Rechnen mit Vektoren AB - minus-p

Aufgabenblatt - Thema: Rechnen mit Vektoren
1) In der 2. Dimension
24
) und D(4 x 8 ) .
Gegeben sind die Punkte A(0 x 8 ) ; B(−1 x −2 ) ; C( 32
5 x 5
a) Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Drachenviereck ist.
b) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Diagonalen.
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drachenvierecks.
2) Kollinearität und Komplanarität
Gegeben sind die Punkte A, B, C und für jedes a c ‘ der Punkt Da.
A(−1 x 0 x 3 ) ; B(6 x 0 x 2 ) ; C(1 x 9 x −1 ) und D a (5 x 2 x a )
a) Begründen Sie, dass die Punkte A, B und C nicht kollinear sind.
b) Untersuchen Sie rechnerisch, für welchen Wert von a die 4 Punkte komplanar
sind.
c) Weisen Sie nach, dass ein Wert a existiert, für den die Strecken AD a und BD a die
gleiche Länge besitzen.
3) Das Dreieck
Gegeben sind die Punkte D, E, F eines Dreiecks
D(−2 x 0 x −3 ) , E(0 x 6 x 6 ) und F(4 x 6 x 4 ) .
a) Untersuchen Sie, ob das Dreieck gleichschenklig oder gleichseitig ist.
b) Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks.
4) Bekanntes neu verpackt
Gegeben sind die Punkte A(0 x 15 x −8 ) und B(12 x 0 x 8 ) . Weiterhin sei eine
Kugel K mit dem Mittelpunkt A und dem Radius r = 4 LE gegeben.
a) Berechnen Sie den Mittelpunkt der Strecke AB.
b) Die Gerade AB durchstößt die Kugel K in den Punkten D1 und D2.
Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte.
5) Parameter a (*)
Für jedes a > 0 sind die Punkte A a (a x 0 x 0 ) , B a (0 x a x 0 ) , C a (0 x 0 x a )
gegeben.
a) Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks AaBaCa in Abhängigkeit von a.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks AaBaCa in Abhängigkeit von a.
6) Parameter t (**)
Für jedes t > 0 sind die Punkte A t (0 x 4 x t + 1 ) , B(3 x 0 x 1 ) , C t (−2 x 0 x 1 − t )
und D(−5 x 4 x 1 ) gegeben.
a) Zeigen Sie, dass das Viereck eine Raute ist.
b) Berechnen Sie den Wert t, für den der Umfang 52 LE beträgt.
7) Spaß mit Zahlen (***)
a) Wie viele Vektoren mit natürlichen Koordinaten gibt es, deren Betrag 8 ist?
b) Wie viele Vektoren mit natürlichen Koordinaten gibt es, deren Betrag 7 ist?