54
c)
6
∙
√50
√8
=
5√3
√24
−√
32
9
√1,5∙3√3
√4,5
=
=
1,5
3√6 ∙5√3
5√2 ∙2√6
6
2√2
−
1
= √4,5 ∙ 3√3 = √3 ∙ 3√3 =
√32
√9
3√3
= 2√2 =
=
3
√2
−
3√3∙√2
2√2∙√2
4√2
3
=
=
3√2
2
√1
√3
∙ 3√3 = 3
3√6
4
−
4√2
3
=
9√2
6
−
8√2
6
=
√2
6
Aufgabe 8
Vereinfache und mache den Nenner rational. Welche Bedingung muss jeweils die Variable
erfüllen, damit der Ausgangsterm und der umgeformte Term definiert sind?
𝑎)
1
√𝑎
=
√𝑎
𝑎
4𝑥
b) √𝑥 +
; 𝑎 ∈ 𝐼𝑅 +
=√𝑥 +
√4𝑥
(√4𝑥)2
√4𝑥
= √𝑥 + √4𝑥 = √𝑥 + 2√𝑥 = 3√𝑥
; 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 +
Aufgabe 9
Gib jeweils die Lösungsmenge über der Grundmenge IR an.
a) √1 + √𝑥 = 9
L ={64}
b)
𝑥 ∙ √3 = √75
L ={5}
2
c) (𝑥 ∙ √𝑥) = −125 L ={ }
Aufgabe 10
Bestimme jeweils die Lösungsmenge über der Grundmenge IR.
𝑎) 20 − √𝑥 = 4
16 = √𝑥
𝑥 = 256
𝐿 = {256}
b) 12𝑥 2 − (27 − 6𝑥 2 ) = 135
12𝑥 2 − 27 + 6𝑥 2 = 135
18𝑥 2 = 162
𝑥2 = 9
|𝑥| = 3
𝑥1/2 = ±3
𝐿 = {−3; 3}
Aufgabe 11
Für welche 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ist der Term √2𝑥 − 1 definiert? Begründe kurz.
1
1
2𝑥 − 1 ≥ 0 gilt für 𝑥 ≥ , also D = [ ; +∞[
2
2
Arbeitsplan:
Reelle Zahlen
Jahrgangsstufe 9
Expertenaufgaben
Aufgabe 1
Vereinfache. Radiziere dabei teilweise soweit wie möglich.
√√(−49)2
√63 − √28
Aufgabe 2
Gib jeweils die Definitionsmenge für die folgenden Terme an!
a)
√1 − 𝑥
b)
√1 − 𝑥 2
c)
√2 − √4 − 𝑥
Aufgabe 3
Berechne den Wert des folgenden Terms erst mit dem Taschenrechner, dann ohne
Taschenrechner mit geeigneten Umformungen:
5
√2,5 − √1, 1 − √18
Aufgabe 4
Welche der beiden folgenden Umformungen ist für alle reellen Zahlen x korrekt?
Begründe deine Antwort und berichtige den Fehler bei der anderen Umformung.
𝐼𝐼) √(𝑥 2 + 1)2 = 𝑥 2 + 1
𝐼) √(𝑥 + 1)2 = 𝑥 + 1
Aufgabe 5
Mache den Nenner rational.
a)
√2
√3
b)
1
2+√3
c)
2
√5−√3
d)
1
√2−1
−
1+√2
√2
(Hinweis für die Aufgaben b) - d): Man erweitert den Nenner unter Verwendung der
folgenden Formel: (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 )
Arbeitsplan:
Reelle Zahlen – Expertenaufgaben - Lösung
Jahrgangsstufe 9
Aufgabe 1
Vereinfache. Radiziere dabei teilweise soweit wie möglich.
√√(−49) 2
√63−√28
√49
√7−2√7
=3
=
7
(√7)
√
√7
=
7
2
= √7
Aufgabe 2
Gib jeweils die Definitionsmenge für die folgenden Terme an!
a)
√1 − 𝑥
notwendig: Radikand ≥ 0
b)
⟹ 𝐷 = ]−∞; 1]
⟹𝑥≤1
√1 − 𝑥 2
1 − 𝑥2 ≥ 0
c)
⟹ 1−𝑥 ≥ 0
⟹ 𝑥2 ≤ 1
⟹ |𝑥 | ≤ 1
⟹ 𝐷 = [−1; 1]
√2 − √4 − 𝑥
Radikand 1: 4 − 𝑥 ≥ 0
⟹𝑥≤4
Radikand 2: 2 − √4 − 𝑥 ≥ 0
⟹ √4 − 𝑥 ≤ 2
⟹ 4−𝑥 ≤ 4
⟹𝑥≥0
⟹𝐷 = [0; 4]
Aufgabe 3
Berechne den Wert des folgenden Terms erst mit dem Taschenrechner, dann ohne
Taschenrechner mit geeigneten Umformungen:
5
5
10
5
√2,5 − √1, 1 − √18 = √2 − √ 9 − √18 =
√5
√2
−
√10
√9
√5
√2
− 3∙
=
√5∙√2
√2∙√2
−
√10
3
√5∙√2
√2∙√2
− 3∙
=
1
1
1
1 1 1
∙ √10 − √10 − √10 = ( − − ) ∙ √10 = 0 ∙ √10 = 0
2
3
6
2 3 6
Aufgabe 4
Welche der beiden folgenden Umformungen ist für alle reellen Zahlen 𝑥 korrekt?
Begründe deine Antwort und berichtige den Fehler bei der anderen Umformung.
𝐼) √(𝑥 + 1)2 = 𝑥 + 1
𝐼𝐼) √(𝑥 2 + 1)2 = 𝑥 2 + 1
Der Term (𝑥 2 + 1) ist für alle x positiv, deshalb ist die Umformung II) korrekt.
𝑥 + 1 𝑓ü𝑟 𝑥 ≥ −1
Für die Umformung I) gilt richtig: √(𝑥 + 1)2 = |𝑥 + 1| = {
−𝑥 − 1 𝑓ü𝑟 𝑥 < −1
Aufgabe 5
Mache den Nenner rational.
√2
√3
a)
1
b)
2
c)
2+√3
d)
√5−√3
1
√2−1
−
1+√2
√2
(Hinweis für die Aufgaben b) - d): Man erweitert den Nenner unter Verwendung der
folgenden Formel: (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 )
a)
b)
c)
d)
√2
√3
=
1
2+√3
√2∙√3
√3⋅√3
=
2
1
= 3 √6
1∙(2−√3)
(2+√3)∙(2−√3)
2∙(√5+√3)
√5−√3
= (√5+
1
1+√2
√
−
2−1
=
√2
√3)∙(√5−√
=(
1
2−√3
22 −√3
=
3)
2
2−√3
4−3
2∙(√5+√3)
5−3
1∙(√2+1)
√2−1)(√
=
−
2+1)
1
= √2 + 1 − 2 √2 − 1 = 2 √2
= 2 − √3
= √5 + √3
(1+√2)∙√2
√2∙√2
=
√2+1
(√2)
2
−12
−
√2+2
2
=
√2+1
1
1
− (2 √2 + 1) =