Mechanische Arbeit

Mechanische Arbeit
1.) Arbeit und Energie
Mechanische Arbeit steht in engem Zusammenhang mit der Erhaltungsgröße Energie!
Beide besitzen die selbe Einheit, in der sie gemessen werden (1 Joule).
Wie Energie und Arbeit zusammenhängen, zeigt uns das folgende Beispiel mit der entsprechenden
Animation!
http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/arbeit-energie-und-leistung/die-physikalische-arbeit
Die Animation zeigt an
1.) Führt man einem System Arbeit zu, dann steigt die Energie genau um diesen Betrag der Arbeit.
2.) Leistet ein System Arbeit (was gleichbedeutend mit einer Abfuhr von Arbeit ist), so sinkt die
Energie genau wieder um diesen Betrag der Arbeit!
3.) Eine Abfuhr von Arbeit eines gewissen Betrages ist gleichzusetzen mit einer Zufuhr von Arbeit
genau des selben Betrages aber mit negativem Vorzeichen!
Unter einem System versteht man dabei einen oder mehrere Körper innerhalb einer Hülle. An die
Körper kann Energie zugeführt werden. Ihnen kann auch Energie entzogen werden.
Vom Standpunkt der zugeführten Arbeit W gilt also vorzeichengerecht:
W=ΔE (Gleichung 1)
2.) Berechnung der Mechanischen Arbeit
Wie kann man nun aber eine Aussage darüber treffen, wie hoch der Betrag der ab/zugeführten Arbeit
ist!
Denken wir uns dazu eine Maschine, die eine bestimmte Last, die das Gewicht G hat,
heben muss! Den Arbeitseinsatz der Maschine sollen wir nun direkt am verbrauchten
Treibstoff ablesen können!
An diesem Beispiel werden uns folgende Anschauungen deutlich!
1.) Wird das Gewicht doppelt so hoch gehoben, so wird doppelt so viel Treibstoff verbraucht!
Bei dreifacher Höhe verdreifacht sich der Verbrauch usw.:
2.) Wird das doppelte Gewicht gehoben, so wird ebenfalls das doppelte an Treibstoff benötigt!
Bei dreifachem Gewicht verdreifacht sich der Verbrauch usw.:
G
(Man kann sich bzgl. 2.) auch folgend klar werden: Das doppelte Gewicht zu heben ist eigentlich
gleichbedeutend mit dem folgendem Vorgang!
a) Anheben des einfachen Gewichtes um die Höhe h
b) Absenken
c) Anheben des verbleibenden einfachen Gewichtes um die Höhe h.
oder im Telegramstil: Heben von 2G um h ist das selbe wie Heben von G um h und danach das nochmalige
Heben von G um h.)
Die Anschauungen 1.) und 2.) sind mit folgender Formel kompatibel!
W=cGh
Bemerkungen:
1.) Der Zahlenwert von c ist dabei eine beliebige dimensionslose Zahl!
2.) Wir können der Arbeit W eine Einheit beliebigen Namens zuordnen. Nennen wir sie spaßhalber 1
Steinbuch!
1
Testen wir nun die Formel an verschiedenen Zwischenaufgaben, um zu sehen, ob sie mit unserer
Anschauung kompatibel ist!
Zwischenaufgaben
1.) Eine Maschine verbraucht für das Heben einer Last von 2000N um 20m 0,01l Treibstoff. Die der
Last (dem System) zugeführte Arbeit soll 105Steinbuch sein.
a) Bestimme c (mit Einheit!!!)
b) Bestimme den Treibstoffverbrauch und die Arbeit für die 5-fache Hubhöhe!
c) Bestimme die zugeführte Arbeit für eine Höhe von 20m aber der doppelten Last!
Vielleicht ist Dir irgendwie klar geworden, dass c an sich überflüssig ist, um Arbeit gerecht zu
beurteilen!
Unsere Anschauung wird auch dann bedient, wenn gilt c=1!
Und so wird in der Physik auch Mechanische Arbeit definiert!
Für c=1 gilt auch, dass man für die mechanische Arbeit die Einheit 1Joule definiert!
Sind Kraft- und Verschubrichtung parallel, so gilt für die verrichtete Arbeit
W=Fs (Gleichung 2)
W….verrichtete Arbeit
F…..wirkende Kraft
s…..verschobene Strecke
F muss dabei nicht unbedingt eine Kraft sein, die etwas anhebt. Beispielsweise kann sie ja gegen die
Reibung etwas ziehen! s wäre dann die Strecke, um die ein Gegenstand gezogen wird!
Offenbar spielt auch der Winkel zwischen Zug- und Verschubrichtung eine Rolle!
….und zwar für das
Vorzeichen der Arbeit
Wir haben ja eingangs erwähnt, dass zugeführte Arbeit auch negativ sein kann. Analysieren wir dies
anhand eines Beispiels!
Betrachten wir dazu einen Bogen, der gespannt werden kann. Die Ausprägung des
Energieabgabevermögens richtet selbstredend sich nach der Spannweite des Bogens!
Diese gespeicherte Energie nennt man auch potenzielle Energie!
3
2
1
2
Die Änderung einer Größe ist ja die Größe nach deren Veränderung minus die Größe vor der
Veränderung!
Vorgang 1: Offenbar ist die Änderung der Energie von 2 nach 3 positiv. Der Bogen in 3 ist dann ja
mehr gespannt als in 2.
Vorgang 2: Offenbar ist die Änderung der Energie von 3 nach 1 negativ. Der Bogen in 3 ist dann ja
mehr gespannt als in 1.
Wie unterscheiden sich nun aber die Kraftrichtung und die Verschubrichtung in den beiden
Vorgängen?
Vorgang 1
s
F
Vorgang 2
F
s
Die beiden Vorgänge unterscheidet, dass bei
Vorgang 1: Kraft- und Verschubrichtung sind gleichgerichtet.
Dies führt zu einer Erhöhung der Energie. D.h. die zugeführte Arbeit ist dann positiv!
und bei
Vorgang 2 Kraft- und Verschubrichtung gegengerichtet sind.
Dies führt zu einer Verringerung der Energie. D.h. die zugeführte Arbeit ist dann negativ!
Die Allgemeine Formel für die verrichtete Arbeit lautet
 
W  F s cos 
α ist dabei der Winkel zwischen der Kraft- und der Verschubrichtung!
Daraus folgt übrigens auch, dass bei einem Winkel von 90° zwischen Kraft und Verschubweg die
verrichtete Arbeit 0Joule ist; Egal mit welcher Kraft und egal überwelche Strecke dem System Arbeit
zugeführt wird!
In
http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/arbeit-energie-und-leistung/die-physikalische-arbeit
wird auch klar, dass die verrichtete Arbeit als Fläche unter dem Graphen im Fs-Diagramm
dargestellt werden kann.
Dabei ist F die Parallelkomponente der wirkenden Kraft bezogen auf den Verschubweg!
Das gewonnene Arbeitsvermögen kann sich in zweierlei Weise äußern
3
1.) Bewegungsenergie (=kinetische Energie)
Bewegte Körper können Arbeit an sich selbst oder anderen Körpern verrichten.
Bsp.: Bewegtes Wasser kann eine Turbine antreiben, ein bewegtes Auto kann bei einem
Aufprall durch die Bewegungsenergie zusammengedrückt werden. eine Gewehrkugel kann ein
Ziel verformen, ein bewegtes Auto kann antriebslos einen Berg hinaufgleiten ….
Bewegte Atome übertragen Wärme, indem sie benachbarte Atome durch Stoß beschleunigen;
sie leisten Beschleunigungsarbeit..etc.Wie lässt sich nun die gespeicherte Energie berechnen?
Wir wenden dazu Gleichung 1 und eine Grundformel der beschleunigten Bewegung an!
Wir nehmen zunächst an, dass der Körper durch eine konstante Kraft mit der Beschleunigung
a beschleunigt wird. Die streckenparallele (arbeitssame) Kraftkomponente nennen wir F.
Die Ausgangsgeschwindigkeit betrage 0 und die erreichte Endgeschwindigkeit betrage v.
v
F
F
s
WG  m  a  s  m  a 
v2
v2
m .
2a
2
Das heißt: In einem Körper der Masse m und der Geschwindigkeit v steckt das
mv 2
Arbeitsvermögen
. Das ist die kinetische Energie (Bewegungsenergie) des Körpers!
2
Aufgaben
1.) Welche Arbeit kann 10kg Wasser mit einer Geschwindigkeit von 10m/s maximal verrichten? Wie
hoch könnte damit ein Massestück von 1kg maximal gehoben werden? (Lösung: 500J)
2.) Ein kg Treibstoff hat einen Brennwert von ca 40MJ. Der Wirkungsgrad eines Autos betrage 25%;
das bedeutet, dass 25% der zugeführten Brennenergie des Benzins in mechanische Bewegungsenergie
umsetzbar ist.
Auf welche Geschwindigkeit könnte nun ein Auto mit einer Masse von 2t beschleunigt werden, wenn
man dazu 1kg Treibstoff nähme und es keinen Luftwiderstand gäbe! (Lösung: v=100m/s)
3.) Ein Auto der Masse von 1000kg mit der Geschwindigkeit von 50m/s bremst, und der
Reibungskoeffizient beträgt 0,9.
Achtung! Beim Bremsen sind der Bremsweg und die bremsende Kraft gegengerichtet! Damit ist
die zugeführte Arbeit negativ, wie auch die Energieänderung; daher verlangsamt sich das Auto
a) Bestimme über die Definition des Reibungskoeffizienten die bremsende Kraft! (Lösung:
FR=9000N)
b) Berechne den Energieentzug auf 50m Bremsstrecke! (Lösung: W=ΔEK=4,5105J)
c) Berechne die Geschwindigkeit nach 50m Bremsstrecke! (Lösung: v=40m/s)
d) Nach welcher Strecke steht der Wagen still! (Lösung: s=139m)
e) Berechne den Bremsweg des gleichen Autos von 25m/s auf 0m/s! (Lösung: s=34,7m)
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2.) Lageenergie (=potenzielle Energie)
Ein Körper (oder auch Ansammlung von Körpern) kann aber auch aufgrund seiner Lage oder
Position Energie gegenüber einer Ausgangslage besitzen. Diese Ausgangslage nennt man dann das
Nullniveau der potenziellen Energie.
Diese Ausgangslage ist frei gewählt. Die Körper befinden sich dabei in einem sogenannten Kraftfeld.
In einem Kraftfeld ist an jedem Ort mathematisch genau festgelegt, wie groß die Kraft auf einen
Körper ist!
Beispiele:
Gravitationsfeld: Im jedem Feldpunkt in der Nähe der Erdoberfläche ist die Kraft mg.
Feder“kraftfeld“: In einer Entfernung x vom entspannten Zustand beträgt die Federkraft kx.
Elektrisches Feld: An jedem Ort in diesem Feld ist einem Körper der Ladungsmenge q eine Kraft
qE zugeordnet.
Auftriebs“kraftfeld“ im Wasser: Jedem Körper mit dem Volumen V ist die nach oben gerichtete
Auftriebskraft zugeordnet!
Allgemeine Formulierung der Definition der potenziellen Energie in der Lage A gegenüber
einer Ausgangslage:
1.) In der (eben frei vordefinierten) Ausgangslage ist der Betrag der potenziellen Energie EP=0
Joule.
2.) In der Lage A ist dann die potenzielle Energie folgend definiert:
EP(A) entspricht dem reibungsfreien Anteil der Arbeit, die die Feldkraft leistet, um die
Anordnung in die Ausgangslage zu bringen! Dabei ist es egal, auf welchem Weg der Transport
erfolgt! Entscheidend ist nur der Start und der Zielpunkt!
Beispielsweise kann ein Körper A aufgrund seiner Lage einen Körper B anheben.
Man muss dazu nur eine Umlenkung benutzen (siehe Abbildung).
A
h
B
h
B
A
Der Körper A leistet also am Körper B Arbeit, er hebt ihn an, hat also potenzielle Energie
gespeichert!
Unter dem Link
http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/arbeit-energie-und-leistung/wovon-hangt-die-energie-ab
kann man wunderbar die Abhängigkeit der Ausprägung der Energie von verschieden
Rahmenbedingungen studieren! Dabei wird zwischen Spannenergie und Gravitationsenergie
unterschieden. Für uns sind beide Formen der potenziellen Energie zugeordnet!
5
Aufgabe
Der Körper B in der obigen Abbildung habe eine Masse von m=50g.
a) Wie groß ist sein Gewicht?
b) Wie groß ist seine potenzielle Energie der Anordnung, wenn B in h=30cm wenn das Nullniveau der
potenziellen Energie dann vorliegt, wenn B in h=0cm ist?
c) Wie groß ist seine potenzielle Energie der Anordnung, wenn B in h=30cm wenn das Nullniveau der
potenziellen Energie dann vorliegt, wenn B in h=10cm ist?
d) Wie groß ist seine potenzielle Energie der Anordnung, wenn B in h=50cm wenn das Nullniveau der
potenziellen Energie dann vorliegt, wenn B in h=10cm ist?
Energieerhaltungsprinzip
Wird einer Ansammlung von Körpern weder Energie entzogen noch zugeführt, dann bleibt die
Summe aus kinetischer und potenzieller Energie unverändert!
Wird jedoch ein Arbeitsbetrag W zu- oder abgeführt, so steigt (sinkt) die Energie genau um
diesen Betrag ΔE! (z.B. Reibung)
DIE!!! Animation schlechthin zur Energieerhaltung findest Du unter
https://phet.colorado.edu/en/simulation/legacy/energy-skate-park
Mechanische Leistung
Folgender Link skizziert toll, was man unter der mechanischen Leistung versteht!
http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/arbeit-energie-und-leistung/leistung
Aufgaben
1.) Der Energienullpunkt sei so festgelegt, dass er dem Zustand einer entspannten Feder entspricht.
Bei einer Dehnung der Feder um 0,1m reagiere sie mit einer rücktreibenden Kraft von 100N.
a) Ermittle die potenzielle Energie der Feder deines Experimentes, wenn sie um 20cm gespannt ist!
b) Die selbe Feder beschleunigt nun waagrecht und reibungsfrei eine Masse von 100g (Die
Eigenmasse der Feder wird vernachlässigt.).
i) Welche Geschwindigkeit erreicht die Masse im vollständig entspannten Zustand?
ii) Welche Geschwindigkeit erreicht die Masse nach 10cm Federentspannung?
2.) Ein Körper einer Masse von 0,1kg erfahre im Wasser eine Auftriebskraft von 10N. Wie groß ist
die verrichtete Arbeit am Körper, wenn er um 4m tiefer getaucht wird! Wie groß ist dann die
Zunahme der potenziellen Energie? Denke an U-Boot Bergungen und überlege dir, wie man diese
potenzielle Energie nutzen könnte? Hätte man nicht ohne Arbeitsaufwand Energie gewonnen, wenn
man einen leeren Ballon im Wasser hinab lässt und ihn unten aufpumpt?
3.) Ein Geschoß wird senkrecht in die Höhe abgeschossen. Es hat in Abschusshöhe eine Masse von 5g
und eine Geschwindigkeit von 200m/s. Legen wir das Nullniveau in Abschusshöhe fest!
a) Welche Höhe erreicht das Geschoß? Wie groß ist dann seine potenzielle Energie?
b) Welche Geschwindigkeit hat das Geschoß in halber Höhe! Wie groß ist dann seine potenzielle
Energie? Wie groß ist die Gesamtenergie?
Weitere Aufgaben (aus Leifiphysik)
4.)
http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/arbeit-energie-undleistung/aufgaben#lightbox=/themenbereiche/arbeit-energie-und-leistung/lb/musteraufgaben-arbeitfruehsport
5.)
http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/arbeit-energie-undleistung/aufgaben#lightbox=/themenbereiche/arbeit-energie-und-leistung/lb/musteraufgaben-arbeitkuckucksuhr
6
6.)
http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/arbeit-energie-undleistung/aufgaben#lightbox=/themenbereiche/arbeit-energie-und-leistung/lb/pferdegoepel
7.)
http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/arbeit-energie-undleistung/aufgaben#lightbox=/themenbereiche/arbeit-energie-und-leistung/lb/lastenheben-mit-demkran
8.)
http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/arbeit-energie-undleistung/aufgaben#lightbox=/themenbereiche/arbeit-energie-und-leistung/lb/menschliche-leistungbeim-bergsteigen
9.)
http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/arbeit-energie-undleistung/aufgaben#lightbox=/themenbereiche/arbeit-energie-und-leistung/lb/musteraufgaben-arbeitspannarbeit-beim-bogenschiesse-0
10.) Ziehe obige Skatersimulation heran, und tätige folgende Voreinstellungen!
α) Aktiviere „Bar Graph“!
β) Hake „Potential Energy Reference“ an!
γ) Hake “Grid” an!
Übrigens hat der Skater eine Masse von 75kg.
a) Hebe den Skater nun auf 6m, lasse ihn los und beobachte, welche Höhe er am Gegenhang erreicht!
Der rote Punkt in der Mitte des Boards ist dabei der Bezugspunkt!
(Du kannst mit „Sim- Speed“ im grünen Feld die Simulation verlangsamen)
b) Berechne die potenziellen Energien des Skaters für den Startpunkt in 6m Höhe, den unteren
Tiefpunkt und dem höchsten Punkt am Gegenhang! Beobachte auch den Bar Graph
(Balkendiagramm) in den drei Positionen!
c) Variiere die Steigung des Gegenhanges und beobachte die erreichte Höhe am Gegenhang! Was
stellst Du fest?
d) Bringe die PE=0 Linie bis zum tiefsten Punkt der Bahn und beobachte nun wiederum das
Balkendiagramm! Was stellst Du fest?
e) Schalte nun die Reibung (track friction button) auf „mittel“ und miss die erreichte Höhe am
Gegenhang! Berechne daraus die Reibungsarbeit, die dem System (=Skater) zugeführt wurde!
f) Stelle nun den Reibungskoeffizient wieder auf 0 und lege nun den Nullpunkt der potenziellen
Energie in den Startpunkt bei eben 6m über dem Boden!
Berechne auch für diesen Fall die Gesamtenergie, die kinetische Energie und die potenzielle Energie
im Startpunkt, im untersten Punkt und in halber Höhe!
e) Erhöhe die Gravitationsbeschleunigung indem Du z.B. auf „Jupiter“ stellst! Lasse den Skater
wieder in 6m Höhe los! Was ändert sich im Unterschied zur Erdgravitation, was nicht? Begründe
Deine Entscheidung!
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