e - IDS

TM I WS 10/11
Prof. Ostermeyer
Übungsblatt 2. & 3. Woche
(1-01)
Gegeben seien die Tupel
 1 2 3
A  
 0 2 1 
, (2  3)-Matrix;
1 1
B  3 1 


1 2
, (3  2)-Matrix;
 4
 2


c  3 , d   5
 
 
 6
 7
, (3  1)-Matrizen.
Führen Sie die folgenden Multiplikationen aus:
A  B , cT  B , A  d , cT  d , d T  c , d  cT , cT  c , c  cT ,  cT  c .
Wie „groß“ sind die Ergebnismatrizen, z.B. A  B, (?  ?)-Matrix?
(1-02)
Bestimmen Sie die Lösbarkeit folgender linearer Gleichungssysteme A  x  y
(eindeutig lösbar, nicht eindeutig lösbar, unlösbar) und gegebenenfalls deren
Lösungen:
a)
x 
 1 2 3  1 
1
x

 2 3 1   2 
 3 
x
 3
b)
3 2
1 


x
1
1 1
  2

  x 2 
 
3 1
 3
c)
3 2   x1 
3 1   x  

  2
1 
 2
 
(1-03)
Lösen Sie die folgenden inhomogenen, linearen Gleichungssysteme A  x  y
mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens.
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a)
 3 2 1   x1 
 2
 1 0 2   x    3
 

  2
x
4
1
3
1 

  3
b)
x
 1 4 2 0   1
 2 3 1 5   x 2

  x3
 3 7 1 5  
 x4
c)
Wie ändern sich die Lösungen, wenn die rechte Seite Null ist y  0 ?

4

 = 0
 

4



homogenes Gleichungssystem
(1-04)
Bestimmen Sie die inverse Matrix A 1 zu der gegebenen Matrix A mit dem
Gaußschen Verfahren.
3 2 1
A  1 0 2


4 1 3
(1-05)
Berechnen Sie die folgenden Determinanten.
a)
1 2
3 4
e)
0 2 3
2 1 1
0 3 4
b)
1 2
0 0
f)
1 3
1 3
c)
1 2 3
2 1 1
0 0 0
g)
1 2 3
3 4 0
2 4 6
d)
1 2 0
2 1 0
3 4 0
h)
1 5 3
3 0 9
2 1 6
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(1-06)
Berechnen Sie die folgenden Determinanten.
a)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
e)
 0 0
  0
  0
b)
 0 0
0  0
0 0 
c)
  
0  
0 0 
d)
 0 0
  0
  
(1-07)
Berechnen Sie das folgende quadratische lineare Gleichungssystem mit der
Cramerschen Regel:
 3 2 1   x1 
2
1 0 2   x   3.

  2
 
4
1
3

  x3 
1
(1-08)
Veranschaulichen Sie sich zur Wiederholung die trigonometrischen Funktionen am
Kreis bzw. am rechtwinkligen Dreieck.
(1-09)
Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
x1  4 x 2  2 x3
= 0
2 x1  3 x 2  x3  5 x 4 = 1
3 x1  7 x 2  x3  5 x 4 = 2
x 2  x3  x 4 = 0
.
a) Stellen Sie das Gleichungssystem in Tupelschreibweise dar: A  x  y.
b) Berechnen Sie die Lösung x mit dem Gaußschen Verfahren.
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c) Berechnen Sie die Inverse A 1 der Koeffizientenmatrix, falls sie existiert. Wenn sie
nicht existiert, geben Sie an, warum sie nicht existiert!
d) Berechnen Sie die Lösung x für den Fall y  0 (homogenes Gleichungssystem,
rechte Seite Null setzen!)
(1-10)
C
B
.
A
Zeigen Sie den Satz von Pythagoras mit Hilfe der Vektoralgebra!
(1-11)
e2
ey

ex

e1
e3
Gegeben sind die dreiVektoren
a = (-3, 4, -4) e ,
b = ( 1, -2, 4) e ,
c = ( 4, -4, 5) e .
a) Man berechne a  b,  abc , a   b  c  ,  a  b  c !
b) Untersuchen Sie, ob a, b und c linear unabhängig sind.
ex 
c) Gegeben seien die Vektoren
cos e1  sin e2 ,
e y   sin e1 + cos e 2 ,
ez  e3 .


Man weise nach, dass e x , e y , e z eine Orthonormalbasis ist und stelle
d  (4, 2,  3) e in dieser Basis dar.
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(1-12)
3a
e3
2a
0
e2
e1
G
a
B
Für den skizzierten Quader ermittle man:
den Winkel  zwischen rG   0G
und der e 2-Achse,
den Flächeninhalt des Dreiecks0 G B,
en des Dreiecks 0 G B und
den Normaleneinheitsvektor
a) die Hessesche Normalform der Ebene,
in der das Dreieck 0 G B liegt.
(1-13)
.
Zeigen Sie den Satz des Thales mit Hilfe der Vektoralgebra!
(1-14)
Gegeben sind die drei Vektoren:
a = ( 2, 1, 2) e ,
b = (-3, 0, 4) e ,
c = ( 2, 4,-4) e .
a) Die Vektoren b und c spannen eine Ebene mit einem Normaleneinheitsvektor en
auf. Welchen Winkel  schließen en und a ein?
b) Zeigen Sie, dass a, b, c eine Basis des R 3 ist!
c) Zerlegen Sie den Vektor
d = ( 2,-4, 5) e in die drei Richtungen a, b und c.
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(1-15)
a) Man ermittle die Gleichung der Geraden g1 durch die Punkte
 1 
3


P1  2 und P2   2 
 
 
 4
1
sowie die Gleichung der Geraden g2 durch die Punkte
1
 2


P3  2 und P4   2  .
 
 
1
 2
b) Wie groß ist der (kürzeste) Abstand zwischen g1 und g2 ?
c) Welche Ebene E enthält P1, P2 , P3 ?
d) Berechnen Sie eine Flächennormale n der Ebene E!
e) Welchen Abstand hat E vom Koordinatenursprung?
f) Geben Sie die Ebene E in der Hesseschen Normalform an!
(1-16)
Zeigen Sie den Cosinussatz mit Hilfe der Vektoralgebra!
C
a
B

c
b
A
a 2  b2  c2  2 bc cos
(1-17)
Ein Dreieck sei durch die Punkte A, B, C im Raum festgelegt. Die Punkte haben die
Ortsvektoren
rA = ( 0, 2, 1) e
,
rB= ( 0, 0, 3) e ,
a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks!
b) Bestimmen Sie die Flächennormale n des Dreiecks!
rC = ( 2, 3, 0) e .
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1
c) Liegt der Punkt P1   1 
 
2
in der Dreiecksebene?
(1-18)
Die Punkte ABCD bilden ein (nichtgleichseitiges) Tetraeder, wenn folgende
Ortsvektoren gegeben sind:
C
rC
D
A
rA
rD
B
rB
0
rA   1, 3, 5 e ,
rB    2, 1, 4 e ,
rC    0, 2, 5 e ,
rD    2, 4, 6 e .
Die Länge  ist gegeben.
a) Bestimmen Sie die Kantenlänge AB, die Fläche des Dreiecks ABC und das Gesamtvolumen des Körpers!
(Hinweis: Volumen Tetraeder 
1
VolumenSpat ).
6
b) Geben Sie die Höhe des Körpers in bezug auf die Fläche ABD an!
(1-19)
Die Punkte 0 A B C bilden ein (nicht gleichseitiges) Tetraeder. Im Punkt 0 befindet
sich ein kartesisches Koordinatensystem. Drei Kantenlängen des Tetraeders sind
angegeben ( 3a, 2a, a).
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2a
C
a ez
.. .
0

e
B
y
en
..
ex
E
3a
A
Der Winkel  beim Punkt C sowie der Normaleneinheitsvektor en der Ebene E, in der
das Dreieck ABC liegt, sind eingezeichnet.
Gegeben: a
a) Bestimmen Sie den Winkel  beim Punkt C, die Fläche des Dreiecks ABC und den
Normaleneinheitsvektor en der Ebene E.
b) Geben Sie die Hessesche Normalform der Ebene E an, und zeigen Sie, ob der
Punkt P mit den Koordinaten (a, a, a) in der Ebene E liegt.
(1-20)
a
a
A
ez
0
ey

ex
C
a
B
Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge a. Die drei Punkte A, B, C bestimmen ein
Dreieck im Würfel.
Für das Dreieck berechne man die Kantenlängen AB, AC, BC,
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a) die Fläche FABC ,
b) den Winkel  beim Punkt A,
c) den Normaleneinheitsvektor e n
der Ebene E, in der das Dreieck liegt, und
d) eine Darstellung der Ebene E (Parameterdarstellung oder Hessesche Normalform).
(1-21)
Lösen Sie das Eigenwertproblem für die Matrix
 3 3 3 
A   1 0 2 .


 0 3 0 
(1-22)
Gegeben sei die Matrix

A  

10 
.
4 
1
10
a) Berechnen Sie die Eigenwerte 1 und 2 durch Aufstellen und Lösen der
charakteristischen Gleichung.
b) Berechnen Sie die Eigenvektoren x1 und x2 durch Einsetzen der Eigenwerte in das
Gleichungssystem.
c) Zeigen Sie die Orthogonalität der Eigenvektoren:
d) Bringen Sie die Matrix A auf Diagonalform:
D =
 b11 b12 
 b11 b 21
A 
 b

 b12 b 22
21 b 22 

 .
x1T  x2 = 0.