Aufgaben - VMP
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D-MATH/D-PHYS Prof. R. Wallny Studienjahr FS 2012 ETH Zürich Klausur, Altes Reglement, Winter 2013, Physik II Füllen Sie als erstes den untenstehenden Kopf mit Name und Legi-Nummer aus, und kreuzen Sie Ihre Studienrichtung an. Bitte beachten Sie: • Nicht immer hängen Teilaufgaben von den Lösungen der vorhergehenden Teilaufgaben ab! • Die Aufgaben sind nicht nach Schwierigkeitsgrad, sondern thematisch geordnet. • Setzen Sie Zahlen, sofern verlangt, nur am Ende einer Herleitung ein! • Schreiben Sie auf ALLE verwendeten Blätter (auch Notizblätter) Ihren Namen und geben Sie sie ab. • Bitte verwenden Sie für neue Aufgaben ein neues Blatt und kennzeichnen Sie eindeutig, an welcher Aufgabe Sie arbeiten. Erlaubte Hilfsmittel: • Taschenrechner: Programmierbarkeit darf nicht benutzt werden. • Mathematische Formelsammlung • Handgeschriebene Zusammenfassung, 10 A4 Seiten • Sämtliche Kommunikationsgeräte (Mobiltelephone, Laptop) sind auszuschalten und müssen offen auf den Tisch gelegt oder in einer verschlossenen Tasche unter dem Tisch verstaut werden. Name Vorname Legi-Nummer Formelsammlung Studienrichtung D-PHYS D-MATH CHAB-IN Andere: 1 Aufgabe Max.Pkt. Punkte Visum 1 Visum 2 1 7 2 8 3 7 4 10 5 8 Total 40 2 1 Homogene Ladungsverteilungen (7 Punkte) Wir betrachten zwei kugelförmige Ladungsverteilungen 1 und 2 mit gleichem Radius R und homogenen Ladungsdichten ρ1 = ρ bzw. ρ2 = −ρ. Der Mittelpunkt der Verteilung 1 ist am Punkt (0, 0, 0), der von Verteilung 2 am Punkt (0, d, 0) des in der Abbildung gezeigten kartesischen Koordinatensystems. Wir nehmen an, dass 0 < d < 2R gilt. a) Berechnen Sie zuerst das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb einer einzelnen homogen geladenen Kugel. (3 Punkte) b) Berechnen Sie nun das elektrische Feld innerhalb der Überlappregion der gegebenen Ladungsverteilungen (zwischen A und B) und drücken Sie das Endresultat mit den gegebenen kartesischen Koordinaten x, y und z aus. (2 Punkte) c) Berechnen Sie die Potentialdifferenz VBA zwischen den Punkten A = (0, d − R, 0) und B = (0, R, 0). (2 Punkte) 3 Sie formal die elektrische Spannung Uind , welche in hleife induziert wird, als Funktion der Zeit t. 2 Fallende Leiterschleife (8 Punkte) Eine quadratische, geschlossene Leiterschleife mit der Masse m und der Seitenlänge a ~ = B0 · z ~ex . fällt wie skizziert durch ein Gebiet mit linear zunehmendem Magnetfeld B λ Der Widerstand der Schleife ist R und in negativer z-Richtung wirkt die Schwerkraft. Vernachlässigen Sie Luftreibung. it der Seitenlänge a nehmendem B-Feld rahtlänge ist R und z e Schwerkraft. (Der a ~g v nach einer gewissen nstellt. on zustande kommt. m ab und wie ist er ~ = B0 · B y x z · ~ex a) Beschreiben Sie, warum sich eine konstante Fallgeschwindigkeit einstellt. (2 Punkte) b) Berechnen Sie den Strom, der bei einer Geschwindigkeit v in der Leiterschleife indudigkeit im station ären Fall. ziert wird. (4 Punkte) c) Berechnen Sie die Fallgeschwindigkeit vstat im stationären Fall. (2 Punkte) 4 3 Zylinderkondensator (7 Punkte) a b L Ein Zylinderkondensator der Länge L = 20 cm besteht aus einem leitenden Draht mit Radius a = 1 mm und einer dünnen, leitenden, zylindrischen Schale mit Radius b = 10 cm. Das Volumen zwischen den Leitern ist mit einem dielektrischen Material mit Dielektrizitätskonstante εr = 5 gefüllt. Für die gesamte Aufgabe können Sie Randeffekte vernachlässigen. a) Berechnen Sie das elektrische Feld im dielektrischen Material als Funktion des Abstandes von der Achse des Zylinders. Wie gross ist das elektrische Feld in einer Entfernung r1 = 5 cm von der Achse wenn der Kondensator mit Q = 50 nC geladen ist? (2 Punkte) b) Berechnen Sie die Kapazität des gegebenen Kondensators. (2 Punkte) c) Das Dielektrikum wird nun teilweise aus dem Kondensator herausgezogen während dieser mit einer Batterie mit Quellspannung V = 150 V verbunden ist. Wie ändert sich die Energie des Systems bestehend aus Kondensator und Batterie wenn das Dielektrikum um eine Länge von x = 5 cm herausgezogen wird? (3 Punkte) 5 4 Spulenpaar (10 Punkte) Zwei identische Spulen mit Radius R und N Windungen befinden sich auf der z-Achse (Spule A bei z = −d/2, Spule B bei z = d/2) und werden jeweils vom Strom I gleichsinnig durchflossen (siehe Skizze). Die Länge der Spulen ist zu vernachlässigen. a) Zeigen Sie mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart, dass das Magnetfeld B̃(z) einer einzigen, bei z = 0 platzierten Spule auf der Symmetrieachse gerade B̃(z) = µ0 IN R2 . · 2 2 (R + z 2 )3/2 (1) beträgt. (4 Punkte) Hinweis: Das Gesetz von Biot-Savart lautet für einen einzigen stromdurchflossenen Leiter ~ = µ0 Id~l × ~r . dB̃ (2) 4π r3 b) Wir betrachten nun die gesamte, oben beschriebene Anordnung aus zwei Spulen. Bestimmen Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus a) das Magnetfeld des Spulenpaars auf der Spulenachse. (2 Punkte) c) Die Taylorentwicklung des Magnetfeldes der beiden Spulen um den Ursprung lautet: µ0 IN R2 3 d2 − R2 15 (d4 /2 − 3d2 R2 + R4 ) 4 2 B(z) = · 1+ z + z + ... (3) 2 (d2 /4 + R2 )2 8 (d2 /4 + R2 )4 [(d/2)2 + R2 )3/2 ] Begründen Sie aus Symmetrieüberlegungen, warum die Terme der Ordnung z und z 3 in der Reihenentwicklung nicht auftauchen (ohne Rechnung!). Welche Terme würden verschwinden, wenn der Strom I in Spule B entgegengesetzt zur Spule A fliessen würde? (1 Punkt) d) Für den Fall d = R heisst die betrachtete Konfiguration Helmholtz-Spulenpaar. Was beobachten Sie in diesem Fall für die Reihenentwicklung aus Gl. 3? Schätzen Sie mit ihrer Hilfe das Verhältnis B(z = R/3)/B(0) ab und kommentieren Sie, warum diese Konfiguration experimentell interessant sein könnte. (3 Punkte) 6 5 Elektrische Schaltung (8 Punkte) R I 3 ø R A I 2 ò ø I1 û C1 + − Q1 C2 + − Q2 ý Wir betrachten den oben gezeichneten Schaltkreis, wobei die beiden Kondensatoren dieselbe Kapazität C1 = C2 = C aufweisen. Auf beiden befindet sich zu Beginn dieselbe Ladung Q0 . Zum Zeitpunkt t = 0 wird nun der Schalter geschlossen. a) Auf welchem Potential befindet sich der Punkt A vor dem Schliessen des Schalters? (1 Punkt) b) Wie lauten die Kirchhoff’schen Gleichungen des Schaltkreises nach dem Schliessen des Schalters, sowie die Gleichungen, welche Q1 und Q2 mit I1 bzw. I2 verknüpfen? Welchen Wert hat der Strom I2 unmittelbar nach dem Schliessen des Schalters? (4 Punkte) c) Leiten Sie aus diesen Gleichungen eine Differenzialgleichung für die Ladung Q2 (t) her. (3 Punkte) 7
