eine Basis im Vektorraum (V , +, ). Für {w1, ..., wn}

Korollar (b) Sei {v1 , ..., vn } eine Basis im Vektorraum (V , +, ◦). Für
{w1 , ..., wn } gelte: jedes vi ist eine Linearkombination von Elementen aus
{w1 , ..., wn }. Dann ist {w1 , ..., wn } eine Basis.
Korollar (b) Sei {v1 , ..., vn } eine Basis im Vektorraum (V , +, ◦). Für
{w1 , ..., wn } gelte: jedes vi ist eine Linearkombination von Elementen aus
{w1 , ..., wn }. Dann ist {w1 , ..., wn } eine Basis.
Frage Ist die folgende Menge A eine Basis in R2 ?
1
1
,
A :=
−1
1
Korollar (b) Sei {v1 , ..., vn } eine Basis im Vektorraum (V , +, ◦). Für
{w1 , ..., wn } gelte: jedes vi ist eine Linearkombination von Elementen aus
{w1 , ..., wn }. Dann ist {w1 , ..., wn } eine Basis.
Frage Ist die folgende Menge A eine Basis in R2 ?
1
1
,
A :=
−1
1
Ja!
Korollar (b) Sei {v1 , ..., vn } eine Basis im Vektorraum (V , +, ◦). Für
{w1 , ..., wn } gelte: jedes vi ist eine Linearkombination von Elementen aus
{w1 , ..., wn }. Dann ist {w1 , ..., wn } eine Basis.
Frage Ist die folgende Menge A eine Basis in R2 ?
1
1
,
A :=
−1
1
Ja! Tatsächlich, jedes Element der Standard-Basis in R2 ist eine
Linearkombination der Elemente aus A:
Korollar (b) Sei {v1 , ..., vn } eine Basis im Vektorraum (V , +, ◦). Für
{w1 , ..., wn } gelte: jedes vi ist eine Linearkombination von Elementen aus
{w1 , ..., wn }. Dann ist {w1 , ..., wn } eine Basis.
Frage Ist die folgende Menge A eine Basis in R2 ?
1
1
,
A :=
−1
1
Ja! Tatsächlich, jedes Element der Standard-Basis in R2 ist eine
Linearkombination der Elemente aus A:
1
0
Korollar (b) Sei {v1 , ..., vn } eine Basis im Vektorraum (V , +, ◦). Für
{w1 , ..., wn } gelte: jedes vi ist eine Linearkombination von Elementen aus
{w1 , ..., wn }. Dann ist {w1 , ..., wn } eine Basis.
Frage Ist die folgende Menge A eine Basis in R2 ?
1
1
,
A :=
−1
1
Ja! Tatsächlich, jedes Element der Standard-Basis in R2 ist eine
Linearkombination der Elemente aus A:
1
1
1
1
1
=
+
,
0
1
−1
2
2
Korollar (b) Sei {v1 , ..., vn } eine Basis im Vektorraum (V , +, ◦). Für
{w1 , ..., wn } gelte: jedes vi ist eine Linearkombination von Elementen aus
{w1 , ..., wn }. Dann ist {w1 , ..., wn } eine Basis.
Frage Ist die folgende Menge A eine Basis in R2 ?
1
1
,
A :=
−1
1
Ja! Tatsächlich, jedes Element der Standard-Basis in R2 ist eine
Linearkombination der Elemente aus A:
1
1
1
1
1
=
+
,
0
1
−1
2
2
0
1
Korollar (b) Sei {v1 , ..., vn } eine Basis im Vektorraum (V , +, ◦). Für
{w1 , ..., wn } gelte: jedes vi ist eine Linearkombination von Elementen aus
{w1 , ..., wn }. Dann ist {w1 , ..., wn } eine Basis.
Frage Ist die folgende Menge A eine Basis in R2 ?
1
1
,
A :=
−1
1
Ja! Tatsächlich, jedes Element der Standard-Basis in R2 ist eine
Linearkombination der Elemente aus A:
1
1
1
1
1
=
+
,
0
1
−1
2
2
0
1
1
=
2
1
1
1
−
2
1
−1
,
Korollar (b) Sei {v1 , ..., vn } eine Basis im Vektorraum (V , +, ◦). Für
{w1 , ..., wn } gelte: jedes vi ist eine Linearkombination von Elementen aus
{w1 , ..., wn }. Dann ist {w1 , ..., wn } eine Basis.
Frage Ist die folgende Menge A eine Basis in R2 ?
1
1
,
A :=
−1
1
Ja! Tatsächlich, jedes Element der Standard-Basis in R2 ist eine
Linearkombination der Elemente aus A:
1
1
1
1
1
=
+
,
0
1
−1
2
2
0
1
1
=
2
1
1
1
−
2
Nach Korollar (b) ist dann A eine Basis.
1
−1
,
Korollar (c) Im endlichdimensionalen Vektorraum kann mann jede linear
unabhängige Menge zu einer Basis ergänzen
Korollar (c) Im endlichdimensionalen Vektorraum kann mann jede linear
unabhängige Menge zu einer Basis ergänzen
Beweis ist Hausaufgabe 1.
Korollar (c) Im endlichdimensionalen Vektorraum kann mann jede linear
unabhängige Menge zu einer Basis ergänzen
Beweis ist Hausaufgabe 1. Ist einfach.
Korollar (c) Im endlichdimensionalen Vektorraum kann mann jede linear
unabhängige Menge zu einer Basis ergänzen
Beweis ist Hausaufgabe 1. Ist einfach. Benutzen sie
Korollar (c) Im endlichdimensionalen Vektorraum kann mann jede linear
unabhängige Menge zu einer Basis ergänzen
Beweis ist Hausaufgabe 1. Ist einfach. Benutzen sie Austauschsatz.
Korollar (c) Im endlichdimensionalen Vektorraum kann mann jede linear
unabhängige Menge zu einer Basis ergänzen
Beweis ist Hausaufgabe 1. Ist einfach. Benutzen sie Austauschsatz.
Beweis des Austauschsatzes steht in Netz.
Wie Antwortet man auf die Frage: ist eine explizit
gegebene Teilmenge in Rn eine Basis?
Wie Antwortet man auf die Frage: ist eine explizit
gegebene Teilmenge in Rn eine Basis?






n
R ist n-dimensional, weil 





1
0
..
.


 
 
 , 
 
0
Basis ist. (heißt Standard-Basis von Rn )
0
1
..
.
0



 , ...,






0
0
..
.
1






 eine




Wie Antwortet man auf die Frage: ist eine explizit
gegebene Teilmenge in Rn eine Basis?






n
R ist n-dimensional, weil 





1
0
..
.


 
 
 , 
 
0
1
..
.



 , ...,






0
0
..
.






 eine




1
0
0
Basis ist. (heißt Standard-Basis von Rn )
Gegeben eine explizit gegebene Teilmenge A = {v1 , ..., vk } ⊆ Rn , wie kan
mann verstehen ob diese Teilmenge eine Basis ist?
Wie Antwortet man auf die Frage: ist eine explizit
gegebene Teilmenge in Rn eine Basis?






n
R ist n-dimensional, weil 





1
0
..
.


 
 
 , 
 
0
1
..
.



 , ...,






0
0
..
.






 eine




1
0
0
Basis ist. (heißt Standard-Basis von Rn )
Gegeben eine explizit gegebene Teilmenge A = {v1 , ..., vk } ⊆ Rn , wie kan
mann verstehen ob diese Teilmenge eine Basis ist?
Falls k 6= n ist, ist A keine Basis (Satz 6).
Wie Antwortet man auf die Frage: ist eine explizit
gegebene Teilmenge in Rn eine Basis?






n
R ist n-dimensional, weil 





1
0
..
.


 
 
 , 
 
0
1
..
.



 , ...,






0
0
..
.






 eine




1
0
0
Basis ist. (heißt Standard-Basis von Rn )
Gegeben eine explizit gegebene Teilmenge A = {v1 , ..., vk } ⊆ Rn , wie kan
mann verstehen ob diese Teilmenge eine Basis ist?
Falls k 6= n ist, ist A keine Basis (Satz 6).
Angenommen k = n. Dann entweder benutzt man Korollar (a):
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = ~0
Wie Antwortet man auf die Frage: ist eine explizit
gegebene Teilmenge in Rn eine Basis?






n
R ist n-dimensional, weil 





1
0
..
.


 
 
 , 
 
0
1
..
.



 , ...,






0
0
..
.






 eine




1
0
0
Basis ist. (heißt Standard-Basis von Rn )
Gegeben eine explizit gegebene Teilmenge A = {v1 , ..., vk } ⊆ Rn , wie kan
mann verstehen ob diese Teilmenge eine Basis ist?
Falls k 6= n ist, ist A keine Basis (Satz 6).
Angenommen k = n. Dann entweder benutzt man Korollar (a):
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = ~0
ist ein System von n linearen Gleichungen auf n unbekannten λ1 , ..., λn ;
Wie Antwortet man auf die Frage: ist eine explizit
gegebene Teilmenge in Rn eine Basis?






n
R ist n-dimensional, weil 





1
0
..
.


 
 
 , 
 
0
1
..
.



 , ...,






0
0
..
.






 eine




1
0
0
Basis ist. (heißt Standard-Basis von Rn )
Gegeben eine explizit gegebene Teilmenge A = {v1 , ..., vk } ⊆ Rn , wie kan
mann verstehen ob diese Teilmenge eine Basis ist?
Falls k 6= n ist, ist A keine Basis (Satz 6).
Angenommen k = n. Dann entweder benutzt man Korollar (a):
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = ~0
ist ein System von n linearen Gleichungen auf n unbekannten λ1 , ..., λn ;
man löst sie.
Wie Antwortet man auf die Frage: ist eine explizit
gegebene Teilmenge in Rn eine Basis?






n
R ist n-dimensional, weil 





1
0
..
.


 
 
 , 
 
0
1
..
.



 , ...,






0
0
..
.






 eine




1
0
0
Basis ist. (heißt Standard-Basis von Rn )
Gegeben eine explizit gegebene Teilmenge A = {v1 , ..., vk } ⊆ Rn , wie kan
mann verstehen ob diese Teilmenge eine Basis ist?
Falls k 6= n ist, ist A keine Basis (Satz 6).
Angenommen k = n. Dann entweder benutzt man Korollar (a):
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = ~0
ist ein System von n linearen Gleichungen auf n unbekannten λ1 , ..., λn ;
man löst sie. Gibt es eine Lösung (λ1 , ..., λn ) 6= (0, ..., 0),
Wie Antwortet man auf die Frage: ist eine explizit
gegebene Teilmenge in Rn eine Basis?






n
R ist n-dimensional, weil 





1
0
..
.


 
 
 , 
 
0
1
..
.



 , ...,






0
0
..
.






 eine




1
0
0
Basis ist. (heißt Standard-Basis von Rn )
Gegeben eine explizit gegebene Teilmenge A = {v1 , ..., vk } ⊆ Rn , wie kan
mann verstehen ob diese Teilmenge eine Basis ist?
Falls k 6= n ist, ist A keine Basis (Satz 6).
Angenommen k = n. Dann entweder benutzt man Korollar (a):
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = ~0
ist ein System von n linearen Gleichungen auf n unbekannten λ1 , ..., λn ;
man löst sie. Gibt es eine Lösung (λ1 , ..., λn ) 6= (0, ..., 0), so ist A linear
abhängig,
Wie Antwortet man auf die Frage: ist eine explizit
gegebene Teilmenge in Rn eine Basis?






n
R ist n-dimensional, weil 





1
0
..
.


 
 
 , 
 
0
1
..
.



 , ...,






0
0
..
.






 eine




1
0
0
Basis ist. (heißt Standard-Basis von Rn )
Gegeben eine explizit gegebene Teilmenge A = {v1 , ..., vk } ⊆ Rn , wie kan
mann verstehen ob diese Teilmenge eine Basis ist?
Falls k 6= n ist, ist A keine Basis (Satz 6).
Angenommen k = n. Dann entweder benutzt man Korollar (a):
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = ~0
ist ein System von n linearen Gleichungen auf n unbekannten λ1 , ..., λn ;
man löst sie. Gibt es eine Lösung (λ1 , ..., λn ) 6= (0, ..., 0), so ist A linear
abhängig, also keine Basis.
Wie Antwortet man auf die Frage: ist eine explizit
gegebene Teilmenge in Rn eine Basis?






n
R ist n-dimensional, weil 





1
0
..
.


 
 
 , 
 
0
1
..
.



 , ...,






0
0
..
.






 eine




1
0
0
Basis ist. (heißt Standard-Basis von Rn )
Gegeben eine explizit gegebene Teilmenge A = {v1 , ..., vk } ⊆ Rn , wie kan
mann verstehen ob diese Teilmenge eine Basis ist?
Falls k 6= n ist, ist A keine Basis (Satz 6).
Angenommen k = n. Dann entweder benutzt man Korollar (a):
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = ~0
ist ein System von n linearen Gleichungen auf n unbekannten λ1 , ..., λn ;
man löst sie. Gibt es eine Lösung (λ1 , ..., λn ) 6= (0, ..., 0), so ist A linear
abhängig, also keine Basis. Gibt es genau eine Lösung
Wie Antwortet man auf die Frage: ist eine explizit
gegebene Teilmenge in Rn eine Basis?






n
R ist n-dimensional, weil 





1
0
..
.


 
 
 , 
 
0
1
..
.



 , ...,






0
0
..
.






 eine




1
0
0
Basis ist. (heißt Standard-Basis von Rn )
Gegeben eine explizit gegebene Teilmenge A = {v1 , ..., vk } ⊆ Rn , wie kan
mann verstehen ob diese Teilmenge eine Basis ist?
Falls k 6= n ist, ist A keine Basis (Satz 6).
Angenommen k = n. Dann entweder benutzt man Korollar (a):
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = ~0
ist ein System von n linearen Gleichungen auf n unbekannten λ1 , ..., λn ;
man löst sie. Gibt es eine Lösung (λ1 , ..., λn ) 6= (0, ..., 0), so ist A linear
abhängig, also keine Basis. Gibt es genau eine Lösung
(λ1 , ..., λn ) = (0, ..., 0),
Wie Antwortet man auf die Frage: ist eine explizit
gegebene Teilmenge in Rn eine Basis?






n
R ist n-dimensional, weil 





1
0
..
.


 
 
 , 
 
0
1
..
.



 , ...,






0
0
..
.






 eine




1
0
0
Basis ist. (heißt Standard-Basis von Rn )
Gegeben eine explizit gegebene Teilmenge A = {v1 , ..., vk } ⊆ Rn , wie kan
mann verstehen ob diese Teilmenge eine Basis ist?
Falls k 6= n ist, ist A keine Basis (Satz 6).
Angenommen k = n. Dann entweder benutzt man Korollar (a):
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = ~0
ist ein System von n linearen Gleichungen auf n unbekannten λ1 , ..., λn ;
man löst sie. Gibt es eine Lösung (λ1 , ..., λn ) 6= (0, ..., 0), so ist A linear
abhängig, also keine Basis. Gibt es genau eine Lösung
(λ1 , ..., λn ) = (0, ..., 0), so ist A linear unabhängig
Wie Antwortet man auf die Frage: ist eine explizit
gegebene Teilmenge in Rn eine Basis?






n
R ist n-dimensional, weil 





1
0
..
.


 
 
 , 
 
0
1
..
.



 , ...,






0
0
..
.






 eine




1
0
0
Basis ist. (heißt Standard-Basis von Rn )
Gegeben eine explizit gegebene Teilmenge A = {v1 , ..., vk } ⊆ Rn , wie kan
mann verstehen ob diese Teilmenge eine Basis ist?
Falls k 6= n ist, ist A keine Basis (Satz 6).
Angenommen k = n. Dann entweder benutzt man Korollar (a):
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = ~0
ist ein System von n linearen Gleichungen auf n unbekannten λ1 , ..., λn ;
man löst sie. Gibt es eine Lösung (λ1 , ..., λn ) 6= (0, ..., 0), so ist A linear
abhängig, also keine Basis. Gibt es genau eine Lösung
(λ1 , ..., λn ) = (0, ..., 0), so ist A linear unabhängig und nach Korollar (a)
eine Basis.
Oder benutzt mann Korollar (b): Man versucht alle Elemente der
Standard-Basis als Linearkombinationen darzustellen.
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦),
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V .
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V . Die Koordinaten des Vektors w in dieser Basis
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V . Die
des Vektors w in dieser Basis ist die

 Koordinaten
λ1


n-Tupel von Zahlen  ... 
λn
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V . Die
des Vektors w in dieser Basis ist die

 Koordinaten
λ1


n-Tupel von Zahlen  ...  so dass
λn
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V . Die
des Vektors w in dieser Basis ist die

 Koordinaten
λ1


n-Tupel von Zahlen  ...  so dass
λn
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = w .
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V . Die
des Vektors w in dieser Basis ist die

 Koordinaten
λ1


n-Tupel von Zahlen  ...  so dass
λn
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = w .
Bemerkung
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V . Die
des Vektors w in dieser Basis ist die

 Koordinaten
λ1


n-Tupel von Zahlen  ...  so dass
λn
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = w .
Bemerkung
Nach der Definition gibt es solche Zahlen λi ,
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V . Die
des Vektors w in dieser Basis ist die

 Koordinaten
λ1


n-Tupel von Zahlen  ...  so dass
λn
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = w .
Bemerkung Nach der Definition gibt es solche Zahlen λi , nach Satz 4
sind sie eindeutig.
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V . Die
des Vektors w in dieser Basis ist die

 Koordinaten
λ1


n-Tupel von Zahlen  ...  so dass
λn
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = w .
Bemerkung Nach der Definition gibt es solche Zahlen λi , nach Satz 4
sind sie eindeutig.
Bsp. Betrachte R2
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V . Die
des Vektors w in dieser Basis ist die

 Koordinaten
λ1


n-Tupel von Zahlen  ...  so dass
λn
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = w .
Bemerkung Nach der Definition gibt es solche Zahlen λi , nach Satz 4
sind sie eindeutig.
0
1
2
,
Bsp. Betrachte R mit der Standard-Basis.
1
0
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V . Die
des Vektors w in dieser Basis ist die

 Koordinaten
λ1


n-Tupel von Zahlen  ...  so dass
λn
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = w .
Bemerkung Nach der Definition gibt es solche Zahlen λi , nach Satz 4
sind sie eindeutig.
0
1
2
,
Bsp. Betrachte R mit der Standard-Basis.
1
0
Dann die Koordinaten eines Vektors
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V . Die
des Vektors w in dieser Basis ist die

 Koordinaten
λ1


n-Tupel von Zahlen  ...  so dass
λn
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = w .
Bemerkung Nach der Definition gibt es solche Zahlen λi , nach Satz 4
sind sie eindeutig.
0
1
2
,
Bsp. Betrachte R mit der Standard-Basis.
1
0
x
Dann die Koordinaten eines Vektors
y
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V . Die
des Vektors w in dieser Basis ist die

 Koordinaten
λ1


n-Tupel von Zahlen  ...  so dass
λn
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = w .
Bemerkung Nach der Definition gibt es solche Zahlen λi , nach Satz 4
sind sie eindeutig.
0
1
2
,
Bsp. Betrachte R mit der Standard-Basis.
0
1 x
x
Dann die Koordinaten eines Vektors
ist das Paar
,
y
y
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V . Die
des Vektors w in dieser Basis ist die

 Koordinaten
λ1


n-Tupel von Zahlen  ...  so dass
λn
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = w .
Bemerkung Nach der Definition gibt es solche Zahlen λi , nach Satz 4
sind sie eindeutig.
0
1
2
,
Bsp. Betrachte R mit der Standard-Basis.
0
1 x
x
Dann die Koordinaten eines Vektors
ist das Paar
, weil
y
y
Koordinaten in einer Basis
Definition 11 {v1 , ..., vn } sei eine (geordnete) Basis im Vektorraum
(V , +, ◦), w ∈ V . Die
des Vektors w in dieser Basis ist die

 Koordinaten
λ1


n-Tupel von Zahlen  ...  so dass
λn
λ1 v1 + λ2 v2 + ... + λn vn = w .
Bemerkung Nach der Definition gibt es solche Zahlen λi , nach Satz 4
sind sie eindeutig.
0
1
2
,
Bsp. Betrachte R mit der Standard-Basis.
0
1 x
x
Dann die Koordinaten eines Vektors
ist das Paar
, weil
y
y
1
0
x
x
+y
=
0
y
1
Bsp. Betrachten wir die Basis
1
1
A :=
,
.
1
−1
Welche Koordinaten hat der Vektor
Bsp. Betrachten wir die Basis
1
1
A :=
,
.
1
−1
Welche Koordinaten hat der Vektor
0
1
Bsp. Betrachten wir die Basis
1
1
A :=
,
.
1
−1
Welche Koordinaten hat der Vektor
0
1
in der Basis?
Bsp. Betrachten wir die Basis
1
1
A :=
,
.
1
−1
Welche Koordinaten hat der Vektor
Antwort:
0
1
in der Basis?
Bsp. Betrachten wir die Basis
1
1
A :=
,
.
1
−1
Welche Koordinaten hat der Vektor
1 2
Antwort:
,
− 12
0
1
in der Basis?
Bsp. Betrachten wir die Basis
1
1
A :=
,
.
1
−1
Welche Koordinaten hat der Vektor
1 2
Antwort:
, weil
− 12
0
1
in der Basis?
Bsp. Betrachten wir die Basis
1
1
A :=
,
.
1
−1
0
Welche Koordinaten hat der Vektor
in der Basis?
1
1 0
1
1
1
1
2
Antwort:
, weil
=2
−2
1
1
−1
− 12
Bsp. Betrachten wir die Basis
1
1
A :=
,
.
1
−1
0
Welche Koordinaten hat der Vektor
in der Basis?
1
1 0
1
1
1
1
2
Antwort:
, weil
=2
−2
1
1
−1
− 12
Wie findet man die Koordinaten eines Vektors in einem
Basis (z.B. in Rn )?
Wie findet man die Koordinaten eines Vektors in einem
Basis (z.B. in Rn )?
Z.B. nach Definition:
Wie findet man die Koordinaten eines Vektors in einem
Basis (z.B. in Rn )?
Z.B. nach Definition:
Sei {v1 , ..., vn } eine Basis in Rn ,
Wie findet man die Koordinaten eines Vektors in einem
Basis (z.B. in Rn )?
Z.B. nach Definition:
Sei {v1 , ..., vn } eine Basis in Rn , u sei ein Vektor.
Wie findet man die Koordinaten eines Vektors in einem
Basis (z.B. in Rn )?
Z.B. nach Definition:
Sei {v1 , ..., vn } eine Basis in Rn , u sei ein Vektor. Alle Vektoren v1 , ..., vn ,
u seien explizit gegeben:
 1 
v1
 v12 


v1 :=  . ,
 .. 
v1n
Wie findet man die Koordinaten eines Vektors in einem
Basis (z.B. in Rn )?
Z.B. nach Definition:
Sei {v1 , ..., vn } eine Basis in Rn , u sei ein Vektor. Alle Vektoren v1 , ..., vn ,
u seien explizit gegeben:
 1 
 1 
v1
vn
 v12 
 vn2 




v1 :=  . , ..., vn :=  . ,
 .. 
 .. 
v1n
vnn
Wie findet man die Koordinaten eines Vektors in einem
Basis (z.B. in Rn )?
Z.B. nach Definition:
Sei {v1 , ..., vn } eine Basis in Rn , u sei ein Vektor. Alle Vektoren v1 , ..., vn ,
u seien explizit gegeben:
 1 
 1 
 1 
v1
vn
u
 v12 
 vn2 
 u2 






v1 :=  . , ..., vn :=  . ,
u =  . ,
 .. 
 .. 
 .. 
v1n
vnn
un
Wie findet man die Koordinaten eines Vektors in einem
Basis (z.B. in Rn )?
Z.B. nach Definition:
Sei {v1 , ..., vn } eine Basis in Rn , u sei ein Vektor. Alle Vektoren v1 , ..., vn ,
u seien explizit gegeben:
 1 
 1 
 1 
v1
vn
u
 v12 
 vn2 
 u2 






v1 :=  . , ..., vn :=  . ,
u =  . ,
 .. 
 .. 
 .. 
v1n
vnn
un
wobei alle vij explizit gegebene Zahlen sind.
Wie findet man die Koordinaten eines Vektors in einem
Basis (z.B. in Rn )?
Z.B. nach Definition:
Sei {v1 , ..., vn } eine Basis in Rn , u sei ein Vektor. Alle Vektoren v1 , ..., vn ,
u seien explizit gegeben:
 1 
 1 
 1 
v1
vn
u
 v12 
 vn2 
 u2 






v1 :=  . , ..., vn :=  . ,
u =  . ,
 .. 
 .. 
 .. 
v1n
vnn
un
wobei alle vij explizit gegebene Zahlen sind.
Nach definition sind die Koordinaten des Vektors u die Zahlen λ1 , ..., λn
Wie findet man die Koordinaten eines Vektors in einem
Basis (z.B. in Rn )?
Z.B. nach Definition:
Sei {v1 , ..., vn } eine Basis in Rn , u sei ein Vektor. Alle Vektoren v1 , ..., vn ,
u seien explizit gegeben:
 1 
 1 
 1 
v1
vn
u
 v12 
 vn2 
 u2 






v1 :=  . , ..., vn :=  . ,
u =  . ,
 .. 
 .. 
 .. 
v1n
vnn
un
wobei alle vij explizit gegebene Zahlen sind.
Nach definition sind die Koordinaten des Vektors u die Zahlen λ1 , ..., λn
so dass λ1 v1
Wie findet man die Koordinaten eines Vektors in einem
Basis (z.B. in Rn )?
Z.B. nach Definition:
Sei {v1 , ..., vn } eine Basis in Rn , u sei ein Vektor. Alle Vektoren v1 , ..., vn ,
u seien explizit gegeben:
 1 
 1 
 1 
v1
vn
u
 v12 
 vn2 
 u2 






v1 :=  . , ..., vn :=  . ,
u =  . ,
 .. 
 .. 
 .. 
v1n
vnn
un
wobei alle vij explizit gegebene Zahlen sind.
Nach definition sind die Koordinaten des Vektors u die Zahlen λ1 , ..., λn
so dass λ1 v1 + ... + λn vn
Wie findet man die Koordinaten eines Vektors in einem
Basis (z.B. in Rn )?
Z.B. nach Definition:
Sei {v1 , ..., vn } eine Basis in Rn , u sei ein Vektor. Alle Vektoren v1 , ..., vn ,
u seien explizit gegeben:
 1 
 1 
 1 
v1
vn
u
 v12 
 vn2 
 u2 






v1 :=  . , ..., vn :=  . ,
u =  . ,
 .. 
 .. 
 .. 
v1n
vnn
un
wobei alle vij explizit gegebene Zahlen sind.
Nach definition sind die Koordinaten des Vektors u die Zahlen λ1 , ..., λn
so dass λ1 v1 + ... + λn vn = u.
Wie findet man die Koordinaten eines Vektors in einem
Basis (z.B. in Rn )?
Z.B. nach Definition:
Sei {v1 , ..., vn } eine Basis in Rn , u sei ein Vektor. Alle Vektoren v1 , ..., vn ,
u seien explizit gegeben:
 1 
 1 
 1 
v1
vn
u
 v12 
 vn2 
 u2 






v1 :=  . , ..., vn :=  . ,
u =  . ,
 .. 
 .. 
 .. 
v1n
vnn
un
wobei alle vij explizit gegebene Zahlen sind.
Nach definition sind die Koordinaten des Vektors u die Zahlen λ1 , ..., λn
so dass λ1 v1 + ... + λn vn = u.
 1 
v1
 v12 


λ1  . 
 .. 
v1n
Wie findet man die Koordinaten eines Vektors in einem
Basis (z.B. in Rn )?
Z.B. nach Definition:
Sei {v1 , ..., vn } eine Basis in Rn , u sei ein Vektor. Alle Vektoren v1 , ..., vn ,
u seien explizit gegeben:
 1 
 1 
 1 
v1
vn
u
 v12 
 vn2 
 u2 






v1 :=  . , ..., vn :=  . ,
u =  . ,
 .. 
 .. 
 .. 
v1n
vnn
un
wobei alle vij explizit gegebene Zahlen sind.
Nach definition sind die Koordinaten des Vektors u die Zahlen λ1 , ..., λn
so dass λ1 v1 + ... + λn vn = u.
 1 
 1   1 
u
v1
vn
 v12 
 vn2   u 2 

 



λ1  .  + ... + λn  .  =  .  ,
 .. 
 ..   .. 
un
v1n
vnn



λ1 

v11
v12
..
.
v1n






 + ... + λn 


vn1
vn2
..
.
vnn


 
 
=
 
u1
u2
..
.
un



,




λ1 

v11
v12
..
.
v1n






 + ... + λn 


und das ist das System
vn1
vn2
..
.
vnn


 
 
=
 
u1
u2
..
.
un



,




λ1 

v11
v12
..
.
v1n






 + ... + λn 


vn1
vn2
..
.
vnn


 
 
=
 
u1
u2
..
.
un
und das ist das System

λ1 v11 + λ2 v21 + ... + λn vn1 = u 1



 λ1 v 2 + λ2 v 2 + ... + λn v 2 = u 2
n
1
2
..

.



λ1 v1n + λ2 v2n + ... + λn vnn = u n



,




λ1 

v11
v12
..
.
v1n






 + ... + λn 


vn1
vn2
..
.
vnn


 
 
=
 
u1
u2
..
.
un
und das ist das System

λ1 v11 + λ2 v21 + ... + λn vn1 = u 1



 λ1 v 2 + λ2 v 2 + ... + λn v 2 = u 2
n
1
2
..

.



λ1 v1n + λ2 v2n + ... + λn vnn = u n
von Gleichungen auf Unbekannten λ1 , ..., λn .



,




λ1 

v11
v12
..
.
v1n






 + ... + λn 


vn1
vn2
..
.
vnn


 
 
=
 
u1
u2
..
.
un
und das ist das System

λ1 v11 + λ2 v21 + ... + λn vn1 = u 1



 λ1 v 2 + λ2 v 2 + ... + λn v 2 = u 2
n
1
2
..

.



λ1 v1n + λ2 v2n + ... + λn vnn = u n



,

von Gleichungen auf Unbekannten λ1 , ..., λn . (Die vij und u j sind
gegeben.)



λ1 

v11
v12
..
.
v1n






 + ... + λn 


vn1
vn2
..
.
vnn


 
 
=
 
u1
u2
..
.
un
und das ist das System

λ1 v11 + λ2 v21 + ... + λn vn1 = u 1



 λ1 v 2 + λ2 v 2 + ... + λn v 2 = u 2
n
1
2
..

.



λ1 v1n + λ2 v2n + ... + λn vnn = u n



,

von Gleichungen auf Unbekannten λ1 , ..., λn . (Die vij und u j sind
gegeben.) Die Lösung existiert, ist eindeutig (Satz 4)



λ1 

v11
v12
..
.
v1n






 + ... + λn 


vn1
vn2
..
.
vnn


 
 
=
 
u1
u2
..
.
un
und das ist das System

λ1 v11 + λ2 v21 + ... + λn vn1 = u 1



 λ1 v 2 + λ2 v 2 + ... + λn v 2 = u 2
n
1
2
..

.



λ1 v1n + λ2 v2n + ... + λn vnn = u n



,

von Gleichungen auf Unbekannten λ1 , ..., λn . (Die vij und u j sind
gegeben.) Die Lösung existiert, ist eindeutig (Satz 4) und ist die
Koordinten vom Vektor u in der Basis {v1 , ..., vn }.
Aufgabe:
Aufgabe: Finde die Koordinaten des Vektors

2
Aufgabe: Finde die Koordinaten des Vektors u :=  −2 
2


2
Aufgabe: Finde die Koordinaten des Vektors u :=  −2  in der
2
Basis
    

2 
1
 1
 1  ,  2  ,  −1  .


3
3
2


2
Aufgabe: Finde die Koordinaten des Vektors u :=  −2  in der
2
Basis
    

2 
1
 1
 1  ,  2  ,  −1  .


3
3
2

Koordinaten sind die Zahlen λ1 , λ2 , λ3

2
Aufgabe: Finde die Koordinaten des Vektors u :=  −2  in der
2
Basis
    

2 
1
 1
 1  ,  2  ,  −1  .


3
3
2

Koordinaten sind die Zahlen λ1 , λ2 , λ3 so dass
 
1

1 
λ1
2

2
Aufgabe: Finde die Koordinaten des Vektors u :=  −2  in der
2
Basis
    

2 
1
 1
 1  ,  2  ,  −1  .


3
3
2

Koordinaten sind die Zahlen λ1 , λ2 , λ3 so dass
 
 
1
1



2 +
1
+ λ2
λ1
3
2

2
Aufgabe: Finde die Koordinaten des Vektors u :=  −2  in der
2
Basis
    

2 
1
 1
 1  ,  2  ,  −1  .


3
3
2

Koordinaten sind die Zahlen λ1 , λ2 , λ3 so dass


 
 
2
1
1
λ1  1  + λ2  2  + λ3  −1  =
3
3
2

2
Aufgabe: Finde die Koordinaten des Vektors u :=  −2  in der
2
Basis
    

2 
1
 1
 1  ,  2  ,  −1  .


3
3
2

Koordinaten sind die Zahlen λ1 , λ2 , λ3 so dass




 
 
2
2
1
1
λ1  1  + λ2  2  + λ3  −1  =  −2 
2
3
3
2

2
Aufgabe: Finde die Koordinaten des Vektors u :=  −2  in der
2
Basis
    

2 
1
 1
 1  ,  2  ,  −1  .


3
3
2

Koordinaten sind die Zahlen λ1 , λ2 , λ3 so dass




 
 
2
2
1
1
λ1  1  + λ2  2  + λ3  −1  =  −2 
2
3
3
2
Nach addieren von Vektoren bekommen wir

2
Aufgabe: Finde die Koordinaten des Vektors u :=  −2  in der
2
Basis
    

2 
1
 1
 1  ,  2  ,  −1  .


3
3
2

Koordinaten sind die Zahlen λ1 , λ2 , λ3 so dass




 
 
2
2
1
1
λ1  1  + λ2  2  + λ3  −1  =  −2 
2
3
3
2
Nach addieren von Vektoren bekommen wir

λ1 + λ2 + 2λ3


2
Aufgabe: Finde die Koordinaten des Vektors u :=  −2  in der
2
Basis
    

2 
1
 1
 1  ,  2  ,  −1  .


3
3
2

Koordinaten sind die Zahlen λ1 , λ2 , λ3 so dass




 
 
2
2
1
1
λ1  1  + λ2  2  + λ3  −1  =  −2 
2
3
3
2
Nach addieren von Vektoren bekommen wir

λ1 + λ2 + 2λ3
 λ1 + 2λ2 − λ3

2
Aufgabe: Finde die Koordinaten des Vektors u :=  −2  in der
2
Basis
    

2 
1
 1
 1  ,  2  ,  −1  .


3
3
2

Koordinaten sind die Zahlen λ1 , λ2 , λ3 so dass




 
 
2
2
1
1
λ1  1  + λ2  2  + λ3  −1  =  −2 
2
3
3
2
Nach addieren von Vektoren bekommen wir


λ1 + λ2 + 2λ3
 λ1 + 2λ2 − λ3 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3

2
Aufgabe: Finde die Koordinaten des Vektors u :=  −2  in der
2
Basis
    

2 
1
 1
 1  ,  2  ,  −1  .


3
3
2

Koordinaten sind die Zahlen λ1 , λ2 , λ3 so dass




 
 
2
2
1
1
λ1  1  + λ2  2  + λ3  −1  =  −2 
2
3
3
2
Nach addieren von Vektoren bekommen wir


λ1 + λ2 + 2λ3
 λ1 + 2λ2 − λ3 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3

2
Aufgabe: Finde die Koordinaten des Vektors u :=  −2  in der
2
Basis
    

2 
1
 1
 1  ,  2  ,  −1  .


3
3
2

Koordinaten sind die Zahlen λ1 , λ2 , λ3 so dass




 
 
2
2
1
1
λ1  1  + λ2  2  + λ3  −1  =  −2 
2
3
3
2
Nach addieren von Vektoren bekommen wir




2
λ1 + λ2 + 2λ3
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:



 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3

 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
Eq1
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
Eq1
Eq2
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
Eq1
Eq2
Eq3
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
Wir lösen das System.

 λ1 + λ2 + 2λ3
λ2 − 3λ3

λ2 − λ3
= 2
= −4
= −2
Eq1
Eq2
Eq3
Eq1
Eq2 − Eq1
Eq3 − 2Eq1
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
Wir lösen das System.

 λ1 + λ2 + 2λ3
λ2 − 3λ3

λ2 − λ3
= 2
= −4
= −2
Eq1
Eq2
Eq3
Eq1
Eq2 − Eq1
Eq3 − 2Eq1
Die letzte Gleichungen minus die vorletzte gibt 2λ3 = 2,
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
Wir lösen das System.

 λ1 + λ2 + 2λ3
λ2 − 3λ3

λ2 − λ3
= 2
= −4
= −2
Eq1
Eq2
Eq3
Eq1
Eq2 − Eq1
Eq3 − 2Eq1
Die letzte Gleichungen minus die vorletzte gibt 2λ3 = 2, also λ3 = 1.
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
Wir lösen das System.

 λ1 + λ2 + 2λ3
λ2 − 3λ3

λ2 − λ3
= 2
= −4
= −2
Eq1
Eq2
Eq3
Eq1
Eq2 − Eq1
Eq3 − 2Eq1
Die letzte Gleichungen minus die vorletzte gibt 2λ3 = 2, also λ3 = 1.
Nach einsetzen λ3 = 1 in der letzte Gleichung
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
Wir lösen das System.

 λ1 + λ2 + 2λ3
λ2 − 3λ3

λ2 − λ3
= 2
= −4
= −2
Eq1
Eq2
Eq3
Eq1
Eq2 − Eq1
Eq3 − 2Eq1
Die letzte Gleichungen minus die vorletzte gibt 2λ3 = 2, also λ3 = 1.
Nach einsetzen λ3 = 1 in der letzte Gleichung bekommen wir
λ2 − 1 = −2,
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
Wir lösen das System.

 λ1 + λ2 + 2λ3
λ2 − 3λ3

λ2 − λ3
= 2
= −4
= −2
Eq1
Eq2
Eq3
Eq1
Eq2 − Eq1
Eq3 − 2Eq1
Die letzte Gleichungen minus die vorletzte gibt 2λ3 = 2, also λ3 = 1.
Nach einsetzen λ3 = 1 in der letzte Gleichung bekommen wir
λ2 − 1 = −2, also λ2 = −1.
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
Wir lösen das System.

 λ1 + λ2 + 2λ3
λ2 − 3λ3

λ2 − λ3
= 2
= −4
= −2
Eq1
Eq2
Eq3
Eq1
Eq2 − Eq1
Eq3 − 2Eq1
Die letzte Gleichungen minus die vorletzte gibt 2λ3 = 2, also λ3 = 1.
Nach einsetzen λ3 = 1 in der letzte Gleichung bekommen wir
λ2 − 1 = −2, also λ2 = −1. Nach einsetzen λ3 = 1 und λ2 = −1
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
Wir lösen das System.

 λ1 + λ2 + 2λ3
λ2 − 3λ3

λ2 − λ3
= 2
= −4
= −2
Eq1
Eq2
Eq3
Eq1
Eq2 − Eq1
Eq3 − 2Eq1
Die letzte Gleichungen minus die vorletzte gibt 2λ3 = 2, also λ3 = 1.
Nach einsetzen λ3 = 1 in der letzte Gleichung bekommen wir
λ2 − 1 = −2, also λ2 = −1. Nach einsetzen λ3 = 1 und λ2 = −1 in der
ersten Gleichung
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
Wir lösen das System.

 λ1 + λ2 + 2λ3
λ2 − 3λ3

λ2 − λ3
= 2
= −4
= −2
Eq1
Eq2
Eq3
Eq1
Eq2 − Eq1
Eq3 − 2Eq1
Die letzte Gleichungen minus die vorletzte gibt 2λ3 = 2, also λ3 = 1.
Nach einsetzen λ3 = 1 in der letzte Gleichung bekommen wir
λ2 − 1 = −2, also λ2 = −1. Nach einsetzen λ3 = 1 und λ2 = −1 in der
ersten Gleichung bekommen wir
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
Wir lösen das System.

 λ1 + λ2 + 2λ3
λ2 − 3λ3

λ2 − λ3
= 2
= −4
= −2
Eq1
Eq2
Eq3
Eq1
Eq2 − Eq1
Eq3 − 2Eq1
Die letzte Gleichungen minus die vorletzte gibt 2λ3 = 2, also λ3 = 1.
Nach einsetzen λ3 = 1 in der letzte Gleichung bekommen wir
λ2 − 1 = −2, also λ2 = −1. Nach einsetzen λ3 = 1 und λ2 = −1 in der
ersten Gleichung bekommen wir λ1 − 1 + 2 = 2,
 

λ1 + λ2 + 2λ3
2
 λ1 + 2λ2 − λ3  =  −2 
2λ1 + 3λ2 + 3λ3
2

Das ist ein System von drei Gleichungen:

= 2
 λ1 + λ2 + 2λ3
λ1 + 2λ2 − λ3
= −2

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 2
Wir lösen das System.

 λ1 + λ2 + 2λ3
λ2 − 3λ3

λ2 − λ3
= 2
= −4
= −2
Eq1
Eq2
Eq3
Eq1
Eq2 − Eq1
Eq3 − 2Eq1
Die letzte Gleichungen minus die vorletzte gibt 2λ3 = 2, also λ3 = 1.
Nach einsetzen λ3 = 1 in der letzte Gleichung bekommen wir
λ2 − 1 = −2, also λ2 = −1. Nach einsetzen λ3 = 1 und λ2 = −1 in der
ersten Gleichung bekommen wir λ1 − 1 + 2 = 2, also λ1 = 1.
Antwort:

2
Antwort: Vektor u =  −2 
2




1
2
Antwort: Vektor u =  −2  hat Koordinaten  −1 
1
2




1
2
Antwort: Vektor u =  −2  hat Koordinaten  −1  in der
1
2
Basis

    

2 
1
 1
 1  ,  2  ,  −1  .


3
3
2

In der Vorlesung 2 haben wir Koordinaten auf der Ebene bereits definiert.
In der Vorlesung 2 haben wir Koordinaten auf der Ebene bereits definiert.
◮
Ein kartesisches (descartsches) Koordinatensystem auf E2 besteht
aus zwei orthogonalen orientierenden Geraden.
In der Vorlesung 2 haben wir Koordinaten auf der Ebene bereits definiert.
◮
Ein kartesisches (descartsches) Koordinatensystem auf E2 besteht
aus zwei orthogonalen orientierenden Geraden.
B=(x ,y )
In der Vorlesung 2 haben wir Koordinaten auf der Ebene bereits definiert.
◮
Ein kartesisches (descartsches) Koordinatensystem auf E2 besteht
aus zwei orthogonalen orientierenden Geraden.
◮
Koordinaten eines Punkts P ∈ Ei , i = 2, 3 sind die Abstände
zwischen orthogonalen Projektion des Punktes auf der Geraden und
dem Durschnittpunkt der Geraden mit dem Vorzeichen.
B=(x ,y )
In der Vorlesung 2 haben wir Koordinaten auf der Ebene bereits definiert.
◮
Ein kartesisches (descartsches) Koordinatensystem auf E2 besteht
aus zwei orthogonalen orientierenden Geraden.
◮
Koordinaten eines Punkts P ∈ Ei , i = 2, 3 sind die Abstände
zwischen orthogonalen Projektion des Punktes auf der Geraden und
dem Durschnittpunkt der Geraden mit dem Vorzeichen.
B=(x ,y )
y
A
A=(x ,y )
A
x
A
A
In der Vorlesung 2 haben wir Koordinaten auf der Ebene bereits definiert.
◮
Ein kartesisches (descartsches) Koordinatensystem auf E2 besteht
aus zwei orthogonalen orientierenden Geraden.
◮
Koordinaten eines Punkts P ∈ Ei , i = 2, 3 sind die Abstände
zwischen orthogonalen Projektion des Punktes auf der Geraden und
dem Durschnittpunkt der Geraden mit dem Vorzeichen.
B=(x ,y )
y
B
B
x
B
B
In der Vorlesung 2 haben wir Koordinaten auf der Ebene bereits definiert.
◮
Ein kartesisches (descartsches) Koordinatensystem auf E2 besteht
aus zwei orthogonalen orientierenden Geraden.
◮
Koordinaten eines Punkts P ∈ Ei , i = 2, 3 sind die Abstände
zwischen orthogonalen Projektion des Punktes auf der Geraden und
dem Durschnittpunkt der Geraden mit dem Vorzeichen.
◮
Koordinaten eines Vektors ~v auf der Ebene
B=(x ,y )
y
B
B
x
B
B
In der Vorlesung 2 haben wir Koordinaten auf der Ebene bereits definiert.
◮
Ein kartesisches (descartsches) Koordinatensystem auf E2 besteht
aus zwei orthogonalen orientierenden Geraden.
◮
Koordinaten eines Punkts P ∈ Ei , i = 2, 3 sind die Abstände
zwischen orthogonalen Projektion des Punktes auf der Geraden und
dem Durschnittpunkt der Geraden mit dem Vorzeichen.
◮
Koordinaten eines Vektors ~v auf der Ebene (mit Repräsentanten
(AB))
B=(x ,y )
B
A=(x ,y )
A
A
B
In der Vorlesung 2 haben wir Koordinaten auf der Ebene bereits definiert.
◮
Ein kartesisches (descartsches) Koordinatensystem auf E2 besteht
aus zwei orthogonalen orientierenden Geraden.
◮
Koordinaten eines Punkts P ∈ Ei , i = 2, 3 sind die Abstände
zwischen orthogonalen Projektion des Punktes auf der Geraden und
dem Durschnittpunkt der Geraden mit dem Vorzeichen.
◮
Koordinaten eines Vektors ~v auf der
Ebene (mit
Repräsentanten
xB − xA
(AB)) sind das Paar von Zahlen
.
yB − yA
B=(x ,y )
B
A=(x ,y )
A
A
B
In der Vorlesung 2 haben wir Koordinaten auf der Ebene bereits definiert.
◮
Ein kartesisches (descartsches) Koordinatensystem auf E2 besteht
aus zwei orthogonalen orientierenden Geraden.
◮
Koordinaten eines Punkts P ∈ Ei , i = 2, 3 sind die Abstände
zwischen orthogonalen Projektion des Punktes auf der Geraden und
dem Durschnittpunkt der Geraden mit dem Vorzeichen.
◮
Koordinaten eines Vektors ~v auf der
Ebene (mit
Repräsentanten
xB − xA
(AB)) sind das Paar von Zahlen
.
yB − yA
B=(x ,y )
B
B
A=(x ,y )
A
A
Wir werden jetzt zeigen, dass die neue Definiton mit der alten
übereinstimmt, falls wir die Basisvektoren richtig wählen.
Lin. unabhängige Vektoren,
Lin. unabhängige Vektoren, Basen,
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Ist ∅ eine Basis in E2 × E2 /= ?
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Ist ∅ eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein,
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Ist ∅ eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein, weil E2 × E2 /= nicht aus einem
Vektor besteht.
Ist die Menge A1 := {~v } eine Basis?
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Ist ∅ eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein, weil E2 × E2 /= nicht aus einem
Vektor besteht.
Ist die Menge A1 := {~v } eine Basis?
Falls ~v = ~0,
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Ist ∅ eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein, weil E2 × E2 /= nicht aus einem
Vektor besteht.
Ist die Menge A1 := {~v } eine Basis?
Falls ~v = ~0, dann ist {~v } keine Basis,
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Ist ∅ eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein, weil E2 × E2 /= nicht aus einem
Vektor besteht.
Ist die Menge A1 := {~v } eine Basis?
Falls ~v = ~0, dann ist {~v } keine Basis,
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Ist ∅ eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein, weil E2 × E2 /= nicht aus einem
Vektor besteht.
Ist die Menge A1 := {~v } eine Basis?
Falls ~v = ~0, dann ist {~v } keine Basis, weil sie nicht linear unabhängig
ist:
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Ist ∅ eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein, weil E2 × E2 /= nicht aus einem
Vektor besteht.
Ist die Menge A1 := {~v } eine Basis?
Falls ~v = ~0, dann ist {~v } keine Basis, weil sie nicht linear unabhängig
ist: 1~0 = ~0.
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Ist ∅ eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein, weil E2 × E2 /= nicht aus einem
Vektor besteht.
Ist die Menge A1 := {~v } eine Basis?
Falls ~v = ~0, dann ist {~v } keine Basis, weil sie nicht linear unabhängig
ist: 1~0 = ~0.
Falls ~v 6= ~0, dann ist A1 linear unabhängig.
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Ist ∅ eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein, weil E2 × E2 /= nicht aus einem
Vektor besteht.
Ist die Menge A1 := {~v } eine Basis?
Falls ~v = ~0, dann ist {~v } keine Basis, weil sie nicht linear unabhängig
ist: 1~0 = ~0.
Falls ~v 6= ~0, dann ist A1 linear unabhängig. (Vorlesung 4)
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Ist ∅ eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein, weil E2 × E2 /= nicht aus einem
Vektor besteht.
Ist die Menge A1 := {~v } eine Basis?
Falls ~v = ~0, dann ist {~v } keine Basis, weil sie nicht linear unabhängig
ist: 1~0 = ~0.
Falls ~v 6= ~0, dann ist A1 linear unabhängig. (Vorlesung 4) Lass uns dass
auch geometrisch verstehen:
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Ist ∅ eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein, weil E2 × E2 /= nicht aus einem
Vektor besteht.
Ist die Menge A1 := {~v } eine Basis?
Falls ~v = ~0, dann ist {~v } keine Basis, weil sie nicht linear unabhängig
ist: 1~0 = ~0.
Falls ~v 6= ~0, dann ist A1 linear unabhängig. (Vorlesung 4) Lass uns dass
auch geometrisch verstehen:
B
B1
V
A
A1
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Ist ∅ eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein, weil E2 × E2 /= nicht aus einem
Vektor besteht.
Ist die Menge A1 := {~v } eine Basis?
Falls ~v = ~0, dann ist {~v } keine Basis, weil sie nicht linear unabhängig
ist: 1~0 = ~0.
Falls ~v 6= ~0, dann ist A1 linear unabhängig. (Vorlesung 4) Lass uns dass
auch geometrisch verstehen:
B
B1
V
A
A1
Lin. unabhängige Vektoren, Basen, Untervektorräume,
Koordinaten auf der Ebene.
Ist ∅ eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein, weil E2 × E2 /= nicht aus einem
Vektor besteht.
Ist die Menge A1 := {~v } eine Basis?
Falls ~v = ~0, dann ist {~v } keine Basis, weil sie nicht linear unabhängig
ist: 1~0 = ~0.
Falls ~v 6= ~0, dann ist A1 linear unabhängig. (Vorlesung 4) Lass uns dass
auch geometrisch verstehen:
B
B1
V
A
A1
Der Vektor λ~v hat die Länge |λ||~v | und deswegen ist nicht ~0 für λ 6= 0.
Ist {~v } eine Basis in E2 × E2 /= ?
Ist {~v } eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein
Ist {~v } eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein
Weil jedes Vektor ~u
Ist {~v } eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein
Weil jedes Vektor ~u muss eine Linearkombination von Vektoren aus
Basis sein,
Ist {~v } eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein
Weil jedes Vektor ~u muss eine Linearkombination von Vektoren aus
Basis sein, in unserem Fall ~u = λ~v ,
Ist {~v } eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein
Weil jedes Vektor ~u muss eine Linearkombination von Vektoren aus
Basis sein, in unserem Fall ~u = λ~v , was nicht immer der Fall ist.
Ist {~v } eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein
Weil jedes Vektor ~u muss eine Linearkombination von Vektoren aus
Basis sein, in unserem Fall ~u = λ~v , was nicht immer der Fall ist.
B
B1
v
A
A1
A1
u
B1
Ist {~v } eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein
Weil jedes Vektor ~u muss eine Linearkombination von Vektoren aus
Basis sein, in unserem Fall ~u = λ~v , was nicht immer der Fall ist.
B
B1
v
A
A1
u
B1
A1
Auf dem Bild ist die Gerade A1 B1 nicht parallel zur Gerade AB,
Ist {~v } eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein
Weil jedes Vektor ~u muss eine Linearkombination von Vektoren aus
Basis sein, in unserem Fall ~u = λ~v , was nicht immer der Fall ist.
B
B1
v
A
A1
u
B1
A1
Auf dem Bild ist die Gerade A1 B1 nicht parallel zur Gerade AB,
und deswegen der Vektor
Ist {~v } eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein
Weil jedes Vektor ~u muss eine Linearkombination von Vektoren aus
Basis sein, in unserem Fall ~u = λ~v , was nicht immer der Fall ist.
B
B1
v
A
A1
u
B1
A1
Auf dem Bild ist die Gerade A1 B1 nicht parallel zur Gerade AB,
und deswegen der Vektor u mit dem Repräsentanten (A1 , B1 ) ist
nicht
Ist {~v } eine Basis in E2 × E2 /= ? Nein
Weil jedes Vektor ~u muss eine Linearkombination von Vektoren aus
Basis sein, in unserem Fall ~u = λ~v , was nicht immer der Fall ist.
B
B1
v
A
A1
u
B1
A1
Auf dem Bild ist die Gerade A1 B1 nicht parallel zur Gerade AB,
und deswegen der Vektor u mit dem Repräsentanten (A1 , B1 ) ist
nicht λ~v .
Lineare Hülle von {~v }
Sei v ∈ E2 × E2 /= ,
Lineare Hülle von {~v }
Sei v ∈ E2 × E2 /= , ~v 6= 0.
Lineare Hülle von {~v }
Sei v ∈ E2 × E2 /= , ~v 6= 0.
span({~v })
Lineare Hülle von {~v }
Sei v ∈ E2 × E2 /= , ~v 6= 0.
span({~v }) := {λ~v , wobei λ ∈ R}.
Lineare Hülle von {~v }
Sei v ∈ E2 × E2 /= , ~v 6= 0.
span({~v }) := {λ~v , wobei λ ∈ R}.
B
B1
v
A
A1
Lineare Hülle von {~v }
Sei v ∈ E2 × E2 /= , ~v 6= 0.
span({~v }) := {λ~v , wobei λ ∈ R}.
B
B1
v
A
A1
Lineare Hülle von {~v }
Sei v ∈ E2 × E2 /= , ~v 6= 0.
span({~v }) := {λ~v , wobei λ ∈ R}.
B
B1
v
A
A1
Lineare Hülle von {~v }
Sei v ∈ E2 × E2 /= , ~v 6= 0.
span({~v }) := {λ~v , wobei λ ∈ R}.
B
B1
v
A
A1
Lineare Hülle von {~v }
Sei v ∈ E2 × E2 /= , ~v 6= 0.
span({~v }) := {λ~v , wobei λ ∈ R}.
B
B1
v
A
A1
Lineare Hülle von {~v }
Sei v ∈ E2 × E2 /= , ~v 6= 0.
span({~v }) := {λ~v , wobei λ ∈ R}.
B
B1
v
A
A1
Lineare Hülle von {~v }
Sei v ∈ E2 × E2 /= , ~v 6= 0.
span({~v }) := {λ~v , wobei λ ∈ R}.
B
B1
v
A
A1
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen,
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Aussage. Sei A 6= B zwei Punkte auf E2 .
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Aussage. Sei A 6= B zwei Punkte auf E2 . Betrachte den Vektor ~v mit
dem Repräsentant (A, B).
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Aussage. Sei A 6= B zwei Punkte auf E2 . Betrachte den Vektor ~v mit
dem Repräsentant (A, B). Dann gilt:
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Aussage. Sei A 6= B zwei Punkte auf E2 . Betrachte den Vektor ~v mit
dem Repräsentant (A, B). Dann gilt: liegt ~u in span({~v }),
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Aussage. Sei A 6= B zwei Punkte auf E2 . Betrachte den Vektor ~v mit
dem Repräsentant (A, B). Dann gilt: liegt ~u in span({~v }), so kann man
ein Repräsentant des Vektors ~u so wählen,
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Aussage. Sei A 6= B zwei Punkte auf E2 . Betrachte den Vektor ~v mit
dem Repräsentant (A, B). Dann gilt: liegt ~u in span({~v }), so kann man
ein Repräsentant des Vektors ~u so wählen, dass der Anfangspunkt der
Punkt A ist
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Aussage. Sei A 6= B zwei Punkte auf E2 . Betrachte den Vektor ~v mit
dem Repräsentant (A, B). Dann gilt: liegt ~u in span({~v }), so kann man
ein Repräsentant des Vektors ~u so wählen, dass der Anfangspunkt der
Punkt A ist und der Endpunkt auf der Geraden AB liegt. Ferner gilt:
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Aussage. Sei A 6= B zwei Punkte auf E2 . Betrachte den Vektor ~v mit
dem Repräsentant (A, B). Dann gilt: liegt ~u in span({~v }), so kann man
ein Repräsentant des Vektors ~u so wählen, dass der Anfangspunkt der
Punkt A ist und der Endpunkt auf der Geraden AB liegt. Ferner gilt:
jeder Vektor dessen Repräsentant (A, B ′ )
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Aussage. Sei A 6= B zwei Punkte auf E2 . Betrachte den Vektor ~v mit
dem Repräsentant (A, B). Dann gilt: liegt ~u in span({~v }), so kann man
ein Repräsentant des Vektors ~u so wählen, dass der Anfangspunkt der
Punkt A ist und der Endpunkt auf der Geraden AB liegt. Ferner gilt:
jeder Vektor dessen Repräsentant (A, B ′ ) wobei B ′ auf der Geraden AB
liegt,
Lass uns als Repräsentanten der Vektoren λ~v die geordnete Strecken
wählen, deren Anfangspunkte ein fester Punkt ist ( mit A bezeichnet)
B1
v
A
A1
Aussage. Sei A 6= B zwei Punkte auf E2 . Betrachte den Vektor ~v mit
dem Repräsentant (A, B). Dann gilt: liegt ~u in span({~v }), so kann man
ein Repräsentant des Vektors ~u so wählen, dass der Anfangspunkt der
Punkt A ist und der Endpunkt auf der Geraden AB liegt. Ferner gilt:
jeder Vektor dessen Repräsentant (A, B ′ ) wobei B ′ auf der Geraden AB
liegt, liegt in der linearen Hülle von ~v .
E2 × E2/= ist zweidimensional.
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind.
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
Wir zeigen (a):
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v
u
v
.
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v = ~0.
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v = ~0. Z.z.: λ = µ = 0.
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v = ~0. Z.z.: λ = µ = 0.
Ist λ = 0,
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v = ~0. Z.z.: λ = µ = 0.
Ist λ = 0, so ist λ~u + µ~v = µ~v ,
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v = ~0. Z.z.: λ = µ = 0.
Ist λ = 0, so ist λ~u + µ~v = µ~v , und ist ~0 nur wenn µ = 0.
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v = ~0. Z.z.: λ = µ = 0.
Ist λ = 0, so ist λ~u + µ~v = µ~v , und ist ~0 nur wenn µ = 0.
Ist µ = 0, so ist λ~u + µ~v = λ~u , und ist ~0 nur wenn λ = 0.
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v = ~0. Z.z.: λ = µ = 0.
Ist λ = 0, so ist λ~u + µ~v = µ~v , und ist ~0 nur wenn µ = 0.
Ist µ = 0, so ist λ~u + µ~v = λ~u , und ist ~0 nur wenn λ = 0.
Ist λ 6= 0, µ 6= 0,
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v = ~0. Z.z.: λ = µ = 0.
Ist λ = 0, so ist λ~u + µ~v = µ~v , und ist ~0 nur wenn µ = 0.
Ist µ = 0, so ist λ~u + µ~v = λ~u , und ist ~0 nur wenn λ = 0.
Ist λ 6= 0, µ 6= 0, so sind die Vektoren λ~u und µ~v nicht parallel,
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v = ~0. Z.z.: λ = µ = 0.
Ist λ = 0, so ist λ~u + µ~v = µ~v , und ist ~0 nur wenn µ = 0.
Ist µ = 0, so ist λ~u + µ~v = λ~u , und ist ~0 nur wenn λ = 0.
Ist λ 6= 0, µ 6= 0, so sind die Vektoren λ~u und µ~v nicht parallel,
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v = ~0. Z.z.: λ = µ = 0.
Ist λ = 0, so ist λ~u + µ~v = µ~v , und ist ~0 nur wenn µ = 0.
Ist µ = 0, so ist λ~u + µ~v = λ~u , und ist ~0 nur wenn λ = 0.
Ist λ 6= 0, µ 6= 0, so sind die Vektoren λ~u und µ~v nicht parallel,
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v = ~0. Z.z.: λ = µ = 0.
Ist λ = 0, so ist λ~u + µ~v = µ~v , und ist ~0 nur wenn µ = 0.
Ist µ = 0, so ist λ~u + µ~v = λ~u , und ist ~0 nur wenn λ = 0.
Ist λ 6= 0, µ 6= 0, so sind die Vektoren λ~u und µ~v nicht parallel,
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2/= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v = ~0. Z.z.: λ = µ = 0.
Ist λ = 0, so ist λ~u + µ~v = µ~v , und ist ~0 nur wenn µ = 0.
Ist µ = 0, so ist λ~u + µ~v = λ~u , und ist ~0 nur wenn λ = 0.
Ist λ 6= 0, µ 6= 0, so sind die Vektoren λ~u und µ~v nicht parallel,
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2 /= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v = ~0. Z.z.: λ = µ = 0.
Ist λ = 0, so ist λ~u + µ~v = µ~v , und ist ~0 nur wenn µ = 0.
Ist µ = 0, so ist λ~u + µ~v = λ~u , und ist ~0 nur wenn λ = 0.
Ist λ 6= 0, µ 6= 0, so sind die Vektoren λ~u und µ~v nicht parallel, und
deren Summe ist die Diagonal des Parallelogramms
u
v
E2 × E2/= ist zweidimensional.
Betrachte zwei Vektoren ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 deren Repräsentante (geordnete
Strecken) nicht parallel sind. Wir zeigen: die Menge {~u , ~v } ist eine Basis,
d.h.
(a) linear unabhängig
(b) span({~u , ~v }) = E2 × E2 /= .
Wir zeigen (a): Sei λ~u + µ~v = ~0. Z.z.: λ = µ = 0.
Ist λ = 0, so ist λ~u + µ~v = µ~v , und ist ~0 nur wenn µ = 0.
Ist µ = 0, so ist λ~u + µ~v = λ~u , und ist ~0 nur wenn λ = 0.
Ist λ 6= 0, µ 6= 0, so sind die Vektoren λ~u und µ~v nicht parallel, und
deren Summe ist die Diagonal des Parallelogramms und ist nicht ~0.
u
v
Wir zeigen (b):
Wir zeigen (b):
Wir zeigen (b): span({~u , ~v }) = E2 × E2/= :
~ 6= ~0 ein Vektor.
Wir zeigen (b): span({~u , ~v }) = E2 × E2/= : Sei w
~ 6= ~0 ein Vektor.
Wir zeigen (b): span({~u , ~v }) = E2 × E2/= : Sei w
~
Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v , w
Als
~ 6= ~0 ein Vektor. Als
Wir zeigen (b): span({~u , ~v }) = E2 × E2/= : Sei w
~ wählen wir geordnete Strecken mit
Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v , w
gleichem Anfangspunkt
~ 6= ~0 ein Vektor. Als
Wir zeigen (b): span({~u , ~v }) = E2 × E2 /= : Sei w
~ wählen wir geordnete Strecken mit
Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v , w
gleichem Anfangspunkt (wie auf dem Bild).
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ 6= ~0 ein Vektor. Als
Wir zeigen (b): span({~u , ~v }) = E2 × E2 /= : Sei w
~ wählen wir geordnete Strecken mit
Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v , w
gleichem Anfangspunkt (wie auf dem Bild).
~ = ~0, dann ist w
~ = 0~u + 0~v .
Ist w
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ 6= ~0 ein Vektor. Als
Wir zeigen (b): span({~u , ~v }) = E2 × E2 /= : Sei w
~ wählen wir geordnete Strecken mit
Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v , w
gleichem Anfangspunkt (wie auf dem Bild).
~ = ~0, dann ist w
~ = 0~u + 0~v .
Ist w
~ auf der Geraden AB,
Liegt der Endpunkt von des Repräsentanten von w
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ 6= ~0 ein Vektor. Als
Wir zeigen (b): span({~u , ~v }) = E2 × E2 /= : Sei w
~ wählen wir geordnete Strecken mit
Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v , w
gleichem Anfangspunkt (wie auf dem Bild).
~ = ~0, dann ist w
~ = 0~u + 0~v .
Ist w
~ auf der Geraden AB,
Liegt der Endpunkt von des Repräsentanten von w
~ = λ~u
so ist w
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ 6= ~0 ein Vektor. Als
Wir zeigen (b): span({~u , ~v }) = E2 × E2 /= : Sei w
~ wählen wir geordnete Strecken mit
Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v , w
gleichem Anfangspunkt (wie auf dem Bild).
~ = ~0, dann ist w
~ = 0~u + 0~v .
Ist w
~ auf der Geraden AB,
Liegt der Endpunkt von des Repräsentanten von w
~ = λ~u für geeignetes λ,
so ist w
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ 6= ~0 ein Vektor. Als
Wir zeigen (b): span({~u , ~v }) = E2 × E2 /= : Sei w
~ wählen wir geordnete Strecken mit
Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v , w
gleichem Anfangspunkt (wie auf dem Bild).
~ = ~0, dann ist w
~ = 0~u + 0~v .
Ist w
~ auf der Geraden AB,
Liegt der Endpunkt von des Repräsentanten von w
~ = λ~u für geeignetes λ, und deswegen w
~ = λ~u + 0~v .
so ist w
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ 6= ~0 ein Vektor. Als
Wir zeigen (b): span({~u , ~v }) = E2 × E2 /= : Sei w
~ wählen wir geordnete Strecken mit
Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v , w
gleichem Anfangspunkt (wie auf dem Bild).
~ = ~0, dann ist w
~ = 0~u + 0~v .
Ist w
~ auf der Geraden AB,
Liegt der Endpunkt von des Repräsentanten von w
~ = λ~u für geeignetes λ, und deswegen w
~ = λ~u + 0~v .
so ist w
~ auf der Geraden AC ,
Liegt der Endpunkt des Repräsentanten von w
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ 6= ~0 ein Vektor. Als
Wir zeigen (b): span({~u , ~v }) = E2 × E2 /= : Sei w
~ wählen wir geordnete Strecken mit
Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v , w
gleichem Anfangspunkt (wie auf dem Bild).
~ = ~0, dann ist w
~ = 0~u + 0~v .
Ist w
~ auf der Geraden AB,
Liegt der Endpunkt von des Repräsentanten von w
~ = λ~u für geeignetes λ, und deswegen w
~ = λ~u + 0~v .
so ist w
~ auf der Geraden AC , so
Liegt der Endpunkt des Repräsentanten von w
~ = µ~v für geeignetes λ,
ist w
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ 6= ~0 ein Vektor. Als
Wir zeigen (b): span({~u , ~v }) = E2 × E2 /= : Sei w
~ wählen wir geordnete Strecken mit
Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v , w
gleichem Anfangspunkt (wie auf dem Bild).
~ = ~0, dann ist w
~ = 0~u + 0~v .
Ist w
~ auf der Geraden AB,
Liegt der Endpunkt von des Repräsentanten von w
~ = λ~u für geeignetes λ, und deswegen w
~ = λ~u + 0~v .
so ist w
~ auf der Geraden AC , so
Liegt der Endpunkt des Repräsentanten von w
~ = µ~v für geeignetes λ, und deswegen w
~ = 0~u + µ~v .
ist w
D
C’
C
v
A
u
B
B’
Angenommen, der Endpunkt (D)
D
C’
C
v
u
A
B
B’
~
Angenommen, der Endpunkt (D) von des Repräsentanten von w
D
C’
C
v
u
A
B
B’
~ liegt
Angenommen, der Endpunkt (D) von des Repräsentanten von w
weder auf der Geraden AC noch auf der Geraden AB
D
C’
C
v
u
A
B
B’
~ liegt
Angenommen, der Endpunkt (D) von des Repräsentanten von w
weder auf der Geraden AC noch auf der Geraden AB
D
C’
C
v
u
A
B
B’
~ liegt
Angenommen, der Endpunkt (D) von des Repräsentanten von w
weder auf der Geraden AC noch auf der Geraden AB
D
C’
C
v
u
A
B
B’
~ liegt
Angenommen, der Endpunkt (D) von des Repräsentanten von w
weder auf der Geraden AC noch auf der Geraden AB
Sei B ′ der Schnittpunkt der Geraden, die parallel zu AC ist und D
enthält
D
C’
C
v
u
A
B
B’
~ liegt
Angenommen, der Endpunkt (D) von des Repräsentanten von w
weder auf der Geraden AC noch auf der Geraden AB
Sei B ′ der Schnittpunkt der Geraden, die parallel zu AC ist und D
enthält und die Gerade AB
D
C’
C
v
u
A
B
B’
~ liegt
Angenommen, der Endpunkt (D) von des Repräsentanten von w
weder auf der Geraden AC noch auf der Geraden AB
Sei B ′ der Schnittpunkt der Geraden, die parallel zu AC ist und D
enthält und die Gerade AB
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ liegt
Angenommen, der Endpunkt (D) von des Repräsentanten von w
weder auf der Geraden AC noch auf der Geraden AB
Sei B ′ der Schnittpunkt der Geraden, die parallel zu AC ist und D
enthält und die Gerade AB
Sei C ′ der Schnittpunkt der Geraden die parallel zu AB ist und D enthält
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ liegt
Angenommen, der Endpunkt (D) von des Repräsentanten von w
weder auf der Geraden AC noch auf der Geraden AB
Sei B ′ der Schnittpunkt der Geraden, die parallel zu AC ist und D
enthält und die Gerade AB
Sei C ′ der Schnittpunkt der Geraden die parallel zu AB ist und D enthält
und die Gerade AC
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ liegt
Angenommen, der Endpunkt (D) von des Repräsentanten von w
weder auf der Geraden AC noch auf der Geraden AB
Sei B ′ der Schnittpunkt der Geraden, die parallel zu AC ist und D
enthält und die Gerade AB
Sei C ′ der Schnittpunkt der Geraden die parallel zu AB ist und D enthält
und die Gerade AC
Der Vektor mit dem Repräsentanten (AB ′ ) ist proportional zu ~u ,
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ liegt
Angenommen, der Endpunkt (D) von des Repräsentanten von w
weder auf der Geraden AC noch auf der Geraden AB
Sei B ′ der Schnittpunkt der Geraden, die parallel zu AC ist und D
enthält und die Gerade AB
Sei C ′ der Schnittpunkt der Geraden die parallel zu AB ist und D enthält
und die Gerade AC
Der Vektor mit dem Repräsentanten (AB ′ ) ist proportional zu ~u , ist
also λ~u .
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ liegt
Angenommen, der Endpunkt (D) von des Repräsentanten von w
weder auf der Geraden AC noch auf der Geraden AB
Sei B ′ der Schnittpunkt der Geraden, die parallel zu AC ist und D
enthält und die Gerade AB
Sei C ′ der Schnittpunkt der Geraden die parallel zu AB ist und D enthält
und die Gerade AC
Der Vektor mit dem Repräsentanten (AB ′ ) ist proportional zu ~u , ist
also λ~u . Der Vektor mit dem Repräsentanten (AC ′ ) ist proportional zu
~v , ist also µ~v .
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ liegt
Angenommen, der Endpunkt (D) von des Repräsentanten von w
weder auf der Geraden AC noch auf der Geraden AB
Sei B ′ der Schnittpunkt der Geraden, die parallel zu AC ist und D
enthält und die Gerade AB
Sei C ′ der Schnittpunkt der Geraden die parallel zu AB ist und D enthält
und die Gerade AC
Der Vektor mit dem Repräsentanten (AB ′ ) ist proportional zu ~u , ist
also λ~u . Der Vektor mit dem Repräsentanten (AC ′ ) ist proportional zu
~v , ist also µ~v .
Das Viereck AB ′ DC ′ ist ein Parallelogramm
D
C’
C
v
A
u
B
B’
~ liegt
Angenommen, der Endpunkt (D) von des Repräsentanten von w
weder auf der Geraden AC noch auf der Geraden AB
Sei B ′ der Schnittpunkt der Geraden, die parallel zu AC ist und D
enthält und die Gerade AB
Sei C ′ der Schnittpunkt der Geraden die parallel zu AB ist und D enthält
und die Gerade AC
Der Vektor mit dem Repräsentanten (AB ′ ) ist proportional zu ~u , ist
also λ~u . Der Vektor mit dem Repräsentanten (AC ′ ) ist proportional zu
~v , ist also µ~v .
Das Viereck AB ′ DC ′ ist ein Parallelogramm und deswegen
~ = λ~u + µ~v .
w
D
C’
C
v
A
u
B
B’
Wiederholung: Koordinaten eines Vektors w in einem Basis
in E2 × E2 /=
Wiederholung:
Wiederholung: Koordinaten eines Vektors w in einem Basis
in E2 × E2 /=
Wiederholung: zwei Vektoren, die nicht proportional sind, und die
nicht ~0 sind, bilden eine Basis.
Nach Definition 11
Wiederholung: Koordinaten eines Vektors w in einem Basis
in E2 × E2 /=
Wiederholung: zwei Vektoren, die nicht proportional sind, und die
nicht ~0 sind, bilden eine Basis.
~ sind sie die Zahlen λ, µ
Nach Definition 11 Koordinaten eines w
Wiederholung: Koordinaten eines Vektors w in einem Basis
in E2 × E2 /=
Wiederholung: zwei Vektoren, die nicht proportional sind, und die
nicht ~0 sind, bilden eine Basis.
~ sind sie die Zahlen λ, µ
Nach Definition 11 Koordinaten eines
w
λ
werden oft senkrecht geschrieben
µ
Wiederholung: Koordinaten eines Vektors w in einem Basis
in E2 × E2 /=
Wiederholung: zwei Vektoren, die nicht proportional sind, und die
nicht ~0 sind, bilden eine Basis.
~ sind sie die Zahlen λ, µ
Nach Definition 11 Koordinaten eines
w
λ
~.
so dass λ~u + µ~v = w
werden oft senkrecht geschrieben
µ
Wiederholung: Koordinaten eines Vektors w in einem Basis
in E2 × E2 /=
Wiederholung: zwei Vektoren, die nicht proportional sind, und die
nicht ~0 sind, bilden eine Basis.
~ sind sie die Zahlen λ, µ
Nach Definition 11 Koordinaten eines
w
λ
~.
so dass λ~u + µ~v = w
werden oft senkrecht geschrieben
µ
Welche Basisvektoren ~u , ~v entsprechen kartesischen Koordinaten?
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind
,
Y-achse
1
D
C’
yv
v
X-achse
A
u
1
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist,
Y-achse
1
D
C’
yv
v
X-achse
A
u
1
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
Y-achse
1
D
C’
yv
v
X-achse
A
u
1
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Y-achse
1
D
C’
yv
v
X-achse
A
u
1
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 .
Y-achse
1
D
C’
yv
v
X-achse
A
u
1
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
Y-achse
1
D
C’
yv
v
X-achse
A
u
1
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
wählen wir die geordnete Strecken mit Anfangspunt A.
Y-achse
1
D
C’
yv
v
X-achse
A
u
1
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
wählen wir die geordnete Strecken mit Anfangspunt A. Betrachen wir die
Geraden, die diese geordneten Strecken enhalten
Y-achse
1
D
C’
yv
v
X-achse
A
u
1
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
wählen wir die geordnete Strecken mit Anfangspunt A. Betrachen wir die
Geraden, die diese geordneten Strecken enhalten (X -achse und
Y -achse).
Y-achse
1
D
C’
yv
v
X-achse
A
u
1
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
wählen wir die geordnete Strecken mit Anfangspunt A. Betrachen wir die
Geraden, die diese geordneten Strecken enhalten
(X -achse und
x
~ habe Koordinaten
in Basis {~u , ~v },
Y -achse). Vektor w
y
Y-achse
1
D
C’
yv
v
X-achse
A
u
1
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
wählen wir die geordnete Strecken mit Anfangspunt A. Betrachen wir die
Geraden, die diese geordneten Strecken enhalten
(X -achse und
x
~ habe Koordinaten
in Basis {~u , ~v }, also
Y -achse). Vektor w
y
~ = x~u + y~v .
w
Y-achse
1
D
C’
yv
v
X-achse
A
u
1
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
wählen wir die geordnete Strecken mit Anfangspunt A. Betrachen wir die
Geraden, die diese geordneten Strecken enhalten
(X -achse und
x
~ habe Koordinaten
in Basis {~u , ~v }, also
Y -achse). Vektor w
y
~ = x~u + y~v .
w
Y-achse
1
D
C’
yv
v
X-achse
A
u
1
xu
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
wählen wir die geordnete Strecken mit Anfangspunt A. Betrachen wir die
Geraden, die diese geordneten Strecken enhalten
(X -achse und
x
~ habe Koordinaten
in Basis {~u , ~v }, also
Y -achse). Vektor w
y
~ = x~u + y~v .
w
Y-achse
1
D
C’
yv
v
X-achse
A
u
1
xu
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
wählen wir die geordnete Strecken mit Anfangspunt A. Betrachen wir die
Geraden, die diese geordneten Strecken enhalten
(X -achse und
x
~ habe Koordinaten
in Basis {~u , ~v }, also
Y -achse). Vektor w
y
~ = x~u + y~v .
w
Y-achse
1
D
C’
yv
v
X-achse
A
u
1
xu
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
wählen wir die geordnete Strecken mit Anfangspunt A. Betrachen wir die
Geraden, die diese geordneten Strecken enhalten
(X -achse und
x
~ habe Koordinaten
in Basis {~u , ~v }, also
Y -achse). Vektor w
y
~ = x~u + y~v .
w
Y-achse
1
D
C’
yv
v
w
X-achse
A
u
1
xu
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
wählen wir die geordnete Strecken mit Anfangspunt A. Betrachen wir die
Geraden, die diese geordneten Strecken enhalten
(X -achse und
x
~ habe Koordinaten
in Basis {~u , ~v }, also
Y -achse). Vektor w
y
~ = x~u + y~v . Da die Länge von Vektor x~u = |x|,
w
Y-achse
1
D
C’
yv
v
w
X-achse
A
u
1
xu
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
wählen wir die geordnete Strecken mit Anfangspunt A. Betrachen wir die
Geraden, die diese geordneten Strecken enhalten
(X -achse und
x
~ habe Koordinaten
in Basis {~u , ~v }, also
Y -achse). Vektor w
y
~ = x~u + y~v . Da die Länge von Vektor x~u = |x|, ist der Abstand
w
zwischen orthogonalen Projektionen auf die X -Achse und A
Y-achse
1
D
C’
yv
v
w
X-achse
A
u
1
xu
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
wählen wir die geordnete Strecken mit Anfangspunt A. Betrachen wir die
Geraden, die diese geordneten Strecken enhalten
(X -achse und
x
~ habe Koordinaten
in Basis {~u , ~v }, also
Y -achse). Vektor w
y
~ = x~u + y~v . Da die Länge von Vektor x~u = |x|, ist der Abstand
w
zwischen orthogonalen Projektionen auf die X -Achse und A gleich x,
Y-achse
1
D
C’
yv
v
w
X-achse
A
u
1
xu
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
wählen wir die geordnete Strecken mit Anfangspunt A. Betrachen wir die
Geraden, die diese geordneten Strecken enhalten
(X -achse und
x
~ habe Koordinaten
in Basis {~u , ~v }, also
Y -achse). Vektor w
y
~ = x~u + y~v . Da die Länge von Vektor x~u = |x|, ist der Abstand
w
zwischen orthogonalen Projektionen auf die X -Achse und A gleich x,
ist der Abstand zwischen orthogonalen Projektionen auf die Y -Achse und
A gleich y .
Y-achse
1
D
C’
yv
v
w
X-achse
A
u
1
xu
B’
Wir zeigen: Falls die Vektoren ~u , ~v orthogonal sind und deren Länge
gleich 1 ist, dann sind die Koordinaten jedes Vektors in dem Basis {~u , ~v }
gleich die kartesischen Koordinaten.
Nehmen wir ein Punkt A ∈ E2 . Als Repräsentanten der Vektoren ~u , ~v
wählen wir die geordnete Strecken mit Anfangspunt A. Betrachen wir die
Geraden, die diese geordneten Strecken enhalten
(X -achse und
x
~ habe Koordinaten
in Basis {~u , ~v }, also
Y -achse). Vektor w
y
~ = x~u + y~v . Da die Länge von Vektor x~u = |x|, ist der Abstand
w
zwischen orthogonalen Projektionen auf die X -Achse und A gleich x,
ist der Abstand zwischen orthogonalen Projektionen auf die
-Achse und
Y
x
A gleich y . Also, die kartesische Koordinaten sind auch
.
y
Y-achse
1
D
C’
yv
v
w
X-achse
A
u
1
xu
B’
Lemma 10
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis in (V , +, ◦).
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis in (V , +, ◦). Die Koordinaten des
Vektors u bzw. w in der Basis seien
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
x1
.
.
.
xn
B
C
C
A bzw. B
y1
.
.
.
yn
CC.
A
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
x1
.
.
.
xn
C
B
C
A bzw. B
y1
.
.
.
yn
CC. Dann gilt:
A
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
Koordinaten des Vektors u + w sind
x1
.
.
.
xn
C
B
C
A bzw. B
y1
.
.
.
yn
CC. Dann gilt: Die
A
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
C
B
C
A bzw. B
1
C
C
A,
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
y1
.
.
.
yn
CC. Dann gilt: Die
A
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
y
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
Koordinaten des Vektors λu sind
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
y
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
y
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
Beweis.
λx1
.
.
.
λxn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
y
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
0
B
Beweis. Der Vektor u hat Koordinaten B
x1
.
.
.
xn
y
1
C
C
A
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
0
B
Beweis. Der Vektor u hat Koordinaten B
x1
.
.
.
xn
y
1
Def.11
C
C
A ⇔
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
0
B
Beweis. Der Vektor u hat Koordinaten B
x1
.
.
.
xn
y
1
Pn
Def.11
C
C
A ⇔ u = i=1 xi vi .
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
1
C
C
A
0
B
Beweis. Der Vektor u hat Koordinaten B
0 y1 1
B .. C
Vektor v hat Koordinaten B
C
A
.
yn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
x1
.
.
.
xn
y
1
Pn
Def.11
C
C
A ⇔ u = i=1 xi vi . Der
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
1
C
C
A
0
B
Beweis. Der Vektor u hat Koordinaten B
0 y1 1
Def.11
B .. C
Vektor v hat Koordinaten B
C
A ⇔
.
yn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
x1
.
.
.
xn
y
1
Pn
Def.11
C
C
A ⇔ u = i=1 xi vi . Der
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
y
0 x1 1
Pn
Def.11
B .. C
Beweis. Der Vektor u hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 xi vi . Der
xn
0 y1 1
Pn
Def.11
B .. C
Vektor v hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 yi vi .
yn
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
y
0 x1 1
Pn
Def.11
B .. C
Beweis. Der Vektor u hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 xi vi . Der
xn
0 y1 1
Pn
Def.11
B .. C
Vektor v hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 yi vi . Dann u + w
yn
und λu sind
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
y
0 x1 1
Pn
Def.11
B .. C
Beweis. Der Vektor u hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 xi vi . Der
xn
0 y1 1
Pn
Def.11
B .. C
Vektor v hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 yi vi . Dann u + w
yn
und λu sind
u+w =
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
y
0 x1 1
Pn
Def.11
B .. C
Beweis. Der Vektor u hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 xi vi . Der
xn
0 y1 1
Pn
Def.11
B .. C
Vektor v hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 yi vi . Dann u + w
yn
und λu sind
u+w =
n
X
i=1
xi vi +
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
y
0 x1 1
Pn
Def.11
B .. C
Beweis. Der Vektor u hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 xi vi . Der
xn
0 y1 1
Pn
Def.11
B .. C
Vektor v hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 yi vi . Dann u + w
yn
und λu sind
u+w =
n
X
i=1
xi vi +
n
X
i=1
yi vi
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
y
0 x1 1
Pn
Def.11
B .. C
Beweis. Der Vektor u hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 xi vi . Der
xn
0 y1 1
Pn
Def.11
B .. C
Vektor v hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 yi vi . Dann u + w
yn
und λu sind
u+w =
n
X
i=1
xi vi +
n
X
i=1
yi vi =
n
X
i=1
(xi + yi )vi .
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
y
0 x1 1
Pn
Def.11
B .. C
Beweis. Der Vektor u hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 xi vi . Der
xn
0 y1 1
Pn
Def.11
B .. C
Vektor v hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 yi vi . Dann u + w
yn
und λu sind
u+w =
n
X
i=1
λu
xi vi +
n
X
i=1
yi vi =
n
X
i=1
(xi + yi )vi .
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
y
0 x1 1
Pn
Def.11
B .. C
Beweis. Der Vektor u hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 xi vi . Der
xn
0 y1 1
Pn
Def.11
B .. C
Vektor v hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 yi vi . Dann u + w
yn
und λu sind
u+w =
n
X
xi vi +
i=1
i=1
λu = λ
n
X
n
X
i=1
xi vi
yi vi =
n
X
i=1
(xi + yi )vi .
Lemma 10 {v1 , ..., vn } sei eine Basis0in (V1 , +, ◦).0Die 1Koordinaten des
B
Vektors u bzw. w in der Basis seien B
0
B
Koordinaten des Vektors u + w sind B
0
B
Koordinaten des Vektors λu sind B
λx1
.
.
.
λxn
C
B ..1 CC. Dann gilt: Die
C
A bzw. B
. A
yn
1
C
C
A , und für jedes λ ∈ R die
x1
.
.
.
xn
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
y
0 x1 1
Pn
Def.11
B .. C
Beweis. Der Vektor u hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 xi vi . Der
xn
0 y1 1
Pn
Def.11
B .. C
Vektor v hat Koordinaten B
. C
A ⇔ u = i=1 yi vi . Dann u + w
yn
und λu sind
u+w =
n
X
xi vi +
yi vi =
n
X
i=1
xi vi =
n
X
(xi + yi )vi .
i=1
i=1
i=1
λu = λ
n
X
n
X
i=1
λxi vi .