R.Mohr ME1 Blatt3 VektorrechnungI WS2015/16

R. Mohr ME 1 Blatt 3 Vektorrechnung I WS 2015/16


 


2
5
3
Aufgabe 1: Gegeben sind die Vektoren ~a =  3  , ~b =  4  und ~c =  −1  .
0
0
0
Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch die Vektoren:
a) ~a − ~c
b) ~c − ~a
c) ~b − ~a − ~c
d) ~a + ~b − ~c
Aufgabe 2:
Ein Wagen wird an drei Seilen gezogen.
Wie groß müssen | f~3 | und α3 sein, damit am Wagen eine Kraft von 1000 N in
x-Richtung wirkt?
Geg.: | f~1 | = 700N, | f~2 | = 600N,
α1 = 60o , α2 = −45o .
Lösung zeichnerisch und rechnerisch!
f~1
f~3
α1
α3
α2
f~2
Aufgabe 3: Ein Vektor ~r mit | ~r | = 7 und dem Anfangspunkt A(2/1/ − 1) hat die Koordinaten rx = 2 und ry = −3 . Bestimmen Sie die fehlende Koordinate rz des Vektors und
die Koordinaten seines Endpunkts.
Aufgabe 4: Der Vektor ~v hat den Betrag |~v | = 4 und die Richtungswinkel α = 45o , β = 60o
gegen die positve x− bzw. y−Achse.
a) Berechnen Sie die Koordinaten von ~v .
b) Ist das Problem für alle Winkel β lösbar?
Aufgabe 5: Zum Vektor ~a soll ein Vielfaches des Vektors ~b addiert werden, so dass die
Summe ~a + λ · ~b auf ~c senkrecht steht. Wie muss man λ wählen?
Geben Sie zunächst die allgemeine Lösung des Problems an und berechnen Sie anschließend
λ für die speziellen Vektoren






6
0
−2
~a =  1  , ~b =  3  , ~c =  3  .
1
−1
5
2
1
Aufgabe 6: Gegeben sind die Vektoren ~a =
und ~b =
.
1
2
a) Bestimmen Sie die Vektoren ~a + ~b und ~a − ~b , sowie die zugehörigen Einsvektoren.
b) Wie groß sind die Winkel ϕ1 = ](~a,~ı), ϕ2 = ](~b, ~) und ϕ3 = ](~a, ~b).
~ı, ~ seien die Einheitsvektoren des vorgegebenen Koordinatensystems.
c) Berechen Sie den Vektor ~c mit | ~c | = 3, cy > 0 und ~c ⊥ ~a .
Aufgabe 7: Welchen Winkel ϕ1 bilden die sich in einer Ecke schneidenden Flächendiagonalen zweier aneinandergrenzenden Würfelflächen?
Unter welchem Winkel ϕ2 schneiden sich die Raumdiagonalen eines Würfels?
Aufgabe 8: Zerlegen Sie den Vektor ~a in Komponenten parallel und normal zu ~b:
 
 
 
−2
−5
7
−−→
a) ~a = −1 , ~b =  3  b) ~a = −2 , ~b = P1 P2 P1 (1/0/1), P2 (2/1/ − 1)
2
4
2
Aufgabe 9: Zeigen Sie: Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks besitzen einen gemeinsamen
Schnittpunkt. Dieser teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2.