Blatt 8 - Universität Regensburg

Universität Regensburg
Dr. Enno E. Scholz, Christian Zimmermann
Sommersemester 2015
Übungen zu
“Theoretische Physik Ib—Elektrodynamik und Optik”
Studiengang LA Gym und B.Sc. (Physik, Nanoscience, Computational Science)
Blatt 8 (für die Übungen in der Woche 8.6.–14.6.2015)
Aufgabe 1
Dielektrische Kugel
(1)
Im Raum gefüllt mit einem Dielektrikum mit r > 1 ist ein homogenes Feld
~ = E0 êz
E
(2)
vorhanden. In diesen Raum wird nun eine dielektrische Kugel mit Radius R und r > 1
eingebracht. Berechnen Sie das resultierende Feld innerhalb und außerhalb der Kugel sowie die
Polarisation P~ der Kugel.
Aufgabe 2
Verschiedenes: Lorentzkraft, lokalisierte Stromverteilung
a) Auf den Strom I1 in der geschlossenen Leiterschleife C1 wird durch den Strom I2 in der
geschlossenen Leiterschleife C2 die Kraft F~12 ausgeübt. Umgekehrt wirkt auf I2 durch I1 die
Kraft F~21 .
F~12 =
F~21 =
I1 I2
c2
I
I1 I2
c2
I
C1
C2
d~r1 × d~r2 × (~r1 − ~r2 )
I
C2
I
C1
|~r1 − ~r2 |3
d~r2 × d~r1 × (~r2 − ~r1 )
|~r2 − ~r1 |3
Zeigen Sie, dass das dritte Newtonsche Axiom F~12 = −F~21 gilt.
b) Eine stationäre Stromverteilung ~j sei im Volumen V lokalisiert, d.h. nur für ~r ∈ V ist
~j(~r) 6= ~0. Zeigen Sie, dass dann gilt:
Z
d3 r ~j(~r) = ~0 .
V
Hinweis: Zeigen Sie hierzu zunächst ~j = (~j · ∇)~r und benutzen Sie dies, um ~j im Integral
zu ersetzen.
1
Aufgabe 3
Magnetfeld eines geraden Stromfadens
Durch einen unendlichen langen, geraden Stromfaden mit zu vernachlässigendem Durchmesser
fliesst ein Strom I. Berechnen Sie das magnetische Feld dieses Stromfadens durch explizites
Auswerten von
Z
1
~r − ~r 0
~
B(~r) =
.
d3~r 0 ~j(~r 0 ) ×
c
|~r − ~r 0 |3
Hinweis: verwenden Sie Zylinderkoordinaten mit der z-Achse in Richtung des Stromflusses, so
dass gilt: ~j(~r) = Iδ(ρ)êz /(2πρ).
Aufgabe 4
Magnetfeld einer Spule
~ in Coulomb-Eichung und das magnetische Feld B
~ einer
Berechnen Sie das Vektorpotential A
unendlich langen Spule (d.h. Randeffekte können vernachlässigt werden). Die Spule besitzt Ns
Windungen mit Radius R auf einer Länge `s . Durch die Spule fliesst ein Strom I. Gehen Sie
hierzu folgendermaßen vor:
a) Begründen Sie, dass die Stromdichte in Zylinderkoordinaten als
~j(~r) = I Ns δ(ρ − R) êϕ
`s
dargestellt werden kann, wenn die Mittelachse der Spule mit der êz -Achse identisch ist.
b) Begründen Sie, dass das Vektorpotential stets senkrecht zur Mittelachse orientiert ist, also
~ r) ⊥ êz gilt. Folgern Sie weiter, dass |A(~
~ r)| = A(ρ) und sogar A(~
~ r) = A(ρ) êϕ gilt.
A(~
~ r) = B(ρ) êz mit
c) Zeigen Sie nun: B(~
B(ρ) =
1 ∂ ρA(ρ)
ρ ∂ρ
~ r) bzw. dessen Betrag A(ρ) indem Sie die Diffeund berechnen Sie das Vektorpotential A(~
rentialgleichung lösen, welche sich aus
~ r) = 4π ~j(~r)
rot B(~
c
ergibt.
d) Berechnen Sie nun B(ρ).
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