2. Beleg im Fach Mathematik - IMN/HTWK

HTWK Leipzig, F IMN
Prof. Engelmann
2. Beleg im Fach Mathematik
für 15 EIB, WTB
Ausgabe: 30. Oktober 2015
Abgabe: 13. November 2015
1. Berechnen Sie alle Nullstellen des Polynoms in der Menge der komplexen Zahlen
P6 (x) = x6 − 4x5 − x4 + 8x3 + 7x2 + 12x + 9
Zerlegen Sie
P6 (x)
weitestgehend in ein Produkt von reellen Polynomen und skizzieren Sie den
Graphen.
2. Berechnen Sie für
(a)
~b − 3~a,
~a = (2, −4, 1)T
2~a + 4~b,
3. Die Ebenen
E1
d~,
= (3, −2, 0)T
|~a − ~b|,
(b) den Flächeninhalt des
(c) den Vektor
und ~
b
h3~a − 2~b, ~bi, ~b × ~a,
von ~
a und ~b aufgespannten Dreiecks,
der zu ~
b parallel und gleichgerichtet ist und die Länge 3 hat.
und
E2
sind gegeben durch
 
 
   
−2
0
−1
x
E2 : y  =  2  + s −1 + t  1  , s, t ∈ R.
1
−1
−3
z
E1 : 2x + 5y − z = 2,
(a) Berechnen Sie Abstände der Punkte
P1 (4, −2, −4)
und
P2 (3, −2, −6)
zu
E1
und zu
E2 .
(b) Ermitteln Sie die Schnittgerade und den Kosinus des Schnittwinkels der beiden Ebenen.
ABC mit A(0, 2), B(−3, −4), C(3, 0). Berechnen Sie das zu ABC ähnliA0 B 0 C 0 , welches durch Streckung mit dem Streckungsfaktor 2 und dem StreckungsS(−1, 0) entsteht. Wie groÿ sind Umfang und Flächeninhalt von A0 B 0 C 0 ? Zeichnen Sie
4. Gegeben ist das Dreieck
che Dreieck
zentrum
beide Dreiecke.
5. Gegeben sind die Ebene
E:
und die beiden Diagonalpunkte
x + 2y + 2z = −1
P1 (−3, 1, 0)
und
P3 (1, 3, −4)
eines ganz in
E
liegenden Quadra-
tes.
(a) Man bestimme die beiden anderen Eckpunkte
(b) Man bestimme zwei weitere, nicht in
E
P2
und
P4
dieses Quadrates.
liegende Punkte, die mit den Eckpunkten des
Quadrates ein regelmäÿiges Oktaeder bilden.
6. Die Punkte
P (10, 5, 5), Q(−5, 5, 0)
und
R(−10, 15, 10)
seien Eckpunkte eines Dreiecks
D.
Bei
einer Parallelprojektion auf die Ebene
E:
x − 2y + 2z = 5
sei P 0 (9, 8, 6) die Projektion von P auf E und D 0 die Projektion des Dreiecks D auf E . Bestimmen
Sie die Flächeninhalte von
D
und
D0 .