Physik - Studienkolleg der TU Berlin

Technische Universität Berlin
Abt. I – Studierenden Service
Studienkolleg / Preparatory Course
Schriftliche Prüfung zur Feststellung der Eignung ausländischer
Studienbewerber zum Hochschulstudium im Lande Berlin
- Universitätszweig Sommersemester 2011
Physik
Von den folgenden 6 Aufgaben sind 2 Aufgaben aus der Mechanik
und 2 Aufgaben aus der Elektrizitätslehre zu bearbeiten.
Pro Aufgabe sind 10 Punkte zu erreichen.
Für schlechte äußere Form können pro Aufgabe 10 % der erreichbaren
Punkte abgezogen werden!
Bearbeitungszeit:
3, 5 Stunden
Erlaubte Hilfsmittel:
Formelsammlung; Taschenrechner;
einsprachiges, deutsches Wörterbuch
Name:
Kurs / Prüfungsgruppe:
Eingereicht von:
Geprüft von:
Feststellungsprüfung Physik Universitätszweig SS 2011
Aufgabe 1:
Statik starrer Körper
f
c
2
K
α
ℓ
A
1
E
ℓ
µo
r
R
30 ◦
B
a
2
D
C
b
a
111
000
000
111
a
a
11
00
00
11
00
11
G
G
Das System befindet sich in der gezeichneten Lage in Ruhe. Der im Punkt C drehbar gelagerte Winkelhebel wird durch die Gewichte G belastet. Des Weiteren übt das Verbindungsseil zwischen Punkt
B und dem Fachwerksknoten 1 eine Zugkraft aus, verursacht durch eine im Fachwerksknoten 2 um
den Weg f vorgespannte Feder der Steifigkeit c. Beide Beanspruchungen würden den Winkelhebel in
Drehbewegung versetzen, wenn er nicht im Punkt D über ein weiteres Seil mit einer Haltevorrichtung
verbunden wäre. Diese besteht aus einer gestuften Walze, an deren Innenrand das Seil aufgewickelt
ist. Die Walze ist über eine in ihrem Mittelpunkt E angeschlossene Pendelstütze mit einer Wand im
Punkt K verbunden, an welcher zugleich ihre äußere Berandung haftet (Haftzahl µo ). Abgesehen von
den beiden Körpern vom Gewicht G sind alle weiteren Systemteile als masselos anzunehmen.
Hinweis: Bitte setzen Sie die gegebenen Zahlenwerte erst in das jeweilige Endergebnis ein.
(a) Ermitteln Sie die Auflagerreaktionen im Punkt A, die Kraft im Verbindungsseil zwischen dem
Fachwerksknoten 1 und dem Punkt B sowie die Stabkräfte des Fachwerks.
(b) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen im Punkt C und die Kraft
√ im Seil, welches den Punkt D
mit der Stufenwalze verbindet. Beachten Sie die Vorgabe b = 23 a.
(c) Bestimmen Sie die Haft- und Normalkraft zwischen Stufenwalze und Wand sowie die Kraft in
der Pendelstütze als Funktion des Winkels α (ohne Zahlenwerte). Wie groß muss der Winkel α
mindestens sein, damit das System in der gezeigten Lage im Gleichgewicht ist?
Gegeben: µo = 0.8, b =
√
3
2 a,
a = 1 m, R = 0.5 m, r = 0.25 m, f = 0.2 m, G = 2 kN, c = 5 kN
m
1
Feststellungsprüfung Physik Universitätszweig SS 2011
Aufgabe 2:
Kinematik des Massenpunktes
(0)
g
z
h
v
1111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
y
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
ℓ
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
x
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
ϕ
s
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
r
r
v
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
α
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
2
(2)
(3)
β
(1)
4
(4)
Eine kleine Kugel wird im Punkt (0) aus der Ruhelage im Schwerefeld fallen gelassen. Im Punkt
(1) tritt sie tangential in eine Kreisbahn (Radius r) ein und wird auf dieser mit der konstanten Winkelbeschleunigung ε angetrieben (die Gravitationsbeschleunigung ist darin schon enthalten). Nach n
vollen Umdrehungen erreicht die Kugel wiederum den Punkt (1), bewegt sich noch weiter bis zum
Punkt (2), wo sie dann tangential aus der Kreisbahn mit der gegebenen Geschwindigkeit v2 = 14 ms
austritt. Von dort an fliegt die Kugel frei im Gravitationsfeld der Erde (Schiefer Wurf) bis sie im Punkt
(3) von einem Kugelfang – das kleine Fahrzeug in der Skizze ist gemeint – auf einer geneigten Ebene
eingefangen wird. Der Kugelfang bewegt sich in dem Augenblick mit der Anfangsgeschwindigkeit v4
die reibungsfreie, schiefe Ebene hinauf, in welchem die Kugel die Kreisbahn im Punkt (2) verlässt.
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für den freien Fall von (0) nach (1) auf. Nutzen Sie dazu
unbedingt die eingezeichnete Koordinate z. Mit welcher Geschwindigkeit v1 tritt die Kugel in
die Kreisbahn ein?
(b) Wie lauten die Bewegungsgleichungen für die Kreisbewegung?
Wieviel volle Umdrehungen n muss die Kugel die Kreisbahn durchlaufen, wenn sie die Kreisbahn im Punkt (2) mit der Geschwindigkeit v2 = 14 ms verlassen soll?
Welche Normal- und Tangentialbeschleunigung hat die Kugel kurz vor dem Verlassen der
Kreisbahn im Punkt (2)?
(c) Stellen Sie im gegebenen x-y-Koordinatensystem die Bewegungsgleichungen für den schiefen
Wurf von (2) nach (3) auf. Berechnen Sie die Flugzeit t23 zwischen den Punkten (2) und (3)
sowie die Koordinaten des Auftreffpunktes (3).
(d) Geben Sie die Bewegungsgleichungen für die Bewegung des Kugelfangs auf der schiefen Ebene
an. Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit v4 muss der Kugelfang die schiefe Ebene hinaufbefördert werden, wenn er die Kugel im Punkt (3) einfangen soll.
Gegeben: α = 30 ◦ , β = 60 ◦ , h = 5 m, r = 2 m, ℓ = 6 m, v2 = 14 ms , ε =
2
9 −2
s , g = 10 sm2
7π
Feststellungsprüfung Physik Universitätszweig SS 2011
Aufgabe 3:
Kinetik
mA , θ A
g
2r
A
x
3r
1111
0000
0000
1111
0000
1111
µ
m
mB , θ B
P
α
B
r
1111
0000
0000
1111
0000
1111
M
h
y
Mit dem gezeigten mechanischen System soll ein Körper der Masse M aus einem Schacht der Tiefe
h gehoben werden. Hauptverantwortlich dafür ist eine am Körper der Masse m angreifende Kraft P,
durch die er eine um den Winkel α = 30 ◦ geneigte, reibungsbehaftete Ebene (Reibzahl µ ) hinabgleitet. Dieser Körper ist über ein Seil mit dem im Punkt A gelagerten Stufenrad verbunden, welches am
Außenrand aufgewickelt ist. Durch ein weiteres, am Innenrand des Stufenrades aufgewickeltes Seil
wird eine Führungsrolle gehalten, um die ein drittes Seil gelegt ist, das an einem Ende am Erdboden
und am anderen an der Fördermasse M befestigt ist.
(a) Schneiden Sie das System frei und führen Sie für die Bewegung der Führungsrolle und des Stufenrades geeignete Koordinaten ein. Stellen Sie im Anschluss alle notwendigen kinematischen
Beziehungen in Abhängigkeit von y auf.
(b) Ermitteln Sie die Beschleunigung ÿ des Körpers der Masse M.
(c) Nach welcher Zeit T erreicht der Körper der Masse M die Höhe h, wenn die Bewegung bei
y = 0 aus der Ruhelage begann?
Wie groß ist in diesem Augenblick die Winkelgeschwindigkeit des Stufenrades?
Gegeben: α = 30 ◦ , µ =
1
√
2 3
2
, r = 0.2 m, h = 4.5 m, m = 20 kg, mB = 10 kg, M = 200 kg, g = 10 sm2 ,
θA = 14.4 kgm , θB = 0.2 kgm2 , P = 3 kN
3
Feststellungsprüfung Physik Universitätszweig SS 2011
Aufgabe 4:
Zwei quadratische Platten der Kantenlänge a bilden einen
Kondensator mit der Kapazität C1 . Zwischen den Platten
herrscht Vakuum.
a
C1
=
10 pF
a
=
10 cm
ε0
=
8, 85 · 10−12
d
As
Vm
(a) Berechnen Sie den Abstand d der Kondensatorplatten.
(b) Zu C1 in Serie liegt eine zweite Kapazität C2 = 20 pF.
C1
C2
Die Spannung an C1 beträgt U1 = 25 V.
Wie groß ist U0 ?
U0
(c) Berechnen Sie die in C1 gespeicherte Energie.
(d) Bringt man ein Elektron genau in die Mitte zwischen die Platten von C1 , dann wirkt auf dieses
eine Kraft. Wie groß ist der Betrag davon?
Gegeben:
me = 9, 11 · 10−31 kg;
qe = −1, 602 · 10−19 As
(e) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Elektrons beim Aufprall auf die linke Platte, wenn das
Elektron zu Anfang der Bewegung in Ruhe ist?
4
Feststellungsprüfung Physik Universitätszweig SS 2011
Aufgabe 5:
Gegeben ist die in Abbildung 1 dargestellte Schaltung, die aus Widerständen und zwei realen Spannungsquellen besteht. Der Widerstand R3 wird durch einen verschiebbaren Kontakt in die Widerstände
Rx und R3 − Rx aufgeteilt.
Widerstände:
R1
= 10 Ω
R2
= 20 Ω
R3
= 60 Ω
R4
= 10 Ω
R5
=
2Ω
U0,2
Ia
Ri,1
U0,1
Ib
Ri,2
R1
Reale Spannungsquelle 1:
U0,1 = 10 V
Ri,1 = 18 Ω
R2
Ic
Reale Spannungsquelle 2:
U0,2 =
5V
Ri,2 =
8Ω
Rx
R3
R4
R5
R3 − Rx
Abbildung 1
(a) Am Widerstand R3 hat ein Teilwiderstand den Wert Rx = 30 Ω . Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Maschenströme Ia , Ib und Ic auf. Setzen Sie alle Zahlenwerte ein und
geben Sie das Gleichungssystem in Matrixschreibweise an. Das Gleichungssystem soll nicht
gelöst werden.
(b) Berechnen Sie den Kurzschlussstrom von Spannungsquelle 1.
(c) Die Quelle 2 wird aus der Schaltung entfernt (Abbildung 2), ein Teilwiderstand hat jetzt den
Wert Rx = 20 Ω .
Berechnen Sie aus R1 , R2 , Rx
R3 , R4 und R5 den gesamten Außenwiderstand Ra der
Schaltung.
Berechnen Sie für diesen Außenwiderstand die Klemmenspannung UKl,1.
Ri,1
UKl,1
U0,1
R1
R2
Rx
R3
R4
R5
R3 − Rx
Abbildung 2
(d) Leiten Sie eine Formel her zur Berechnung des Außenwiderstandes Ra in Abhängigkeit vom
Teilwiderstand Rx . Berechnen Sie für Rx in Zehnerschritten die zugehörigen Ra -Werte, Angabe
in Tabellenform. Bestimmen Sie den Maximalwert und den Minimalwert von Ra und geben Sie
die zugehörigen Rx -Werte an.
(e) Berechnen Sie für Rx = 20 Ω die im Außenwiderstand Ra umgesetzte Leistung P. Berechnen
Sie den Rx -Wert, für den die im Außenwiderstand Ra umgesetzte Leistung maximal wird, und
berechnen Sie den Wert Pmax dieser maximalen Leistung.
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Feststellungsprüfung Physik Universitätszweig SS 2011
Aufgabe 6:
Spule 1 ist eine aus Kupferdraht einlagig gewickelte, lange Zylinderspule mit Windungszahl N1 , Spulenlänge ℓ1 , Windungsdurchmesser d1 , Induktivität L1 und ohmschen Widerstand R1 . Spule 2 ist eine
kleinere Zylinderspule mit Windungszahl N2 , Spulenlänge ℓ2 , Windungsdurchmesser d2 und InduktiVs
vität L2 . Gegeben: µ0 = 4π · 10−7 Am
Spule 1
Spule 2
N1
ℓ1
L1
= 1000
= 1, 0 m
= 9, 87 mH
N2
d2
L2
ρCu
= 0, 0178 Ω mm
m
= 100
= 0, 04 m
= 1, 053 mH
2
(a) Legt man an Spule 1 eine Gleichspannung von U = 35, 6 V an, dann erhält man in der Mitte des
A
.
luftgefüllten Innenraums ein homogenes Magnetfeld der Stärke H = 5 · 103 m
Berechnen Sie den Windungsdurchmesser d1 und den Drahtdurchmesser dD von Spule 1.
(b) Beim Einschalten wächst der Strom I in Spule 1 innerhalb von 10 ms gleichmäßig von null auf
10 A an. Wie groß ist die in Spule 1 hervorgerufene Selbstinduktionsspannung Uind und welchen
Wert hat der induzierte Spannungsstoß?
(c) Jetzt befindet sich die Spule 2 in der Mitte des Innenraums von Spule 1, die Symmetrieachsen
beider Spulen sind zueinander parallel (Abbildung 1). Das homogene Magnetfeld im Innenraum
A
von Spule 1 hat die Stärke H = 104 m
.
(1)
(2)
(3)
(4)
Wie groß ist der magnetische Fluss durch die
Querschnittsfläche von Spule 2?
Spule 2 rotiert mit 6000 Umdrehungen pro Minute um die x-Achse. Wie groß ist der Maximalwert der in Spule 2 induzierten Spannung?
Spule 2 rotiert mit 6000 Umdrehungen pro Minute um die y-Achse. Wie groß ist der Maximalwert der in Spule 2 induzierten Spannung?
Spule 2 rotiert mit 6000 Umdrehungen pro Minute um die z-Achse. Wie groß ist der Maximalwert der in Spule 2 induzierten Spannung?
Berechnen Sie auch den Effektivwert der induzierten Spannung.
z
y
x
Abbildung 1
(d) Spule 2 befindet sich in Ruhe in der Mitte des Innenraums von Spule 1. Der Strom durch die
Spule 1 wird abgeschaltet und nimmt innerhalb von 1 ms gleichmäßig von 10 A auf null ab. Wie
groß ist die in Spule 2 induzierte Spannung, wenn die Achsen von Spule 1 und Spule 2
(1)
zueinander parallel sind,
(2)
zueinander orthogonal sind?
6