1 Zahlenmengen 2 Geometrie

Merkhilfe Mathematik für Bildungsgänge die zur FHSR führen
1 Zahlenmengen
ℕ = {0 ;1 ; 2; 3 ;...}
Menge der natürlichen Zahlen
ℕ∗ = ℕ∖{0}
ℤ = {... ;−2 ;−1 ;0 ; 1; 2 ;...}
Menge der ganzen Zahlen
ℤ∗ = ℤ∖ {0}
ℝ
Menge der reellen Zahlen
ℝ∗ = ℝ ∖{0}
ℝ+ = { x ∈ℝ∣x ≥0}
Menge der nichtnegativen reellen Zahlen
ℝ∗
+ = ℝ+ ∖{0}
2 Geometrie
Ebene Figuren
A: Flächeninhalt
U: Umfang
1
Dreieck A= ⋅g⋅h
2
Rechtwinkliges Dreieck
2
2
Satz des Pythagoras c = a +b
sin(α ) =
a
c
cos(α) =
Parallelogramm
A = a⋅h a
Kreis A=π⋅r
2
b
c
2
tan(α) =
a
b
Raute
1
A = ⋅e⋅f
2
Trapez
1
A= ⋅(a+c )⋅h
2
U =2⋅π⋅r
Körper
V: Volumen
O: Oberfläche
Prisma
V =G⋅h
Pyramide
1
V = ⋅G⋅h
3
Gerader Kreiszylinder
2
V =π⋅r ⋅h
M=2⋅π⋅r⋅h
Gerader Kreiskegel
1
2
V = ⋅π⋅r ⋅h
3
M=π⋅r⋅s
4
3
Kugel V = ⋅π⋅r
3
O=4⋅π⋅r
Version 1 vom 11.04.2016
M: Mantelfläche
G: Grundfläche
2
1
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3 Terme
Binomische Formeln
2
2
(a+b) = a +2 ab+ b
2
2
2
(a−b) = a −2ab+b
2
2
(a+b)(a−b) = a −b
2
Potenzen und Wurzeln
mit a , b ∈ ℝ∗
+ ; n ∈ ℕ∖ {0 ; 1}; r , s ∈ ℝ
r
s
a ⋅a = a
r
a
r −s
=a
s
a
r +s
1
n
1
a = r
a
−r
r
r
r
a ⋅b = (ab)
s
n
(ar ) = ar⋅s
a = √a
r
a
a
=
r
b
b
r
()
0
a =1
4 Funktionen und zugehörige Gleichungen
n
Potenzfunktion mit f (x ) = x mit n ∈ ℕ∗
n gerade, n>1
n ungerade, n≥1
Potenzgleichung mit n ∈ ℕ ∖{0 ; 1}
n
x =a
n
x =a
a≥0
a<0
n
falls n gerade
x 1 /2 =±√ a
falls n ungerade
x = √a
falls n ungerade
x =− √−a
n
n
Polynomfunktion n-ten Grades
n
f ( x ) = an x +an−1 x
n−1
1
+...+ a1 x +a0 mit Koeffizienten ai ∈ ℝ ; an ≠0
Lineare Funktion
Hauptform
f (x ) = mx +d
Steigung
m=
Punktsteigungsform
f (x ) = m( x− x P )+y P
Steigungswinkel
m = tan(α)
Orthogonalität
mg⋅m h =−1
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y −y
Δy
= Q P
Δ x x Q− x P
⇒
g ⊥h
2
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Quadratische Funktion
2
Hauptform
f (x ) = ax +bx +c
Scheitelform
f (x ) = a( x−x S ) +y S
Produktform
f (x ) = a( x−x 1)(x −x 2 )
2
Quadratische Gleichung
falls b2−4 ac ≥ 0
2
ax +bx +c = 0
2
p
falls ( ) −q ≥ 0
2
2
x +px +q = 0
2
x 1 /2 =
−b± √ b −4 ac
2a
√
2
p
p
x 1 /2 =− ± ( ) −q
2
2
Exponentialfunktion
x
f ( x ) = a⋅q +d mit a≠0 ; q>0 ∧ q≠1
bx
f ( x ) = a⋅e +d mit a≠0 ; b ∈ ℝ∗
Asymptote y =d
Exponentialgleichung mit q , y ∈ ℝ∗
+
y =q
x
⇔
x =log q (y )
y =e
x
⇔
x =ln(y )
q x =e
ln(q )⋅x
log q ( y )=
ln( y )
ln(q)
e
ln(y )
=y
x
ln(e )=x
Trigonometrische Funktion
f ( x ) = a sin(bx )+d
Amplitude | a |
Periode
p=
2π
|b|
Bogenmaß x
0
1
π
6
1
π
4
1
π
3
1
π
2
sin(x)
0
1
2
1
√2
2
1
√3
2
1
cos(x)
1
1
√3
2
1
√2
2
1
2
0
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3
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Spiegelung / Verschiebung / Streckung von Schaubildern
Das Schaubild von g entsteht aus dem Schaubild von f durch
Spiegelung
an der x-Achse
g (x ) = −f (x )
an der y-Achse
g (x ) = f (−x )
Verschiebung um c in x-Richtung
g (x ) = f ( x−c )
um d in y-Richtung
g (x ) = f ( x )+d
Streckung
1
in x-Richtung
b
g (x ) = f (b⋅x )
mit Faktor a in y-Richtung
g (x ) = a⋅f (x )
mit Faktor
5 Analysis
Änderungsrate
Durchschnittliche/Mittlere Änderungsrate im Intervall [x0;x1]
f ( x 1 )−f ( x 0 )
x 1−x 0
Momentane/Lokale Änderungsrate an der Stelle x0
f ' (x 0) = lim
x→ x 0
f (x )−f ( x 0)
x −x 0
Ableitungsregeln
Summenregel
f (x ) = u (x )+v ( x )
⇒
f ' (x ) = u ' (x )+v ' (x )
Faktorregel
f (x ) = a⋅u( x )
⇒
f ' (x ) = a⋅u ' (x )
Spezielle Ableitungen / Stammfunktionen mit C ∈ ℝ
f (x ) = x
n
f ' (x ) = n⋅x
f (x ) = e
x
f ' (x ) = e
f (x ) = e
bx
mit b ∈ ℝ∗
n −1
x
f ' (x ) = b⋅e
F (x ) =
1
n+1
⋅x +C mit n ≠−1
n+1
x
F (x ) = e +C
bx
1 bx
F (x ) = ⋅e +C
b
f (x ) = sin (x )
f ' (x ) = cos (x )
F (x ) =−cos (x )+ C
f (x ) = cos (x )
f ' (x ) = −sin(x )
F (x ) = sin( x)+C
∗
f (x ) = sin(b x ) mit b ∈ ℝ
f ' (x ) = b⋅cos (b x )
1
F (x ) =− ⋅cos(b x)+C
b
∗
f (x ) = cos (b x ) mit b ∈ ℝ
f ' (x ) = −b⋅sin(b x )
1
F (x ) = ⋅sin(b x )+C
b
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4
Merkhilfe Mathematik für Bildungsgänge die zur FHSR führen
Tangente
Tangentensteigung
m t = f ' (u)
Tangentengleichung
y = f ' (u )( x−u )+f (u)
Untersuchung von Funktionen und ihren Schaubildern
mit Definitionsbereich D
Symmetrie
Monotonie
Krümmung
Hochpunkt
Achsensymmetrie zur y-Achse
⇔
f (−x ) = f (x ) für alle x ∈ D
Punktsymmetrie zum Ursprung
⇔
f (−x ) =−f (x ) für alle x ∈ D
f ' (x ) ≥ 0 im Intervall J
⇒
f steigt monoton in J
f ' (x ) ≤ 0 im Intervall J
⇒
f fällt monoton in J
f ' ' (x ) > 0 im Intervall J
⇒
K f ist in J linksgekrümmt
f ' ' (x ) < 0 im Intervall J
⇒
K f ist in J rechtsgekrümmt
⇒
K f hat den Hochpunkt H ( x 0∣f (x 0) )
⇒
K f hat den Tiefpunkt T ( x 0∣f (x 0 ))
⇒
K f hat den Wendepunkt W ( x 0∣f ( x 0 ))
f ' (x 0) = 0 und VZW +/- von f ' bei x0
oder f ' (x 0) = 0 und f ' ' (x 0) < 0
Tiefpunkt
f ' (x 0) = 0 und VZW -/+ von f ' bei x0
oder f ' (x 0) = 0 und f ' ' (x 0) > 0
Wendepunkt f ' ' (x 0) = 0 und VZW von f ' ' bei x0
oder f ' ' (x 0) = 0 und f ' ' ' ( x 0) ≠ 0
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5
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Berechnung bestimmter Integrale
b
b
∫ f (x )dx = [F (x ) ]a = F (b)−F (a), wobei F eine Stammfunktion von f
ist.
a
Integral und Flächeninhalt
x1
∫ f (x )dx = A1
a
x2
A = ∫ (f (x )−g ( x ))dx
x1
b
∫ f (x )dx =− A2
x1
falls f (x ) ≥ g ( x ) für x ∈[ x 1 ; x 2]
b
∫ f (x )dx = A1−A2
a
Die Merkhilfe stellt keine Formelsammlung im klassischen Sinn dar. Bezeichnungen
werden nicht vollständig erklärt und Voraussetzungen für die Gültigkeit der Formeln in der
Regel nicht dargestellt.
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