Aufgabe 1 a) ◮ Formuliere ein Ereignis A Bei dem

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Lösungsblatt (ausführlich)
Aufgabe 1
a)
◮ Formuliere ein Ereignis A
Bei dem Ereignis A liegt eine Bernoulli-Kette vor. Die Formel zur Berechnung einer Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli-Kette lautet:
P(X = k) =
n
k
!
· pk · (1 − p)n−k
0≤k≤n
ˆ n: Länge der Bernoulli-Kette
ˆ k: Anzahl der Treffer
ˆ p: Erfolgswahrscheinlichkeit
Schaue dir die einzelnen Terme und ihre Bedeutung an.
Das Ereignis setzt sich aus mehreren Teilen zusammen. Der erste Teile lautet:
10
!
·
€ Š8 € Š 2
2
· 13
3
8
Dieser Teil gibt an, dass das Ereignis eine Kettenlänge von 10 hat. Außerdem gibt es 8 Treffer.
Im zweiten Teil kommt die Wahrscheinlichkeit dazu,
! dass man neunmal verliert. Den Aus€ Š9
€ Š9
10
2
1
1
2
druck 10 · 3 · 3 kann man umschreiben in
· 3 · 3.
9
€ Š10
2
gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass man zehnmal verliert.
Die 3
Man verliert also entweder achtmal, neunmal oder zehnmal.
Das Ereignis A lautet:
P(A): Man verliert mindestens 8 von 10 Spielen.
b)
◮ Berechne die Wahrscheinlichkeit P(X = 2)
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der verlorenen Spiele an. Die Wahrscheinlichkeit ein
Spiel zu verlieren, ist bei jedem Spiel gleich groß. Die Zufallsvariable ist somit binomialverteilt und folgt somit der Bernoulli-Verteilung. Setze die Kettenlänge, Anzahl der
Treffer und die Erfolgswahrscheinlichkeit in die Bernoulli-Formel ein.
Für die Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt p =
2
.
3
Es wird viermal gespielt, d.h. die Ketten-
länge der Bernoulli-Kette beträgt n = 4. Der Spieler verliert genau zweimal, daher gilt: k = 2
Setze diese Werte in die Bernoulli- Formel ein und berechne die Wahrscheinlichkeit.
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P(X = k) =
P(X = 2) =
P(X = 2) =
n
k
Lösungsblatt (ausführlich)
!
· pk · (1 − p)n−k
0≤k≤n
! 2 4−2
2 2
· 1−
·
3
3
2
!
2
4
1
4
· ·
9
3
2
4
4!
4 1
·
2! · (4 − 2)! 9 9
1·2·3·4 4
·
P(X = 2) =
1 · 2 · (2)! 81
24
4
P(X = 2) =
·
2 · 2 · 1 81
24 4
·
P(X = 2) =
4 81
24
P(X = 2) =
81
8
P(X = 2) =
27
P(X = 2) =
·
Der Spieler verliert mit einer Wahrscheinlichkeit von
8
27
genau zweimal.
Aufgabe 2
(4P)
a) ◮ Wahrscheinlichkeiten berechnen Peter dreht zwei zufällig gewählte Karten um
und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch liegen.
Da Peter jede Karte nicht sofort wieder zurücklegt und alle Karten neu durchmischt,
entspricht dies dem Ziehen ohne Zurücklegen. Wird also eine Karte aufgedeckt,
fällt diese weg und kann nicht erneut aufgedeckt werden. Sind es anfangs also neun
Karten und Peter deckt die erste Karte auf, sind für die zweite Karte nur noch acht
Karten übrig die aufgedeckt werden können. Ist die erste Karte beispielsweise eine
Dame bleibt dann nur noch eine Dame übrig, die bei der zweiten Karte aufgedeckt
werden kann. Somit verändern sich die Wahrscheinlichkeiten nach dem Aufdecken
der ersten Karte. Du hast die Anfangswahrscheinlichkeiten gegeben:
Ein Ass aufzudecken: 49 , Einen König aufzudecken: 39 = 13 , Eine Dame aufzudecken:
2
.
9
4
9
1. Karte
3
9
2
9
Ass
2. Karte
3
8
Ass
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1
4
König
Dame
3
8
Dame König
1
2
1
8
3
8
Ass Dame König
1
2
1
4
1
4
Ass Dame König
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◮ A: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch 0.2cm Die Wahrscheinlichkeit
ein Ass aufzudecken beträgt 49 und kein Ass aufzudecken 95 .
Die Wahrscheinlichkeit dass die erste Karte kein Ass ist liegt also bei
5
.
9
Für die zwei-
te Karte bleiben jetzt nur noch 8 Karten übrig, die Wahrscheinlichkeit hier kein Ass
zu erwischen ändert sich, da jetzt eine Karte weniger da ist, die kein Ass ist. Dann
bleiben für die zweite Karte noch die Wahrscheinlichkeiten:
Ein Ass aufzudecken: 48 = 12 und Kein Ass aufzudecken: 84 = 12 .
Um die gesamte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, multipliziere nun beide Wahrscheinlichkeiten dafür, kein Ass zu erwischen:
5
5 1
· = 18
9 2
◮ B: Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch Hier gehst du
nun ähnlich vor wie eben: Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste
Karte eine Dame und die zweite Karte ein Ass ist, und addiere dazu die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Karte ein Ass und die zweite Karte eine Dame ist.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte eine Dame ist liegt bei 29 , nun ist eine
Dame weniger im Spiel und damit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite
Karte ein Ass ist 84 = 21 .
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte ein Ass ist beträgt 49 , damit bleiben für
die zweite Karte wieder nur 8 Karten mit einem Ass weniger übrig und die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte eine Dame ist beträgt 82 = 41 .
Die gesamte Wahrscheinlichkeit, dafür, dass eine Dame und ein Ass aufgedeckt auf
dem Tisch liegen ergibt sich somit aus:
2 1
· + 49 · 41 = 92 .
9 2
b) ◮ Mögliche Werte für X bestimmen
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Spielkarten an, die aufgedeckt auf dem
Tisch liegen, wenn zum ersten Mal ein Ass aufgedeckt wurde.
Da sich unter den neun Karten vier Asse befinden, muss spätestens die sechste
aufgedeckte Karte ein Ass sein.
Also kann X die Werte 1 , 2 , 3 , 4 , 5 oder 6 annehmen.
◮ Wahrscheinlichkeit berechnen
P(X ≤ 2) beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass spätestens die zweite aufgedeckte Karte ein Ass ist und setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten P(X = 1) und
P(X = 2) zusammen.
P(X = 1) =
4
9
ist die Wahrscheinlichkeit, dafür dass die erste Karte in Ass ist, die du
bereits in Aufgabenteil a) öfter verwendet hast.
5
P(X = 2) = 59 · 84 = 18
ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste aufgedeckte
Karte kein Ass, und die zweite Karte ein Ass ist.
Daraus ergibt sich P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) =
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4
9
+
5
18
=
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