Mathematik für Informatiker II

Lösungen zum 5. Aufgabenblatt vom Mittwoch, den 09.Mai 2012 zur Vorlesung
Mathematik für Informatiker II
(Olaf Parczyk)
1. Komplexes I
Bestimmen Sie jeweils den Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen z1
und z2 :
z1 = (1 + 2i − 3i2 − 4i3 )−1 ; (1 + 2i) · z2 + (3 − 4i) = −1 − 3i
Lösung:
4 − 6i
(4 + 6i)(4 − 6i)
4 − 6i
1
3
=
+ i
=
52
13 26
(−4
+
i)(1
− 2i)
z2 = (1 + 2i)−1 (−1 − 3i − 3 + 4i) =
(1 + 2i)(1 − 2i)
−4 + i + 8i + 2
2 9
=
=− + i
1+4
5 5
z1 = (1 + 2i + 3 + 4i)−1 = (4 + 6i)−1 =
2. Gleichungen
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in den komplexen Zahlen.
(3 + 2i)z 2 + 13z + 12 − 18i = 0
; z 4 + (3 − 3i)z 2 + 4 − 3i = 0
Hinweis( 16.05.): Lösen Sie alternativ zur zweiten Gleichung z 4 + (1 + i)z 2 + i = 0
Lösung:
13
12 − 18i
z+
=0
3 + 2i
3 + 2i
13(3 − 2i)
36 − 54i − 24i − 36
z+
=0
z2 +
13
13
r
3 − 2i 2
3 − 2i
z 2 + (3 − 2i)z − 6i = 0z1,2 = −
± (
) + 6i
2
2
r
9
3
z1,2 = − + i ±
− 3i + i2 + 6i
2
4
r
3
9
z1,2 = − + i ±
+ 3i + i2
2
4
3
3
z1,2 = − + i ± ( + i)
2
2
z1 = 2i, z2 = −3
z2 +
z 4 + (1 + i)z 2 + i = 0 ⇔ (z 2 + 1)(z 2 + i) = 0
z3,4
⇒ (z 2 + 1 = 0) ∧ (z 2 + i = 0) ⇒ z1,2 = ±i,
r
r
√
1 − 2i + i2
(1 − i)2
1−i
= ± −i = ±
=±
=± √ .
2
2
2
3. Trigonometrische Darstellung hilft
Berechnen Sie mit Umweg über die trigonometrische Darstellung die folgenden Werte
in algebraischer Darstellung:
√
√
(1 + 3i)13 · i17
1 1
√
; (3 + 3i)6 (− − i)9
11
2 2
(1 − 3i)
Lösung:
p
√
Für z1 = 1 + 3i gilt |z1 | = (1 + 3) = 2 und arg(z1 ) = arccos( 21 ) = π3 .
p
√
Analog z2 = 1 − 3i ⇒ |z2 | = (1 + 3) = 2 und arg(z2 ) = − π3 .
√
213 (cos π3 + i sin π3 )13 · i
(1 + 3i)13 · i17
√
= 11
2 (cos − π3 + i sin − π3 )11
(1 − 3i)11
(cos 13 π3 + i sin 13 π3 ) · i
=4
(cos −11 π3 + i sin −11 π3 )
(cos π3 + i sin π3 ) · i
=4
(cos π3 + i sin π3 )
π π
π π
= 4(cos( − ) + i sin( − ))i
2
2
2
2
= 4(cos 0 + i sin 0)i = 4i
Für z3 = 3 + sqrt(3)i ist |z3 | = sqrt(12) und arg(z3 ) = arccos √312 = π6
p
1
Analog z4 = − 12 − 12 i ⇒ |z4 | = sqrt(2)
und arg(z4 ) = −arccos(− 21 (2)) = − 3π
4
(3 +
√
√ 6
1 1
π
π
1
3π
3π
3i)6 (− − i)9 = 12 (cos + i sin )6 ( √ )9 (cos −
+ i sin − )9
2 2
6
6
4
4
2
1
3π
3π
= 123 (cos π + i sin π) p (cos −9
+ i sin −9 )
4
4
16 (2)
√
3π
π
= 54 2(cos(π +
) + i sin(π − 9 ))
4
4
√ 1
1
= 54 2( √ + i √ )) = 54 + 54i
2
2
4. Trigonometrisches
Trigonometrische Formeln kann man sehr einsichtig aus Formeln für eiφ über einen
entsprechenden Vergleich der Realteile bzw. Imaginärteile herleiten. Bestätigen Sie:
sin 4φ = 8 cos3 φ sin φ − 4 cos φ sin φ
cos 4φ = 8 cos4 φ − 8 cos2 φ + 1
Lösung:
Wir brauchen sin2 + cos2 = 1. Dies folgt direkt aus
sin2 φ + cos2 φ = (sin φ + i cos φ)(sin φ − i cos φ) = eiφ e−iφ = e0 = 1.
Außerdem haben wir
4
cos 4φ + i sin 4φ = ei4φ = eiφ = (cos φ + i sin φ)4
= cos4 φ + 4i cos3 φ sin φ − 6 cos2 φ sin2 φ − 4i cos φ sin3 φ + sin4 φ.
Vergleich der Realteile bzw. Imaginärteile liefert:
sin 4φ = 4i cos3 φ sin φ − 4i cos φ sin3 φ
4
2
2
4
cos 4φ = cos φ − 6 cos φ sin φ + sin φ
(1)
(2)
Mit sin2 +cos2 = 1 folgt für (1)
sin 4φ = 4 cos3 φ sin φ − 4 cos φ(1 − cos2 φ) sin φ
sin 4φ = 8 cos3 φ sin φ − 4 cos φ sin φ
und für (2)
cos 4φ = cos4 φ − 6 cos2 φ(1 − cos2 φ) + (1 − cos2 φ)2
cos 4φ = cos4 φ − 6 cos2 φ + 6 cos4 φ + 1 − 2 cos2 φ + cos4 φ
cos 4φ = 8 cos4 φ − 8 cos2 φ + 1.
5. Jenseits vom Komplexen...
Wir betrachten als Grundmenge C × C \ {(0, 0)} und definieren dafür die folgende
Multiplikation:
(a, b) ∗ (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
Untersuchen Sie diese Operation auf Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements,
Existenz von multiplikativen Inversen und auf Kommutativität.
Tipp: Testen Sie |a|(a,−b)
2 +|b|2 als Inverses zu (a, b).
Lösung:
Assoziativität:
Seien (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ C × C \ {(0, 0)}:
((a, b) ∗ (c, d)) ∗ (e, f ) = (a, b)((c, d) ∗ (e, f ))
⇔ ((ac − bd, ad + bc) ∗ (e, f ) = (a, b)((ce − df , cf + de))
⇔ (((ac − bd)e − (ad + bc)f , (ac − bd)f + (ad + bc)e) =
(a(ce − df ) − b(cf + de), a(cf + de) + b(ce − df ))
⇔ (ace − bde − adf − bcf = ace − adf − bcf − bde)
∧ (acf − bdf + ade + bce = acf + ade + bce − bdf )
⇔ (0 = 0) ∧ (0 = 0)
mit a ∗ b + c ∗ d = a ∗ b + c ∗ d ∀a, b, c, d ∈ C.
Existenz eines neutralen Elements:
Für (a, b) ∈ C × C \ {(0, 0)}
(a, b) ∗ (c, d) = (a, b) ⇔ (ac − bd, ad + bc) = (a, b)
⇔ (a = ac − bd) ∧ (ad + bc = b)
⇔c=1∧d=0
Also ist (1, 0) rechtsneutrales Element; linksneutral analog.
Existenz von multiplikativen Inversen:
Für (a, b) ∈ C × C \ {(0, 0)}
(a, b) ∗ (
= (a
|a|2
a
−b
,
)
|a|2 + |b|2 |a|2 + |b|2
a
−b
−b
a
−b 2
,a 2
+b 2
)
2
2
2
+ |b|
|a| + |b|
|a| + |b|
|a| + |b|2
aa
−ba − ba
= 2
,
)
|a| + |b|2 |a|2 + |b|2
|a|2 + |b|2
0
=( 2
, 2
) = (1, 0)
2
|a| + |b| |a| + |b|2
mit aa = |a|2 ∀a ∈ C.
a
−b
Damit ist ( |a|2 +|b|
2 , |a|2 +|b|2 ) rechtsinvers; linksinvers analog.
Kommutativität:
(1, 1)(1, i) = (1, i)(1, 1)
⇔ (1 − i, i + 1) = (1 + i, 1 + i)
Also liegt keine Kommutativität vor.
(C × C \ {(0, 0)}, ∗) ist damit eine Gruppe, aber nicht abelsch.