Höhere Mathematik I für Bau, Geo, Umwelt — Blatt 5

T ECHNISCHE U NIVERSITÄT M ÜNCHEN
Z ENTRUM M ATHEMATIK
PD Dr. Andreas Johann
Höhere Mathematik I für Bau, Geo, Umwelt — Blatt 5
Wintersemester 2016/2017
Zentralübung
Z5.1. Es seien folgende Geraden im Raum durch die Punkt-Richtungsform in Koordinaten gegeben, wobei
α, β ∈ R zusätzliche Parameter sind.




 
 
α
1
1
2
g2 : x =  0  + µ  0  , µ ∈ R beliebig.
g1 : x =  0  + λ  β  , λ ∈ R beliebig,
0
1
2
2
Bestimmen Sie die Schnittmenge g1 ∩ g2 abhängig von den zusätzlichen Parametern α, β ∈ R. Falls
g1 ∩ g2 = ∅ bestimmen Sie den kürzesten Abstand zwischen g1 und g2 .
Z5.2. Durch drei Punkte im Raum mit den folgenden Ortskoordinaten sei die Ebene E gegeben:
 
 


1
0
0
p1 =  0  , p2 =  1  , p3 =  1  .
1
1
−1
Bestimmen Sie die Punkt-Richtungsform und die Hessesche
der Ebenengleichung von E.
 Normalform

−5
Welchen Abstand hat der Punkt mit dem Ortsvektor p =  5  zu der Ebene E? Liegt dieser Punkt
5
auf der gleichen Seite von E wie der Koordinatenursprung?
Tutorübungen
T5.1. Gegeben sei die Gerade g1 , die durch die zwei folgenden Punkte im R2 verläuft.
2
1
3
2
(a) Berechnen Sie die Punkt-Richtungsform und die Hessesche Normalform von g1 .
(b) Gegeben sei zusätzlich die Gerade g2 mit der Punkt-Richtungsform:
1
1
(λ ∈ R beliebig)
+λ
g2 :
1
0
Berechnen Sie alle Punkte die von g1 und g2 den gleichen Abstand haben.
T5.2. Gegeben sei die Ebene E in Punkt-Richtungsform:




 
1
0
1
E :  0  + λ 1  + µ 1 
−1
−1
0
(λ, µ ∈ R beliebig)
Betrachten Sie zusätzlich die Gerade g, die durch die beiden Punkte P1 und P2 verläuft.
 
 
2
0



0
2 
P1 =
P2 =
2
0
Berechnen Sie alle Punkte der Gerade g, die den Abstand
√
3 von E haben.
T5.3. E 1 sei die Ebene, die durch die drei Punkte im Raum mit folgenden Ortsvektoren gegeben ist:
 
 


1
2
2
 1 
 2 
 0 
1
2
−2
(a) Bestimmen Sie die Punkt-Richtungsform und die Hessesche Normalform von E 1 .
(b) Die Punkt-Richtungsform der Ebene E 2 sei:
 
 
 
2
1
0





2 +λ 0 +µ 1 
E2 :
3
1
0
(λ, µ ∈ R beliebig)
Berechnen Sie die Schnittmenge von E 1 und E 2
(c) Wir wollen die Ebene E 1 so drehen, dass sie mit E 2 übereinstimmt. Um welche Drehachse (eine
Gerade) muss die Ebene rotiert werden, sodass das passiert? Geben Sie auch den Rotationswinkel
an.
(Hinweis: Die Rotationsachse muss in beiden Ebenen liegen und der Winkel zwischen den Ebenen
findet man zwischen den Normalenvektoren der Ebenen wieder.)
Die Tutoraufgaben werden am 18.11.2016 besprochen.