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Modellierung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-HeterobipolarTransistoren Der Technischen Fakultät der Universität Erlangen-Nürnberg zur Erlangung des Grades DOKTOR-INGENIEUR vorgelegt von Oliver Weiß Erlangen - 2005 . Als Dissertation genehmigt von der Technischen Fakultät der Universität Erlangen-Nürnberg Tag der Einreichung : 2. Januar 2006 Tag der Promotion : 19. Mai 2006 Dekan : Prof. Dr.-Ing. Alfred Leipertz Berichterstatter : Prof. Dr.-Ing. Robert Weigel, Prof. Dr.-Ing. Franz-Josef Tegude Modellierung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-HeterobipolarTransistoren Erlangen - 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 2 Stand der Technik 3 2.1 Aufbau eines Heterobipolar-Transistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Beschreibung des Avalancheeffekts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Phänomenologische Beschreibung des Avalancheeffekts . . . . . . 9 2.2.2 Physikalisches Modell nach Poon und Meckwood . . . . . . . . . . 11 2.2.3 Der Übergang vom physikalischen Modell zum Kompaktmodell . . 13 Kompaktmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1 Ebers-Moll-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.2 SPICE-Gummel-Poon-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.3 VBIC-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.4 MEXTRAM-Modell 23 2.3.5 Modellierung des Avalancheeffekts in Kompaktmodellen 2.3 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Problemstellung und Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Herleitung des Ansatzes für das Kompaktmodell des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 31 3.1 Ionisationskoeffizienten in InGaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.1 Messungen der Ionisationskoeffizienten in InGaAs . . . . . . . . . 32 3.1.2 Modelle für Ionisationskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.3 Diskussion der Messungen anhand der Modelle . . . . . . . . . . . 35 Vergleich der physikalischen Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 i ii Inhaltsverzeichnis 3.3 3.4 Eigener Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 Ionisationskoeffizientenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.2 Parametrisierung der Breite der Raumladungszone . . . . . . . . . 44 3.3.3 Analytische Entwicklung des physikalischen Modells nach Lee . . 46 3.3.4 Zusammenfassung des eigenen Ansatzes . . . . . . . . . . . . . . . 47 Diskussion der Modellparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 53 4.1 Transistoraufbau und Messumgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Verifikation des Kompaktmodells bei niedriger Kollektorstromdichte . . . 61 4.3 Separation von Avalancheeffekt und Selbsterwärmung . . . . . . . . . . . 63 4.3.1 Separation mittels Gleichstrommessungen . . . . . . . . . . . . . 66 4.3.2 Separation mittels Wechselstrommessungen . . . . . . . . . . . . . 72 4.3.3 Korrektur der Ausgangskennlinie um Selbsterwärmungseffekte . . 76 Messung des Avalanchestroms bei hoher Kollektorstromdichte . . . . . . 80 4.4.1 Linearer Ansatz für thermische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4.2 Gleichstromkorrektur und Wechselstromkorrektur . . . . . . . . . 84 4.4.3 Gepulste Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.4 4.5 5 Einordnung und Ausblick 91 6 Zusammenfassung 95 7 Summary 97 Literaturverzeichnis 99 Verzeichnis der Symbole und Abkürzungen 107 1 Einführung Die Nachteile der Vakuumröhre lösten Mitte der vierziger Jahre eine gezielte Forschung nach Alternativen aus, die 1947 in der Erfindung des Transistors (transfer resistor) durch Shockley, Bardeen und Brattain mündete [1]. Die ersten theoretischen Beschreibungen durch die Erfinder selbst [2] wurden im Folgenden kontinuierlich ergänzt und weitere Effekte berücksichtigt, um das Verhalten des Transistors so genau wie möglich vorhersagen zu können. In den siebziger Jahren führte die Verfügbarkeit von Rechnern zur Entwicklung von elektrischen Transistormodellen, um schon vor der Herstellung einer Schaltung das elektrische Verhalten der Transistoren zu simulieren. Dabei wurden damals wie heute physikalische und skalierbare Modelle bevorzugt, da sie auch bei einer Änderung der Prozessparameter der Technologie oder der Geometrie des Transistors zu Voraussagen fähig sind. Die Entwicklung von Hochfrequenzschaltungen stellt besonders hohe Anforderungen an die Genauigkeit der Transistormodelle. Speziell bei einer Steigerung der Schaltfrequenz oder bei der Verwendung neuer Materialsysteme müssen in den Transistormodellen zusätzliche Effekte wie z.B. der Avalancheeffekt berücksichtigt werden, die zuvor zur Begrenzung der Rechenzeit vernachlässigt wurden. In modernen Bipolar-Transistoren ermöglichen dünnere Epitaxieschichten, höhere Kollektordotierungen und größere Stromdichten eine Steigerung der Schaltfrequenzen. Diese Vorteile müssen allerdings durch eine gleichzeitig niedrigere Durchbruchspannung erkauft werden. Außerdem deckt sich der Arbeitsbereich hoher Ströme, bei dem diese BipolarTransistoren ihre höchste Schaltfrequenz erreichen, gerade mit dem verstärkten Auftreten des Avalanche-Effekts, woraus sich die zunehmende Notwendigkeit einer präzisen Beschreibung dieses Effekts herleitet. Ziel dieser Arbeit ist es, eine kompakte und doch ausreichend genaue Beschreibung des Avalanche-Effekts und des thermischen Verhaltens von InAlAs/InGaAs-Heterobipolar- 2 1 Einführung Transistoren für Kompaktmodelle zu erarbeiten, um eine möglichst genaue und damit erfolgversprechende Schaltungssimulation im Bereich des Transistordurchbruchs schon in der Entwicklungsphase von Hochfrequenzschaltungen zu ermöglichen. Die vorliegende Arbeit gliedert sich wie folgt: Das anschließende Kapitel gibt einen Überblick über den Stand der Technik bezüglich physikalischer Modelle des Avalancheeffekts und von Kompaktmodellen. In Kapitel 3 führt die Diskussion der Ionisationskoeffizientenmodelle, der physikalischen Modelle und der Parametrisierung des elektrischen Feldes zum Ansatz für ein verbessertes Modell des Avalancheeffekts. Die herausragenden Eigenschaften des Modells - nämlich die Beschreibung des anomalen Ionisationskoeffizienten von InGaAs bei niedrigen elektrischen Feldstärken und die Erweiterung des Gültigkeitsbereichs hinsichtlich der Stromdichten - werden in Kapitel 4 experimentell bestätigt. Bezüglich des zweiten Aspektes wird insbesondere die Separation des Avalancheeffekts von thermischen Effekten anhand von Messungen mit vier unterschiedlichen Methoden untersucht. Schließlich werden die gewonnenen Ergebnisse hinsichtlich ihres Anwendungspotentials diskutiert und ein Ausblick auf zukünftige Entwicklungen gegeben. 2 Stand der Technik 2.1 Aufbau eines Heterobipolar-Transistors Abbildung 2.1 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Bipolartransistors. Die Schichten werden entweder mittels Molekularstrahlepitaxie oder metallorganisch-chemischer Gasphasenepitaxie auf das Substrat aufgewachsen. Daraus kann man Schritt für Schritt den Transistor herausätzen (nicht-planarer Prozess) oder mittels Ionenimplantation Bereiche voneinander isolieren und Kontakte zu den tiefergelegenen Schichten herstellen (planarer Prozess). Der große technologische Vorteil von Bipolartransistoren gegenüber den Feldeffekttransistoren liegt darin, dass die Schichten reproduzierbar sehr dünn aufgewachsen werden können bis in den Bereich von wenigen 10 nm. Bei Feldeffekttransistoren müssen die entsprechenden Strukturen photolithographisch geschrieben werden, deren Ausmaße man nur mit hohem Aufwand auf unter 100 nm reduzieren kann. Abbildung 2.1 zeigt die Struktur eines gängigen Bipolartransistors, dessen Emitter oben liegt. Auch die umgekehrte Variante mit einem obenliegenden Kollektor ist möglich. Sie hat aber den Nachteil, dass die meisten freien Ladungsträger, die vom Emitter aus a) B Passivierung E C S b) E B Isolation Isolation Emitter Basis Kollektor Emitter B Basis C Kollektor Subkollektor Subkollektor Substrat Substrat C Abbildung 2.1: Aufbau eines a) planaren und eines b) nicht-planaren HeterobipolarTransistors. Die geschwärzten Flächen stellen Metallkontakte dar. 3 4 2 Stand der Technik in die Basis eintreten, in den Basiskontakten aufgesammelt werden und nicht bis zum zentral und oben gelegenen Kollektor gelangen. Liegt der Kollektor jedoch unten, dann erstreckt er sich über die gesamte Breite der Basis, so dass die Mehrzahl der freien in die Basis eintretenden Ladungsträger in den Kollektor diffundiert. Der Transistor mit obenliegendem Emitter hat demnach eine höhere Injektionseffizienz. Die Idee, einen Emitter mit größerer Bandlücke zu verwenden um die Leistungsfähigkeit von Bipolartransistoren zu verbessern wurde 1951 von Shockley vorgeschlagen [3] und später von Kroemer umgesetzt [4]. Solch ein Heteroübergang kommt durch die Wahl zweier verschiedener Schichtmaterialien für Basis und Emitter zustande. Ist der Bandabstand im Emitter größer als in der Basis, dann verringert die dadurch gebildete Valenzbandbarriere die Injektion von Löchern von der Basis in den Emitter (Abbildung 2.2). In konventionellen Bipolartransistoren ist dies der dominierende Anteil des Basisstroms, so dass in Heterobipolar-Transistoren bei gleicher Verstärkung höhere Dotierungskonzentrationen der Basis möglich sind. Die hohe Basisdotierung lässt ihrerseits eine dünne Basisschicht zu, die zu einer kleinen Basis-Transitzeit und somit zu einer hohen Transitfrequenz von Heterobipolar-Transistoren führt. Eine vergleichsweise kleine Basis-Bandlücke resultiert zudem in einer niedrigen Schwellspannung, die hinsichtlich der Reduzierung der Leistungsaufnahme hilfreich ist. Als Standardmaterial hat sich das Paar AlGaAs/GaAs als Emitter- bzw. Basismaterial auf GaAs-Substraten herausgebildet, da deren Gitterkonstanten und Ausdehnungskoeffizienten sehr ähnlich sind. Auf InP-Substraten dominiert die in dieser Arbeit verwendete Abbildung 2.2: Typische Bandstruktur eines Heterobipolar-Transistors (nach [5]). Der Unterschied ∆EG zwischen Emitter-Bandlücke EGE und Basis-Bandlücke EGB resultiert in der Leitungsbanddiskontinuität ∆EL und der Valenzbanddiskontinuität ∆EV (∆EG = EGE − EGB = ∆EV + ∆EL ). Bandlücke [eV] 2.1 Aufbau eines Heterobipolar-Transistors 5 2,8 Direct Direkt Indirect Indirekt AlP 2,4 2,0 AlAs GaP AlSb 1,6 InP GaAs 1,2 0,8 GaSb 0,4 InSb InAs 0,0 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 Gitterkonstante [Å] Abbildung 2.3: Bandlücke und Gitterkonstante der typischen Materialien für Heterobipolar-Transistoren (nach Bashar [6]). Kombination InAlAs/InGaAs und das Materialsystem InP/InGaAs [5]. Diese Technologien haben Vorteile aufgrund einer höheren Beweglichkeit der freien Ladungsträger, größeren Bandlückenunterschieden und niedrigerer Oberflächenrekombinationsraten. Die Nachteile sind eine geringere Durchbruchspannung, höhere Leckströme und ein komplizierterer und damit fehleranfälligerer Herstellungsprozess, insbesondere aufgrund der zusätzlich nötigen Anpassung der Gitterkonstanten (Abbildung 2.3). Zu nennen ist auch das SiGe-Materialsystem. Es weist niedrige Oberflächenrekombinationsströme auf und ermöglicht somit selbst bei niederigen Kollektorströmen eine hohe Stromverstärkung. Zu berücksichtigen ist, dass auch auf das breite Wissen der Prozessierung des verwandten Siliziums zurückgegriffen werden kann. Tabelle 2.1 fasst einige Materialkonstanten der gängigsten Halbleitermaterialien zur Herstellung von Heterobipolar-Transistoren zusammen. Die physikalischen Eigenschaften der Verbindung In0,53 Ga0,47 As werden umfassend von Adachi [7] diskutiert. Die Wahl der Dicke und der Dotierung der Kollektorschicht hängt vom Kompromiss zwischen zwei widersprüchlichen Forderungen ab. Einerseits verlangt eine große Stromtragfähigkeit eine hochdotierte und dünne Kollektorschicht. Andererseits erfordert eine hohe Durchbruchspannung genau das Gegenteil, nämlich einen niedrigdotierten und dicken Kollektor. Eine geringe Dotierung würde zudem gewährleisten, dass das elektrische 6 2 Stand der Technik Material Bandlücke spezifische ther- Elektronen- mische Leitfähig- Beweglichkeit Gitterkonstante keit cm2 V−1 s−1 eV W K−1 m−1 In0,53 Ga0,47 As 0,75 [8] 5 [9] Si0,85 Ge0,15 1,00 [11] Si 1,12 [13] In0,22 Ga0,78 As 1,20 [15] InP 1,35 [13] 80 [16] 4600 [13] 5,87 [13] GaAs 1,42 [13] 46 [13] 8500 [13] 5,65 [13] Al0,3 Ga0,7As 1,80 [15] 150 [14] Å 5,86 [10] 500 [12] 5,46 [13] 1500 [13] 5,43 [13] 5,70 [6] 5,65 [13] Tabelle 2.1: Materialkonstanten bei Raumtemperatur der gängigsten Materialien zur Herstellung von Heterobipolar-Transistoren. Feld nahezu konstant über den gesamten Kollektor ist und somit keine Spitzenfeldstärken auftreten, die den Avalancheeffekt begünstigen würden. Abbildung 2.4 stellt in einer eindimensionalen Betrachtung die hinsichtlich der BasisKollektor-Raumladungszone möglichen Betriebsarten dar. Im Sättigungsbereich zeigt sich eine Injektionszone. Ist der Strom dabei kleiner als der für die Geschwindigkeitssättigung kritische Grenzstrom Ilim , dann ist die Feldstärke im Rest des epitaktischen Kollektors konstant, was einem ohmschen Verhalten gleichkommt. Übersteigt der Kollektorstrom jedoch Ilim , dann tritt Geschwindigkeitssättigung auf, so dass das elektrische Feld im Rest des Kollektors eine negative Steigung aufweist. In der aktiv-normalen Betriebsart dehnt sich die Basis-Kollektor-Raumladungszone mit zunehmender Kollektorspannung in Richtung Subkollektor aus1 . Erreicht der Kollektorstrom schließlich den kritischen Strom IF D , dann hat die Basis-KollektorRaumladungszone den gesamten epitaktischen Kollektor erfasst. Bei noch höheren Kol1 Dies gilt zumindest, wenn Uce größer als die Grenzspannung Ulim zwischen niedrigen und hohen Kollektorströmen ist (vgl. Abbildung 2.4). In diesem Fall ist die Ausbreitungstendenz der Basis-Kollektor-Raumladungszone (begründet in der mit dem Kollektorstrom abnehmenden NettoRaumladungsdichte) stärker als die Kontraktionstendenz der Basis-Kollektor-Raumladungszone (begründet im Spannungsabfall über dem ohmschen Teil der Epitaxie). 2.1 Aufbau eines Heterobipolar-Transistors 7 Abbildung 2.4: Betriebsarten des Transistors. Die Schemata stellen jeweils den Verlauf des elektrischen Feldes in der Basis (linker Bereich), dem epitaktischen Kollektor (mittlerer Bereich) und dem Subkollektor (rechter Bereich) dar. lektorströmen überhalb von Ikirk bildet sich schließlich auch außerhalb des Sättigungsbereichs eine Injektionszone aus (Kirk-Effekt). Die folgende Diskussion der Betriebszustände des Transistors und der jeweils relevanten Parameter folgt der Argumentation von Liou [5]. Das elektrische Feld des Basis-Kollektor-Übergangs leitet sich aus der eindimensionalen Poissongleichung dE(x)/dx = (1/)(qNc − Jc /νs ) (2.1) ab. Dabei bezeichnet = r 0 das Produkt aus relativer Dielektrizitätskonstante r und der Influenzkonstante2 0 , q die Elementarladung, Nc die Kollektordotierung, Jc = Ic /Ae die Kollektorstromdichte und νs die Sättigungsgeschwindigkeit der Elektronen. Es muss nach drei Fällen unterschieden werden. Solange die Raumladungszone noch nicht das gesamte Kollektorgebiet erfasst hat (x2 − x1 < wc , vgl. Abbildung 2.5) ergibt sich das 2 0 ≈ 8, 8 · 10−12 C Vm 8 2 Stand der Technik N P N wc E C x x1 x2 0 B UBE UCB Abbildung 2.5: Lage der Basis-Kollektor-Raumladungszone (schattiert) in einem npnTransistor im Normalbetrieb. elektrische Feld E(x) = (q/)(Nc − Jc /qνs )(x2 − x) (2.2) durch Integration der Gleichung 2.1. Der rechte Rand der Raumladungszone berechnet sich nach Bowler und Lindholm [17] gemäß x2 = x1 + x0 s 1 − (Jc /Johm ) . 1 − (Jc /Jlim ) (2.3) Dabei bezeichnet x0 die Breite der Raumladungszone ohne Kollektorstrom, die mit dem konventionellen Verarmungsmodell berechnet werden kann (siehe beispielsweise Snowden [18]). Die Konstanten sind als Jlim = Ilim /Ae = qNc νs und Johm = Iohm /Ae = qNc µn UCB /wc definiert, wobei µn die Beweglichkeit der Elektronen und UCB die angelegte Basis-Kollektor-Spannung darstellen. Bei steigender Basis-Kollektor-Spannung dehnt sich die Raumladungszone weiter aus, bis sie sich über den gesamten Kollektor erstreckt (x2 − x1 = wc ). Dies geschieht, sobald die Kollektorstromdichte den Wert JF D = IF D 1 − (wc /x0 )2 = Ae Jlim − Johm (wc /x0 )2 /(Jlim Johm ) (2.4) überschreitet3 [5]. In diesem Fall hat das elektrische Feld die Form [19] EF D (x) = 1 qwc Jkirk 1 qwc Jc q Jc Nc − + Nc − − Nc − x − x1 . 2 qνs 2 qνs qνs (2.5) Wird die Basis-Kollektor-Spannung weiter erhöht, so tritt schließlich eine Basisaufwei3 der Index von JF D steht für full depletion. 2.2 Beschreibung des Avalancheeffekts 9 tung4 auf. Die dafür kritische Stromdichte Jkirk = Ikirk /Ae = Ilim UCB + Ubi,bc + 2νs Ae wc2 (2.6) erhält man durch Integration von Gleichung 2.2 und Ausnutzung der Grenzbedingung E(x1 ) = 0. Dabei ist Ubi,bc die Diffusionsspannung5 der Basis-Kollektor-Diode. Muller und Kamins [20] geben für die Basisaufweitung den Ausdruck ∆wb = wc 1 − r Jkirk − Jlim Jc − Jlim ! (2.7) an. Bei Basisaufweitung lautet das elektrische Feld [21] Ekirk (x) = 0, 5q(wc − ∆wb )/ (Nc − Jc /qνs ) + 0, 5q(wc2/)(Nc − JF D /qνs ) /(wc − ∆wb ) −(q/)(Nc − Jc /qνs )(x − XjC − ∆wb ). (2.8) 2.2 Beschreibung des Avalancheeffekts 2.2.1 Phänomenologische Beschreibung des Avalancheeffekts Der Avalancheeffekt tritt in Halbleitern bei hohen elektrischen Feldstärken auf, also zum Beispiel in der Raumladungszone eines in Sperrichtung gepolten pn-Übergangs. Bei ausreichend hohen Feldstärken kann ein freies Elektron soviel kinetische Energie von dem elektrischen Feld aufnehmen, dass es bei einer Kollision mit einem gebundenen Elektron ein Elektron-Loch-Paar erzeugt. Da diese neuen freien Ladungsträger nun ihrerseits zum Strom beitragen und selber weitere Elektron-Loch-Paare erzeugen können, entsteht eine lawinenartige Multiplikation freier Ladungsträger - der Avalancheeffekt. In einem Heterobipolar-Transistor wird im Normalbetrieb der Basis-Kollektor-Übergang in Sperrichtung betrieben. Ist die Sperrspannung groß genug, dann fließen die in der Basis-Kollektor-Raumladungszone durch den Avalancheeffekt erzeugten Elektronen in den Kollektor und bewirken dort einen starken Anstieg des Kollektorstroms. Auf der 4 dies wird auch als Kirk-Effekt, Basisausdehnung, base widening, induzierte Basis, induced base oder base push out bezeichnet. 5 Der Index steht für built-in potential. 10 2 Stand der Technik E IC‘ IE ∆ Ib Ib0 IC‘ IC C ∆I‘c B Abbildung 2.6: Schematische Darstellung der Ströme in einem npn-Transistor. Der Avalanche-Effekt erzeugt in der Basis-Kollektor-Raumladungszone einen durch die Basis abfließenden Löcherstrom ∆Ib und einen über den Kollektor abfließenden Elektronenstrom ∆Ic0 . anderen Seite driften die neuerzeugten Löcher in die Basis und von dort weiter zum Basiskontakt, da die Zahl der von der Basis in den Emitter injizierbaren Löcher durch die Basis-Emitter-Spannung begrenzt ist (Abbildung 2.6). Sollte der durch den Avalancheeffekt hervorgerufene Löcherstrom größer als der reguläre Basisstrom Ib0 sein, dann ist der effektive Basisstrom negativ (reverse base current phenomenon bzw. snap back effect) [22]. Es sei hier noch angemerkt, dass neben diesem elektrischen Snap-Back-Effekt für Feldeffekt-Transistoren auch ein thermischer Snap-Back-Effekt nachgewiesen wurde, bei dem der zusätzliche Löcherstrom nicht durch den Avalancheeffekt verursacht wird, sondern durch eine außergewöhnlich hohe Temperatur am pn-Übergang, wie sie beispielsweise bei großen Leistungstransistoren auftritt [23]. Da der in der Basis-Kollektor-Raumladungszone erzeugte Strom vergleichbar dem regulären Basisstrom eine Verstärkung erfährt, ist der durch den Avalancheeffekt verursachte zusätzliche Kollektorstrom ∆Ic um den Faktor der Stromverstärkung größer als der in die Basis fließende Löcherstrom ∆Ib . Der ursprüngliche Transferstrom6 In erhöht sich demnach bei Auftreten des Avalancheeffekt um das Produkt aus der Stromverstärkung und dem Avalanchestrom auf Ic0 . Als Avalanchestrom wird in dieser Arbeit der in der Basis-Kollektor-Raumladungszone durch Stoßionisation erzeugte Strom bezeichnet, dessen Löcherstromanteil ∆Ib in die Basis abfließt. Der Kollektorstrom kann letztlich so groß werden, dass er den Transistor thermisch zerstört (Durchbruch). Abbildung 2.7 zeigt schematisch die Ausgangskennlinien für verschiedene Betriebsarten des Transistors. Der gängige Wert zur Charakterisierung des 6 Der Transferstrom besteht aus den aus dem Emitter in die Basis emittierten Elektronen, die die basisseitige Grenze der Basis-Kollektor-Raumladungszone erreichen. 2.2 Beschreibung des Avalancheeffekts 11 Durchbruchs ist die Spannung Ubr,CEO , gegen die alle Durchbruchskennlinien bei hohen Kollektorströmen streben. Die Spannung Ubr,CEO ist die mit offener Basis (Ib = 0) maximal erreichbare Kollektorspannung. Sie stellt daher eine untere Grenze für die tatsächliche Durchbruchspannung des Transistors dar, da die an die Basis angeschlossene Impedanz nicht wie hier angenommen unendlich ist, sondern in der Praxis Werte zwischen 50 Ω und 200 Ω aufweist. In diesen Fällen liegen die beobachteten Durchbruchspannungen ungefähr eineinhalb bis zweimal höher als Ubr,CEO [24]. Ic Ib>0 Ib=0 Ib<0 Ube=0 Ubr,CEO Ubr,CER Ubr,CEK Uce Abbildung 2.7: Durchbruchskennlinien im Ausgangskennlinienfeld (nach [25]). Bei einem positiven Basisstrom zeigt sich die gewöhnliche Ausgangskennlinie, die aufgrund des Durchbruchs (breakdown) bei Ubr,CEO divergiert. Dies ist genau die Spannung, bei der der Transistor trotz offener Basis (Ib = 0) durchbricht. Schaltet man zusätzlich einen Widerstand zwischen Basis und Emitter, erhöht sich die Durchbruchspannung auf Ubr,CER . Sobald diese Spannung erreicht wird, fließt ein negativer Basisstrom und sorgt somit für die negative Steigung. Reduziert man schließlich den Widerstandswert bis zum Kurzschluss ergibt sich der Grenzfall für Ube = 0 mit der zugehörigen Durchbruchspannung Ubr,CEK . 2.2.2 Physikalisches Modell nach Poon und Meckwood Bei einem Transistor im Normalbetrieb können hohe Feldstärken in der in Sperrichtung gepolten Basis-Kollektor-Diode auftreten, wenn die anliegende Kollektor-Basis-Spannung UCB entsprechend hoch ist. Der Avalancheeffekt bewirkt die Vervielfältigung eines Stromes in einem definierten Halbleiterbereich durch Bildung von Elektron-Loch-Paaren per 12 2 Stand der Technik Stoßionisation. Der durch diese Vervielfältigung erzeugte Avalanchestrom IAvl = (M − 1)In (2.9) lässt sich durch einen Multiplikationsfaktor M und den ursprünglich injizierten Strom In beschreiben. Poon und Meckwood [26] gehen von den Ionisationskoeffizienten für Elektronen (Index n) bzw. für Löcher (Index p) αn/p Bn/p = An/p exp − E(x) (2.10) in der Form von Chynoweth [27] aus, wobei An/p den Avalanchekoeffizienten und Bn/p die kritische Feldstärke für Stoßionisation darstellen. Poon und Meckwood entwickeln daraus den Avalanchestrom IAvl = In Z x2 x1 An exp Bn − dx E(x) (2.11) unter der Bedingung, dass der Kollektorstrom viel größer als der Avalanchestrom ist. Das Integral läuft über die Basis-Kollektor-Raumladungszone, die für die Gültigkeit von Gleichung 2.11 sehr viel größer als die mittlere freie Weglänge der Ladungsträger sein muss. Da in Heterobipolar-Transistoren in der Praxis die Basis sehr viel stärker dotiert ist als der Kollektor, kann in guter Näherung die untere Integrationsgrenze mit der Grenze zwischen der Basis und dem Kollektor gleichgesetzt werden (vgl. Abbildung 2.5). Aus Gleichung 2.11 ist ersichtlich, dass in diesem Modell der Avalanchestrom proportional zum injizierten Kollektorstrom In sein muss. Das Modell von Poon und Meckwood beschreibt daher lediglich den schwachen Avalancheeffekt, bei dem die sekundäre Stoßionisation vernachlässigbar ist. Die in diesem Modell vorausgesetzte Bedingung, dass der Kollektorstrom viel größer als der Avalanchestrom sein muss, bedeutet jedoch nicht, dass die Änderung des Kollektorstroms aufgrund des Avalancheeffekts nicht beträchtlich sein kann. Der Avalanchestrom muss zwar niedrig sein, kann aber, da er selber verstärkt wird, eine deutliche Erhöhung des Kollektorstroms verursachen. In jüngerer Zeit beschäftigten sich sowohl Kloostermann und de Graaf [28, 29] als auch Schröter [30] eingehend mit dem Modell von Poon und Meckwood. Ihre darauf aufbauenden Arbeiten bilden die Grundlage für die Avalanchemodellierung in den Kompaktmodellen VBIC, MEXTRAM und HICUM7 . 7 Akronym für HIgh CUrrent Model. 2.2 Beschreibung des Avalancheeffekts 13 2.2.3 Der Übergang vom physikalischen Modell zum Kompaktmodell Die ersten Arbeiten zur Modellierung des Avalancheeffekts stammen von Poon und Meckwood [26]. Sie idealisieren das elektrische Feld unter der Annahme eines abrupten BasisKollektor-Übergangs und für Basisdotierungen, die weit höher als die Kollektordotierung sind. Es ergibt sich eine Verteilung des elektrischen Feldes, die ihr Maximum in der Nähe der Basis-Kollektor-Grenze hat. Durch die Näherung das elektrische Feldes mittels einer Potenzreihe kann das Integral von Gleichung 2.11 berechnet werden. Der sich ergebende Multiplikationsfaktor hängt dann vom maximalen elektrischen Feld Em und von der Breite der Basis-Kollektor-Raumladungszone wd ab. Für die Simulation von Bipolartransistoren sind derzeit vier Modelle allgemein verfügbar, nämlich SPICE-Gummel-Poon (SGP), VBIC, MEXTRAM und HICUM. Eine Zusammenfassung der Ersatzschaltbilder und Modellgleichungen findet sich in der Arbeit von Berkner [31]. Im SGP-Modell ist der Avalancheeffekt nicht berücksichtigt. Das HICUM und das MEXTRAM-Modell besitzen zwischen Basis und Kollektor eine Avalanchestromquelle. Das VBIC-Modell beinhaltet praktisch auch eine Avalanchestromquelle, die jedoch in die Basis-Kollektordiode integriert ist. Alle diese Kompaktmodelle beruhen indirekt auf der Arbeit von Poon und Meckwood. Es folgt eine Übersicht über die bei der Implementierung des Avalancheeffekts in die verschiedenen Kompaktmodelle verwendeten Grundlagen. Das VBIC-Modell beruft sich auf die Arbeit von Kloosterman und de Graaf [28] aus dem Jahre 1989. Diese gehen vom Ionisationskoeffizienten in der Form von Chynoweth aus. Da nur der schwache Avalancheeffekt berücksichtigt wird, kann man den durch den Avalancheeffekt erzeugten zusätzlichen Kollektorstrom IAvl = In Z x2 x1 αn exp −B n |E| dx (2.12) als proportional zum injizierten Kollektorstrom ansetzen. Zur Berechnung des Integrals idealisieren Kloosterman und de Graaf die Verteilung des elektrischen Feldes entsprechend Abbildung 2.8 a. Um das Integral lösbar zu machen, nähern sie diese Feldverteilung mit der Potenzreihe 1 1 x = 1+ + ... |E| Em wd (2.13) um den Maximalwert des elektrischen Feldes, wobei wd die Breite der Basis-KollektorRaumladungszone darstellt. Sie begründen dieses Vorgehen damit, dass der Bereich um 14 2 Stand der Technik den Basis-Kollektor-Übergang das Integral dominiert. Unter Vernachlässigung des 2. Exponentialterms ergibt die Auswertung des Integrals auf diese Weise −Bn An wd Em exp . Bn Em (2.14) Im Vergleich zu Poon und Meckwood ersetzen Kloosterman und de Graaff die Abhängigkeit der Variablen Em und wc von der Kollektor-Basiss-Spannung und dem Kollektorstrom durch eine Abhängigkeit von der Kollektor-Basis-Sperrschichtkapazität. Basis elektrisches Feld elektrisches Feld Das Kompaktmodell vereinfacht sich dadurch von 4 Parameter auf 2 Parameter. Kollektor Em a) Basis Kollektor Subkollektor Em b) wd x wd λ x Abbildung 2.8: Idealisierte elektrische Felder von Kloosterman zur Berechnung des Integrals über die Basis-Kollektor-Raumladungszone a) von 1989 (Grundlage des VBIC-Modells) und b) von 2000 (Grundlage des MEXTRAMModells). Die gestrichelten Linien stellen jeweils die Näherung durch eine Potenzreihe dar. Im Jahr 2000 publizierten Kloosterman et al. eine verbesserte Variante dieses Modells [29], das zur Grundlage des MEXTRAM-Kompaktmodells avancierte. Abbildung 2.8b zeigt den dabei verwendeten Ansatz für das elektrische Feld. Darin geht die endliche Ausdehnung des epitaktischen Kollektors ein, indem das elektrische Feld nur über ebendiesen epitaktischen Kollektor integriert wird. Wiederum nähern sie das idealisierte elektrische Feld mit einer Potenzreihe an. Der zugehörige Parameter ist aber jetzt λ. Der Avalanchestrom hat in diesem Fall die Form IAvl −B An −Bn wd n = Ic Em λ exp − exp 1+ . Bn Em Em λ (2.15) Unter Vernachlässigung des 2. Exponentialterms und für die Wahl λ = wd ist dieses Modell identisch mit der Fassung von 1989. 2.3 Kompaktmodelle 15 Erwähnenswert ist, dass Kloosterman in der verbesserten Variante bei der Herleitung der Ausdrücke für Em , wd und λ zwischen niedrigen und hohen Strömen unterscheidet und einen möglichst stetigen Übergang zwischen den beiden Extremfällen wählt. Die Grenze zwischen diesen beiden Fällen ist der in Abschnitt 2.1 eingeführte kritische Strom für die Geschwindigkeitssättigung Ilim . Ist der Strom niedriger, dehnt sich die Basis-KollektorRaumladgunszone erst mit Erreichen des Stroms IF D bis zum Subkollektor aus. Ist der Kollektorstrom höher als Ilim , wird der epitaktische Kollektor stets vollständig durch die Basis-Kollektor-Raumladungszone erfasst - und zwar unabhängig von der Kollektorspannung (vgl. Abbildung 2.4). Es sei hier betont, dass die verbesserte Beschreibung bei hohen Strömen nicht mit der Beschreibung des starken Avalancheeffekts verwechselt werden darf. Schon der auf Poon und Meckwood zurückgehende Ansatz des Avalanchestroms als proportional zum injizierten Kollektorstrom beschränkt die Gültigkeit der gängigen Kompaktmodelle auf den schwachen Avalancheeffekt, d.h. der erzeugte Avalanchestrom muss immer deutlich kleiner als der injizierte Kollektorstrom sein. Schröter et al., deren Arbeit [30] die Grundlage für das HICUM-Kompaktmodell bildet, gehen genauso wie Kloostermann und de Graaf 1989 vor. Das maximale elektrische Feld berechnen sie jedoch unter der Annahme eines abrupten Übergangs aus der Diffusionsspannung des inneren Basis-Kollektor-Übergangs. Die Breite der Basis-KollektorRaumladungszone wd ersetzen sie durch die spannungsabhängige innere Kollektor-BasisSperrschichtkapazität. 2.3 Kompaktmodelle Im Hinblick auf die Modellierung des Avalancheeffekts ist in Kompaktmodellen in erster Linie die explizite Modellierung des Avalanchestroms relevant. Dieser Aspekt wird im abschließenden Abschnitt dieses Kapitels vorgestellt. Unabhängig davon spielt jedoch auch die Beschreibung des zugrundeliegenden Kollektorstroms eine wichtige Rolle, da dieser erst die Stoßionisation im Kollektor auslöst. Der Aufbau der wichtigsten Kompaktmodelle für Bipolartransistoren ist daher in den kommenden Abschnitten kurz dargestellt, wobei der Schwerpunkt auf der spezifischen Formulierung des Kollektorstroms in Abhängigkeit von der Stromstärke liegt. 16 2 Stand der Technik 2.3.1 Ebers-Moll-Modell Eines der ersten und einfachsten Modelle zur Beschreibung eines npn-Transistors ist das Ebers-MollI -Modell [32], das in Abbildung 2.9 in der nichtlinearen Hybrid-π-Form dargestellt ist. Es bildet den Kern auch aller weiteren Bipolar-Transistormodelle. Daher soll es hier diskutiert werden, um davon ausgehend die Wirkung zusätzlicher Terme in erweiterten Modellen interpretieren zu können. Zwei ideale Dioden mit den Strömen ICC IS qUbe kT −1 = e βf βf und IEC IS qUbc kT −1 = e βR βR (2.16) repräsentieren den Emitter-Basis- und den Basis-Kollektor-Übergang. IS bezeichnet dabei den Sättigungssperrstrom des Transistors, βf und βR die Stromverstärkung8 in Vorwärtsbzw. Rückwärtsrichtung und UT die Temperaturspannung9 . Eine spannungsgesteuerte Stromquelle beschreibt die Kopplung der beiden Übergänge, den Transferstrom qUbe qUbc IT = ICC − IEC = IS (e kT − 1) − (e kT − 1) . (2.17) Die zentrale physikalische Größe zur Beschreibung des Avalancheeffekts ist der Kollektorstrom, der im Folgenden hergeleitet wird. Da er experimentell über die Ausgangs8 in Emitterschaltung 9 UT = kT q (≈ 25, 9mV bei 300 K) mit der Boltzmannkonstante k, der Temperatur T und der Elemen- tarladung q. C IEC / βR Ic DC B Ib DE ICC / βF ICC - IEC Ie E Abbildung 2.9: Ersatzschaltbild des EMI -Modells bestehend aus zwei idealen Dioden und einer spannungsgesteuerten Stromquelle. 2.3 Kompaktmodelle 17 kennlinie bestimmt wird, soll zudem Stromsteuerung angenommen werden, also gerade die Bedingung, die bei der Aufnahme der Ausgangskennlinie vorherrscht. Aus dem Ersatzschaltbild 2.9 ergibt sich der Kollektorstrom Ic = (ICC −IEC )−IEC /βR , durch dessen Auswertung man zu qU ce βf Ib (1 + βR ) + IS (1 + βR + βf ) e− kT + βf βR Ib + (1 + βf + βR )IS Ic = − qUce βR + βf e− kT (2.18) gelangt. Der Kollektorstrom hängt dabei von den beiden Variablen Uce und Ib ab. Bei Uce = 500 mV beträgt der Term exp(−qUce E/kT ) jedoch bereits nur noch 4·10−9 und fällt weiter mit mehr als 16 dB pro 100 mV. Er kann also bei größeren Spannungen in guter Näherung mit 0 identifiziert werden. Gleichung 2.18 reduziert sich in diesem Fall auf Ic = βf Ib + 1 + βf + βR IS βR (2.19) und weiter auf Ic = βf Ib , wenn der Sättigungsstrom IS vernachlässigbar ist. Das Ebers-Moll-Modell kann das Verhalten der Ausgangskennlinie im Sättigungsbereich gut beschreiben. Es vernachlässigt jedoch die Beiträge zum Kollektorstrom durch den Earlyeffekt und den Avalancheeffekt. Die Steigung der Ausgangskennlinie konvergiert daher außerhalb des Sättigungsbereichs gegen null (Abbildung 2.10). Ic U bc = 0 3I b 3β fIb 2I b 2β fIb Ib β fIb 0 1 2 U ce [V] Abbildung 2.10: Ausgangskennlinie gemäß dem Ebers-Moll-Modell. Außerhalb des Sättigungsbereiches ist die Ausgangskennlinie konstant bei Ic = βf Ib . 18 2 Stand der Technik B E & & 5 Bi & , , , & & , Kollektor S 5 , Isolation 5 Ei Basis Isolation Emitter C Ci Subkollektor & Substrat Abbildung 2.11: Großsignal-Ersatzschaltung des SGP-Modells eingezeichnet in einen vertikalen Bipolartransistor nach [31]. Drei Widerstände trennen die inneren von den äußeren Knoten. Neben einer Stromquelle umfasst es vier Sperrschichtkapazitäten, zwei Diffusionskapazitäten und je zwei ideale bzw. nichtideale Dioden. 2.3.2 SPICE-Gummel-Poon-Modell Gummel und Poon veröffentlichten 1970 ihr Modell [33], dessen Gleichungen sie gegenüber dem Ebers-Moll-Modell unter anderem um die Basisaufweitung erweitert hatten. Mit wenigen Abänderungen wurde dieses Modell in den Schaltungssimulator SPICE10 integriert [34]. Nicht zuletzt weil SPICE von der University of Berkeley frei erhältlich war, wurde dieses SGP-Modell für mehr als 20 Jahre zum Industriestandard. Das SGP-Modell ist in der Literatur häufig und ausführlich beschrieben (siehe beispielsweise [31, 32]). Es wird hier zunächst kurz vorgestellt und dann in Bezug auf den Avalancheeffekt diskutiert. Die Nomenklatur folgt hier wie auch bei den anschließenden Modellen Berkner [31]. Abbildung 2.11 stellt das Großsignal-Ersatzschaltbild vor dem Hintergrund des geometrischen Aufbaus eines vertikalen Bipolartransistors dar. Die Großsignal-Ersatzschaltung zeigt, dass sich der Kollektorstrom Ic = IT −IBCI −IBCN aus dem Gesamttransferstrom so- wie dem idealen und dem nichtidealen Basis-Kollektor-Diodenstrom zusammensetzt. Da 10 Akronym für Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis 2.3 Kompaktmodelle 19 im Allgemeinen die Basisströme gegenüber dem Gesamttransferstrom vernachlässigbar sind, folgt Ic ≈ IT . Der Gesamttransferstrom bildet sich aus der Differenz der (normierten idealen) Vorwärts- und Rückwärts-Transferströme IT F = IF qB und IT R = IR . qB Durch Einsetzen der Definitionen gelangt man zu IF IR IS UBiEi IS UBiCi Ic ≈ IT = IT F −IT R = − = exp −1 − exp −1 (2.20) qB qB qB NF UT qB NR UT mit der normierten Basisladung qB , den Modellparametern IS (Sättigungsstrom), NF (Emissionsfaktor Vorwärtsbetrieb) und NR (Emissionsfaktor Rückwärtsbetrieb). Mit Hilfe der Modellgleichungen für die normierte Basisladung werden im SGP-Modell sowohl die Basisweitenmodulation (Early-Effekt) als auch Hochstromeffekte modelliert. Die normierte Basisladung ist definiert als i UBEI IF IR q1 h p UBCI − und q2 = + , (2.21) qB = 1 + 1 + 4q2 mit q1 = 1/ 1 − 2 VAF VAR IKF IKR wobei VAF bzw. VAR und IKF bzw. IKR die Modellparameter für die Early-Spannungen und Knickströme im Vorwärts- bzw. Rückwärtsbetrieb darstellen. Bei der Basisweitenmodulation steigt im Normalbetrieb der Kollektorstrom linear mit der Kollektorspannung. Tritt der Avalancheeffekt auf, muss der Kollektorstrom jedoch stärker ansteigen. Dies ist im Rahmen des SGP-Modells nicht möglich. Zudem beinhaltet das SGP-Modell nicht die Selbsterwärmung, die erst in den Modellen VBIC, HICUM und MEXTRAM berücksichtigt ist. 2.3.3 VBIC-Modell Um unter anderem diese Nachteile des SGP-Modells zu überwinden, stellte 1995 eine firmenübergreifende Arbeitsgemeinschaft das VBIC-Modell (Vertical Bipolar Inter Company) vor [35, 36]. Das SGP-Modell wurde vor allem um einen parasitären Substrattransistor, den Avalancheeffekt und die Selbsterwärmung erweitert und die Modellierung der Hochfrequenzeigenschaften und der Temperatureffekte verfeinert [36]. Für eine vollständige Beschreibung sei auf die Arbeit von Berkner [31] verwiesen. Im Folgenden werden die für die Modellierung des Avalancheeffekts relevanten Aspekte des VBIC-Modells vorgestellt. Abbildung 2.12 zeigt das Großsignal-Ersatzschaltbild vor dem Hintergrund des geometrischen Aufbaus eines vertikalen Bipolartransistors. Der Kollektorstrom ergibt sich daraus zu Ic = IT − IBC − IBCP − IBEP . Die Ströme IBCP und IBEP sind parasitäre 20 2 Stand der Technik " ! # Abbildung 2.12: Großsignal-Ersatzschaltung des VBIC-Modells eingezeichnet in einen vertikalen Bipolartransistor (nach [31]). Basisstromanteile und werden hier nicht weiter berücksichtigt. Der Gesamttransferstrom IT ist analog zum SGP-Modell definiert (siehe Gleichung 2.20), lediglich der Rückwärtstransferstrom ist um den Faktor ISRR erweitert11 , um unterschiedliche Sättigungsströme für den Vorwärts- und den Rückwärtsbetrieb zu ermöglichen. Damit der Kollektorstrom Ic bei hohen Kollektorspannungen dennoch einen exponentiellen Anstieg aufweist, beinhaltet der Basis-Kollektorstrom IBC = IBCI + IBCN − IGC mit IGC einen negativen exponentiellen Term (IBCI und IBCN stellen den idealen und den nichtidealen Anteil der Basis-Kollektordiode dar). Der Basis-Kollektor-Avalanchestrom ist definiert als IGC = (IT − IBC )AV C1 (PC − UBiCi )exp[−AV C2 (PC − UBiCi )MC −1 ] (2.22) mit den Modellparametern AV C1 , AV C2 (Basis-Kollektor-Durchbruchskoeffizient 1 und 2), PC (Basis-Kollektor-Diffusionsspannung) und MC (Basis-Kollektor-Gradationskoeffizient). Abbildung 2.13 stellt den Basisstroms Ib über die Basis-Kollektor-Spannung Ubc dar. Darin entspricht der Avalanchestrom der Abweichung des Basisstroms von dem konstanten Wert Ib0 , den er bei niedrigen Kollektorspannungen annimmt. Die Definition des Avalanchestroms im VBIC-Modell beruht auf dem physikalischen Modell des Avalancheeffekts von Kloosterman und de Graaff [28]. Ausgehend von der 11 ab VBIC Version 1.2 2.3 Kompaktmodelle 21 empirischen Relation für den Ionisationskoeffizienten von Chynoweth [27] benutzten sie als Näherung für den Avalanchestrom IGC = In −B An n wd Em exp , Bn Em (2.23) wobei In der Kollektorstrom ohne Avalancheeffekt ist, wd die Breite der Raumladungszone und Em das maximale elektrische Feld um den Basis-Kollektor-Übergang. Aus Abschnitt 2.2.2 ist der Avalanchekoeffizient An und das kritische Feld Bn bereits bekannt. Die beiden Größen wd und Em leiten Kloosterman und de Graaff aus der Basis-KollektorSperrschichtkapazität ab und erhalten IGC = In An (PC − UBiCi )exp − AV L (PC − UBiCi )MC −1 Bn (1 − MC ) (2.24) 0 Bn Ab (1 − MC ) , C0C PCMC (2.25) mit AV L = wobei 0 die Influenzkonstante, Ab die Basisfläche und C0C die Basis-Kollektor-Sperrschichtkapazität bei 0 V ist. Aus dem Koeffizientenvergleich zwischen den Gleichungen 2.22 und 2.24 ergibt sich die physikalische Definition von sowohl dem 1. Durchbruchsparameter AV C1 = An / Bn (1 − MC ) als auch dem 2. Durchbruchsparameter AV C2 = AV L . Da jedoch IGC stark von AV L abhängt, schlugen bereits Kloosterman und de Graaff vor, AV L als zusätzlichen Ib [µA] Modellparameter zu belassen, um die Genauigkeit des Modells zu gewährleisten. 500 I b0 U bc [V] 0 1 I GC 2 -500 Abbildung 2.13: Abfall des Basisstroms durch den Avalancheeffekt. IGC ist der durch den Avalancheeffekt induzierte Anteil des Basisstroms. 22 2 Stand der Technik Zur Bestimmung der Durchbruchsparameter AV C1 und AV C2 kann die Ausgangskennlinie bei gleichzeitiger Bestimmung des Basisstroms gemessen werden. Die Durchbruchsparameter erhält man dann durch Anpassung des simulierten an den gemessenen Basisstrom. Dabei muss natürlich gewährleistet sein, dass die sonstigen für die Ausgangskennlinie relevanten Modellparameter schon vorher extrahiert wurden (Widerstände, Kapazitäten, Aufteilungsfaktoren und Temperaturabhängigkeit). Statt dieser Optimierung kann man die Durchbruchsparameter auch direkt extrahieren. Diese von Celi [37] für das HICUM-Modell vorgeschlagene Methode wird hier auf das VBIC-Modell übertragen. Sie erfordert zunächst die Messung der Größen Ic und Ib . Der Avalanchestrom IGC ergibt sich aus der absoluten Abweichung des gemessenen Basisstroms von Ib0 (vgl. Abbildung 2.13). Mit der Hilfsvariablen UJ = PC − UBiCi geht Gleichung 2.22 über in ln IGC = ln(AV C1 UJ ) − AV C2 UJMC −1 , Ic (2.26) wenn man bei der Berechnung des Kollektorstroms Ic = IT − IBC − IBCP − IBEP die para- sitären Basisströme IBCP und IBEP vernachlässigt. Abbildung 2.14 zeigt die Auftragung des linksseitigen Terms ln IGC über UJMC −1 . Bei dieser Variablenwahl hat Gleichung 2.26 Ic die Form einer Geradengleichung. Der im konstanten Anteil enthaltene 1. Durchbruchsparameter AV C1 ist so aus dem y-Achsenabschnitt des Diagramms 2.14 ablesbar. Der ln(IGC/Ic ) Absolutwert der Geradensteigung stellt direkt den 2. Durchbruchsparameter AV C2 dar. ln(A VC1 U J ) -A VC2 UJ M c -1 Abbildung 2.14: Direkte Extraktion der Durchbruchsparameter aus der Auftragung ln(IGC /Ic ) über UJMC −1 . Der 1. Durchbruchsparameter ist im yAchsenabschnitt und der 2. Durchbruchsparameter in der Geradensteigung enthalten. 2.3 Kompaktmodelle 23 2.3.4 MEXTRAM-Modell Das MEXTRAM-Modell, dessen Name ein Akronym für Most EXquisite TRAnsistor Model ist, war zunächst ein firmeninternes Modell des Unternehmens Philips. Ab 1994 (Version 503) stellte Philips es jedoch allgemein zur Verfügung. Die aktuelle Version von Dezember 1999 ist die Version 504 [38]. Hinsichtlich der Beschreibung des Avalancheeffekts ist das MEXTRAM-Modell das am weitesten fortgeschrittene Kompaktmodell. Abbildung 2.15 zeigt das Großsignal-Ersatzschaltbild vor dem Hintergrund des geometrischen Aufbaus eines vertikalen Bipolartransistors. Der Kollektorstrom Ic = IC1C2 = EC + UC1C2 RCV (2.27) mit EC = UT K0 − KW − ln K0 + 1 KW + 1 und K0/W = s 1 + 4 exp UB2C2/C1 − VDC UT (2.28) errechnet sich aus den anliegenden Spannungen und den durch die Modellparameter RCV (variabler Kollektorwiderstand) und VDC (Basis-Kollektor-Diffusionsspannung) festgelegten Widerständen. Die Hilfsvariablen K0 und KW stellen die Löcherdichten im epitaktischen Kollektor an der Grenze zur Basis bzw. an der Grenze zum Subkollektor dar, aufgrund derer sich die Korrekturspannung EC zur Verringerung des Widerstands im B E C S Thermisches Netzwerk CBEO CBCO XIEX XISUB B1 XQTEX +XQEX ISUB RB1B2 QBC QTC QEPI IEX+ IB3 QTEX+ QEX IB1+IB2 B2 IAVL C2 C1 ISF QTS IN IC1C2 QTH RTH GND RCC Subkollektor Isolation Isolation RBC QTES Kollektor E1 IB1SQB1B2 QBE QTE QE IDISS RE Basis Emitter DT ITZF Substrat Abbildung 2.15: Großsignal-Ersatzschaltung des MEXTRAM-Modells eingezeichnet in einen vertikalen Bipolartransistor (nach [31]). 24 2 Stand der Technik Kollektor wegen der Löcherinjektion aus der Basis (Kirk-Effekt) berechnet. Diese Korrektur des Kollektorstroms aufgrund des variablen arbeitspunktabhängigen Kollektorwiderstands deckt sich mit der Formulierung im Rahmen des VBIC-Modells, außer dass der im VBIC-Modell frei verfügbare Parameter für die Epitaxie-Dotierung GAM M im MEXTRAM-Modell auf den Wert 4 festgelegt ist. Für den Avalanchestrom existieren im MEXTRAM-Modell zwei Ansätze, zwischen denen man wählen kann. Der erste Ansatz ist nur für geringe Stromdichten (IC1C2 < IHC ) gültig, wobei der Modellparameter IHC den kritischen Grenzstrom Ilim beschreiben soll. Im Folgenden wird daher der zweite Ansatz erläutert. Die Berechnung des Avalanchestroms benötigt im MEXTRAM-Modell 14 Gleichungen. Dabei wird zunächst die Ausdehnung der Kollektor-Raumladungszone wd bestimmt, gefolgt von der Verteilung des elektrischen Feldes. Daraus ergibt sich der Generationsfaktor GEM , aus dem sich der Avalanchestrom IAvl berechnet. Ausgangspunkt der Berechnung ist der Feldstärkegradient dE/dx0 = 2VAV L , 2 WAV L (2.29) der auf die Modellparameter VAV L (Bezugsspannung für das Avalanchemodell) und WAV L (Epitaxiedicke für das Avalanchemodell) zurückgreift. Daraus ergibt sich die Sperrschichtweite xd = r 2 dEdx0 s VDC − UB2B1 . 1 − IICAP HC (2.30) Neben der Basis-Kollektor-Diffusions-Spannung (VDC ) geht darin auch der Hilfsstrom IHC IC1C2 für I C1C2 > 0 Ilim +IC1C2 ICAP = (2.31) IC1C2 für IC1C2 ≤ 0 ein, der stets kleiner als der Kirk-Strom ist und sich diesem asymptotisch nähert. Für kleine Stromdichten (Ic IHC ) stellt die Sperrschichtweite die Breite der Raum- ladungszone dar. Bei höheren Stromdichten muss man allerdings den Kirk-Effekt berücksichtigen. Die effektive Weite des Kollektors wef f 2 xi = WAV L 1 − 2 wc (2.32) hängt dann von der Injektionsweite xi in den Kollektor aus der Basis ab. Die Injektrionsweite wird auf die geometrische Ausdehnung des Kollektors wc normiert. Ein stetiger 2.3 Kompaktmodelle 25 Übergang zwischen den beiden Grenzfällen ist durch die Wahl xd wef f wd = q 2 x2d + wef f (2.33) garantiert. Der Ansatz für das mittlere elektrische Feld lautet Eav = VDC − UB2B1 , wd (2.34) der unter Berücksichtigung des Feldstärkegradienten dEdx0 zur Feldstärke am BasisKollektor-Übergang 1 ICAP E0 = Eav + wd dEdx0 1 − 2 IHC (2.35) führt. Bei der Bestimmung des elektrischen Feldes an der Grenze zum Subkollektor ! 1 + SF H IC1C2 1 − (2.36) Ew = Eav + wd dEdx0 2 1 + 2SF H I 1 + 2S 1 + 2x /w HC FH i epi findet die mehrdimensionale Stromausbreitung im Kollektor mit dem Stromausbreitungsfaktor SF H Berücksichtigung. Das maximale elektrische Feld lautet 1 E0 + Ew + Em = 2 r (E0 + Ew )2 + 0, 1Eav I 2 CAP IHC . (2.37) Unter Ausnutzung des bereits in Abbildung 2.8 vorgestellten Parameters Em wd 2(Em − Eav ) (2.38) An Bn Bn wef f = Em λ exp − − exp − 1+ Bn Em Em λ (2.39) λ= sind alle nötigen Werte zur Berechnung des Generationsfaktors GEM vorhanden. An und Bn sind Modellkonstanten. Der effektiv wirksame Generationsfaktor soll aber weder 1 noch den Wert Gmax = überschreiten. Dabei UT qb RE + + IC1C2 (RBC + RB2 ) BF RBC + RB2 kommen die Modellparameter BF (2.40) (ideale Vorwärts- Stromverstärkung), RBC (äußerer Basiswiderstand) und der Emitterwiderstand RE zur Anwendung. Einige weitere Parameter wie die normierte Basisladung qb und der 26 2 Stand der Technik Basiswiderstand RB2 ergeben sich aus dem sonstigen MEXTRAM-Modell. Der Ansatz für den Avalanchestrom IAvl = IC1C2 GEM Gmax GEM Gmax + GEM + Gmax (2.41) erfüllt die oben erwähnte Bedingung an den Generationsfaktor. 2.3.5 Modellierung des Avalancheeffekts in Kompaktmodellen Tabelle 2.2 fasst die Modellgleichungen für den Avalancheanteil des Basis-Kollektorstroms in den gängigen Kompaktmodellen zusammen. Tabelle 2.3 zeigt eine Übersicht über die in diesen Kompaktmodellen enthaltenen Ausprägungen des Avalancheeffekts. Das VBICModell und das HICUM-Modell beschreiben jeweils nur den schwachen Avalancheeffekt. Für das HICUM-Modell wurde bei der Integration in Schaltungssimulatoren zur Vermeidung einer zwar unwahrscheinlichen aber möglichen numerischen Instabilität im Falle von Ubi,bc −Ubici = 0 die Ersetzung des linksseitigen Terms durch die relative Verarmungskapa- zität CjCi (Ubici /CjCi0) vorgeschlagen. Für ein treppenförmiges Dotierungsprofil des Basis- Kollektor-Übergangs lautet der Gradationskoeffizient MC = 0, 5. In diesem Fall sind die Avalanchegleichungen des VBIC-Modells und des HICUM-Modells praktisch identisch. Der im Rahmen des MEXTRAM-Modells zu bestimmende Generationsfaktor G entspricht M − 1. Das MEXTRAM-Modell berücksichtigt zusätzlich den Snap-Back-Effekt12 und beschreibt ausführlich die bei hohen Strömen nötigen Anpassungen. 12 Der Snap-Back-Effekt resultiert aus der Aktivierung des parasitären Transistors aufgrund des vom Avalanche-Prozess generierten Löcherstroms, sh. z.B. Chung [23]. SGP - VBIC IGC = (IT − IBC )AV C1 (PC − UBiCi )exp[−AV C2 (PC − UBiCi )MC −1 ] h i −QAV L IAvl = FAV L IT F (VDCI − UBiCi ) exp CJ CI (VDCI −UBiCi ) HICUM MEXTRAM EM GM AX IAvl = IC1C2 GEM GMGAX +GM AX +GEM An Bn mit GEM = B λE exp − − exp − m Em n Bn Em 1+ wef f λ Tabelle 2.2: Übersicht über die Modellgleichungen für den Avalancheanteil des BasisKollektorstroms. 2.3 Kompaktmodelle Modell 27 schwacher starker Kirk- Snap Back Stand der Avalancheeff. Avalancheeff. Effekt Effekt AvalancheModellierung SGP - - - - - VBIC + - - - 1989 [28] HICUM + - - - 1998 [30] MEXTRAM + - + + 2000 [29] Tabelle 2.3: Übersicht über die in Kompaktmodellen berücksichtigten Effekte. Einen Überblick über die temperaturabhängige Anpassung der Avalancheparameter in den verschiedenen Kompaktmodellen gibt Tabelle 2.4. Im MEXTRAM-Modell sind alle Koeffizienten festgelegt, nur in den anderen beiden Modellen steht jeweils ein frei wählbarer Parameter für die Anpassung der Temperaturabhängigkeit zur Verfügung. Das VBIC-Modell verwendet eine lineare Gleichungsform, das HICUM-Modell eine Exponentialfunktion und das MEXTRAM-Modell ein Polynom 2. Ordnung. Betrachtet man einen Temperaturbereich von ∆T = 100 K um die nominale Temperatur T0 , dann stellt praktisch jedoch auch die HICUM-Gleichung eine lineare Näherung dar. Die Ersatzwerte für ALF AV = 8, 25 · 10−5 bzw. AF QAV = 1, 92 · 10−4 oder eine vergleichbare Wahl dieser Parameter in der gleichen Größenordnung führt nämlich dazu, dass der Betrag des Ex- ponenten der Exponentialfunktion stets kleiner als 0,02 ist und demnach nur minimal variiert. Die MEXTRAM-Gleichung hingegen weist bereits über diesen Temperaturbereich eine merkliche Krümmung auf. Die temperaturabhängige Korrektur weicht bereits ab einer Temperaturerhöhung von 37 K um 10 % von der linearen Näherung um die Nominaltemperatur ab. SGP - VBIC AV C2 (T ) = AV C2 (T0 ) 1 + TAV C ∆T HICUM FAV L (T ) = FAV L (T0 ) exp(ALF AV ∆T ) MEXTRAM QAV L (T ) = QAV L (T0 ) exp(ALQAV ∆T ) −4 −6 2 BN (T ) = BN (T0 ) 1 + 7, 2 · 10 (T /K − 300) − 1, 6 · 10 (T /K − 300) Tabelle 2.4: Temperaturabhängigkeit der Avalancheparameter verschiedener Kompaktmodelle. 28 2 Stand der Technik 2.4 Problemstellung und Zielsetzung In den neunziger Jahren wurde der Bedarf für genauere Transistormodelle klar erkannt und mit der Bereitstellung komplexerer Kompaktmodelle beantwortet. So weist beispielsweise das VBIC-Modell 108 Parameter im Vergleich zu 41 Parametern des SPICEGummel-Poon-Modells auf. Geht man entsprechend einer Extraktionsstrategie des SGPModells vor, so bleibt das System der VBIC-Modellgleichungen deutlich unterbestimmt. Eine Möglichkeit, diese zusätzlichen Freiheiten zu nutzen, besteht darin, durch numerische Anpassungen der Parameter eine möglichst gute Übereinstimmung mit den für die Modellbildung vorliegenden Messdaten herzustellen. Diese mathematische Methode hat zwei große Nachteile. Zum Einen berücksichtigt die mathematische Optimierung nicht die physikalische Bedeutung der einzelnen Parameter, so dass die Einflüsse aufgrund thermischer Effekte, des Early-Effekts oder des Avalancheeffekts nicht voneinander unterscheidbar sind. Dies führt dazu, dass technologische Probleme nicht mehr eindeutig zugeordnet werden können. Außerdem ist diese Methode nicht reproduzierbar, da das Modell jeweils von den für die Modellbildung vorliegenden Messdaten abhängt. In modernen Hochgeschwindigkeitsschaltungen jenseits von 80 Gb/s wie z.B. in Taktund Datenrückgewinnungssystemen, spannungsgesteuerten Oszillatoren oder phasengekoppelten Schleifen kommen häufig Heterobipolar-Transistoren zum Einsatz. Diese erreichen ihre maximale Schaltfrequenz bei der höchstmöglichen Stromdichte. Begrenzt werden die Stromdichten jedoch durch den Avalancheeffekt, dessen anhaltendes unkontrolliertes Auftreten schließlich zu einer thermischen Zerstörung des Bauelements führt. Bei der Schaltungsentwicklung muss daher ein möglichst genaues Modell für den Avalancheeffekt vorliegen, um die maximale Leistungsfähigkeit des Transistors bei gleichzeitiger Einhaltung der zulässigen Betriebsgrenzen vollständig ausnutzen zu können. Das Ziel dieser Arbeit ist daher die Entwicklung eines präzisen Kompaktmodells für den Avalancheeffekt in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren. Bisherige Arbeiten zur Modellierung des Avalancheeffekts in Bipolartransistoren basierten auf BiCMOS-Technologien, deren hervorragende Wärmeleitfähigkeit die Vernachlässigbarkeit thermischer Effekte gewährleistete. In GaAs- oder InP-Technologien hingegen muss die Selbsterwärmung aufgrund der niedrigen thermischen Wärmeleitfähigkeit berücksichtigt werden. Entsprechend der soeben erwähnten Herausforderung ist ein weiteres Ziel dieser Arbeit 2.4 Problemstellung und Zielsetzung 29 die Trennung zwischen dem Avalancheeffekt und der Selbsterwärmung. Der so ermittelte Avalanchestrom soll unter Wahrung des Zusammenhangs zwischen den Modellparametern und den physikalischen Material- und Geometrieparametern auch bei möglichst großen Stromdichten beschrieben werden. Der Vorteil dieser Methode ist die daraus erwachsende Möglichkeit, aufgrund der Transistorstruktur schon vor der Produktion eine Vorhersage über den zu erwartenden Avalancheeffekt treffen zu können. Liegt der Transistor bereits vor, so kann zudem eine physikalisch motivierte Anpassung der Parameter des Kompaktmodells erfolgen, was neben einer höheren Präzision des Kompaktmodells auch noch Hinweise auf Verbesserungsmöglichkeiten im Aufbau des Transistors zulässt. 3 Herleitung des Ansatzes für das Kompaktmodell des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-HeterobipolarTransistoren Um den Avalancheeffekt in einem Kompaktmodell zu beschreiben, muss ein physikalisches Modell für den Avalancheeffekt so komprimiert und angepasst werden, dass es in der nötigen Geschwindigkeit berechenbar ist und dennoch hinreichend nah an den tatsächlichen charakteristischen Verlauf des Avalancheeffekts heranreicht. Ein physikalisches Modell für den Avalancheeffekt greift in der gleichen Weise auf ein Modell für die Ionisationskoeffizienten in einem Halbleiter zurück. Abbildung 3.1 stellt die Abhängigkeiten der Modelle zwischen den unterschiedlichen Hierarchieebenen dar. Modellhierarchie Beispiel Kompaktmodell VBIC MEXTRAM HICUM physikalisches Modell Poon&Meckwood Modell für Ionisationsraten Chynoweth Objekt Okuto Lee SGP Transistor Halbleiterübergang Halbleiter Abbildung 3.1: Übersicht über die verschiedenen Ebenen der Modellhierarchie. 31 32 3 Herleitung des Ansatzes für das Kompaktmodell des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 3.1 Ionisationskoeffizienten in InGaAs Ein gutes physikalisches Modell für den Avalancheeffekt muss notwendigerweise auf einem präzisen Modell für die Ionisationskoeffizienten beruhen. Daher sollen zunächst Messungen der Ionisationskoeffizienten speziell in InGaAs betrachtet und mit den bestehenden Modellen für die Ionisationskoeffizienten verglichen werden. 3.1.1 Messungen der Ionisationskoeffizienten in InGaAs Die Bestimmung der Ionisationskoeffizienten beruht in der Regel entweder auf Messungen an Photodioden oder an Bipolartransistoren. Der Nachteil der Messungen an Photodioden ist die Unsicherheit des primären Photostroms, sowohl hinsichtlich der Größe als auch bezüglich des Ortes, an dem er erzeugt wird. Bei Messungen an Bipolartransistoren αp [1/cm] E [105 V/cm] Fit (Chynoweth) Fit (Okuto) Buttari uncorrected data Buttari corrected data 1/E [10-6 cm/V] Abbildung 3.2: Messungen des Ionisationskoeffizienten für Löcher in InGaAs von Osaka [39], Pearsall [40], Urquhart [41], Shamir [42] und Buttari [43] nach Buttari [43]. Die lang-gestrichelte bzw. die durchgezogene dicke Linie stellt den Fit gemäß der Modelle von Chynoweth bzw. Okuto bei inversen Feldstärken zwischen 3 und 6 · 10−6 cm/V dar. 3.1 Ionisationskoeffizienten in InGaAs 33 hingegen ist der in die Basis-Kollektor-Raumladungszone injizierte Strom gut messbar. Als schwierig stellt sich jedoch die Bestimmung des Leckstromanteils im GleichstromKollektorstrom heraus, der den durch Stoßionisation hervorgerufenen Strom überlagert. Dies zeigt sich in den in Abbildung 3.2 dargestellten Messungen von Buttari et al. [43] in der großen Differenz zwischen unkorrigierten und korrigierten Daten. Die frühen Messungen von Pearsall [40] werden im folgenden nicht berücksichtigt, da sie sich signifikant von allen anderen veröffentlichten Messungen unterscheiden. Eine vergleichbare Zusammenfassung der Messungen des Ionisationskoeffizienten von Elektronen in InGaAs findet sich bei Ng et al. [44] (Abbildung 3.4). " ! ! α α Abbildung 3.3: Messungen des Ioni- Abbildung 3.4: Messungen der Ionisationskoeffizi- sationskoeffizienten enten für Elektronen und Löchern für in in InGaAs von Ng [44] (Symbo- InGaAs von Ritter le), Urquhart [41] (gepunktete Li- et al. [45]. nien), Ritter [45] (gestrichelte Li- Elektronen nie) und Buttari [43] (durchgezogene Linie) nach Ng [44]. Bei der Betrachtung der Temperaturabhängigkeit der Ionisationskoeffizienten erwartet man eine Reduktion bei steigenden Temperaturen, da dann die mittlere freie Weglänge und auch die mittlere Geschwindigkeit von Elektronen und Löchern abnimmt und demnach bei konstantem elektrischen Feld weniger Teilchen ionisiert werden. Dieses Verhalten wird als negative Temperaturabhängigkeit bezeichnet, weil der Ionisationskoeffizient bei steigenden Temperaturen sinkt. Die Temperaturabhängigkeit der Ionisationskoeffizien- 34 3 Herleitung des Ansatzes für das Kompaktmodell des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren ten in InGaAs galt lange als anomal, weil sie bei Messungen der Ionisationskoeffizienten mittels Heterobipolar-Transistoren eine positive Abhängigkeit zwischen Temperatur und Ionisationskoeffizient aufzuweisen schien [45–47]. Yee et al. [48] zeigten jedoch, dass bei diesen Messungen nicht die Temperaturabhängigkeit des Ionisationskoeffizienten der dominierende Effekt war sondern die Leckströme des Transistors. Ihre Untersuchungen an Diodenstrukturen mittels frequenzmodulierter Lichtsignale, bei denen dass Messsignal sehr gut von sonstigen Strömen separiert werden kann, ergaben eine Reduktion des Ionisationskoeffizienten von etwa 2,5% bei einer Temperaturerhöhung von 100K. Dies entspricht einer negativen Abhängigkeit der Ionisationskoeffizienten von der Temperatur, wie es angesichts dem eingangs erwähnten Modell auch nachvollziehbar ist. In einer theoretischen Untersuchung wiesen Groves et al. [49] darauf hin, dass die Temperaturabhängigkeit der Ionisationskoeffizienten direkt abhängt von der Härte“ der Minimalenergie für die ” Stoßionisation. Ihnen zufolge sollte daher InGaAs innerhalb der von ihnen untersuchten Materialgruppe (Si, GaAs, InP und InGaAs) die niedrigste Temnperaturabhängigkeit aufweisen. 3.1.2 Modelle für Ionisationskoeffizienten Der erste Ansatz für ein Modell der Ionisationskoeffizienten Bn/p αn/p = An/p exp − E(x) (3.1) von Chynoweth [27] aus dem Jahr 1958 wurde bereits in Abschnitt 2.2.2 vorgestellt. Er ist gültig unter der Annahme, dass sich das elektrische Feld nicht sehr stark ändert im Vergleich zur mittleren freien Weglänge von Elektronen und Löchern. Die Parameter An und Bn müssen empirisch gewonnen werden. Aus nicht nachvollziehbaren Gründen wird bei der Anpassung an Messdaten in der Literatur häufig die Form Bn/p mn/p αn/p = An/p exp − E(x) (3.2) mit einem zusätzlichen Exponentialfaktor mn/p verwendet [44, 45, 50]. Dieser zusätzliche Exponentialfaktor ist selbstverständlich redundant und erschwert lediglich den Vergleich unterschiedlicher Messungen. Ansätze für ein physikalisches Modell der Ionisationskoeffizienten wurden von Shockley für niedrige Feldstärken [51] α(E) ∼ qE exp Er − Ei qEλ ! (3.3) 3.1 Ionisationskoeffizienten in InGaAs 35 und von Wolff für hohe Feldstärken [52] α(E) ∼ exp 3Er Ei − (qEλ)2 ! (3.4) entwickelt. Dabei ist Ei die Mindestenergie für das Auftreten von Stoßionisation, Er der durchschnittliche Energieverlust bei Streuung an optischen Phononen und λ die (temperaturabhängige) mittlere freie Weglänge bezüglich der Streuung an optischen Phononen. Baraff löste die in diesen Theorien enthaltene zeitabhängige Transportgleichung von Boltzmann unter der Annahme, dass die Streuung an optischen Phononen dominiert [53]. Er zeigte außerdem, dass sein Modell für alle Feldstärken anwendbar ist. Darauf aufbauend schlugen Okuto und Crowell [54] mit qE Ei 1,14 α(E) = exp 0, 217 − Ei Er s Ei 1,14 2 Ei 2 0, 217 + Er qEλ ! (3.5) eine einfache analytische Gleichung für Ionisationskoeffizienten vor vor. Dieser Ansatz beinhaltet nicht nur die für niedrige Feldstärken gültige Gleichung 3.3 und die bei hohen Feldstärken anwendbare Gleichung 3.4 sondern auch noch den Grenzfall unendlich hoher elektrischer Felder. Die Diskussion von Gleichung 3.5 ergibt, dass der Parameter Ei /qλ die Steigung des Ionisationskoeffizienten bei niedrigen Feldstärken bestimmt, Er /qλ das Feld darstellt, ab der eine signifikante Krümmung zu beobachten ist und Ei den asymptotischen Wert von α gegenüber 1/E definiert, wenn E Ei /qλ erfüllt ist. 3.1.3 Diskussion der Messungen anhand der Modelle Meist werden Messungen von Ionisationskoeffizienten mittels des Ansatzes von Chynoweth [27] beschrieben (Gleichung 3.1). Diese Gleichung ist jedoch aufgrund der simplifizierenden Annahmen lediglich innerhalb eines begrenzten Feldstärkebereichs gültig. Die Extrapolation von αn und αp in Feldstärkebereiche außerhalb der in den Messungen betrachteten ergibt daher häufig falsche Tendenzen, wie Chau und Pavlidis ausführen [50]. Das Modell von Okutound Crowell [54] hingegen ist für unterschiedliche Materialien über einen großen Feldstärkebereich hinweg gültig und erlaubt zudem eine physikalische Interpretation der Parameter. Ritter et al. wiesen erstmals auf den anomalen Verlauf des Ionisationskoeffizienten für Elektronen in InGaAs hin [45]. Die auch bei anderen Materialsystemen zu beobachtende 36 3 Herleitung des Ansatzes für das Kompaktmodell des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren starke Abhängigkeit des Ionisationskoeffizienten αn von der Feldstärke ist in InGaAs nur bei hohen elektrischen Feldern von über 2 · 105 V/cm (1/E< 5 · 10−6 cm/V) gegeben (vgl. Abbildung 3.3). Bei einem niedrigeren elektrischen Feld fällt die Abhängigkeit des Ionisa- tionskoeffizienten jedoch deutlich geringer aus. Bestätigt wurden die Beobachtungen von Ritter et al. durch Messungen an npn-Heterobipolar-Transistoren von Canali et al. [55] und durch Photomultiplikationsmessungen mit pin-Photodioden [39, 41, 44]. Aufgrund der Anomalie des Ionisationskoeffizienten in InGaAs schlägt die sonst übliche Anpassung des Modells von Chynoweth an die Messdaten fehl. Auch das Modell von Okuto kann das anomale Verhalten bei niedrigen Feldstärken nicht beschreiben. Abbildung 3.5 zeigt die Parametrisierung von αn für verschiedene Materialsysteme nach dem Okuto-Modell (eine Übersicht dieser Parameter für eine Vielzahl von Materialsystemen findet sich in der Arbeit von Chau und Pavlidis [50]). Die einzelnen Parameter sind durch verschiedene anderweitige Beobachtungen hinsichtlich ihrer physikalischen Validität abgesichert. Die stetige Fortsetzung der Parameter beim Übergang zu InGaAs (Abbildung 3.6) ergibt eine Kurve, die mit den Messergebnissen für hohe Feldstärken übereinstimmt, aber die Anomalie von αn bei niedrigen Feldstärken nicht beschreiben kann, wie aus Abbildung 3.5 ersichtlich ist. αn [1/cm] 1000000 100000 10000 1000 100 GaP InGaP InP InGaAs 10 0 1 2 3 4 5 6 inverses E-Feld [10-6 cm/V] Abbildung 3.5: Ionisationskoeffizienten für Elektronen entsprechend dem Modell von Okuto. Parameter für GaP, InGaP und InP von Neo [56]. Die Kurve für InGaAs wurde an die Messungen von Ritter et al. [45] (gestrichelte Linie), Urquhart et al. [41] (gepunktete Linie) und Ng et al. [44] (Symbole) angepasst. 3.2 Vergleich der physikalischen Modelle 37 50 5 40 4 30 3 20 2 Er [meV] o λ [A] Ei [eV] Egap [eV] 10 1 0 0 GaP InGaP InP InGaAs Abbildung 3.6: Vergleich der Okuto-Parameter für die Materialien GaP, InGaP und InP von Neo [56] und dem an Messdaten angepassten Parametersatz für InGaAs. In InGaP, AlGaAs und GaAs treten weder für Elektronen noch für Löcher bei niedrigen elektrischen Feldern anomale Ionisationskoeffizienten auf [57]. In InAs, InSb und InP wurde hingegen ein anomaler Ionisationskoeffizient bei niedrigen elektrischen Feldern beobachtet [58, 59]. Die Ionisationskoeffizienten für Elektronen und Löcher in InGaAs unterscheiden sich also nicht nur quantitativ sondern aufgrund des anomalen Ionisationskoeffizienten für Elektronen auch qualitativ. Daher muss bei der Entwicklung eines Kompaktmodells insbesondere auch berücksichtigt werden, ob ein npn-Heterobipolar-Transistor mit elektronendominierter Leitung oder ein pnp-Heterobipolar-Transistor mit Löchern als dominanten Ladungsträgern im Emitter beschrieben werden soll. Tabelle 3.1 fasst Parametersätze für Anpassungen an die in Ng [44] für Elektronen und in Buttari [43] für Löcher zusammengefassten Messdaten der Ionisationskoeffizienten in InGaAs zusammen. 3.2 Vergleich der physikalischen Modelle Das bereits in Abschnitt 2.2.2 vorgestellte Modell nach Poon und Meckwood bildet die Grundlage für die derzeit gängigen Kompaktmodelle VBIC, HICUM und MEXTRAM. Noch älter ist ein Vorschlag von Lee et al. für eine andere Beschreibung des Avalanche- 38 3 Herleitung des Ansatzes für das Kompaktmodell des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren Modellpar. für für Einheit Chynoweth Elektr. Löcher A - 2,5·106 B - 1,9·106 m - 1 Modellpar. für für Einheit Okuto Elektr. Löcher 1/cm Ei 1,0 1,0 eV V/cm Er 30 145 meV λ 32 58 Å Tabelle 3.1: Verwendete Parametersätze bei einer Anpassung der Modelle von Chynoweth bzw. Okuto an die in Ng et al. [44] (Elektronen) und in Buttari et al. [43] (Löcher) zusammengefassten Messdaten der Ionisationskoeffizienten in InGaAs. effekts in einer Halbleiterzone mit definierten Grenzen [60]. Ihre Beschreibung war die Erste überhaupt, die bei der Entwicklung des physikalischen Modells zwischen Elektronen und Löchern unterscheidet. Sie gehen von der Erhaltung des gemischten Stroms aus Löcherleitung und Elektronenleitung aus und gelangen so zu einer allgemeinen Darstellung des Multiplikationsfaktors. Unter der Bedingung eines reinen Elektronen-Stroms berechnen sie den Multiplikationsfaktor für Elektronen zu Mn = 1− R x2 x1 αn exp − 1 Rx . 0 dx (α − α )dx n p x1 (3.6) Im Falle identischer Ionisationskoeffizienten für Elektronen und Löcher α = αn = αp reduziert sich Gleichung 3.6 auf [13] Mn = 1− 1 R x2 x1 αn dx . (3.7) Die Bedingung für den Durchbruch ist, dass der Multiplikationsfaktor gegen unendlich strebt. Das Integral muss dazu 1 werden. Der folgende Vergleich der beiden physikalischen Modelle soll Möglichkeiten zur Verbesserung der Beschreibung des Avalancheeffekts in Kompaktmodellen aufdecken. Aus den Gleichungen 2.9 und 2.11 ergibt sich der Ansatz für den Multiplikationsfaktor Mn = 1 + Z x2 αn dx (3.8) x1 von Poon und Meckwood. Wie bereits erwähnt ist in diesem Fall der Avalanchestrom Iavl = (M − 1)In proportional zum injizierten Kollektorstrom In . Vernachlässigt wird dabei die sekundäre Stoßionisation, d.h. Elektronen-Loch-Paare, die durch vorher selber 3.2 Vergleich der physikalischen Modelle 39 per Stoßionisation erzeugte Elektronen oder Löcher produziert wurden. Der Multiplikationsfaktor Mn ist daher auch unabhängig vom Ionisationskoeffizienten für Löcher αp . Der Ansatz von Lee et al. [60] für den Multiplikationsfaktor (Gleichung 3.6) hingegen berücksichtigt auch den Effekt der sekundären Stoßionisation, und zwar in dem Term R x 0 exp − x1 (αn − αp )dx (vgl. Canali [61]). Abbildung 3.7 zeigt eine Auftragung der Multiplikationsfaktoren gemäß der beiden physikalischen Modelle. Man erkennt darin gut die Bedingung für einen Durchbruch im Modell von Lee, nämlich die Polstelle bei α = 1/wd, bei der der Multiplikationsfaktor gegen unendlich strebt. Das Integral des Ionisationskoeffizienten α über die Länge der Raumladungszone wd = x2 − x1 muss demnach 1 oder größer sein, damit ein Durchbruch stattfindet. Ebensogut ersichtlich ist in Abbildung 3.7, dass der Multiplikationsfaktor im Modell von Poon und Meckwood die Näherung des Multiplikationsfaktors von Lee im Punkt α = 0 in 1. Ordnung darstellt. Absolutwert und Steigung stimmen also in diesem Punkt überein. Die Multiplikationsfaktoren unterscheiden sich aber verstärkt mit zunehmendem Ionisationskoeffizienten α. Abbildung 3.8 zeigt den Multiplikationsfaktor nach Lee bei unterschiedlichen Ionisationskoeffizienten für Elektronen und Löcher. Das vereinfachte Modell aus Abbildung 3.7 für identische Ionisationskoeffizienten αn = αp findet sich hier entlang der M 5 0 nach Lee nach Poon&Meckwood -5 0 1 2 α [1/wd] Abbildung 3.7: Multiplikationsfaktoren gemäß der Modelle von Poon und Meckwood und von Lee gegenüber der Ionisationsrate α in Einheiten der inversen Breite der Basis-Kollektor-Raumladungszone wd . Das Modell von Lee ist hier unter der Annahme identischer Ionisationskoeffizienten α = αn = αp berechnet. 3 Herleitung des Ansatzes für das Kompaktmodell des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 40 Diagonalen von links vorne nach rechts hinten wieder. Selbstverständlich ist weder der Ionisationskoeffizient für Elektronen noch der Ionisationskoeffizient für Löcher ausgezeichnet. Die Asymmetrie in dem Graphen lässt sich dadurch erklären, dass der analog herzuleitende Multiplikationsfaktor für Löcher die gleiche Abhängigkeit von den beiden Ionisationskoeffizienten aufweist, aber mit vertauschten Rollen. Der Durchbruch ist genau dann gegeben, sobald einer der beiden Multiplikationsfaktoren unendlich groß wird, also entweder bei Zx2 x1 αn exp − Zx x1 0 (αn − αp )dx dx = 1 oder bei Zx2 x1 αp exp Zx x1 (αn − αp )dx0 dx = 1. Abbildung 3.9 zeigt eine Darstellung, in der jeweils das Maximum aus den Multiplikationsfaktoren Mn bzw. Mp ausgewählt ist. Bei unterschiedlichen Ionisationskoeffizienten tritt der Durchbruch offensichtlich immer früher auf als bei gleichen Ionisationskoeffizienten. Der Vergleich verschiedener Messungen der Ionisationskoeffizienten in InGaAs von Ng [44] zeigt, dass der Ionisationskoeffizient für Löcher geringer ist als der Ionisationskoeffizient für Elektronen. Bei einer Feldstärke von 200 kV/cm ist der Unterschied in etwa eine Größenordnung. Bei größeren Feldstärken steigen die Ionisationskoeffizienten α α Abbildung 3.8: Multiplikationsfaktor Mn gemäß Lee gegenüber den Ionisationskoeffizienten für Elektronen αn und Löcher αp (jeweils in Einheiten der inversen Breite der Basis-Kollektor-Raumladungszone wd ). 3.2 Vergleich der physikalischen Modelle 41 für Elektronen und Löcher erwartungsgemäß und nähern sich einander an, da der Ionisationskoeffizient für Löcher schneller steigt als der Ionisationskoeffizient für Elektronen. Eine verlässliche Aussage darüber, ob und bei welchen Feldstärken die Ionisationskoeffizienten gleich groß werden, lässt sich aber aus den veröffentlichten Messungen nicht ableiten. Aus den bisher erläuterten Gründen und aus den Abbildungen 3.7 und 3.9 ist klar die Notwendigkeit ersichtlich, bei höheren Ionisationskoeffizienten das Modell von Lee gegenüber dem Modell von Poon und Meckwood zu bevorzugen, da dort die Abweichung aufgrund der Vereinfachungen von Poon und Meckwood signifikant werden. α α Abbildung 3.9: Das Maximum der Multiplikationsfaktoren Mn und Mp nach Lee gegenüber den Ionisationskoeffizienten für Elektronen αn und Löcher αp (jeweils in Einheiten der inversen Breite der Basis-KollektorRaumladungszone wd ). 42 3 Herleitung des Ansatzes für das Kompaktmodell des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 3.3 Eigener Ansatz Die gängigen Kompaktmodelle für Bipolartransistoren (VBIC, HICUM und MEXTRAM) benutzen die folgenden Annahmen, um das Kompaktmodell herzuleiten: • Ionisationskoeffizientenmodell nach Chynoweth • Physikalisches Modell nach Poon und Meckwood • Idealisiertes elektrisches Feld • Potenzreihenentwicklung des elektrischen Feldes • Vernachlässigung des 2. Exponentialterms bei der Lösung des Integrals Diese Annahmen werden im Folgenden diskutiert und wo nötig dem Bedarf der Modellierung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren angepasst. 3.3.1 Ionisationskoeffizientenmodell InGaAs weist - ebenso wie beispielsweise InAs, InSb und InP - einen anomalen Ionisationskoeffizienten bei niedrigen elektrischen Feldstärken auf. Das Modell von Chynoweth ist daher nur entweder oberhalb oder unterhalb inverser elektrischer Felder von 3 · 10−6 cm/V gut an die gemessenen Ionisationskoeffizienten anpassbar [62]. Auch Yang et al. [63] zeigten, dass der Niedrigfeld-Anteil des Ionisationskoeffizienten von Elektronen nicht vernachlässigt werden darf. Sie verwendeten daher einen Ansatz α = αHF + αLF , (3.9) aus unterschiedlichen Ionisationskoeffizienten für den Niedrigfeldanteil (LF) und den Hochfeldanteil (HF) unter der Annahme αn = αp . Auch die Abschätzung des maximalen physikalisch beschreibt InGaAs integrierbar Chynoweth Chynoweth HF+LF Okuto Tabelle 3.2: Eigenschaften der Modelle für Ionisationskoeffizienten. 3.3 Eigener Ansatz 43 elektrischen Feldes in der in dieser Arbeit verwendeten Technologie und von Kloosterman et al. [29] (Emax jeweils bis zu 300 kV/cm) zeigt deutlich die Notwendigkeit, den Ionisationskoeffizienten bei niedrigen Feldstärken korrekt zu modellieren. Das dritte zur Auswahl stehende Modell für den Ionisationskoeffizienten ist das Modell nach Okuto. Dieser Ansatz würde zwar eine systematische Rückführung des Resultats auf physikalische motivierte Parameter ermöglichen, erfasst aber die Anomalie von InGaAs bei niedrigen elektrischen Feldern nicht und ist zudem in beiden physikalischen Modellen nicht integrierbar. Tabelle 3.2 fasst die Eigenschaften der unterschiedlichen Ionisationskoeffizientenmodelle zusammen. Ein nach niedrigen und hohen elektrischen Feldern aufgeteilter Ansatz für den Ionisationskoeffizienten gewährleistet nicht nur die korrekte Beschreibung des Ionisationskoeffizienten in InGaAs bei niedrigen elektrischen Feldern sondern ermöglicht gleichzeitig auch noch die nötige Integrabilität des physikalischen Modells. Die Forderung nach einer physikalischen Motivation des Ansatzes ist zwar wünschenswert, aber im Rahmen der zur Verfügung stehenden Alternativen nicht umsetzbar. Wang et al. [64] wendeten den Ansatz aus Gleichung 3.9 auf die Messungen von Osaka et al. [39] und Meneghesso et al. [65] an und erhielten den in Tabelle 3.3 wiedergegebenen Parametersatz. Diese Parametrisierung stimmt auch hervorragend mit den Messungen α [1/cm] 10000 HF LF+HF 1000 LF 100 10 3 4 5 6 inverses E-Feld [10-6 cm/V] Abbildung 3.10: Der zweigeteilte Ansatz für den Ionisationskoeffizienten nach Wang et al. vor dem Hintergrund unterschiedlicher Messungen des Ionisationskoeffizienten für Elektronen in InGaAs (vgl. Abbildung 3.4). 44 3 Herleitung des Ansatzes für das Kompaktmodell des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren von Ng et al. [44] überein (Abbildung 3.10). Der Anteil für hohe elektrische Felder gibt das klassische Bild des Ionisationskoeffizienten wieder, wie er auch mit dem Modell von Okuto beschrieben wird. Der Anteil für niedrige elektrische Felder hingegen stellt die besondere Anomalie des Ionisationskoeffizienten in InGaAs dar. Keiner der beiden Anteile vermag alleine den tatsächlichen Ionisationskoeffizienten zu beschreiben. Erst die Superposition der beiden Anteile charakterisiert den Ionisationskoeffizienten in InGaAs korrekt. Im eigenen Modell wird daher ein für hohe und niedrige Felder getrennter Ansatz entsprechend Gleichung 3.9 verwendet. Modellparameter Wert Einheit AHF 3,50·105 1/cm BHF 1,22·106 V/cm ALF 1,57·103 1/cm BLF 2,00·105 V/cm Tabelle 3.3: Parameter von Wang et al. [64] für einen zweigeteilten Ansatz des Ionisationskoeffizienten für Elektronen in InGaAs bei einer Temperatur von 300 K. 3.3.2 Parametrisierung der Breite der Raumladungszone Kloosterman et al. [29] machen bei der Definition der effektiven Breite der Raumladungszone wd eine Fallunterscheidung. Sie definieren zunächst die Breite der Raumladungszone s 2 Ucb + Ubi xd = (3.10) qNc 1 − I Ic lim für niedrige Kollektorströme Ic Ilim . Da jedoch die Breite der Raumladungszone durch die Kollektordicke begrenzt ist wählen sie einen stetigen Übergang der Form √xd wc für Ic < Ilim x2d +wc2 wd = w für Ic ≥ Ilim . c (3.11) Dieser Ansatz berücksichtigt die Basisaufweitung bei hohen Strömen noch nicht. Die Basisaufweitung kann man mit dem Ansatz wd = √xd wc x2d +wc2 für Ic < Ilim wc für Ilim ≤ Ic < Ikirk q wc Jkirk −Jlim für Ic ≥ Ikirk Jc −Jlim (3.12) 3.3 Eigener Ansatz 45 einbeziehen. Die Berechnung der Kollektorweite für hohe Ströme oberhalb des KirkStroms Ikirk beruht auf dem bereits in Gleichung 2.7 vorgestellten Ausdruck von Muller und Kamins [20]. Kloosterman et al. [29] berechnen das elektrische Feld am Basis-Kollektor-Übergang E0 und an der Grenze zum Subkollektor Ew aus dem mittleren elektrischen Feld Eav Ucb + Ubi,bc Ic c w 1 − , , ∆E = qN d 2 Ilim wd E0 = Eav + ∆E, Ew = Eav − ∆E. (3.13) Eav = (3.14) Bei niedrigen Strömen befindet sich das maximale elektrische Feld an der Basis-KollektorGrenze. Bei hohen Strömen tritt es hingegen am Subkollektor auf. Das maximale elektrische Feld p 1 2 Em = E0 + Ew + (E0 + Ew ) + K 2 mit K = 0, 1Eav 2 Ic Ic + Ilim (3.15) beschreibt diesen Übergang. Einen Überblick über die Abhängigkeiten der Material- und Geometrieparameter gibt Abbildung 3.11. υs Ae Ubi NC NC Ilim Ilim εr εr wC xd Ikirk wC xd Ikirk wd ∆( Eav Abbildung 3.11: Überblick über die Abhängigkeiten der Material- und Geometrieparameter zur Modellierung des elektrischen Feldes. Die Veränderungen durch die Erweiterung des Ausdrucks für die Kollektorweite gemäß Gleichung 3.12 zeigt Abbildung 3.12. Das maximale elektrische Feld berechnet nach Kloosterman et al. [29] steigt oberhalb des kritischen Stroms Ilim linear an. Bei der von Kloosterman et al. durchgeführten Bauteilsimulation hingegen schwächt sich der Anstieg des maximalen elektrischen Feldes zunehmend ab, so dass es sich stetig einer oberen Grenze annähert. Dieses Verhalten kann das erweiterte Modell qualitativ reproduzieren. Der schwächere Anstieg von Em im erweiterten Modell resultiert aus der Tatsache, dass die Breite der Raumladungszone wd in die Steigung des elektrischen Feldes (∆E, 46 3 Herleitung des Ansatzes für das Kompaktmodell des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren Gleichung 3.13) eingeht. Ab Kollektorströmen von mindestens Ikirk wächst daher ∆E im erweiterten Modell schwächer. Teilweise - aber eben nicht vollständig - wird dies durch ein größeres mittleres elektrisches Feld Eav ausgeglichen, so dass im Endeffekt das maximale elektrische Feld Em des erweiterten Modells besser als das eindimensionale Modell von Kloosterman et al. mit der Bauteilsimulation übereinstimmt. Im eigenen Modell kommt Gleichung 3.12 zur Parametrisierung der Breite der Basis-Kollektor-Raumladungszone E [105 V/cm] zum Einsatz. 5 4 Em 3 2 Eav 1 0 -1 -2 ∆E -3 -4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ic/Ilim[-] Abbildung 3.12: Das maximale elektrische Feld Em in Abhängigkeit des Kollektorstroms Ic . Erweitertes Modell (durchgezogene Linien); Modell (gestrichelte Linien) und Bauteilsimulation (Symbole) von Kloosterman et al. [29]. 3.3.3 Analytische Entwicklung des physikalischen Modells nach Lee Anstatt das Modell von Poon und Meckwood zur Berechnung des Multiplikationsfaktors heranzuziehen kann man alternativ das Modell von Lee verwenden. Wie in Abschnitt 3.2 bereits ausgeführt besitzt es einen größeren Gültigkeitsbereich als das konventionelle Modell von Poon und Meckwood. Im Modell von Lee lautet der Multiplikationsfaktor für Elektronen Mn (x) = 1− R x2 x1 αn exp − 1 Rx . 0 dx (α − α )dx n p x1 (3.16) 3.3 Eigener Ansatz 47 Wie in vielen anderen Materialsystemen auch ist in InGaAs die Stoßionisation durch Elektronen viel größer als die Stoßionisation aufgrund von Löchern (αn αp , siehe z.B. Ng et al. [44], Abb. 3.4). Außerdem ist gerade bei dünnen Kollektoren - wie beispielsweise die in dieser Arbeit untersuchten - die sekundäre Stoßionisation vernachlässigar, worauf Buttari et al. [66] explizit hinwiesen. Das Integral in der Exponentialfunktion des Nenners in Gleichung 3.16 kann daher vernachlässigt werden. Der Avalanchestrom schreibt sich in diesem Fall 1 IAvl = (Mn − 1)In = In 1− R x2 x1 αn dx ! −1 . (3.17) Die Berücksichtigung des zweigeteilten Ansatzes für den Ionisationskoeffizienten (Gleichung 3.9) führt auf IAvl = In 1 1− R x2 x1 ! −1 . αn,HF + αn,LF dx (3.18) Die Separierbarkeit des Integrals ermöglicht die Entwicklung zu IAvl = In ! 1 Rx Rx −1 . 1 − x12 αn,HF dx − x12 αn,LF dx (3.19) Die beiden Integrale können nun einzeln analog zur Vorgehensweise von Kloosterman und de Graaf [29] gemäß Z x2 −B An,HF/LF −Bn,HF/LF wd n,HF/LF αn,HF/LF dx = Em λ exp − exp 1+ Bn,HF/LF Em Em λ x1 (3.20) ausgewertet werden (vgl. Abschnitt 2.2.3). 3.3.4 Zusammenfassung des eigenen Ansatzes Ausgehend von der Arbeit von Kloosterman et al. [29] zeigten die vorangehenden Ausführungen Verbesserungen hinsichtlich • dem Ionisationskoeffizientenmodell (Ansatz für niedrige und hohe elektrische Felder) • der Modellierung des elektrischen Feldes und der Kollektorbreite insbesondere bei hohen Strömen 48 3 Herleitung des Ansatzes für das Kompaktmodell des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren • dem physikalischen Modell (Modell nach Lee anstatt nach Poon und Meckwood) Die bisherigen Ausführungen diskutierten die einzelnen Schritte, die bei der Berechnung des Avalanchestroms notwendig sind. Es folgt eine Zusammenfassung über den vollständigen Satz der dafür nötigen Definitionen und Gleichungen. Die kritischen Ströme sind Ilim = Ae qNc νs Ikirk = Ilim + 2νs und (3.21) Ucb + Ubi,bc , Ae wc2 (3.22) wobei sich die Diffusionsspannung gemäß [12] Ubi,bc ≈ UT ln(Nb Nc /n2i ) (3.23) aus den Dotierungskonzentrationen und der intrinsischen Ladungsträgerdichte ni ergibt. Das elektrische Feld berechnet sich gemäß den Gleichungen s 2 Ucb + Ubi xd = , qNc 1 − I Ic lim wd = Eav = √xd2wc 2 xd +wc für Ic < Ilim wc für Ilim ≤ Ic < Ikirk q wc Jkirk −Jlim für Ic ≥ Ikirk , Jc −Jlim Ucb + Ubi,bc , wd ∆E = E0 = Eav + ∆E, qNc Ic wd 1 − , 2 Ilim Ew = Eav − ∆E, p 1 Ic 2 und Em = E0 + Ew + (E0 + Ew ) + K mit K = 0, 1Eav 2 . 2 Ic + Ilim Das elektrische Feld kann man durch eine Potenzreihe x Em E(x) = Em 1 − ≈ λ 1 + x/λ mit (3.24) λ= Em wd 2(Em − Eav ) (3.25) (3.26) (3.27) (3.28) (3.29) (3.30) 3.3 Eigener Ansatz 49 annähern. Unter Verwendung des Ansatzes für den Ionisationskoeffizienten α = αHF + αLF mit αHF/LF = AHF/LF exp (3.31) − BHF/LF E(x) (3.32) ist das Integral des physikalischen Modells Z x2 −B AHF/LF −BHF/LF wd HF/LF αHF/LF dx = Em λ exp − exp 1+ . (3.33) BHF/LF Em Em λ x1 lösbar. Außerdem ist das Integral separierbar Z x2 Z x2 Z αdx = αHF dx + x1 x1 x2 αLF dx (3.34) x1 und führt unter Berücksichtigung des physikalischen Modells nach Lee et al. zu einer geschlossenen Gleichung für den Avalanchestrom IAvl = (Mn − 1)In = In 1 1− R x2 x1 αdx ! −1 . (3.35) Aufgetragen wird der Avalanchestrom entweder über die in den Gleichungen zur Anwendung kommende Kollektor-Basis-Spannung Ucb oder über die bei der Messung von IAvl [bel. Einh.] Ausgangskennlinienfeldern verwendete Kollektor-Emitter-Spannung Uce = Ucb + Ube . A, B Nc wC U ce [bel. Einh.] Abbildung 3.13: Qualitativer Einfluss der Parameter Nc , wc und der Ionisationskoeffizienten auf den Avalanchestrom: Nc skaliert die Amplitude, wc ist proportional zur Krümmung und die Ionisationskoeffizienten kontrollieren den Abstand zwischen den Kurven. 50 3 Herleitung des Ansatzes für das Kompaktmodell des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren Die elementaren Materialparameter lauten r , ni , Nb , Nc und νs . Die elementaren Geometrieparameter sind Ae und wc . Das in diesem Abschnitt vorgestellte Modell wurde in [67] veröffentlicht. 3.4 Diskussion der Modellparameter Abbildung 3.13 stellt die qualitativen Auswirkungen der Parameter Nc , wc und der Avalanchekoeffizienten A und B auf den Avalanchestrom dar. Der Einfluss der Kollektordotierung Nc ist relativ gering. Abbildung 3.14 zeigt den Avalanchestrom gemäß dem Modell bei Variation der Kollektordotierung. Bei einer Erniedrigung des bei dem für den in dieser Arbeit untersuchten Transistor vorliegenden Wertes von 1016 cm−3 bleibt der Avalanchestrom praktisch unverändert. Eine Erhöhung der Kollektordotierung führt hingegen zu einer Vergrößerung des Avalanchestroms. Diese Beobachtungen decken sich mit den Ergebnissen der Messungen von Yang et al. [63], die die Ausgangskennlinienfelder IAvl [mA] von InGaAs-Transistoren mit unterschiedlichen Kollektordotierungen untersucht haben. 8 Kollektordotierung KollektordotierungNNc c 16 -3-3 4·10 cm 1017 cm 16 -3 -3 1·10 cm 1016 cm 15 15 cm -3-3 1·10 10 cm 4 0 0 1 2 3 U ce [V] Abbildung 3.14: Veränderung des aus dem Modell berechneten Avalanchestroms bei Variation der Kollektordotierung Nc . Jeder der drei Äste entspricht einem bestimmten Basisstrom. Die Variation der Kollektordicke zeigt Abbildung 3.15. Der Einfluss der Kollektordicke ist größer als der Einfluss der Kollektordotierung. Die Variation der Kollektordicke um IAvl [mA] 3.4 Diskussion der Modellparameter 51 10 Kollektordicke wc Kollektordotierung 175 nm Nc 200 1017nm cm-3 16 -3 225 10 nm cm 5 1015 cm-3 0 0 1 2 3 U ce [V] Abbildung 3.15: Veränderung des aus dem Modell berechneten Avalanchestroms bei Variation der Kollektordicke wc . Jeder der drei Äste entspricht einem bestimmten Basisstrom. ein Achtel übersteigt bereits die Abweichung, die bei einer Änderung der Dotierungskonzentration um mindestens einen Faktor vier entsteht. 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-HeterobipolarTransistoren In Bipolar-Transistoren überlagert der Avalanchestrom nach dem Superpositionsprinzip den Basisstrom. Der Basisstrom ist um den Faktor β der Stromverstärkung kleiner als der in den Kollektor injizierte Strom, der den Avalanchestrom auslöst. In den bisherigen Arbeiten zur Bestimmung des Avalanchestroms von Kloosterman et al. [29] und von Schröter et al. [30] wurde der Avalanchestrom aus Messungen des Basisstroms in Basisschaltung extrahiert. Beide Gruppen verwendeten Transistoren aus BiCMOS-Technologien, die einen vergleichsweise geringen thermischen Widerstand aufweisen (232K/W bei Kloosterman et al.). In InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren liegt der thermische Widerstand hingegen typischerweise um eine Größenordnung darüber, so dass die Variation der Stromverstärkung aufgrund der Temperatur nicht mehr vernachlässigbar ist. Die Abbildungen 4.1 und 4.2 zeigen Messungen des Basisstroms in Basisschaltung von Transistoren der Hughes Research Laboratories (HRL) im Vergleich zu den Messungen von Kloosterman et al. [29]. In den Messungen der Gruppe um Kloosterman fällt der anfänglich konstante Basisstrom stets ab einer gewissen Kollektor-Basis-Spannung aufgrund des zunehmenden Avalanchestroms ab. Das gleiche Verhalten lässt sich in den Messungen an den HRLTransistoren bei niedrigen Basisspannungen und entsprechend kleinen Basisströmen beobachten. Ab 700 µA ist jedoch die dissipierte Leistung und der damit verbundene Temperaturanstieg aufgrund der Selbsterwärmung so hoch, dass die Variation des Basisstroms aufgrund der Temperaturabhängigkeit der Stromverstärkung im Vergleich zum Avalanchestrom dominiert. Eine verlässliche Aussage über den Avalanchestrom ist demnach mit dieser Methode nur erzielbar, wenn die Kollektorströme so klein sind, dass keine 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren ,E>$@ Ib [A] 54 10-2 10-3 10-4 10-5 0 1 2 3 4 5 6 U cb [V] 8FE>9@ Abbildung 4.1: Messung des Basisstroms Ib in Basisschaltung an HRL- Abbildung 4.2: Messung des Basisstroms Transistoren der Größe 1 × Ib in Basisschaltung von 20 µm2 . Die Basisspan- Kloosterman [29]. Die Ba- nung lag bei den Werten sisspannung varriiert zwi- 520 mV, 575 mV, 625 mV schen 750 und 1050 mV in und 650-800 mV in 50 mV- 50 mV-Schritten. Schritten. merkliche Selbsterwärmung einsetzt. Das im vorangehenden Kapitel hergeleitete Modell für den Avalanchestrom zeichnet sich sowohl durch die Berücksichtigung der Anomalie des Ionisationskoeffizienten bei niedrigen elektrischen Feldstärken im Kollektor aus als auch durch einen erweiterten Gültigkeitsbereich hinsichtlich der Stromdichten. Nach der Vorstellung des Aufbaus und der grundlegenden Eigenschaften des in dieser Arbeit untersuchten Transistors im anschließenden Abschnitt soll zunächst die Validität des Modells bei niedrigen Stromdichten und damit einhergehenden niedrigen Feldstärken geprüft werden. Unter diesen Bedingungen ist die Selbsterwärmung vernachlassigbar, so dass die konventionelle Methode zur Bestimmung des Avalanchestroms in Basisschaltung anwendbar ist. Die Charakterisierung bei höheren Stromdichten bedingt schließlich die Berücksichtigung der Selbsterwärmung. In Abschnitt 4.3 ist daher eine neue Methode zur Separation von thermischen Effekten und dem Avalanchestrom und die entsprechende Korrektur der Ausgangskennlinie um thermische Effekte dargestellt. Abschnitt 4.4 vergleicht die mit dieser Vorgehensweise gewonnenen Ergebnisse mit weiteren Methoden zur Korrektur um Selbsterwärmungseffekte. 4.1 Transistoraufbau und Messumgebung 55 4.1 Transistoraufbau und Messumgebung Von den Hughes Research Laboratories (HRL) standen für diese Arbeit npn-SingleHeterobipolar-Transistoren der 2. Generation (G2) mit einer Transistorgröße1 von 1 × 5 µm2 zur Verfügung [68] [69]. Der Prozess beinhaltet eine selbstjustierten2 Basismetallisierung sowie eine Polyimid-Planarisierung. Tabelle 4.1 zeigt den mit molekularer Strahlepitaxie erzeugten Schichtaufbau. Der Kollektor besteht aus In0,53 Ga0,47 As. Die regulären Betriebsgrenzen sind 10 mW Leistung oder 10 mA Kollektorstrom oder 2 V Kollektorspannung. Sowohl die Transitfrequenz ft als auch die maximale Schwingfrequenz fmax liegen bei ca. 150 GHz. Dicke Komposition Funktion Dotierung 100 nm InGaAs Kontakt 70 nm InAlAs 120 nm InAlAs Kontakt Emitter n=1·1019 cm-3 n=1·1019 cm-3 n=8·1017 cm-3 30 nm InAlAs/InGaAs Grading Spacer p=2·1018 cm-3 50 nm InGaAs 200 nm InGaAs Basis Kollektor p=5·1019 cm-3 700 nm InGaAs Subkollektor n=1·1019 cm-3 Puffer n=0 10 nm InGaAs 10 nm InGaAs InP n=1·1016 cm-3 Substrat Tabelle 4.1: Schichtaufbau der untersuchten Heterobipolar-Transistoren der 2. Generation von den Hughes Research Laboratories (Quellen: Hafizi et al. [68] und Sokolich et al. [69]). Feldverteilung Gerade bei der Untersuchung des Avalancheeffekts ist die Verteilung des elektrischen Feldes besonders wichtig, da die maximal auftretende Feldstärke ein entscheidender Faktor für das Einsetzen der Stoßionisation ist. In Abschnitt 2.1 wurden bereits die kritischen Ströme und Spannungen hergeleitet und das sich daraus ergebende Bild der unterschiedlichen Betriebsarten eines Transistors allgemein dargestellt (Abbildung 2.4). Unter Ausnutzung der Geometrie- und Materialparameter (Tabelle 4.1 und 4.2) teilt sich das Ausgangskennlinienfeld eines HRL-Transistor entsprechend Abbildung 4.3 auf. Bei dem 1 Als Maß für die Transistorgröße dient die gezeichnete Emitterfläche. 2 self-aligned. 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 56 relatives maximales elektrisches Feld I [mA] 4 E m 3,5 E m 3 Em 2,5 E m 10 2 Em I kirk 8 6 1,5 E m 4 2 I lim 0 Em I ohm 0 1 2 3 U ce [V] Abbildung 4.3: Die kritischen Grenzströme Ilim und Ikirk eingezeichnet in das Ausgangskennlinienfeld eines HRL-Transistors. Die weiteren Linien kennzeichnen die Entwicklung des maximalen elektrischen Feldes bei einer konstanten Kollektor-Basis-Spannung Ucb . Kollektorstrom Ic = Ilim =0,8 mA ist das elektrische Feld über den gesamten Kollektor hinweg konstant (Ulim = 0, 15 V). Steigt der Kollektorstrom, so bildet sich das maximale elektrische Feld am Übergang zwischen Kollektor und Subkollektor aus und die Feldstärke am Basis-Kollektor-Übergang sinkt entsprechend. Sobald der Kollektorstrom Ikirk erreicht verschwindet das elektrische Feld am Basis-Kollektor-Übergang. Eine weitere Zunahme des Kollektorstromes führt schließlich zur Ausbildung einer Injektionszone und einer entsprechenden Aufweitung der Basis. Das elektrische Feld im Kollektor wird von der Kollektor-Basis-Spannung verursacht. Ein und dieselbe Kollektor-Basis-Spannung kann aber aus unterschiedlichen Feldverteilungen resultieren. Das maximale elektrische Feld ist besonders stark von der Feldverteilung abhängig. Am kleinsten ist das maximale elektrische Feld Em , wenn das elektrische Feld entlang des Kollektors konstant ist, also bei Ic = Ilim . Für diesen Fall ergibt sich E(x) = Ubi,bc + Ucb = const. = Em . wc (4.1) Bei Ic = Ikirk steigt das elektrische Feld von der Basisseite des Kollektors bis zum Sub- 4.1 Transistoraufbau und Messumgebung 5 E [V/cm] 1,0⋅⋅10 5 1,2⋅⋅10 5 1,4⋅⋅10 5 10 9 8 Ic [mA] 0,8⋅⋅10 57 7 6 5 4 3 2 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 U CE [V] Abbildung 4.4: Die Einteilung des Ausgangskennlinienfeldes eines HRL-Transistors entsprechend dem mittleren elektrischen Feld berechnet mittels Eav = (Ucb + Ubi,bc )/wc,ef f und Gleichung 2.7. kollektorübergang gerade von 0 bis zum maximalen elektrische Feldwert. Das maximale elektrische Feld ist in diesem Fall genau doppelt so hoch wie bei Ic = Ilim . Bei höheren Kollektorströmen weitet sich die Basis in den Kollektor hinein aus, so dass sich die effektive Kollektorbreite verringert. Für Ic < Ilim bildet sich das maximale elektrische Feld am basisseitigen Rand des Kollektors aus. Da das elektrische Feld in diesem Fall nicht gleichmäßig entlang des Kollektors verteilt ist, ist der maximale Wert des elektrischen Feldes bei gegebener Spannung über den Kollektor auch höher. Das Ausgangskennlinienfeld eines Transistors kann man durch Linien mit einem bestimmten mittleren elektrischen Feld einteilen. Abbildung 4.4 zeigt diese Einteilung für einen HRL-Transistor. Die bei der Berechnung verwendeten Materialkonstanten sind in Tabelle 4.2 aufgeführt. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass im Betrieb innerhalb der regulären Betriebsgrenzen3 das mittlere elektrische Feld maximal einen Wert von 1 · 105 V/cm erreicht. Gut erkennbar ist auch der Kollektorstrombereich um Ilim , bei dem die Durchbruchspannung am geringsten ist weil das elektrische Feld entlang des Kollektors konstant ist und demnach das maximale elektrische Feld relativ gering ausfällt (vgl. 3 10 mW Leistungsaufnahme oder 10 mA Kollektorstrom oder 2 V Kollektorspannung. 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 58 auch Scott und Low [70]). Der theoretische Wert beträgt Ilim = qNc νs Ae = 800 µA. Dieser Strom dient auch als Kriterium für die Unterscheidung zwischen niedrigen Stromdichten, bei denen die Selbsterwärmung vernachlässigt werden kann, und hohen Stromdichten, bei denen unter anderem der Kirk-Effekt zu berücksichtigen ist (vgl. Abbildung 2.4). Parameter Symbol Wert Quelle relative Dielektrizitätskonstante r 13,1 [10] Beweglichkeit der Elektronen (theoretisch) µn 15 · 103 cm2 /(Vs) [10] Sättigungsgeschwindigkeit der Elektronen νs 1, 0 · 107 cm/s [63] intrinsische Ladungsträgerdichte ni 1 · 1012 cm−3 [71] intrinsische Ladungsträgerdichte bei 400 K ni 1 · 1014 cm−3 [71] Diffusionsspannung Basis-Kollektor Ubi,bc 0, 30 V [12] Diffusionsspannung Basis-Kollektor bei 400 K Ubi,bc 0, 20 V [12] Tabelle 4.2: Materialkonstanten für In0,53 Ga0,47 As bei Raumtemperatur. Messaufbau Der Messaufbau besteht aus den Kontaktköpfen, Bias-Tees, einem Netzwerkanalysator und einer kombinierten Gleichstrom-Quelle und -Messeinheit4 . Die verwendeten Kontaktköpfe der Firma Picoprobe weisen eine GSG-Konfiguration auf, die Signalspitze ist also symmetrisch von Masseleitungen umgeben. Der Mittenabstand der Spitzen beträgt 100 µm. Als Bias-Tees kam - wo nicht explizit anders erwähnt - das Modell 8810-KMF2 der Firma Aeroflex-Inmet zum Einsatz, das eine spezifizierte Bandbreite von 50 kHz bis 40 Ghz aufweist. Vor S-Parameter-Messungen wurde das Messsystem mittels des TOSM- Kalibrierverfahrens5 kalibriert. Dieses Kalibrierverfahren ist in dem für diese Arbeit benutzten Netzwerkanalysator ZVR der Firma Rohde&Schwarz integriert. Die Bandbreite des Netzwerkanalysators reicht von 9 kHz bis 4 GHz. Als Zwischenfrequenz (IF-Frequenz) wurden Werte zwischen 10 Hz und 100 Hz verwendet. 4 SMU (source monitor unit). 5 Der Name TOSM setzt sich aus den Anfangsbuchstaben der bei diesem Verfahren verwendeten Kalibrierstandards through, open, short und match zusammen. 4.1 Transistoraufbau und Messumgebung 59 Als Kalibriersubstrat kam das von der Firma Cascade hergestellte ISS 101-190B zum Einsatz. Die 50 Ω-Lastwiderstände sind lasergetrimmt und haben eine Gleichstromgenauigkeit von ±0, 3 %. Der sogenannte Through“-Standard hat eine physikalische Länge von ” 200 µm, so dass die Messspitzen für die Kalibrierung und die eigentliche Messung in derselben Position verbleiben können. Der Kalibrierung ging die horizontale Ausrichtung des Kalibriersubstrats voraus. Nach dem Aufsetzen der Messspitzen auf der Positionierungsmarke konnte so mittels des halbautomatischen Probers das Substrat maschinell um die nötigen Weglängen seitlich zwischen den Kalibrierstrukturen verschoben werden. Der elektrische Messaufbau und insbesondere die Kabel blieben auf diese Weise vom Beginn der Kalibrierung bis zum Ende der Messung selber unangetastet, so dass Messfehler in dieser Hinsicht minimiert sind. Als Gleichstrom-Quelle und -Messeinheit kam das Gerät 4142B der Firma Agilent zum Einsatz. Die Steuerung und das Auslesen des 4142B und des Netzwerkanalysators erfolgte mittels der Software ICCAP über den General Purpose Interface Bus“ (GPIB). ” Abbildung 4.5 zeigt die zwei in dieser Arbeit verwendeten Schaltungsvarianten. In Basisschaltung wird bei vorgegebener Emitter-Basis-Spannung die Kollektor-BasisSpannung variiert und die sich ergebenden Ströme gemessen. Da in Basisschaltung gerade der Basisstrom zu messen ist und daher nicht direkt mit Masse verbunden werden darf, kamen für die Kontaktierung in Basisschaltung drei einzelne Nadeln zum Einsatz. Dies wurde auch durch die Tatsache ermöglicht, dass in Basisschaltung keine S-Parameter gemessen werden mussten. Die Aufnahme des Ausgangskennlinienfeldes Ic (Uce ) erfolgt in Emitterschaltung (Abbildung 4.5b). Eine Ausgangskennlinie ergibt sich bei einem Durchlauf von Uce bei konstan- a) b) E Ie Ueb A C Ic B Ib B C E A Ic Ib A Ucb Abbildung 4.5: Aufbau zur Charakterisierung des Transistors in a) Basisschaltung und b) Emitterschaltung. Uce A 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 60 tem Ib . Das Ausgangskennlinienfeld erhält man durch Aufnahme mehrerer Ausgangskennlinien bei Variation von Ib . Bei der Messung in Emitterschaltung kamen die Kontaktköpfe der Firma Picoprobe zum Einsatz. Deembedding Die Kalibrierung definiert die Messspitzen als Bezugsebene. Das Messergebnis sollte daher bei einer idealen Kalibrierung das Signal an den Messspitzen wiedergeben. Um die Signalform am Transistor selber zu erhalten muss die Wirkung der zwischen Messspitze und Transistor liegenden parasitären Elemente aus dem Messergebnis herausgerechnet werden. Dieser Vorgang nennt sich Deembedding. Im Folgenden wird das in dieser Arbeit verwendete Zwei-Schritt-Deembedding beschrieben [72]. Es benötigt neben dem Testobjekt selber die Messung einer Open-Struktur und einer Short-Struktur (Abbildung 4.6), die sich - wie im vorliegenden Fall - auf demselben Träger oder zumindest auf demgleichen Trägermaterial befinden müssen. Vom Messergebnis wird zunächst der Einfluss der parallelen Leitwerte G in Form von Admittanz(Y−)Parametern subtrahiert YA = YM − YOP EN = Bm Cm * YM 11 YM 12 YM 21 YM 22 = D − * E Em Gb + Gbc −Gbc Cm * * Bm * Em Gc + Gbc (4.2) Cm = * . Bm * = = −Gbc * F B TO E = C = Em Abbildung 4.6: Ersatzschaltungen der für das Zwei-Schritt-Deembeddig benötigten Messobjekte. a) Open-Struktur bestehend aus parallelen Leitwerten G; b) Short-Struktur mit miteinander verbundenen seriellen Impedanzen Z; c) eigentliche Messstruktur mit Testobjekt (TO) im Zentrum der parasitären Elemente. * 4.2 Verifikation des Kompaktmodells bei niedriger Kollektorstromdichte 61 Anschließend ist auch noch der Effekt der seriell angeordneten Impedanzen auszugleichen. Die seriellen Impedanzen ergeben sich aus der Differenz zwischen der Open- und der Short-Messung (YSHORT −OP EN = YSHORT − YOP EN ). Da die Impedanzen seriell angeordnet sind, müssen sie in Form von Impedanz-(Z-)Parametern vom Messergebnis abgezogen werden [73]. Man erhält so die Signale direkt am Testobjekt - also die Z-Parameter des intrinsischen Transistors Zi = ZA − ZSHORT −OP EN , (4.3) wobei ZA die in Z-Parameter Transformierte von YA darstellt. Das Ein-Schritt-Deembedding korrigiert die Messergebnisse lediglich um die parallelen Leitwerte G. Dies ist für die vorliegende Arbeit nicht ausreichend, da die im Zwei-SchrittDeembedding berücksichtigten seriellen Impedanzen auch dissipative Anteile beinhalten, so dass sich bei einer nicht um die seriellen Impedanzen bereinigten Berechnung eine zu geringe Leistungsverstärkung ergäbe. 4.2 Verifikation des Kompaktmodells bei niedriger Kollektorstromdichte In Kapitel 3 wurde das Kompaktmodell für den Avalanchestrom in InGaAs hergeleitet, das unter anderem auch die Anomalie des Ionisationskoeffizenten dieses Materials bei niedrigen elektrischen Feldern berücksichtigt. Dieser Abschnitt soll die Gültigkeit dieses Modells für den untersuchten Transistor bei niedrigen Stromdichten und demnach vernachlässigbarer Selbsterwärmung dokumentieren. Für den Fall, dass keine signifikanten thermischen Effekte auftreten, kann man die konventionelle auf der Basisschaltung beruhende Methode zur Bestimmung des Avalanchestroms aus dem Basisstrom anwenden, wie sie in Abschnitt 2.3.3 beschrieben wurde. Um sicherzustellen, dass die Selbsterwärmung tatsächlich vernachlässigbar ist, wird aus Abbildung 4.1 eine obere Grenze für die Basisströme abgeschätzt. Die Basisstromkennlinie mit einem anfänglichen Basisstrom Ib0 von 650 µA weicht weder nach oben noch nach unten von Ib0 ab. Dies bedeutet, dass die positive Änderung des Basisstroms aufgrund der Selbsterwärmung gerade durch die negative Änderung des Basisstroms aufgrund des Avalancheeffekts kompensiert wird. Damit die Selbsterwärmung vernachlässigbar ist, dürfen nur deutlich geringere Basisströme auftreten. 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren IAvl [mA] 62 0,08 Messung (Ube=750mV) Messung (Ube=700mV) Messung (Ube=650mV) Modell (Ube=750mV) Modell (Ube=700mV) Modell (Ube=650mV) Modell nach Poon&Meckwood (Ube=750mV) Modell nach Poon&Meckwood (Ube=700mV) Modell nach Poon&Meckwood (Ube=650mV) Modell ohne LF-Anteil (Ube=750mV) Modell ohne LF-Anteil (Ube=700mV) Modell ohne LF-Anteil (Ube=650mV) 0,06 0,04 0,02 0,00 0 1 2 3 4 5 U cb [V] Abbildung 4.7: Vergleich des nach der Methode aus Abbildung 2.13 gewonnenen Avalanchestroms (Symbole) zum Modell nach Kapitel 3 (durchgezogene Linien). Zum Vergleich sind weiterhin Modellrechnungen mit einzig dem Hochfeldanteil (gepunktete Linien) und unter Verwendung des physikalischen Modells von Poon und Meckwood (gestrichelte Linien) dargestellt. Die Messung erfolgte in Basisschaltung bei Raumtemperatur. Abbildung 4.7 zeigt die Avalancheströme eines bei Raumtemperatur in Basisschaltung gemessenen Transistors. Die Kollektorströme bei Ucb =1 V waren 122 µA, 277 µA und 478 µA. Die entsprechenden Basisströme lagen bei 48 µA, 73 µA und 96 µA. Die durchgezogenen Linien geben das Modell entsprechend den Ausführungen des vorangehenden Kapitels wieder. Modell und Messung stimmen hervorragend überein, ohne dass irgendwelche Anpassungen nötig sind [67]. Die Modellparameter finden sich in den Tabellen 3.3, 4.1 und 4.2. Als Diffusionsspannung Ubi,bc kam der Wert 0,25 V zum Einsatz. Ebenfalls dargestellt ist das Modell, wenn man den Niedrigfeldanteil außer Betracht lässt. Diese Berechnung weicht stark von den tatsächlichen Beobachtungen ab. Dies untermauert die Notwendigkeit den Niedrigfeldanteil als einen wesentlichen Bestandteil der Beschreibung des Avalancheeffekts in InGaAs anzusehen. Weitere Kurven in Abbildung 4.7 zeigen, wie das Modell unter Verwendung des physikalischen Modells von Poon und Meckwood aussähe. Diese Kurven unterscheiden sich 4.3 Separation von Avalancheeffekt und Selbsterwärmung 63 nicht so stark von dem ursprünglichen Modell wie bei einer Variation des Ansatzes für den Ionisationskoeffizienten. Bei hohen Kollektorströmen und gleichzeitig hohen Kollektorspannungen ist aber zu erkennen, dass durch die Berücksichtigung des Ansatzes nach Lee die Messungen deutlich besser beschrieben werden. 4.3 Separation von Avalancheeffekt und Selbsterwärmung Neben der Anomalie des Ionisationskoeffizienten in InGaAs beinhaltet der im vorangehenden Kapitel hergeleitete Ansatz aufgrund der Berücksichtigung des Kirk-Effekts und des physikalischen Modells nach Lee auch eine verbesserte Modellierung bei höheren Stromdichten. Wie bereits in der Einleitung zu diesem Kapitel ausgeführt, ist die bisher betrachtete Bestimmung des Avalanchestroms in Basisschaltung jedoch nur gültig, wenn die Bedingung vernachlässigbarer Selbsterwärmung gewährleistet ist. Diese Voraussetzung ist in der vorliegenden Technologie nur bei niedrigen Kollektorstromdichten erfüllt. Eine gängige Methode zur Vermeidung thermischer Effekte ist die Anwendung gepulster Messungen. Bei der Charakterisierung des Avalanchestrom wird üblicherweise in Basisschaltung der Basisstrom bestimmt, und zwar über den Umweg der Messung des Kollektorstroms und des Emitterstroms. Die gleichzeitige Bestimmung dieser beiden Ströme ist jedoch in gepulster Messtechnik nicht möglich. Zur Bestimmung des Avalanchestroms bei höheren Stromdichten wird der Transistor daher im Folgenden in Emitterschaltung charakterisiert. Dieser Abschnitt zeigt, wie unter Verwendung von S-Parameter-Messungen die Korrektur der Ausgangskennlinie um thermische Effekte möglich ist. Abbildung 4.8 zeigt eine typische gemessene Ausgangskennlinie eines Bipolar-Transistors. Im Bereich der Sättigung (UBC > 0) steigt der Kollektorstrom stark an und pendelt sich im Normalbetrieb auf einen konstanten Wert ein. Beschreibt man den Transistor mittels zweier idealer Dioden, so konvergiert der Kollektorstrom schnell gegen einen Grenzwert, wie in Abschnitt 2.3.1 im Rahmen der Beschreibung des Ebers-Moll-Modells gezeigt wurde. Aufgrund des Early-Effekts6 [74] kann die Steigung der Ausgangskennlinie im Normalbetrieb auch von der Horizontalen abweichen. Der Early-Effekt resultiert aus der 6 auch Basisweitenmodulation genannt 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 64 Modulation der Basisweite bei unterschiedlichen Kollektorspannungen. In modernen Heterobipolar-Transistoren ist der Early-Effekt vernachlässigbar, da die Basis immer sehr viel stärker dotiert ist als der Kollektor und demnach die Ausdehnung der Raumladungszone in die Basis sehr gering ist. Für das Materialsystem InGaAs wurde von Shamir und Ritter [42] explizit gezeigt, dass die Variation des Kollektorstroms aufgrund des Early-Effekts im Vergleich zu der durch den Avalancheeffekt induzierten Änderung vernachlässigbar ist. In den bisherigen Betrachtungen wurde die Selbsterwärmung des Transistors nicht berücksichtigt. Als Selbsterwärmung wird der Anstieg der lokalen Temperatur am Halbleiterübergang aufgrund von Leistungsdissipation bezeichnet. Ihr kommt in III/VHalbleitern wie GaAs und InP eine noch größere Bedeutung zu als in Silizium, da diese Materialien eine geringere thermische Leitfähigkeit besitzen und sich somit eine bestimmte Leistungsaufnahme in einer entsprechend größeren Temperaturerhöhung niederschlägt [75]. Die Selbsterwärmung wird in der Hauptsache durch den größten auftretenden Strom bestimmt - den Kollektorstrom. Die Selbsterwärmung beeinflusst alle temperaturabhängi- Ic [mA] gen Parameter, insbesondere auch die Stromverstärkung β. Bei einem positiven TempeU bc = 0 6 Ebers - Moll - Modell Messung 5 4 I b = 150 µA 3 I b = 100 µA 2 1 I b = 50 µA 0 0 1 2 U ce [V] Abbildung 4.8: Ausgangskennlinienfeld eines typischen Heterobipolar-Transistors. Im ungesättigten Bereich (Ubc < 0) verläuft die Kurve zunächst annähernd horizontal und beginnt schließlich bei großen Kollektorspannungen Uce zu steigen. 4.3 Separation von Avalancheeffekt und Selbsterwärmung 65 nur Avalanche-Effekt ohne Selbsterwärmung/Avalancheeffekt Ic [mA] nur Selbsterwärmung 5 I b = 150 µA 4 3 I b = 100 µA 2 I b = 50 µA 1 0 0 1 2 U ce [V] Abbildung 4.9: Schematische Darstellung der Ausgangskennlinien ohne und mit Berücksichtigung des Avalancheeffekts und der Selbsterwärmung eines Transistors mit negativem Temperaturkoeffizienten. In einer Messung würden sich der Avalancheeffekt und die Selbsterwärmung teilweise gegenseitig aufheben. raturkoeffizienten steigt die Stromverstärkung mit zunehmender Temperatur, ein negativer Temperaturkoeffizient resultiert bei einer Temperaturerhöhung in einer verringerten Stromverstärkung. Betrachtet man einen Heterobipolar-Transistor, der weder den Avalanche- noch den Early-Effekt aufweist, sollten entsprechend dem Ebers-Moll-Modell die Ausgangskennlinien im aktiv-normalen Bereich horizontal verlaufen. Dabei wird jedoch die Selbsterwärmung des Transistors noch nicht beachtet. Ausgehend vom Gummel-Poon-Modell leitet Anholt [15] den Ausdruck T 3−3ne /nf E ne ESE SF Ic ∼ exp − + T0 kT nf kT (4.4) für die Temperaturabhängigkeit des Kollektorstroms ab. Ob der Kollektorstrom mit zunehmender Temperatur steigt oder fällt hängt demnach sowohl von den idealen bzw. nichtidealen Emissionsfaktoren im Vorwärtsbetrieb nf und ne ab als auch von den idealen bzw. nichtidealen Aktivierungsenergien ESF und ESE . Abbildung 4.9 stellt den prinzipiellen Verlauf der Ausgangskennlinien für die Grenzfälle dar, in denen entweder nur der Avalancheeffekt oder nur die Selbsterwämung oder kei- 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 66 ner der beiden Phänomene berücksichtigt wird. In einer Messung überlagern sich der Avalancheeffekt und die Selbsterwärmung. Ein wichtiger Schritt in der Modellierung des Avalancheeffekts besteht deshalb darin, die Auswirkungen dieser beiden Erscheinungen voneinander zu trennen. 4.3.1 Separation mittels Gleichstrommessungen Zum Absolutwert des Kollektorstroms tragen vier Terme bei: der reguläre durch die Verstärkung des Basisstroms verursachte Kollektorstrom, der Earlyterm, der Avalancheanteil und die Anpassung aufgrund der Thermik. Betrachtet man jedoch den Ausgangsleitwert go , also die Ableitung des Kollektorstroms nach der Kollektorspannung (go = dIc ), dUce so sind darin nur noch drei Terme enthalten, da der reguläre Kollektorstrom im ungesättigten Bereich konstant ist (vgl. Abschnitt 2.3.1). Die Auswertung der totalen Ableitung ergibt [12] ∂I ∂I dIc dT c c go = = . + dUce ∂Uce T ∂T Uce dUce Der Term dT dUce (4.5) enthält jedoch den Ausgangsleitwert selber, wie dT dT dP dIc = = Rth Ic + Uce = Rth Ic + Rth Uce go dUce dP dUce dUce (4.6) erkennen lässt. Setzt man Gleichung 4.6 in Gleichung 4.5 ein und löst nach dem Ausgangsleitwert auf, ergibt sich go = dIc = dUce c + Rth Ic ∂I ∂T T Uce . c 1 − Rth Uce ∂I ∂T ∂Ic ∂Uce (4.7) Uce Der vordere Term im Zähler stellt den Ausgangsleitwert ohne Berücksichtigung der Temperaturabhängigkeit bei einer festen Temperatur T dar. Gleichung 4.7 beschreibt die Anpassung dieses Terms aufgrund der Thermik. Um den Einfluss der Temperatur auf den Ausgangsleitwert zu beschreiben, muss man demnach den thermischen Widerstand Rth und den Temperaturkoeffizienten der Strom c verstärkung αB bestimmen αB Ic = ∂I . Ausgedrückt in den messbaren Parame∂T Uce ,I b tern schreibt sich der Ausgangsleitwert go = ∂Ic ∂Uce T + Rth Ic2 αB 1 − Rth Uce Ic αB . (4.8) 8%(>P9@ 4.3 Separation von Avalancheeffekt und Selbsterwärmung 67 7 ¡& 7 ¡& ∆3 >P:@ Abbildung 4.10: Auftragung der Basis-Emitter-Spannung Ube über die dissipierte Leistung ∆P . Die Scharen wurden jeweils bei konstanten Basisströmen von Ib =90 µA, 145 µA und 200 µA (von unten nach oben) aufgenommen. Um aus Messungen den um die Selbsterwärmungseffekte korrigierten Ausgangsleitwert zu erhalten, muss man Gleichung 4.8 nach ∂I c = go,mess (1 − Rth Uce Ic αB ) − Rth Ic2 αB ∂Uce T (4.9) auflösen. In den anschließenden Abschnitten werden die für diese Korrektur notwendigen Parameter Rth und αB ermittelt. Bestimmung des thermischen Widerstands Der thermische Widerstand wird hier mit der Methode von Dawson [76] aus der Temperaturabhängigkeit der Basis-Emitter-Spannung Ube bestimmt. Die Annahme, dass Ube linear von der dissipierten Leistung Pdiss ∼ Uce Ie abhängt, trifft außerhalb des Sätti- gungsbereiches zu, wie man Abbildung 4.10 entnehmen kann. Die lineare Näherung für die Basis-Emitter-Spannung lautet Ube = Ube1 + ∆Ube (Tj − T1 ), ∆T (4.10) wobei um Ube1 und T1 herum genähert wird. Dabei steht Tj für die Transistortemperatur. Durch Ausnutzung der Definition des thermischen Widerstands Tj − Tumg = Rth Pdiss , 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren Rth [K/W] 68 4500 ∆P 0 - 2 mW 2 - 4 mW 4000 4 - 6 mW 6 - 8 mW 3500 HRL 3000 0 20 40 60 80 100 ∆T [K] Abbildung 4.11: Werte des thermischen Widerstand Rth , errechnet aus Messungen mit einem Temperaturunterschied ∆T und einem Leistungsunterschied ∆P . wobei Tumg die Umgebungstemperatur bezeichnet, kann gemäß ∆Ube ∆Ube Ube = Ube1 + (Tumg − T1 ) + Rth Pdiss ∆T P ∆T T die Transistortemperatur aus Gleichung 4.10 eliminiert werden. Der Term (4.11) ∆Ube R ∆T T th er- gibt sich aus der Änderung in der Basis-Emitter-Spannung durch Variation der dissipier be ten Leistung bei einer konstanten Temperatur. Den Term ∆U erhält man hingegen, ∆T P wenn die dissipierte Leistung konstant bleibt und die Temperatur variiert wird. Der thermische Widerstand Rth = ∆Ube R ∆T T th ∆Ube ∆T P (4.12) ergibt sich folglich aus dem Verhältnis dieser beiden Ausdrücke. Abbildung 4.11 zeigt Werte für den thermischen Widerstand der HRL-Technologie. Sie sind kategorisiert nach dem Leistungsunterschied ∆P und dem Temperaturunterschied ∆T zwischen den für die Berechnung herangezogenen Messpunkten. Der thermische Widerstand Rth der HRLTechnologie liegt bei 3490 K W ± 270 K . W 4.3 Separation von Avalancheeffekt und Selbsterwärmung 69 Bestimmung des Temperaturkoeffizienten der Stromverstärkung Der Temperaturkoeffizient der Stromverstärkung αB ist durch αB Ic = ∂I c ∂T Uce ,Ib (4.13) definiert. Praktisch erhält man den Temperaturkoeffizienten aus temperaturabhängigen Ausgangskennlinien, bei denen der Basisstrom eingeprägt wurde. Die Differenzbildung der Kollektorströme bei unterschiedlichen Temperaturen und Normierung auf ebendiese Temperaturdifferenz ergibt αB = Ic (T2 ) − Ic (T1 ) . (T2 − T1 ) 21 Ic (T2 ) + Ic (T1 ) (4.14) Als Temperatur ist dabei die Transistortemperatur Tj entsprechend Tj = Tumg + ∆T = Tumg + Rth Pdiss = Tumg + Rth Uce Ic (4.15) zu verwenden, die den Temperaturanstieg ∆T aufgrund der Selbsterwärmung bezogen auf die Umgebungstemperatur Tumg beinhaltet. Abbildung 4.12 stellt die Ergebnisse dieser Auswertung für einen HRL-Transistor dar. Der Temperaturkoeffizient für die Stromverstärkung αB ist dort abhängig von der mittleren Temperatur, um die die Messung vorgenommen wurde. Ein Polynom 2. Grades ist an die Messwerte nach der Methode der kleinsten quadratischen Abweichung angepasst. Darauf bezogen liegt die Standardabweichung in der Größenordnung von 0, 4 · 10−3 /K. Abbildung 4.13 zeigt Fits an die Messergebnisse weiterer HRL-Transistoren unterschiedlicher Lieferungen. Idealerweise erwartet man für den Temperaturkoeffizienten der Stromverstärkung einen konstanten Wert, da sich die Stromverstärkung linear mit der Temperatur ändern sollte. Dass dieses Verhalten in der Praxis nicht unbedingt anzutreffen ist zeigen auch die Messungen von Yang et al. [77] an InGaP-Heterobipolar-Transistoren. Ähnlich der in Abbildung 4.14 dargestellten Gleichstromverstärkung der HRL-Transistoren fällt dieser Wert auch bei Yang et al. von 23 bei 30 °C auf 14 bei 130 °C. 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 70 αb [0,001/K] 2 20°C 100°C 100°C 20°C Fit an 20°C 100°C 1 0 -1 -2 -3 -9 2 -6 -3 Fit : α b = 183x10 Tj - 60x10 Tj + 2,18x10 -4 20 40 60 80 100 120 140 T j [°C] Abbildung 4.12: Temperaturkoeffizient der Stromverstärkung αB eines 1 × 5 µm2 großen HRLTransistors. Eine Schar wurde bei Temperaturen von 20 °C bis 100 °C, die zweite bei 100 °C bis 20 °C aufgenommen (beide in 10 °C-Schritten). Die Messwerte ergeben sich gemäß Gleichung 4.14 jeweils aus den Messungen bei zwei unterschiedlichen Temperaturen. Der Graph ist über den Mittelwert der beiden dabei verwendeten Transistortemperaturen Tj aufgetragen. Die durchgezogene Kurve stellt einen Polynom-Fit an die Messwerte in 2. Ordnung nach der Methode αB [0,001/K] der kleinsten quadratischen Abweichung dar. 2 20 °C 1 100 °C 100 °C 20 °C Fit an 20 °C 0 100 °C -1 -2 -3 Fit : α b = 183·10-9 Tj2 - 60·10-6 Tj + 2,18·10-3 -4 20 40 60 80 100 120 140 T j [°C] Abbildung 4.13: Temperaturkoeffizient der Stromverstärkung von 1×5 µm2 großen HRLTransistoren verschiedener Lieferungen. Für jede Messreihe ist jeweils ein Fit an die Messwerte mit der angegebenen Funktion nach der Methode der kleinsten quadratischen Abweichung aufgetragen. 4.3 Separation von Avalancheeffekt und Selbsterwärmung β [-] 40 35 I b 300µA 30 I b 225µA 25 I b 150µA 20 20 40 60 80 100 120 T j [°C] Abbildung 4.14: Abhängigkeit der Gleichstromverstärkung in Emitterschaltung β von der Transistortemperatur Tj . 71 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 72 Bestimmung der aus der Selbsterwärmung resultierenden Änderung des Ausgangsleitwerts Tabelle 4.3 zeigt die Auswertung von Gleichung 4.8 für typische Werte der darin enthaltenen Parameter (bezeichnet mit Standardwert“). Eine Erhöhung jeweils eines Parame” ters führt dabei immer zu einer aus der Selbsterwärmung resultierenden Reduktion des Ausgangsleitwerts. Der starke Einfluss einer Änderung von Ic auf den Ausgangsleitwert begründet sich darin, dass Ic sowohl im rechten Summenterm des Zählers als auch im Subtrahend des Nenners auftritt. alphaB Parameter Einheit Standardwert Für alle Parameter Standardwerte : g o |T mS 1 U ce V 1 ∆ g o [mS] 2 g o [mS] 0,45 1,40 -0,55 -0,60 rel. Abw. -55% -30% 2 0,43 -0,57 -57% -200% alternativer Wert -0,0015 1/K 3500 k/W 0,010 A 1,0 V 1,0 mS Ic mA 10 20 -1,00 -2,00 R th K/W 3500 5000 0,23 -0,77 -77% αB ‰/K -1,5 -3,0 -0,05 -1,05 -105% Tabelle 4.3: Auswertung von Gleichung 4.8 bei Variation der Parameter. Die angegebene Abweichung ∆go bezieht sich auf den Ausgangsleitwert im isothermen Fall go |T , der von der Selbsterwärmung unbeeinflusst ist. 4.3.2 Separation mittels Wechselstrommessungen Ein alternativer Ansatz zur Separation von Avalancheeffekt und Selbsterwärmungseffekten beruht auf der Messung des Transistors unter- und oberhalb der thermischen Zeitkonstanten, die sich typischerweise in der Größenordnung von 500 ns befindet. In diesem Frequenzbereich um 2 MHz herum ist die Ausgangskennlinie nicht direkt messbar, da sie ein Großsignal darstellt. Aus den Kleinsignalgrößen ic und uce kann man jedoch den Ausgangsleitwert - also die Steigung der Ausgangskennlinie - gemäß go = ic /uce = H22 durch Transformation aus S-Parametern ermitteln. Das im Folgenden dargestellte Vorgehen wurde in [78] veröffentlicht. Abbildung 4.15 zeigt eine typische Messung des Hybridparameters H22 . Bei niedrigen Frequenzen zwischen 70 kHz und 400 kHz stimmen diese Werte hervorragend mit den aus der Ausgangskennlinie (Abbildung 4.16) extrahierten Ausgangsleitwerten überein. Die Abweichungen bei niedrigeren Frequenzen sind in der Dämpfung der Bias-Tees begründet. Zwischen 10 und 100 MHz zeigt sich ein Plateau, bei dem der H22 -Parameter 4.3 Separation von Avalancheeffekt und Selbsterwärmung 73 Abbildung 4.15: Frequenzabhängigkeit des Kleinsignalparameters H22 eines 1 × 5 µm2 großen HRL-Transistors (T=25 °C, Ib =375 µA, PHF =-35 dBm). Die gestrichelten Linien stellen den aus der Ausgangskennlinie extrahierten Ausgangsleitwert dar. dem Ausgangsleitwert des Transistors ohne dem Einfluss von Selbsterwärmung entspricht. Bei noch höheren Frequenzen zeigen sich kapazitive Effekte. Bei der Messung der Hybridparameter ist die verwendete HF-Leistung sorgfältig zu wählen. Eine zu geringe Leistung resultiert in einem verrauschten Messsignal. Ist die Lei- Ic [mA] stung jedoch zu hoch, verfälscht die eingebrachte Leistung die Messung. Abbildung 4.17 12 10 8 6 4 2 0 0,0 0,5 1,0 1,5 Uc [V] Abbildung 4.16: Ausgangskennlinie des in Abbildung 4.15 gemessenen Transistors unter identischen Bedingungen (Ib =375 µA und T=25 °C). Die Markierungen zeigen die Kollektorspannungen, bei denen der Ausgangsleitwert extrahiert wurde. 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren H22 [S] 74 -10dBm -20dBm -35dBm 100 kHz 1 MHz 10 MHz 100 MHz 1 GHz f Abbildung 4.17: Vergleich von H22 bei unterschiedlichen HF-Leistungen (Uce = 1, 0 V, Ib = 400 µA). Die gestrichelte Linie entspricht dem aus der Ausgangskennlinie extrahierten Ausgangsleitwert. zeigt H22 bei drei unterschiedlichen HF-Leistungen, für die der Messaufbau jeweils neu kalibriert wurde. Nur die Messung bei -35 dBm zeigt eine gute Übereinstimmung mit dem aus der Ausgangskennlinie extrahierten Ausgangsleitwert. In dem Plateau zwischen 10 MHz und 100 MHz ist H22 hingegen unabhängig von der verwendeten HF-Leistung. Dies bestätigt den hier verfolgten Ansatz, der postuliert, dass Selbsterwärmungseffekte auf Zeitskalen unterhalb der thermischen Zeitkonstanten vernachlässigbar sind. Einen weiteren deutlicher Einfluss auf die Messungen hat die Wahl des Bias-Tee. Es wurden Messungen mit vier unterschiedlichen Modellen durchgeführt (Abbildung 4.18), nämlich mit dem bereits in der Beschreibung des Messaufbaus erwähnten 8810 KMF2 der Firma Aeroflex-Inmet, dem Vorgänger 8810 K der Firma Inmet, dem ZFBT-6GW der Firma Mini-Circuits und dem V255 der Firma Anritsu. Interpretierbare Ergebnisse ergeben sich einzig unter Verwendung der Bias-Tees von Inmet bzw. Aeroflex-Inmet. Bei niedrigen Frequenzen zwischen 30 kHz und 400 kHz zeigt sich in H22 ein klares Plateau, dessen Wert auch jeweils mit den aus den Ausgangskennlinien abgelesenen Ausgangsleitwerten übereinstimmt. Ein zweites Plateau zeigt sich bei Frequenzen von 10 MHz bis √ 100 MHz. Die Resonanzfrequenz f0 = 1/ 2π LC des LC-Schwingkreises, die sich aus den Werten des Kondensators und der Spule der Bias-Tees ergibt (Tabelle 4.4), ist in der Messkurve exakt bei der berechneten Frequenz von 12,7 kHz zu erkennen. Die Abweichungen bei hohen Frequenzen begründen sich in dieser Messung mit Kalibrierfehlern ab H22 [mS] 4.3 Separation von Avalancheeffekt und Selbsterwärmung 75 2 Aeroflex-Inmet Mini Circuits 1 Mini Circuits & Spule 0 -1 -2 10 kHz 100 kHz 1 MHz 10 MHz 100 MHz 1 GHz Frequenz Abbildung 4.18: Messung von H22 unter Verwendung unterschiedlicher Bias-Tees. Bei der Messung mit Spule wurde eine gewickelte SMD-Spule mit einem Wert von 470 µm in Reihe mit der Spule des Bias-Tee geschaltet. 100 MHz. Die Messungen mit Bias-Tees der Firma Mini-Circuits stimmen bei Frequenzen oberhalb von 1 MHz qualitativ mit den bisher diskutierten überein. Die niederfrequenten Anteile zeigen jedoch kein konstantes Verhalten sondern weisen zwei Minima und ein Maximum auf. Einen ähnlichen Verlauf, der aber noch ausgeprägtere Extrema aufwies, zeigten Messungen mit Bias-Tees der Firma Anritsu. Tabelle 4.4 listet die charakteristischen Werte für die verschiedenen Bias-Tees auf. Die Modelle der Firma Inmet bzw. Aeroflex-Inmet weisen dabei die höchsten Induktivitäten L und die geringste Koppelkapazität C auf, aber auch den höchsten Gleichstromwiderstand RL . Um einen Anhaltspunkt für den relevanten Unterschied zu den anderen Bias-Tees herauszuarbeiten, wurden entweder Widerstände, Kondensatoren oder Spulen in Reihe mit den anderen Bias-Tees geschaltet, so dass sich nominell in etwa der Wert des AeroflexInmet-Bias-Tees ergab. Der Messaufbau blieb ansonsten unverändert bis auf zwei zusätzliche Adpater bei der Messung mit dem Bias-Tee von Anritsu, um den unterschiedlichen Konnektoren Rechnung zu tragen. Für jede Messung wurde eine neue Kalibrierung durchgeführt. Einen Einfluss zeigte allein die Serienschaltung der Spule, die die Extrema zu niedrigeren Frequenzen verschob (Abbildung 4.18). Dass sich jedoch keine Verbesserung der mit diesem Messaufbau erzielten Messergebnisse zeigt ist sicherlich damit zu erklären, 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 76 dass eine diskrete Serienschaltung bei weitem nicht die Qualität des hybriden Aufbaus des Bias-Tees erreichen kann. Aufgrund der Beobachtungen liegt dennoch die Vermutung nahe, dass die qualitativ guten Messungen mit den Modellen 8810 aufgrund der hohen Induktivität der in diesen Bauteilen verwendeten Spulen begründet ist, die zu einer guten Entkopplung des HF-Pfades von der Gleichstromzuleitung führt. Auffallend war, dass das Messergebnis um 1 MHz systematisch mit allen Bias-Tees und bei allen Messungen höher ist als der Wert bei niedrigeren Frequenzen (Ausgangsleitwert mit Selbsterwärmung) und bei höheren Frequenzen (Ausgangsleitwert ohne Selbsterwärmung). Hersteller Modell Bandbreite (Spezifikation) L [µH] C [nF] R L [Ω Ω] Aeroflex-Inmet Inmet Anritsu Mini-Circuits 8810 KMF2 8810 K V255 ZFBT-6GW 50 kHz - 40 GHz 50 kHz - 40 GHz 50 kHz - 65 GHz 100 kHz - 6 GHz 1464 1410 586 904 107 96 216 192 11,5 10,8 4,1 3,2 Tabelle 4.4: Charakteristische Werte der untersuchten Bias-Tees. 4.3.3 Korrektur der Ausgangskennlinie um Selbsterwärmungseffekte Die vorangehenden Abschnitte zeigten zwei Methoden, um in Messungen die Selbsterwärmungseffekte zu quantifizieren. Diese Prozeduren sollen nun zur Korrektur der gemessenen Ausgangskennlinien um die Selbsterwärmungseffekte eingesetzt werden. Die gleichstromkorrigierten Ausgangsleitwerte (DC-Korrektur) ergeben sich aus Gleichung 4.8. Die wechselstromkorrigierten Ausgangsleitwerte (HF-Korrektur) entsprechen den Messwerten von H22 bei 20 MHz. Ausgehend von einem fest definierten Startpunkt kann man anhand der korrigierten Ausgangsleitwerte die Ausgangskennlinie schrittweise rekonstruieren. Beginnend mit dem Kollektorstrom bei Uce = 0, 6 V wurde in Schritten von 0,05 V extrapoliert. Bei den Messpunkten von H22 - die jeweils 0,2 V voneinander entfernt sind - wurde der dort vorliegende korrigierte Ausgangsleitwert verwendet. Bei zwischen Messpunkten liegenden Kollektorspannungen kommt ein entsprechend der Spannungsdifferenz gewichteter Wert aus den beiden umgebenden korrigierten Ausgangsleitwerten zur Anwendung. Abbildung 4.19 zeigt das Ergebnis dieser Prozedur. Zur Kontrolle dieser Vorgehensweise wurde zusätzlich sowohl die Extrapolation der Ausgangskennlinie aus den Steigungen der Ausgangskennlinie als auch eine HF-Korrektur IC [A] 4.3 Separation von Avalancheeffekt und Selbsterwärmung 77 10E-03 gemessen aus Steigung Ausgangskennlinie HF-Korrektur (100 kHz) HF-Korrektur (20 MHz) DC-Korrektur 9E-03 8E-03 0 1 2 U CE [V] Abbildung 4.19: Schrittweise Rekonstruktion des Ausgangskennlinienfeldes aus Werten des Ausgangsleitwertes anhand der in den Abbildungen 4.15 und 4.16 dargestellten Messdaten (T = 25 °C). auf Basis der H22 -Messungen bei 100 kHz durchgeführt. Die direkt gemessene Ausgangskennlinie stimmt gut mit diesen Kurven überein. Im Gegensatz zu der direkt gemessenen Ausgangskennlinie verläuft die auf den Messwerten bei 20 MHz basierende Kurve zunächst annähernd horizontal, bevor sie ab Kollektorspannungen von Uce = 1, 1 V aufgrund des Avalanche-Effekts zu steigen beginnt. Dieses Verhalten deckt sich mit den Erwartungen an die Ausgangskennlinie für einen Heterobipolar-Transistor ohne Early-Effekt und ohne Selbsterwärmung wie zu Beginn des Abschnittes 4.3 beschrieben. Die DC-Korrektur ergibt ein qualitativ vergleichbares Ergebnis wie die HF-Korrektur bei 20 MHz. Um zu verifizieren, dass die Korrektur der Selbsterwärmung erfolgreich ist, ist das Ausgangskennlinienfeld in Abbildung 4.20 bei vier unterschiedlichen Temperaturen aufgenommen. Für jede Ausgangskennlinie wurde bei allen Temperaturen der gleiche Basisstrom eingeprägt. Man erkennt deutlich die Temperaturabhängigkeit der Stromverstärkung, da sich aufgrund der Temperaturvariation die Kollektorströme um bis zu 1,5 mA unterscheiden. Bemerkenswert ist ebenfalls, dass zwischen Uce = 0, 7 V und 0, 9 V die korrigerten Ausgangskennlinien praktisch horizontal verlaufen, wohingegen die direkt gemessenen Ausgangskennlinien je nach Temperatur eine positive oder eine negative Steigung aufweisen. Dies bedeutet, dass in dem Bereich, in dem weder Sättigung noch Avalancheeffekt 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren Ic [mA] 78 AKL (100°C) HF-korrigiert (100°C) AKL (75°C) HF-korrigiert (75°C) AKL (50°C) HF-korrigiert (50°C) AKL (25°C) HF-korrigiert (25°C) AKL (100°C) 12 10 I b =400 µA 8 I b =325 µA 6 I b =250 µA 4 0 1 2 U ce [V] Abbildung 4.20: Ausgangskennlinienfelder für Temperaturen von 25 °C, 50 °C, 75 °C und 100 °C bei jeweils konstantem Basisstrom (Transistorgröße 1 × 5 µm2 ). auftritt, die Korrekturmethode den Absolutbetrag des Ausgangsleitwertes verringert. In der vorliegenden Konfiguration, also bei Einprägung eines konstanten Basisstroms, müsste die DC-Korrektur verhältnismäßig große Werte ausgleichen, welches natürlich mit umso größeren Abweichungen verbunden wäre. Eine geschicktere Vorgehensweise ist daher die Wahl der Basisströme, so dass der Kollektorstrom für alle Temperaturen bei der niedrigstmöglichen Kollektorspannung und demnach bei der geringsten Leistungsaufnahme übereinstimmt. Dieser Punkt befindet sich an der Grenze des Sättigungsbereichs. In diesem Fall unterscheidet sich zwischen den verschiedenen Temperaturen über den Kollektorspannungsbereich hinweg der Kollektorstrom und demnach auch die Selbsterwärmung und die Stromverstärkung deutlich weniger als im Fall konstanter Basisströme. Abbildung 4.21 stellt typische Ergebnisse dar, wenn die Basisstöme nach dieser Methode ausgewählt werden. Aufgrund des negativen Temperaturkoeffizienten der Stromverstärkung ist die Kurve bei 100 °C die niedrigste der gemessenen Ausgangskennlinien. Sie besitzt einen deutlich negativen Ausgangsleitwert zwischen Uce = 0, 7 V und 1, 0 V. Der Ausgangsleitwert in diesem Bereich erhöht sich mit abnehmender Temperatur und ist bei einer Temperatur von 40 °C nahezu horizontal. Die korrigierten Ausgangskennlinien weisen hingegen eine umgekehrte Temperaturver- IC [mA] 4.3 Separation von Avalancheeffekt und Selbsterwärmung 79 11 DC-korrigiert (100°C) DC-korrigiert (75°C) DC-korrigiert (50°C) DC-korrigiert (25°C) DC-korrigiert (15°C) HF-korrigiert (100°C) HF-korrigiert (75°C) HF-korrigiert (50°C) HF-korrigiert (25°C) HF-korrigiert (15°C) gemessen (15°C) gemessen (25°C) gemessen (50°C) gemessen (75°C) gemessen (100°C) AKL (100°C) 10 0 1 2 U CE [V] Abbildung 4.21: Gemessene und DC- bzw. HF-korrigierte Ausgangskennlinien für Temperaturen von 15 °C, 25 °C, 50 °C, 75 °C und 100 °C. Der Basisstrom wurde jeweils so gewählt, dass an der Grenze des Sättigungsbereichs die Kollektorströme für alle Temperaturen identisch sind (Transistorgröße 1 × 5 µm2 ). teilung auf. Im Bereich von Uce = 0, 7 V bis 1, 0 V zeigen sie bei einer Temperatur von 100 °C den höchsten Ausgangsleitwert. Der Ausgangsleitwert in diesem Bereich variiert auch bei den korrigierten Kennlinien mit der Temperatur. Dem horizontalen Verlauf am nächsten sind die korrigierten Kurven bei der niedrigsten gemessenen Temperatur von 15 °C. Eine Erklärung für diese Beobachtung stellt vielleicht die Tatsache dar, dass der Temperaturkoeffizient für die Stromverstärkung bei 20 °C etwa Null ist und bei höheren Temperaturen einen endlichen Wert annimmt (vgl. Abbildung 4.12). Die korrigierten Kurven sind demnach bei Temperaturen um 20 °C am verlässlichsten, da dort nur verhältnismäßig kleine Auswirkungen der Selbsterwärmung auszugleichen sind und demnach der mit der Korrektur verbundene Fehler am geringsten ausfällt. Bei 25 °C sind die gemessenen Ausgangskennlinien vergleichbar mit den korrigierten Ausgangskennlinien. Die HF-Korrektur weist etwas niedrigere Werte auf, wohingegen die DC-Korrektur zu leicht höheren Ergebnissen führt. Bei der weiteren Analyse der Avalancheströme scheint es aufgrund dieser Beobachtungen angebracht zu sein die direkt gemessenen Ausgangskennlinien bei 25 °C zu verwenden. 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 80 4.4 Messung des Avalanchestroms bei hoher Kollektorstromdichte In Abschnitt 4.2 wurde die Gültigkeit des Modells bei niedrigen Stromdichten anhand von Messungen in Basisschaltung gezeigt. Der anschließende Abschnitt stellte die Einflüsse der Selbsterwärmung auf das Ausgangskennlinienfeld dar. In diesem Abschnitt sollen aus Messungen bei hohen Stromdichten die Avalancheströme extrahiert und mit dem Modell verglichen werden. Da in dem vorliegenden Materialsystem die niedrige Wärmeleitfähigkeit in Zusammenhang mit dem Temperaturkoeffizienten der Stromverstärkung eine direkte Messung des Avalanchestroms in Basisschaltung verhindert, wird als Ansatz die Messung in Emitterschaltung mit unterschiedlichen Methoden zur Umgehung oder zur Korrektur der Selbsterwärmungseffekte verfolgt. Für alle Varianten ist jedoch die Beziehung zwischen dem Avalanchestrom und seiner Auswirkung in der Ausgangskennlinie identisch. In Emitterschaltung erfährt der Avalanchestrom IAvl üblicherweise eine Verstärkung, so dass der durch den Avalancheeffekt hervorgerufene Kollektorstromanteil im Ausgangskennlinienfeld ein Vielfaches ist. I [µA] Um diese Annahme zu verifizieren, wurde eine Messung in Basisschaltung bei niedriger 1000 I c0 +I avl β 0 Ic Ib 800 600 400 200 0 -200 0 1 2 U cb [V] Abbildung 4.22: Zusammenhang zwischen Basisstrom Ib und Kollektorstrom Ic einer Messung in Basisschaltung. Die Stromverstärkung bei Ucb = 0 V beträgt β0 = 3, 8. 4.4 Messung des Avalanchestroms bei hoher Kollektorstromdichte 81 Stromdichte durchgeführt, bei der der Avalanchestrom nach der konventionellen Methode bestimmt wird und mit dem Verlauf des Kollektorstroms in Beziehung gesetzt werden kann (Abbildung 4.22). Die Stromverstärkung β0 ergibt sich aus dem Verhältnis des Kollektorstroms zum Basisstrom bei einer Kollektor-Basis-Spannung von 0 V. Bei höheren Spannungen spiegelt dieses Verhältnis nicht mehr die tatsächliche Stromverstärkung wider, da dann eine nicht separat bestimmbare zusätzliche Basisstromkomponente in Form des Avalanchestroms auftritt. Die Summe von dem bei Ucb = 0 V vorliegenden Kollektorstrom Ic0 und dem verstärkten Avalanchestrom stimmt in guter Näherung mit dem gemessenen Kollektorstrom überein. 4.4.1 Linearer Ansatz für thermische Effekte In ihrer Veröffentlichung aus dem Jahr 2000 [66] schrieb die Arbeitsgruppe um Buttari, dass es zwar wünschenswert wäre, unter Berücksichtigung der beteiligten physikalischen Effekte ein Modell für den Basisstrom zu entwickeln, konnte aber aufgrund der thermischen Effekte keine experimentelle Möglichkeit in dieser Hinsicht aufzeigen. Sie verfolgten daher den Ansatz, die durch die Selbsterwärmung und den Early-Effekt hervorgerufene Änderung im Basisstrom in erster Näherung durch einen linearen Ansatz zu beschreiben. Abbildung 4.23 zeigt ein Ausgangskennlinienfeld, an dessen Ausgangskennlinien jeweils im beginnenden Nicht-Sättigungsbereich eine Linearfunktion angepasst ist. Die Differenz Ic [mA] zwischen dieser Funktion und der Messkennlinie dividiert durch die Stromverstärkung an 10 Messung 250µA Messung 200µA Messung 150µA Messung 100µA Messung 30µA Messung 20µA Messung 10µA Iref 250µA Iref 200µA Iref 150µA Iref 100µA Iref 30µA Iref 20µA Iref 10µA 8 6 4 2 0 0 1 2 3 U CE [V] Abbildung 4.23: Ausgangskennlinienfeld und angefittete lineare Funktionen (T = 25 °C). Der Parameter ist der eingeprägte Basisstrom Ib . 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 82 der Grenze zur Sättigung ergibt die in Abbildung 4.24 dargestellten Avalancheströme. Bei hohen Stromdichten zeigt sich, dass das Modell deutlich größere Werte voraussagt als in der Messung zu beobachten sind. Dies wurde bereits durch Kloosterman et al. [29] festgestellt. Das von ihnen daraufhin entwickelte zweidimensionale Modell stimmt gut mit Messungen in der von ihnen untersuchten Technologie mit hoher Wärmeleitfähigkeit überein. Abbildung 4.25 stellt die Messungen dem zweidimensionalen Modell von Kloosterman et al. gegenüber. Bei niedrigen Stromdichten stimmen beide Modelle überein, sie unterscheiden sich erst bei Kollektorströmen von über 1 mA. Bei hohen Strömen weichen die Messungen jedoch auch von dem zweidimensionalen Modell ab. Auffallend ist insbesondere die Tatsache, dass die gemessenen Avalancheströme für die Basisströme ab 100 µA alle erst ab einer Kollektor-Basis-Spannung von Uce = 1, 1 V zu steigen beginnen. Ein früheres Einsetzen des Avalanchestroms ist aufgrund der angewendeten Extraktionsmethode prinzipiell gar nicht möglich, da in dem Bereich von Uce = 0, 6 V bis 1 V die Linearfunktion an die Messdaten angefittet wird und der Avalanchestrom in diesem IAvl [µA] Bereich demnach verschwinden muss. Messung 250µA Messung 200µA Messung 150µA Messung 100µA Messung 30µA Messung 20µA Messung 10µA Modell 250µA Modell 200µA Modell 150µA Modell 100µA Modell 30µA Modell 20µA Modell 10µA 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 U CE [V] Abbildung 4.24: Avalancheströme IAvl erxtrahiert aus den Messungen von Abbildung 4.24 gemäß IAvl = (Igemessen − Iref )/β0 im Vergleich zu Kennlinien entsprechend dem Modell aus Kapitel 3. Der Parameter ist der eingeprägte Basisstrom. IAvl [µA] 4.4 Messung des Avalanchestroms bei hoher Kollektorstromdichte 14 83 Messung 250µA Messung 200µA Messung 150µA Messung 100µA Messung 30µA Messung 20µA Messung 10µA Modell 250µA Modell 200µA Modell 150µA Modell 100µA Modell 30µA Modell 20µA Modell 10µA 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 U CE [V] Abbildung 4.25: Avalancheströme IAvl aus Abbildung 4.24 im Vergleich zu Kennlinien gemäß dem zweidimensionalen Modell von Kloosterman et al. [29] mit einem Aufteilungskoeffizienten (spreading) Sg = 0, 55. Der Parameter ist der eingeprägte Basisstrom. 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 84 4.4.2 Gleichstromkorrektur und Wechselstromkorrektur Der soeben besprochene lineare Ansatz zur Korrektur um thermische Effekte war ein Vorschlag der Gruppe um Buttari in Ermangelung einer experimentelleren Methode zur Bestimmung und Berichtigung der thermischen Effekte. Die beiden in Abschnitt 4.3 vorgestellten Methoden stellen einen solchen experimentellen Ansatz dar. Abbildung 4.26 zeigt das Ergebnis ebendieser Gleichstromkorrektur (DC-Korrektur) und Wechselstromkorrektur (HF-Korrektur) auf direkt gemessene Ausgangskennlinienfelder. Entsprechend der Beschreibung aus Abschnitt 4.3.3 wurden die Basisströme bei den Messungen so gewählt, dass der Kollektorstrom für alle Temperaturen an der Grenze zum Sättigungsbereich identisch ist. Dieser Wert stellt auch den Ausgangspunkt für die Rekonstruktion der Ausgangskennlinie im Rahmen der HF-Methode dar. Um die Vergleichbarkeit zu gewährleisten sind auch die DC-korrigierten Kennlinien in diesem Punkt übereinander- Ic [mA] gelegt. 12 Ib 420 µA Ib 325 µA Ib 250 µA Ib 165 µA HF-korrigiert (100°C) HF-korrigiert (75°C) HF-korrigiert (50°C) HF-korrigiert (25°C) DC-korrigiert (100°C) DC-korrigiert (75°C) DC-korrigiert (50°C) DC-korrigiert (25°C) Reihe1 10 8 6 4 2 0 0 1 2 U ce [V] Abbildung 4.26: DC- und HF-korrigierte Ausgangskennlinienfelder bei Temperaturen von 25 °C, 50 °C, 75 °C und 100 °C. Abbildung 4.27 zeigt das Ergebnis der Extraktion der Avalancheströme aus diesen korrigierten Kennlinienfeldern. Es fällt auf, dass die Variation der Avalancheströme mit der Temperatur für beide Extraktionsarten sehr gering ist. Die Avalancheströme gemäß 4.4 Messung des Avalanchestroms bei hoher Kollektorstromdichte 85 der DC-Korrektur sind systematisch größer als deren HF-korrigierten Äquivalente. Beim niedrigsten dargestellten Basisstrom sind die Kollektorströme noch so klein, dass die maximalen elektrischen Felder gemäß dem eindimensionalen und dem zweidimensionalen Modell noch nicht voneinander abweichen und demnach auch die Avalancheströme beider Modelle praktisch übereinstimmen. Erst bei den größeren Basisströmen zeigt sich der Unterschied in den Modellen und wirkt sich in höheren Avalancheströmen des eindimensionalen Modells im Vergleich zum zweidimensionalen Modell aus. Für die Basisströme von 165 µA und 250 µA liegen die HF-korrigierten Ströme über dem zweidimensionalen Modell, für den Basisstrom von 425 µA jedoch nicht. Bei dieser absoluten Betrachtung ist zu berücksichtigen, dass es - wie bereits im vorangehenden Abschnitt erläutert wurde - aufgrund der gewählten Methodik gar nicht möglich ist, dass 60 DC-korrigiert (100°C) DC-korrigiert (75°C) DC-korrigiert (50°C) DC-korrigiert (25°C) HF-korrigiert (100°C) HF-korrigiert (75°C) HF-korrigiert (50°C) HF-korrigiert (25°C) 1D-Modell 2D-Modell HF-korrigiert (100°C) 40 Ib 425µA IAvl [µA] die extrahierten Avalancheströme bei Kollektorspannungen Uce von unter 1 V nennens- I b 250µA 20 I b 165µA 0 0 1 2 U CE [V] Abbildung 4.27: Avalancheströme IAvl extrahiert aus den DC- bzw. HF-korrigierten Ausgangskennlinien von Abbildung 4.26 bei Temperaturen von 25 °C, 50 °C, 75 °C und 100 °C im Vergleich zu Avalancheströmen gemäß dem eindimensionalen Modell aus Kapitel 3 und dem zweidimensionalen Modell von Kloosterman et al. [29]. 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 86 werte Beträge aufweisen. Um dieser Tatsache Rechnung zu tragen ist es angebracht, nicht die absoluten Werte zu betrachten, die aufgrund der Extraktionsmethodik bei niedrigen Kollektorspannungen variieren können, sondern die Steigungen der Kennlinien, die durch diesen Effekt nicht beeinflusst sind. Es zeigt sich, dass die HF-korrigerten Kennlinien für Kollektorspannungen Uce > 1, 2 V bei allen Basisströmen eine höhere Steigung als das zweidimensionale Modell aufweisen. Demnach tritt unter Berücksichtigung der Grenzen der Extraktionsmethodik kein Widerspruch zwischen den Messungen und dem Modell auf. 4.4.3 Gepulste Messungen Die konventionelle Vorgehensweise zur Separation von thermischen Effekten ist die Anwendung gepulster Messungen. Die Nachteile dieser Methode sind neben der mit abnehmender Messdauer steigenden Messungenauigkeit auch die hohen Kosten für die Messausstattung. Zum Vergleich mit den Ergebnissen aus der DC- und HF-Korrektur wurden auch Ausgangskennlinienfelder in gepulster Messtechnik aufgenommen. Dabei wurden von ei- Ic [mA] ner gepulsten Spannungsquelle über einen seriellen Widerstand von 3, 3 kΩ Basisströme gemessen (Ube=750 mV) gemessen (Ube=700 mV) gemessen (Ube=650 mV) Iref Iref Iref 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 U ce [V] Abbildung 4.28: Ausgangskennlinienfeld und Bezugsströme Iref einer gepulsten Messung bei T = 25 °C. 4.4 Messung des Avalanchestroms bei hoher Kollektorstromdichte 87 eingeprägt. Die verwendete Pulsdauer von 100 ns ist auf der Grundlage der S-ParameterMessungen von Abbildung 4.15 bereits ausreichend kurz, da sich der Ausgangsleitwert bei der korrespondierenden Frequenz von 10 MHz schon auf einem konstanten Plateau befindet, das sich bis über 100 MHz ausdehnt. Auch experimentell konnte die Anwendbarkeit der Pulsdauer durch eine weitere Aufnahme der Ausgangskennlinien bei einer leicht erhöhten Pulsdauer von 110 ns bestätigt werden, da beide Kennlinienfelder miteinander übereinstimmten und demnach keine weitere Veränderung mehr mit kürzeren Pulsdauern zu erwarten ist. Die gewählte Pulsperiode von 2 ms entspricht einem PulsPausen-Verhältnis von 1:19999 und gewährleistet, dass die kumulative Selbsterwärmung in dieser Betriebsart vernachlässigbar ist. Die resultierenden Kollektorströme wurden über einen seriellen Widerstand von 10, 6 Ω unmittelbar vor dem Ende des Pulses gemessen (Abbildung 4.28). Da aufgrund des Messaufbaus die thermischen Effekte bereits isoliert sein sollten, kann man die Avalancheströme relativ zu einem absoluten Kollektorstrom Iref an der Grenze des Sättigungsbereichs extrahieren (Abbildung 4.29). Qualitativ zeigen sie ein vergleichbares Verhalten zu den im vorangehenden Abschnitt vorgestellten Avalancheströmen aus IAvl [µA] DC- und HF-korrigierten Messungen. 80 Messung Ib=520 µA Messung Ib=420 µA Messung Ib=350 µA Modell Ib=520 µA Modell Ib=420 µA Modell Ib=350 µA 60 40 20 0 0 1 2 U ce [V] Abbildung 4.29: Avalancheströme IAvl extrahiert gemäß IAvl = Ic − Iref aus den gepulsten Messungen von Abbildung 4.28. 88 4 Messung des Avalancheeffekts in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren 4.5 Diskussion Bei niedrigen Stromdichten, also für Ic < Ilim ≈ 0, 8 mA, konnte das Modell durch eine sehr gute Übereinstimmung mit konventionell in Basisschaltung durchgeführten Messun- gen bestätigt werden. Für die Übereinstimmung zwischen Modell und Messung waren zwei Verbesserungen im Ansatz für das Modell des Avalancheeffekts zwingend notwendig, nämlich der zweigeteilte Ansatz für den Ionisationskoeffizienten und die Verwendung des physikalischen Modell nach Lee anstatt nach Poon und Meckwood. Die dritte Verbesserung im Modell - die Berücksichtigung des Kirk-Effekts bei der Parametrisierung des elektrischen Feldes - konnte bei niedrigen Stromdichten naturgemäß nicht verifiziert werden, da der Kirk-Effekt erst bei Strömen oberhalb von Ilim auftritt. Bei hohen Stromdichten ist zusätzlich die Selbsterwärmung und die damit einhergehende Variation der Stromverstärkung zu berücksichtigen. Vier Varianten zur Korrektur um thermische Effekte wurden untersucht: der lineare Ansatz für thermische Effekte, die DC- bzw. HF-Korrektur und gepulste Messungen. Bei mittleren Stromdichten (Ic > Ilim ) trat die beste Übereinstimmung zwischen den Messungen und dem Modell bei der Anwendung des linearen Ansatzes für thermische Effekte auf. Dabei ist jedoch zu berücksichtigen dass diese Methode aufgrund der dabei vorgenommenen Anpassung auch die größte Freiheit lässt. Bei den Messungen mit hohen Stromdichten (Ic Ilim ) waren für alle Methoden die Avalancheströme niedriger als vom Modell vorausgesagt. Ein Grund dafür ist, dass bei der Extraktion der Avalancheströme aus den Ausgangskennlinien eine Referenz gewählt werden muss, so dass in der Nähe des Sättigungsbereichs gar keine Avalancheströme extrahiert werden können. In der vorliegenden Technologie ist jedoch die Durchbruchspannung bei hohen Stromdichten außerordentlich niedrig, so dass auch in der Nähe des Sättigungsbereichs schon Avalancheströme auftreten, die nicht vernachlässigt werden können. Bei hohen Kollektorspannungen spiegelt sich diese Tatsache in einem negativen Offset der extrahierten Avalancheströme wider. Aus diesen Beobachtungen muss man schließen, dass die in dieser Arbeit untersuchten Methoden der Extraktion der Avalancheströme aus Messungen in Emitterschaltung in dieser Technologie bei hohen Stromdichten nicht erfolgreich anwendbar sind, da die Durchbruchspannung so niedrig ist, dass keine sicheren Bezugspunkte bei niedrigen Kollektorspannungen zur Verfügung stehen. Geeignet wären die Methoden bei Technologien, 4.5 Diskussion 89 deren Durchbruchspannungen sich nicht so dicht am Sättigungsbereich befinden. In diesem Fall könnte mittels der vorgestellten Verfahren das Verhalten des elektrischen Feldes im Kollektor trotz thermischer Effekte untersucht werden. Eine mit dem Modell übereinstimmende Messung des Avalancheeffekts bei hohen Stromdichten könnte zwei Teilaspekte der Modellierung des Avalancheeffekts bestätigen, nämlich die Validität der zugrundeliegenden Ionisationskoeffizienten bei hohen elektrischen Feldern und die Gültigkeit der Parametrisierung des elektrischen Feldes in Abhängigkeit vom Kollektorstrom. Stimmen die Messungen nicht mit dem Modell überein, so kann dies seine Ursache an einer ungenügenden Beschreibung eines dieser beiden Aspekte alleine oder sogar von beiden Aspekten haben. Auch die Bestätigung der Ionisationskoeffizienten bei niedrigen Stromdichten und demnach auch bei niedrigen Feldern lassen noch nicht auf die Gültigkeit der verfügbaren Ionisationskoeffizienten bei höheren elektrischen Feldern schließen, da sich insbesondere in diesem Bereich die in der Literatur veröffentlichten Werte durchaus noch um bis zu 50 % voneinander unterscheiden (vgl. Abbildung 3.4). Mindestens ebenso unsicher scheint jedoch auch die Parametrisierung des elektrischen Feldes in Abhängigkeit vom Kollektorstrom zu sein. In den jüngsten Präzisionsmessungen zur Bestimmung des Ionisationskoeffizienten kamen Photomultiplikationsmessungen auf der Grundlage von Photodioden mit typischen Schichtdicken von über 1 µm zum Einsatz. Dies gewährleistet eine kontrollierte Verteilung des elektrischen Feldes. In Transistoren jedoch finden sich bevorzugt immer dünnere Kollektorschichten um die Schaltgeschwindigkeit weiter zu erhöhen. In diesem Fall stößt die Basis-Kollektor-Raumladungszone an die Grenzen des Subkollektors. Auch die Verteilung des elektrischen Feldes wird dadurch komplexer und fließt als Unsicherheit in das Modell ein. Bei Materialien mit einer niedrigen Wärmeleitfähigkeit wie z.B. InGaAs scheint es sinnvoll zu sein die Ionisationskoeffizienten bei hohen elektrischen Feldern mittels Photomultiplikationsmessungen zu bestimmen. Auf dieser Grundlage können über Messungen des Avalancheeffekts Rückschlüsse auf das maximale elektrische Feld gezogen werden, das das Verhalten von modernen Heterobipolar-Transistoren in ihrem besten Arbeitsbereich bei hohen Stromdichten maßgeblich beeinflusst. Die in diesem Kapitel vorgestellten Methoden ebnen den Weg zu einer experimentellen Untersuchung des elektrischen Feldes in dünnen Kollektoren in Technologien mit starker Selbsterwärmung. 5 Einordnung und Ausblick Die vorliegende Arbeit untersuchte und erweiterte die theoretischen Grundlagen für ein kompaktes Modell des Avalancheeffekts in Heterobipolar-Transistoren wie z.B. das Ionisationskoeffizientenmodell, die Parametrisierung des elektrischen Feldes und das physikalische Modell des Avalancheeffekts. Dies geschah sowohl unter besonderer Berücksichtigung des Materialsystems InGaAs und dessen vergleichsweise hohem thermischen Widerstand als auch unter Beachtung der Tatsache, dass in modernen Heterobipolar-Transistoren die besten Transistoreigenschaften erst bei sehr hohen Stromdichten erreicht werden. InGaAs weist bei niedrigen elektrischen Feldern eine Anomalie des Ionisationskoeffizienten auf. Daher war in dieser Arbeit die Verwendung des Modells von Okuto nicht angebracht, da es diese Anomalie nicht beschreibt. Die Anwendung des Modells von Okuto würde aber für andere Materialien ohne eine solche Anomalie eine weitere Verbesserung hinsichtlich der physikalischen Deutung der Modellparameter mit sich bringen. Die Herausforderung, die ein Avalanchemodell auf Grundlage der Arbeit von Okuto mit sich bringt, ist die Lösung des Integrals im physikalischen Modell. Das zweimalige Auftreten des elektrischen Feldes in der Formulierung nach Okuto verhindert eine analytische Lösung dieses Integrals selbst unter Vernachlässigung der sekundären Stoßionisation. Alternativ zum Okuto-Modell wurde in dieser Arbeit erfolgreich ein nach Niedrig- und Hochfeldanteil geteilter Ansatz für den Ionisationskoeffizienten verwendet. Das in dieser Arbeit hergeleitete Kompaktmodell und insbesondere die Relevanz des Niedrigfeldanteils im Ionisationskoeffizientenmodell konnte bei niedrigen Stromdichten durch Messungen in Basisschaltung eindrucksvoll bestätigt werden. Die Messungen und das Modell stimmen ohne jegliche Anpassungsmaßnahmen hervorragend überein. Die konsequente Herleitung des Kompaktmodells für den Avalancheeffekt auf Basis der Materialund Geometrieparameter ermöglicht nun präzise Abschätzungen a priori über die Stärke des Avalancheeffekts in InGaAs bei niedrigen Stromdichten. Die Einbeziehung des Kirk-Effekts im neuen Ansatz für das maximale elektrische Feld 92 5 Einordnung und Ausblick erbrachte eine Annäherung des Modells des elektrischen Feldes an Bauteilsimulationen für den eindimensionalen Fall. Kloosterman et al. [29] legten bereits ein zweidimensionales Modell vor, das für die von ihnen untersuchte Technologie eine gute Übereinstimmung mit Messungen aufweist. Dieses weist jedoch weitere zu extrahierende Parameter auf. Daher ist sowohl mit dem zweidimensionalen Modell aufgrund der stark technologieabhängigen zusätzlichen Parameter als auch mit dem verbesserten eindimensionalen Modell wegen der ungenügenden physikalischen Beschreibung bei hohen Stromdichten eine a prioriAbschätzung mit Unsicherheit behaftet. Ausgehend von der jeweiligen Zielsetzung muss zwischen einer verbesserten Genauigkeit des Modells und der physikalischen Interpretierbarkeit der Modellparameter abgewogen werden. Ein umfangreicheres Modell, das beispielsweise auch zweidimensionale Effekte wie Stromauffächerung im Kollektor berücksichtigt, kann sicherlich die Genauigkeit des Modells verbessern, erschwert andererseits aber durch zusätzlich zu bestimmende Parameter die eindeutige und damit physikalisch deutbare Extraktion der Parameter. Ebenso wie die Berücksichtigung des Kirk-Effekts erweitert auch die Verwendung des physikalischen Modells für den Avalancheeffekt nach Lee den Gültigkeitsbereich des Gesamtmodells hin zu größeren Stromstärken, kann aber die Einschränkung auf den schwachen Avalancheeffekt noch nicht eliminieren. Der starke Avalancheeffekt ist erst unter Berücksichtigung der sekundären Stoßionisation und der damit verbundenen Lösung des Integrals im physikalischen Modell beschreibbar. Gerade für dünne Kollektoren sinkt jedoch die Bedeutung der sekundären Stoßionisation, da in dünnen Kollektoren die geringe Transitlänge mehrfache Stößen nur noch eingeschränkt ermöglicht. Ebenso ist zu berücksichtigen, dass der starke Avalancheeffekt eher von akademischem als von technischem Interesse ist, da der reguläre Betrieb des Transistors zwar im Bereich des gerade einsetzenden Avalancheeffekts stattfindet, jedoch nicht bei starken Avalancheströmen. In experimenteller Hinsicht erschloss diese Arbeit die Charakterisierung des Avalancheeffekts für Materialsysteme mit starker Temperaturabhängigkeit. Alle vier untersuchten Methoden zur Korrektur der Ausgangskennlinie ergaben qualitativ vergleichbare Ergebnisse, zeigten aber auch die Grenzen der Extraktion der Avalancheströme aus Messungen in Emitterschaltung auf. Gerade bei der vorliegenden Technologie mit besonders niedrigen Durchbruchspannungen erschwerte die nicht präzise durchführbare Bestimmung einer Referenz an der Grenze zum Sättigungsbereich die präzise Berechnung der Avalancheströme bei hohen Stromdichten. 93 Bezüglich der Methode auf der Grundlage von S-Parameter-Messungen sei angemerkt, dass der stets erhöhte Ausgangsleitwert im Frequenzbereich um 1 MHz nicht einfach nur mit messtechnischen Problemen erklärt werden kann, da er systematisch mit allen Bias-Tees zu beobachten war. Weitergehende Untersuchungen zu diesem Thema könnten interessante Einblicke über die Wechselwirkungen zwischen thermischen Effekten und der Verstärkungscharakteristik des Transistors geben. Die Wahl des Transistoraufbaus für weitere Arbeiten hängt von der Zieltsetzung ab. Die Ionisationskoeffizienten sind bei wohldefinierten elektrischen Feldern zu bestimmen, so dass man dazu am besten dicke Kollektoren mit hohen Spannungen betreibt. Der Avalancheeffekt in Transistoren ist hingegen bei den in der Praxis anzutreffenden dünnen Kollektoren interessant. Die Wahl eines Kollektor- und Substratmaterials mit hoher Wärmeleitfähigkeit und ergo niedriger Temperaturabhängigkeit (wie z.B. Silizium in BiCMOSProzessen) ermöglicht eine relativ genaue Bestimmung des Avalanchestroms, da in diesem Fall die Selbsterwärmung nicht der dominierende Effekt ist. Zur weiteren Untersuchung der Temperaturabhängigkeit eignet sich hingegen ein Material mit einer niedrigen Wärmeleitfähigkeit wie beispielsweise das in dieser Arbeit verwendete InGaAs. 6 Zusammenfassung Sowohl die Steigerung der Rechenleistung von Mikroprozessoren als auch der Kapazität von Datenübertragungssystemen bedingt immer kürzere Schaltzeiten von Halbleitertransistoren. Dazu werden Materialsysteme wie beispielsweise InGaAs auf InP verwendet, von denen man sich bessere Hochfrequenzeigenschaften als Silizium erhofft. Sowohl die neuen Materialsysteme als auch die erhöhten Schaltfrequenzen erfordern die Berücksichtigung zusätzlicher bislang vernachlässigter Effekte. Die vorliegende Arbeit untersucht den Avalancheeffekt, der in InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren aufgrund der dünnen Kollektoren und hohen Basisdotierungen zu einem besonders frühen Durchbruch führt. Da moderne Heterobipolar-Transistoren jedoch gerade bei den höchstmöglichen Stromdichten ihre besten Hochfrequenzeigenschaften aufweisen ist ein präzises Modell des Avalancheeffekts auch für den regulären Betrieb notwendig. Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein verbessertes Kompaktmodell für den Avalancheeffekt in Transistoren mit InGaAs-Kollektor auf InP-Substraten erarbeitet. Dabei war zwei Besonderheiten dieser Materialien Rechnung zu tragen. Zum Einen weist InGaAs eine Anomalie des Ionisationskoeffizienten bei niedrigen elektrischen Feldern auf, zum Anderen besitzt InP und in noch stärkerem Ausmaß InGaAs eine geringe spezifische Wärmeleitfähigkeit, die im Betrieb zu einer schnellen Selbsterwärmung des Transistors führt. Bei niedrigen Stromdichten konnte das vorgestellte Modell mittels konventioneller Messtechnik erfolgreich verifiziert werden. Für den Bereich hoher Stromdichten wurden unterschiedliche Extraktionsmethoden untersucht, die die bei niedriger Wärmeleitfähigkeit typische Selbsterwärmung korrigieren und die Berechnung des Avalanchestroms ermöglichen sollen. Diese Arbeit adressiert hinsichtlich der Avalanchemodellierung erstmals die Klasse der Materialien, die aufgrund der niedrigen Wärmeleitfähigkeit eine große Temperaturabhängigkeit der Stromverstärkung aufweisen. Die konsequente Herleitung des Modells 96 6 Zusammenfassung auf der Basis der Geometrie- und Materialgrößen legt zusätzlich den Zusammenhang zwischen den Parametern des Kompaktmodells und den physikalischen Grundlagen offen, so dass auch vor der Herstellung eines neuen Transistors schon präzise Aussagen über die Größe des Avalancheeffekts getroffen werden können, ohne dass die Modellparameter durch Anpassungen an Messungen gewonnen werden müssten. Mit Hilfe des in dieser Arbeit entwickelten Kompaktmodells des Avalancheeffekts kann das Durchbruchverhalten von InAlAs/InGaAs-Heterobipolar-Transistoren in Simulationen besser als bisher beschrieben werden. Dies ermöglicht die Entwicklung von Schaltungen, in denen die besten Transistoreigenschaften bei hohen Stromdichten ausgenutzt werden und dennoch ein Durchbruch der Transistoren vermieden werden kann. 7 Summary The rapid increase of both the computing power of microprocessors and the line capacity of data communication channels requires an enduring reduction of the switching time of semiconductor transistors. This has caused the utilisation of different material systems like InGaAs on InP which promise better high frequency characteristics than silicon based devices. Both the new material systems as well as the raised switching frequencies call for the need to account for effects that have earlier on been disregarded. This work investigates the avalanche effect which causes the breakdown at very small voltages in InAlAs/InGaAs heterojunction bipolar transistors due to the thin collector layer and the high base doping concentration. Since modern heterojunction bipolar transistors show their best high frequency characteristics at very high current densities a precise model of the avalanche effect is necessary even for the regular operation of the transistor. This work presents an enhanced compact model of the avalanche effect in transistors with InGaAs collector on InP substrates. Two features are allowed for in particular. On the one hand InGaAs does exhibits an anomalous ionization coefficient at low electric fields. On the other hand InP and InGaAs do have a very low specific thermal conductivity which causes rapid self heating of the device in operation. The model has been validated successfully at low current densities with conventional measurement techniques. At high current densities different extraction methods have been examined which are supposed to avoid or to correct the self heating that is typical for materials with low thermal conductivity. In respect to the modeling of the avalanche effect this work adresses for the first time the group of materials which exhibit a high temperature dependence of the current gain due to the low thermal conductivity. The rigorous derivation of the model based on geometry and material parameters uncovers the relationship between the parameters of the compact model and the physical basics. This allows for the prediction of the magnitude of the avalanche effect even prior to the fabrication of a new transistor structure without 98 7 Summary the need to fit any model parameters to measurements. Based on the compact model for the avalanche effect developed in this work it is now possible to describe the breakdown mechanism of InAlAs/InGaAs heterojunction bipolar transistors in simulations better than before. This enables the design of circuits in which the best transistor characteristics are utilised to their full extent while safely avoiding the breakdown of the device at the same time. 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Verzeichnis der Symbole und Abkürzungen αB Temperaturkoeffizient der Stromverstärkung Ab Basisfläche Ae Emitterfläche αn/p Ionisationskoeffizient für Elektronen oder Löcher An/p Avalanchekoeffizient (nach Chynoweth) für Elektronen oder Löcher βF/R Stromverstärkung in Emitterschaltung in Vorwärts- oder Rückwärtsrichtung Bn/p kritische Feldstärke für Stoßionisation (nach Chynoweth) für Elektronen oder Löcher C0C Basis-Kollektor-Sperrschichtkapazität bei 0 V ∆EL Leitungsbanddiskontinuität ∆EV Valenzbanddiskontinuität ∆T Temperaturunterschied E elektrisches Feld E0 elektrisches Feld am Basis-Kollektor-Übergang Eav mittleres elektrisches Feld EG Bandlücke EGB Basisbandlücke EGE Emitterbandlücke Ei Mindestenergie für Stoßionisation Em maximales elektrisches Feld Er durchschnittlicher Energieverlust bei Streuung an optischen Phononen ESE nichtideale Aktivierungsenergie ESF ideale Aktivierungsenergie Ew elektrisches Feld an der Grenze zwischen Kollektor und Subkollektor 108 Verzeichnis der Symbole und Abkürzungen EMI Ebers-Moll-Modell Variante I 0 Influenzkonstante (8, 8542 · 10−12 AsV−1 m−1 ) r relative Dielektrizitätskonstante fmax maximale Schwingfrequenz ft Transitfrequenz go Ausgangsleitwert H22 Hybridparameter 22 HBT Heterobipolar-Transistor HICUM HIgh CUrrent Model HRL Hughes Research Laboratories IAvl Avalanchestrom Ib Basisstrom Ic Kollektorstrom Ic0 injizierter Kollektorstrom Ie Emitterstrom IF D Spannungsabhängiger Grenzstrom zur vollständigen Erfassung des Kollektors durch die Basis-Kollektor-Raumladungszone Ikirk Spannungsabhängiger Grenzstrom der nichtohmschen Quasisättigung Ilim (auch Ihc genannt) Strom, bei dem die Dichte der beweglichen Ladungsträger genau der Kollektordotierung NC entspricht für den Fall einer konstanten Elektronenbeweglichkeit νs InAlAs Indium-Aluminium-Arsenid InGaAs Indium-Gallium-Arsenid InP Indium-Phosphid In injizierter Kollektorstrom ohne Avalancheeffekt Iohm Strom, bei dem die Dichte der beweglichen Ladungsträger genau der Kollektordotierung NC entspricht für den Fall einer Elektronenbeweglichkeit µn IS Sättigungsstrom IT Transferstrom J Stromdichte k Boltzmannkonstante (1, 38066 · 10−23 J/K) λ mittlere freie Weglänge 109 MEXTRAM Most EXquisite TRansistor Model mn/p Exponentialfaktor (nach Chynoweth) für Elektronen oder Löcher Mn/p Multiplikationsfaktor für Elektronen oder Löcher Nb Dotierungskonzentration der Basis Nc Dotierungskonzentration des Kollektors Ne Dotierungskonzentration des Emitters ne idealer Emissionsfaktor für den Transferstrom im Vorwärtsbetrieb nf nichtidealer Emissionsfaktor im Vorwärtsbetrieb ni intrinsische Ladungsträgerdichte Pdiss dissipierte Leistung q Elementarladung (1, 602189 · 10−19 C) qb Basisladung Rth thermischer Widerstand SGP SPICE Gummel-Poon-Modell SPICE Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis T Temperatur ∆T Temperaturunterschied Tj Transistortemperatur Tumg Umgebungstemperatur µn Beweglichkeit der Elektronen Ubi,bc Ubr,... Basis-Kollektor-Diffusionsspannung (englisch built-in voltage“) ” Durchbruchspannung Ube Basis-Emitter-Spannung Uce Kollektor-Emitter-Spannung Ucb Kollektor-Basis-Spannung UF D Grenzspannung zur vollständigen Erfassung des Kollektors durch die Basis-Kollektor-Raumladungszone bei Ic =0A Ulim Grenzspannung zwischen niedrigen und hohen Kollektorspannungen, gekennzeichnet durch Iohm = Ilim . kT q UT Temperaturspannung UT = VBIC Vertical Bipolar Inter Company-Modell) νs Sättigungsgeschwindigkeit wb Basisweite (≈ 25, 9 mV bei 300 K) wc Kollektorweite wd Breite der Basis-Kollektor-Raumladungszone xd Breite der Basis-Kollektor-Raumladungszone für Ic Ilim Danksagung Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fraunhofer Institut für Integrierte Schaltungen in Erlangen unter Förderung der High Tech-Offensive Bayern. An dieser Stelle möchte ich mich bei allen herzlichst bedanken, die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Zu Dank verpflichtet bin ich Herrn Prof. Dr.-Ing. Robert Weigel, der mich im Verlauf der vergangenen drei Jahre stets bei der Strukturierung dieser Arbeit unterstützt und äußerst engagiert den Erfahrungsaustausch zwischen seinen Doktoranden gefördert hat. Besonders bedanken möchte ich mich bei Herrn Prof. Dr.-Ing. Peter Baureis, der zur Lösung vieler Fragen durch unzählige aufschlussreiche Diskussionen beigetragen hat. Mein Dank gilt auch meinen Kollegen in der Gruppe Optische Kommunikationstechnik am Fraunhofer Institut für Integrierte Schaltungen, die die Anfertigung dieser Arbeit uneingeschränkt mitgetragen haben und durch das freundschaftliche Verhältnis immer für ein produktives und unterhaltsames Arbeitsklima sorgten. Insbesondere bin ich Herrn Dr.-Ing. Norbert Weber dafür dankbar, dass er mir in den Planungen für unsere Arbeitsgruppe stets ausreichend Zeit für die Forschungstätigkeit zur Verfügung stellen konnte und durch seine unvoreingenommene Art ein innovatives Arbeitsumfeld geschaffen hat. Eine Hilfe waren immer auch meine Studienkollegen, mit denen ich jederzeit nicht nur die Sorgen und Erfolge in unseren akademischen Bemühungen teilen konnte. Dafür, dass ich überhaupt die Möglichkeit bekommen habe, Raum für meine Ideen zu schaffen und sie gestalten zu können, kann ich meinen Eltern Ina-Maria und Siegfried gar nicht genug Dank schenken. Auch meine große Schwester Michaela hat viel zu meiner persönlichen Entwicklung beigetragen und mich letztlich sogar durch ihre eigene akademische Vita angespornt. Schließlich möchte ich noch herzlichst meiner Freundin Evi Hirschmann für ihre ruhige und liebevolle Art danken, mit der sie uns trotz meiner auch gelegentlich temperamentvollen Art eine so harmonische Partnerschaft und damit erst die Kraft für ein wirkungsvolles Arbeiten ermöglicht hat. Lebenslauf Oliver Weiß, geboren 1973 in Erlangen, besuchte dort das Albert-Schweitzer-Gymnasium. Nach seinem Abitur und dem Zivildienst begann er 1994 das Studium der Physik an der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen. Ein halbjähriger Gastaufenthalt führte ihn an die University of York in Großbritannien. Er erhielt das Diplom in Physik im Jahre 2000 und arbeitet seither am Fraunhofer Institut für Integrierte Schaltungen in Erlangen.
