Lineare Algebra • SoSe 2016 Abgabe bis 20.04.2016

Lineare Algebra • SoSe 2016
Übungsblatt 2
Abgabe bis 20.04.2016 bis 16 Uhr in Briefkästen in Gebäude G
Vorlesung: Prof. Dr. Stefan Ruzika
Übungen: Dr. Mark Steinhauer
(Zur Bearbeitung in der Übung am 18.04. – 22.04.2016)
Präsenzübungen
Aufgabe 2.1 (10 Punkte)
Zeigen Sie, dass für alle x, y ∈ Rn gilt:
a) ||x|| − ||y|| ≤ ||x − y|| ≤ ||x|| + ||y||,
b) x ⊥ y ⇔ hx, yi = 0 ⇔ ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 ⇔ ||x − y||2 = ||x||2 + ||y||2 ,
c) hx − y, x + yi = 0 ⇔ ||x|| = ||y||,
1
d) || ||x||
x−
1
2
||y|| y||
=
||x−y||2 −(||x||−||y||)2
,
||x|| ||y||
wenn x, y 6= 0.
Aufgabe 2.2 (10 Punkte)
Seien u = (−3, 1, 2), v = (4, 0, −8) und w = (6, −1, −4) ∈ R3 .
a) Berechnen Sie
1. v + w
3. 5(v − 4u)
5. (2u − 7w) − (8v + u)
2. 6u + 2v
4. (−3)(v − 8w)
6. ((w − u) − (u + w − v)) · 12
b) Bestimmen Sie die Komponenten des durch 2u − v + x = 7x + w gegebenen Vektors x ∈ R3 .
Aufgabe 2.3 (10 Punkte)
In Satz 1.17 der Vorlesung haben Sie die Hessesche Normalform einer Gerade L in R2 kennengelernt, falls Sie
diese nicht schon aus der Schule kannten. Entsprechend gibt es eine Hessesche Normalform für Ebenen E in
R3 . Der zugehörige Satz lautet:
HESSEsche Normalform einer Ebenengleichung Ist E ⊂ R3 eine Ebene, s1 ∈ R3 ein Normalenvektor
von E mit ||s1 ||2 = 1 und v ∈ E beliebig, so ist
E = {u ∈ R3 : hs1 , (u − v)i = 0} .
Für einen beliebigen Punkt w = (w1 , w2 , w3 ) ∈ R3 ist der Abstand d(w, E) von w zu E gegeben durch
d(w, E) = |hs1 , wi − hs1 , vi| .
Insbesondere ist d(0, E) = |hs1 , vi| der Abstand des Nullpunktes in R3 zu E.
Bringen Sie die Gleichung der folgenden Ebenen auf Hessesche Normalform und ermitteln Sie den Abstand
der Ebenen vom Nullpunkt.
a) 4x − 7y − 4z + 18 = 0
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b) x = (0, 5, 0) + λ(4, −2, −3) + µ(−5, 6, 2)
c) h(12, 4, 3), xi = −26.
(Bitte bis 20.04.2016 bis 16 Uhr in Briefkästen in Gebäude G abgeben)
Hausübungen
Aufgabe 2.4 (10 Punkte)
√
a) Gegeben seien x = (4, −3, 0), y = (−4, 3, 0), z = (1, 1, 2). Berechnen Sie:
1. ||x||, ||y||, ||z|| und || − 8x||,
2. den Winkel zwischen x und y sowie den Winkel zwischen x und z,
3. den Einheitsvektor in Richtung von y + z und
4. ||x − (y + z)||.
b) Bestimmen Sie α ∈ R, so dass (4, −3, α) ⊥ z.
c) x, y, z ∈ R3 seien Einheitsvektoren, die paarweise orthogonal sind. Desweiteren seien
u := x − y − 3z, v := −2x + 4y − 3z, w := x + 2y − z.
Berechnen Sie hx, (y − z)i, ||5u − 4v − 6w||, sowie die Winkel zwischen u und v, u und w bzw. v und
w.
Aufgabe 2.5 (10 Punkte)
a) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g in R2 , welche durch die Punkte (1, 2) und
(5, 7) geht.
b) In welchem Punkt schneidet g die y-Achse?
c) Bestimmen Sie eine lineare Gleichung, welche diese Gerade beschreibt.
d) Bestimmen Sie die Hessesche Normalenform dieser Geraden.
Aufgabe 2.6 (10 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch?
a) ||(4, 3)|| = ||(−4, −3)||
richtig falsch b) ||(4, 3)|| = 5
richtig falsch c) ||(32, −32)|| = 0
richtig falsch d) ||(0, −1)|| = −1
p
e) ||(1, 0)|| = ||(1, 0)||
richtig falsch richtig falsch Begründen Sie die richtigen Aussagen und geben Sie bei den falschen jeweils ein Gegenbeispiel an! Begründung
oder Gegenbeispiel sollten kurz ausfallen (eine Zeile genügt!). Punkte gibt es nur für die Kombination aus
richtiger Antwort und passender Begründung/Gegenbeispiel.
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