Lineare Algebra • SoSe 2016 Abgabe bis 04.05.2016

Lineare Algebra • SoSe 2016
Übungsblatt 4
Abgabe bis 04.05.2016
Vorlesung: Prof. Dr. Stefan Ruzika
Übungen: Dr. Mark Steinhauer
Präsenzübungen
(Zur Bearbeitung in der Übung am 02.05 – 06.05.2016)
Aufgabe 4.1 (10 Punkte)
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und der Ebene E. Bestimmen Sie gegebenenfalls den
Durchstoßpunkt.
 
 
 
 
 
4
1
1
2
1
a) g : ~x = 0 + t · 3 und E : ~x =  2  + r · 3 + s ·  4 
8
0
−1
1
−3
 
 
 
 
 
1
9
3
7
2
b) g : ~x = 1 + t · −2 und E : ~x = 0 + r · −1 + s · −1
0
6
1
5
1
Aufgabe 4.2 (10 Punkte)
Gegeben sind eine quadratische Pyramide mit den Ecken A = (−3, −3, 0), B = (3, −3, 0), C = (3, 3, 0),
D = (−3, 3, 0) und der Spitze S = (0, 0, 9) sowie die Ebene E : 3x2 + 4x3 = 21.
a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Pyramidenkanten mit der Ebene E.
b) Zeigen Sie, dass die Schnittfläche der Ebene E mit der Pyramide ein Trapez ist. Berechnen Sie ihren
Flächeninhalt.
c) Berechnen Sie den Abstand der Spitze S von der Ebene E.
d) Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide und der beiden Teilkörper, in die die Pyramide durch die Ebene
E zerlegt wird.
Aufgabe 4.3 (10 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass für z ∈ C \ (−∞, 0] gilt:
r
r
√
|z| + Re z
|z| − Re z
z=
+ i sign(Im z)
.
2
2
b) Schreiben Sie mit Hilfe der Formel aus a) die folgenden komplexen Zahlen in der Normalform a + ib:
√
√ √
√
3 + 4 −5 √
4
4
i, −i,
, i, −i .
1+i
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Aufgabe 4.4
Entscheiden Sie, welche der Aussagen in der folgenden Aufgabe wahr bzw. falsch sind. Begründen Sie
die richtigen Aussagen kurz und geben Sie bei den falschen jeweils ein Gegenbeispiel an! Punkte gibt es
nur für die Kombination aus richtiger Antwort und passender Begründung bzw. Gegenbeispiel.
Die folgenden Aussagen beinhalten geometrische Deutungen der elementaren arithmetischen Operationen
komplexer Zahlen. Richtig oder falsch?
a) Die Addition zweier komplexer Zahlen entspricht die Addition zweier Vektoren im R2 .
richtig falsch b) Die Abbildung z 7→ z beschreibt eine Spiegelung an der imaginären Achse.
falsch richtig c) Die Multiplikation z 7→ a · z mit einer komplexen Zahl a vom Betrag 1 = |a| entspricht einer Drehung
um den Nullpunkt mit dem Drehwinkel ϕ = arg z.
richtig falsch √
√
φ
d) Man zieht aus einer komplexen Zahl z = r · eiφ die Wurzel mit Hilfe der Formel z = r · ei 2 .
richtig falsch e) Das Bilden des Kehrwertes
1
z
einer komplexen Zahl z geschieht nach der Formel 1z = |z|z2 .
richtig falsch (Bitte bis 04.05.2016 abgeben)
Hausübungen
Aufgabe 4.5 (10 Punkte)
Gegeben sind die Gerade g durch die Punkte P = (0, 0, 3) und Q = (−5, 3, 3) und die Gerade h durch die
Punkte R = (0, − 32 , 92 ) und S = (−5, 29 , 23 ).
a) Zeigen Sie, dass die Geraden g und h sich schneiden und so eine Ebene E aufspannen.
b) Bestimmen Sie für die Ebene E eine Parametergleichung.
c) Berechnen Sie die Schnittpuknte der Ebene E mit den Koordinatenachsen.
Aufgabe 4.6 (10 Punkte)
Gegeben sind die Punkte A = (1, −2, −7), B = (17, −2, 5), C = (8, −2, 17) und S = (1, 6, 7).
a) Welche besondere Form und Lage hat das Dreieck ABC?
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
c) Bestimmen Sie den Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist.
d) Berechnen Sie das Volumen der quadratischen Pyramide mit den Ecken A, B, C, D, S. Beschreiben Sie die
einzelnen Schritte ihres Lösungsweges.
Aufgabe 4.7 (10 Punkte)
a) Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Normalform a + ib und berechnen Sie ihre absoluten
Beträge:
√
1 + i 2
1
1
3 3
,
, − +
i , (1 + i)n + (1 − i)n .
3 + 7i 1 − i
2
2
√
b) Berechnen Sie z, |z| sowie Realteil und Imaginärteil von z und 1z für z ∈ { 12+5i
2+3i , i}.
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